西藏自治区西藏昌都市第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题

昌都一高2027届高二下期5月半期测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A={xx=3k,kEN*},B={xx<10},则AnB=() A.{3,6,9} B.{0,3,6,9} C.{1,3,6 D.{1,6,9} 2.若复数z满足z=i+记，则的虚部为() A.i B.1 C.-1 D.-i 3.已知单位向量ei,e2的夹角为经，则15e-e2引=() A.V21 B.21 C.V31 D.31 4.已知(Wx+)的展开式中含x2项的系数为12，则a为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.在2025年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A,B,C三所高校， 则恰有两人报考同一所高校的方法共有() A.9种 B.36种 C.38种 D.45种 6.已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率 是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是() A.0.63 B.0.24 C.0.87 D.0.21 7.将三颗骰子各掷一次，记事件A=“三个点数互不相同”，事件B=“至少出现一个5 点”，则P(AB)=() A品 B. C. D 8.某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出在学校演艺大厅开幕，开幕式中文艺表 演由6个节目组成，若考虑整体效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：节目《文 明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》、《命运与共》必须挨着，则开幕式文 艺表演演出顺序的编排方案共有() 第1页，共4页 A.120种 B.156种 C.188种 D.240种 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在(x-)的展开式中，下列说法中正确的有( A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为0 C.系数最大的项为第4项和第5项 D.存在常数项 10.下列选项正确的是() A.(2x)′=2x B()' -xcosx-sinx x2 c.(网'=a D.m62-1'= 11.下列说法正确的是() A两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是； B.己知随机变量X~B(m,P),若E(X)-30,D(X)=10,则p=号 C.已知A3=C3,则n=8 D.从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.安排6名歌手的演出顺序时，要求某歌手既不第一个出场，也不最后一个出场，共 有种不同的排法： 13.已知曲线y=ax+1nx在点(1，f(1)处的切线方程为y=2x+b,则b值为一. 14.已知数列an}的前n项和公式为Sm=4n2-n,则{an}的通项公式为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知△ABC的周长为V2+1,且sinA+sinB=V2sinC (1)求边c的长： (2)若△ABC的面积为2sinC,求角C的度数. 第2页，共4页 16.袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不 放回的取出一球，直到取到白球停止. (1)求取球次数X的分布列； (2)求取球次数X的期望和方差. 17.已知函数f(x)=x2nx. (1)求曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程： (2)求f(x)的单调区间和极值. 第3页，共4页 18.已知双曲线c号茶=1(a>0,b>0)的离心率为5，且过点（√2,2）. (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线C右焦点的直线与双曲线C相交于A,B两点，若线段AB的长为8，求直线L 的方程。 19.已知1是函数f(x)=ax3+bx+c(a,b,cER)的极值点，f(x)在x=0处的切线与直 线y=x垂直. (1)求a,b的值； (2)若函数f(x)在[-2,2]上有最大值2，在(-2，m)上有最小值也有最大值，求实数m 的取值范围。 第4页，共4页 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：由题意得，A∩B={3,6,9}。 2.【答案】C 【解析】解：复数z=i+2=-1+i, 号-=9 2-1-)-=-2-21=-1-i, 2 即2的虚部为-1， 故选：C 3.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题. 根据题意，求出e·e2的值，由数量积的运算性质可得15e1-e22=25e2-10e·e2+e22,代入数 据计算可得5e-e22的值，变形可得答案. 【解答】 解：根据题意，单位向量，的夹角为号，则G·=c0s号=》 则15e1-e2=25e2-10ee2+e22=25-10×3+1=21,故5e-el=V21. 