2026年山东省临沂市沂水县中考一模数学试题

**基本信息** 九年级数学一模试卷，以科技创新（火箭军导弹速度）、文化传承（甲骨文概率）、生活实践（饮水机接水）为情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，突出数学眼光、思维与语言的综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|绝对值、中心对称、科学记数法等|结合科技企业图标考中心对称，体现抽象能力| |填空题|5/15|不等式组、一元二次方程根等|动态几何题（等边三角形面积），考查空间观念| |解答题|8/75|统计分析、抛物线应用、几何综合等|21题玉米株高统计分析，培养数据意识；22题机器人运动抛物线，体现模型意识|

九年级数学单元作业参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.A.2.D.3.B.4.A.5.C.6.B.7.A.8.C.9.D.10.C. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.1.12.x>2.13.-1.14.c≤4.15.5 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16.(本题满分8分) (1)解：√3×√12+1-2|-（π-3）° =V3×12+2-1. 3分 =7.… 4分 （2)解：g+2a+1÷a-马 a2+a a =-a+)2a2-1 a(a+1)a 1分 =(a+1)2 a a(a+)(a+1D(a-) 2分 a-15 3分 当a=2+1时， 原式= 2 √2+1-12 4分 17.(本题满分8分) (1)解：如图，AE为所作； E B 4分 (2)证明：AE平分∠BAC, ∠CAE=∠DAE. .5分 在△ACE和△ADE中， 第1页（共6页） AC=AD ∠CAE=∠DAE, AE=AE .△ACE2△ADE(SAS). 6分 .∠ADE=∠C=90°. 7分 DE⊥AB.… 8分 18.(本题满分8分) 解：(1)设OA所在直线的函数表达式为y=(k≠0)， 2=k .小球滚动过程中的速度y(m/S)与时间xS)之间的关系为y=2x.2分 .A点坐标为(2,4).因此小球到达斜面底端时的速度是4ms..4分 (2)设AB所在直线的函数表达式为y=mrx+b(m≠0)， 4 4=2m+b m-3 解得 2=3.5m+b1 20 b= 3 4.20 ..y=- x+ 3 3 6分 4 当y=0时，-x 200 33 解得x=5,5-2=3, 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为3s.…8分 19.（本题满分9分) 解：(1)直线EF与⊙0相切， 理由：OA=OB, .∠A=∠OBA. CB=CD, .∠CBD=∠CDB. 1分 ∠ADO=∠CDB, .∠CBD=∠ADO. …2分 .∠AOC=90°， .∠A+∠AD0=90°. ∴.∠OBD+∠CBD=90°. 第2页（共6页） .∠CB0=90°. 4分 直线EF与⊙O相切； 5分 (2)∠AOC=90°，OA=3, tan∠OAD=OD-1 Oi-万0D=l.m7分 设CB=CD=x,OC=x+1.∠OBC=90°， CB2+OB2=0C2.x2+32=(x+1)2..x=4. .BC=4.… 9分 20.（本题满分10分) 解：(1)：由题可知：在Rt△AGM中，AM=13分米，MG=12分米，AG⊥GM, .AG=V132-122=5(分米）.2分 AB=19分米， .BG=AB-AG=19-5=14（分米).4分 .MN=BG=14(分米). .该连衣裙MN的长度为14分米； 5分 (2)如图，过E作EK⊥AB于K, A E(M) B D :在Rt△AKE中，AE=(13分)米，∠BAE=76.1°，AK⊥KE, .AK=AEC0s76.1°=13×0.24=3.12（分米).8分 AB=19分米， .BK=AB-AK=19-3.12=15.88（分米).… 9分 .BK-MW=15.88-14=1.88≈2（分米）. 该连衣裙下端N点到地面水平线I的距离约为2分米.10分 21.(本题满分10分) 解：(1)不赞同，理由：样本中数据的个数是40，数据的最大值与最小值之差是20.若分成10组，则组 距为2，会使某些组的频数为0，不能显示数据分布的特征和规 第3页（共6页） 律； 3分 (2)补全“试验田”频数分布直方图如下： 不频数 16 只 10 8 6 0 4044485256 60 4分 “对照田”的玉米株高扇形统计图中， 52≤h<56组对应的圆心角为360°×35%=126°； 5分 (3)试验田中长势良好的玉米株数为15+11=26（株），占比65%，对照田中长势良好数占比为 35%+15%=50%:所试验田中长势良好的玉米株数占比高于对照田中长势良好的玉米株数占 比。（答案不唯一)7分 (4)从中位数、众数、平均数来看，试验田略低于对照田，且均在长势良好范围内；从方差看，试验 田明显低于对照田，说明试验田玉米株高数据波动小，相对集中，整体长势试验田好于对照 田. 10分 22.（本题满分11分) 解：(1)由题意得，抛物线的对称轴为直线x=80,顶点纵坐标为60， ∴.顶点坐标为(80,60)。 设抛物线的函数解析式为：y=a(x-80)2+60. 图象过原点，.a(0-80)2+60=0,解得a=- 3 320 320x-802+60: y= 3分 (2)抛物线的形状不变，点(0,75)，故第二次的函数图象 可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度得到的， 新的抛物线的解析式为： 3 y=- (x-80)2+60+75= 3206x-80)2+135. 5分 320 3（x-802+135=0, 当y=0时，-3 解得：x=200,x2=-40(舍去). 第4页（共6页） 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm;… 7分 (3)设该平台的高度为kcm,由题意，设新的函数解析式为： y=1 320x-80y+60+k.AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm, 仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，由题意， 仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点 (80+40,48+3),即(120,51)，把(120,51)代入 y三0c-80+60+k,得：51=32020-80+60+k 解得：k=6. 故设该平台的高度为6Cm。11分 23.(本题满分11分) (1)解：由题可知∠ABF=∠CBE, BE⊥CD,.∠CEB=90°， .∴.∠CBE+∠C=90°. 在平行四边形ABCD中，∠A=∠C, ∠A+∠ABF=90°..BF⊥AD.3分 (2)证明：CN⊥CD,.∠NCD=90°. 由题可知∠BEC=∠CEB=90°，BE=B,E,CE=CE,· AB/CD,∴∠EBE,=∠CEB=90°. .△EBE,为等腰直角三角形..∠BEE=∠BEE=45°.5分 ∠CEN=∠CNE=∠CEM=45°.∴CN=CE=C,E,· 在△CNM和△CE,M中 [∠CMN=∠CME, ∠CNE=∠CE,M, CN=CE .△CNM≌△C,EM(AAS);… 7分 (3)证明：如图，过点D作DP⊥AB垂足为点P, 在△ADP和△ABF中，，∠APD=∠AFB=90°，∠A=∠A, 第5页（共6页） .△ADP∽△ABF. AP AD AF AB ÷AP=F,AD=1xV万_1 AB 27 2 DP-VD2-4p---35 9分 2 又FG//BD,. AF AG AD AB AG=1F·AB1×2N7=2.∴PG=AG-AP=)· AD√ 3W5 an∠DGA=DP G3V3，∠AGD=60°，分 第6页（共6页） 九年级阶段性作业 数 学 2026. 04 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共8页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡的规定位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1． 的绝对值是（　　） A． B． C． D．2026 2． 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3． 2024年9月25日8时44分，我国火箭军成功发射了一枚“东风”洲际弹道导弹，导弹平均速度为25马赫，马赫为速度单位，1马赫约为340米秒．用科学记数法表示“东风”导弹的平均速度为（　　） A．米秒 B．米秒 C．米秒 D．米秒 4． 在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，鼓的主视图是（　　） A． B． C． D． 5． 下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6． 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． B． C． D． 7． 某饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．已知温水温度C，水流速度20ml/s；开水温度C，水流速度15ml/s．小明拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）．小明同学的接水时间为( ) A．11 B．12 C．13 D．14 8． 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．若压强由加压到， 则气体体积压缩了（　　） A． B． C． D． 9． 如图，△中，，，分别以点，为圆心、的长为半径画弧，与，的延长线分别交于点，．，图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，两点，，，在抛物线上．下面结论：①当时，；②当时，；③当且时，则；④当时，则．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知，则的值是　 　． 12．不等式组的解集是　 　． 13．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，　 　． 14．在平面直角坐标系中，点，，点，，将直线沿y轴向上平移c个单位，使其与线段有交点，则的取值范围是　 　． 15．如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边 △，使点始终在 的内部或边上．当△的面积 最大时，的长为　 　． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（本题满分8分） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17．（本题满分8分）如图，在中，，点是斜边上一点，且． （1）作的平分线，交于点；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，求证：． 18．（本题满分8分）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． （1）求小球到达斜面底端时的速度； （2）求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 19．（本题满分9分）如图，是的弦，过点作直线，以为顶点作，分别交，于点，，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由． （2）若的半径为3，，求的长． 20．（本题满分10分）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． （1）如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； （2）如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，， 21．（本题满分10分）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下． 