故答案选A. 4.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，特定二项式系数的求解，二项式展开式的通项公式，属于较易题. 先求出二项式展开式的通项公式T+1=C8(V冈（合）'=%6x-3,再令x的指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中含x2项的系数，进而，求得a的值. 【解答】 解：由于(W+是)的展开式的通项公式为1+1=C6(V'(份)=csrx3, 令r-3=2,可得r=5, 第1页，共8页 故展开式中含x2项的系数为6a=12,可得a=2. 故选：B 5.【答案】B 【解析】由题意，恰有两人报考同一所高校的方法共有CA=36(种). 6.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了概率的计算，属于基础题 先阅读题意，再结合条件概率及独立事件计算求解即可. 【解答】 解：由甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%， 则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是0.7×0.9+0.3×0.8=0.87， 故选：C 7.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查条件概率，属于中档题， 根据要求的结果等于骨 ,需要求出A、B同时发生的概率以及B发生的概率，代入算式得到结果， 【解答】 解：pas)-0 Pa)-装婴-品 P网=1-P@=1等-1-荒器 P(AB)=PAB=豆=60 5 01 PB 216 911 故选C. 8.【答案】A 【解析】【分析】 本题考查排列、组合的应用，注意题目限制条件比较多，需要优先分析受到限制的元素，是中档题 根据题意，由于节目《文明之光》必须排在前三位，对《文明之光》的位置分三种情况讨论，依次 分析节目《一带一路》、《命运与共》的位置以及其他三个节目的安排方法，由分步计数原理可得 每种情况的编排方案数目，由加法原理计算可得答案. 第2页，共8页 【解答】 解：根据题意，由于节目《文明之光》必须排在前三位，分3种情况讨论： ①文明之光》排在第一位， 节目节目《一带一路》、《命运与共》必须排在一起，则节目《一带一路》、《命运与共》相邻的 位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A=6种安排方法， 则此时有4×2×6=48种编排方法； ②文明之光》排在第二位， 节目节目《一带一路》、命运与共》必须排在一起，则节目《一带一路》、命运与共》相邻的 位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A=6种安排方法， 则此时有3×2×6=36种编排方法： ③《文明之光》排在第三位， 节目节目《一带一路》、命运与共》必须排在一起，则节目《一带一路》、《命运与共》相邻的 位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有A=6种安排方法， 则此时有3×2×6=36种编排方法： 则符合题意要求的编排方法有36+36+48=120种： 故选：A. 9.【答案】AB 【解析】【分析】 本题考查了二项展开式的特定项与特定项的系数，二项式定理的应用，属于基础题. 利用所有项的二项式系数和为2”可判断A;令x=1可得所有项的系数和可判断B;算出第4项和第 5项，比较系数大小，可判断C;由二项展开式判断有无常数项可判断D 【解答】 解：对于A,所有项的二项式系数和为27=128，故A正确： 对于B,令x=1,得所有项的系数和为(1-1)7=0，故B正确： 对于C,第4项T3+1=cx4(-)=-Cx,第5项T4+1=Cx(-)=C号 所以第5项系数最大，故C错误： 第3页，共8页 对于D,T+1=C防x2-r(-1)r(-)=(-1)rC5x2-rxr=(-1)rC5x-2r, 若存在常数项，则7-2r=0,r=子因为r为0,1,2,3,4,5,6,7，所以r=取不到，即不 存在常数项，故D错误. 故选AB. 10.【答案】BD 【解析】解：对于A,(2)′=2xlm2,故A错误； 对于B,(亚)′=o二m,故B正确： x2 对于C,W网'=xi=2 故C错误； 对于D,m2-1′=光 故D正确. 故选：BD. 根据求导公式，以及复合函数的求导法则求解. 本题主要考查了导数的计算，属于基础题， 11.【答案】AC 【解析】略 12.【答案】480 【解析】【分析】 先考虑某歌手的位置，某歌手有4种位置可以选，剩下5个不同的人在5个不同位置排列，也就是 5的全排列，写出两个过程对应的组合数，根据分步计数原理得到结果 本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几 种方法，把几个步骤中数字相乘得到结果，注意有限制条件的元素 【解答】 解：要求某歌手既不第一个出场，也不最后一个出场，则该歌手甲有4种位置可以选，共有C4=4 种结果 剩下5个不同的人在5个不同位置排列，也就是5的全排列，共有A=120种结果， 根据分步计数原理知共有4×120=480 故答案为：480. 13.【答案】-1 【解析】解：由已知y=f)=ax+lnx,则f'()=a+,且f'(1)=a+1,f(1)=a, 第4页，共8页 由曲线y=ax+lnx在点(1，f(1)处的切线方程为y=2x+b, 则侣+2+名解得611改答茶为-1 14.【答案】an=8n-5(n∈N) 【解析】【分析】 本题主要考查数列的前n项和及Sn与an的关系，属于基础题. 利用a,= (S1,当n=1时 即可求出. Sn-Sm-,当n≥2时 【解答】 解：当n=1时，a1=S1=4×12-1=3: 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=4n2-n-[4(n-1)2-(n-1)]=8n-5. 上式对于n=1时也成立. 综上可知：a,=8n-5(n∈W*): 故答案为a,=8n-5(n∈N*). 15.【答案】解：(1)△ABC的周长为V2+1, a+b+c=V2+1, sinA+sinB=√2simC, ∴由正弦定理得a十b=V2c, ·c=1: ()②△ABC的面积=absinC=若sinC, ab= a+b=√2c=√2， a2+b2=(a+b2-2ab=壹 油余弦定理得osC=2学-专 2ab C∈(0，π)， = 【解析】此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌 握定理及公式是解本题的关键，属于常考题. (1)由正弦定理化简己知的等式，得到α，b及c的关系式，根据周长的值，求出c的值即可； 第5页，共8页 (2)由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使其等于已知的面积，得到ab的值，又根据第 问求出的c的值，得到a+b的值，配方后求出a2+b2的值，然后利用余弦定理表示出cosC,把得到 的a2+b2,ab及c的值代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可得到 C的度数. 16.【答案】解：(1)由题设知，X=1,2,3,4, PK=1)= PCX=2)=2x星=品 P0x=3)-是x经x号专 则X的分布列为 234 5o510 (2)则取球次数X的期望 E00=1×号+2×品+3×号+4×0=2， X的方差D0)=(1-2)2×号+(2-22×品+6-22×言+(4-22×品=1. 【解析】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于基础题. (1)根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列： (2)由分布列求期望和方差 17.【答案】解：1)易知f′(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1),则f′(1)=1，又f(1)=0, 则f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=x-1: (②)f)的定义域为0，+m),令f')=0得，f)=x(2x+1)=0,x=言 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表： 1 f'(x) 01 + f(x) 极小 第6页，共8页 所以f,的递增区间为(，+∞)：递减区间为(0，)：极小值为f()=-。无极大值. 【解析】（①）求导，得到f′(1)=1，利用导数几何意义求出切线方程： (2)求定义域，求导，令f′(x)=0,再列表分析函数f(x)的单调性，进而得到单调区间和极值情况. 18.【答案】解：(1)因为双曲线C的离心率为V5,且过点（√2,2）， s 所以 是寺=1，解得a=1.b=2.c=5. 2=a2+b2 因此双曲线C的标准方程为2-号-1. (2)右焦点为F(N5,0), 当直线无斜率时，此时x=V5,代入双曲线方程可得y=±4，满足AB=8, 当直线有斜率，此时设直线的方程为y=k(x-√⑤)： e ,可得(4-k2)x2+2V5k2x-5k2-4=0, 设A(x1y1)、B(x2,y2),△=64(k2+1)>0,k2≠2， 42,七·x2=524 由根与系数的关系可得：x1+=252, 4-k2) |AB到=V1+K区√(x1+x2)2-4x1x2=V1+ √0+4要-V1+ 20k4 64k2+64 4-k2 V(4-k2)2 8=8, 解得k2-多故k=士罗，故直线的方程为y=土x-V⑤)，综上可得x=V5或y=土罗(x-V⑤ 【解析】本题考查了双曲线的概念及标准方程，双曲线的性质及几何意义，直线的点斜式方程和直 线与圆锥曲线相交的弦长，属于中档题。 √5 (1)利用双曲线的离心率公式和标准方程，结合题目条件得 -京章=1，最后计算得结论： 2 2=a2+b2 (2)直线的方程为y=k(x-√⑤)，代入双曲线方程，设A(xy1)、B(x2,y2),运用韦达定理和弦长公 式即可求解. 19.【答案】解：(1)易知切线斜率为-3 f′(x)=3ax2+b,f(1)=3a+b=0,f′(0)=b=-3, 所以a=1,b=-3; 第7页，共8页 (2)f(x)=x3-3x+c,f'(x)=3x2-3=3(x+1)x-1), xE[-2,2],f'(x),f(x)的变化情况如下表所示 -2 (-2,-1)-1 (-1,1) 1 （1,2) 2 f'(x) 0 0 f(x) c-2 递增 c+2 递减 c-2 递增 c+2 所以f(x)在(-2，-1)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，(1,2)上单调递增，所以 f(x)max=max{f(-1),f(2)}=c+2=2,所以c=0,所以f(1)=f(-2)=-2, 又f(x)在(-2，m)上有最大值和最小值，所以1<m≤2. 【解析】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值问题，属于基础题. 第8页，共8页