【数据收集】试验田株高：56，43，51，52，45，55，46，55，46，51，54，54，48，55，48，49，51，50，48，49，49，51，46，51，43，51，52，47，54，49，55，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 对照田株高：41，52，40，48，60，40，44，54，44，45，46，55，48，40，48，54，50，50，52，52，52，60，52，52，40，54，48，40，54，54，55，46，56，40，60，60，56，57，52，60． 【数据整理】把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高， A B C D E 试验田频数 4 8 15 11 2 对照田频数 7 5 6 14 8 （1）小亮说“分成5组太少，可以分成10组”你赞同小亮的观点吗？请说明你的理由． 【数据描述】根据频数分布表分别制作试验田频数分布直方图和对照田扇形统计图． （2）补全试验田频数分布直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数； （3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可） 【数据分析】对收集的数据进行分析，得出的统计量如表： 统计量 中位数 众数 平均数 方差 试验田 49.5 51 49.73 15.10 对照田 52 52 50.28 40.05 （4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况． 22．（本题满分11分）仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为．如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为．以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； （2）已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变．若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，，点在轴的正半轴上，如图1．求起跳点与落地点的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．求该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 23．（本题满分11分）在平行四边形中，过点作于点，用纸片做一个三角形，使得△．将三角形纸片和平行四边形进行如下操作：①将三角形纸片置于平行四边形内部，使得点与点重合，点在线段上，延长交线段于点，如图1所示；②连接，过点作直线交射线于点，如图2所示；③在边上取一点，分别连接，，，如图3所示． 请解决下列问题： （1）如图1，求证：； （2）如图2，求证：△△； （3）如图3，若，，，，求的度数． 九年级数学阶段性作业 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 八年级数学单元作业答题纸 ) ( 九年级数学答题卡 )学校 班级 姓名 考号 座号 ( 贴 条 形 码 区 由监考员负责粘贴 ) ( 注意事项： 1、答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、班级、姓名、准考证号、座号完整的填写在相应位置。 2、答第I卷时,必须使用 2B铅笔 填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。 3、答第II卷时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔书写 ， 做图时，可用2B铅笔 ，要求字体工整、笔迹清晰。务必在题号所指示的答题区域内作答， 选做题必须用2B铅笔将所选题号涂黑 。 4、保证答题卡清洁、完整。严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带。 5、若未按上述要求填写、答题。影响评分质量，后果自负。 ) 第II卷 （须用0.5毫米黑色签字笔书写） ( 第 I 卷 （须用2B 铅笔填 涂） ) ( 填涂样例 正确填涂 ) ( 1  2  3  4    ) ( 5  6  7  8   ) ( 9  10  ) ( 二、填空题 （本题 6 个小题，每小题3分，共1 5 分） 1 1 ． ， 1 2 ． ，1 3 ． ， 1 4 ． ， 1 5 ． ． ) ( 三、解答题 （2） ，其中 ． 1 6 ．（本题满分 8 分） （1） ； ) ( 1 7 ．（本题满分 8 分） （ 2） （1） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 1 8 ． （本题满分 8 分） （2） （1） ) ( 2 0 ．（本题满分 10 分） （ 2） （ 1） ) ( 19 ． （本题满分 9 分） （ 2） （ 1） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 2 1 ． (本题满分 10 分) （ 3 ） （1） （ 2） （4） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 2 2 ．（本题满分 1 1 分） （1） （2） （ 3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 八年级数学答题卡 第 2 面 / 共 2 面 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 26． ) ( 2 3 ．（本题满分 1 1 分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 八年级数学答题卡 第 2 面 / 共 2 面 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 ) ( 26． ) ( 九年级数学阶段性作业答题卡 第 1 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $