精品解析：西藏昌都市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若集合，若，则集合中的元素有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A，B，根据集合的交集运算可求得，即可确定答案. 【详解】由题意得，， ， 故，即中共有3个元素， 故选：C 2. 复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘除运算化简得出复数，再应用共轭复数定义得出虚部. 【详解】，则，故的虚部为. 故选：D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 4. 某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】将，捆绑，先排同学，再将其余同学（看做一个整体）全排列. 【详解】根据题意，因为，两名同学相邻，所以有种， 又因为同学不站在两端，所以有种，其他同学（看做一个整体）进行排列有种， 所以不同的排列方式种数为. 故选：B. 5. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. 90 C. 40 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由二项式系数和求出，再由展开式公式写出二项式的展开式通项，然后得到结果. 【详解】由题意可知：，∴， 则二项式的展开式通项， 令，即时，， 即展开式的常数项为20. 故选：A. 6. 从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出和，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】依题意，事件“取到的2个数之和为偶数”，则取到的2个数都是偶数或都是奇数， 所以，， 所以. 故选：D. 7. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 8. 小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ） A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【分析】记小李一家去张家界为事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件，根据全概率公式计算可得. 【详解】记小李一家去张家界事件，去长沙为事件，去徒步爬山为事件， 则、、、， 所以， 即小李一家旅游时去徒步爬山的概率为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有错选或不选得0分． 9. 已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当取最小值时，展开式的二项式系数的和为 C. 当时，展开式中的常数项为 D. 当时，展开式中没有项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件得到展开式的通项，进而得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】因为展开式的通项， 由题知， 对于选项A，因为，所以的最小值为，故选项A错误， 对于选项B，由选项A知当取最小值时，，所以二项式系数的和为，故选项B正确， 对于选项C，当时，，所以常数项为，故选项C正确， 对于选项D，令，得，不符合题意，所以当时，展开式中没有项，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A 若服从正态分布，则 B. 服从两点分布，且，设，那么 C. 若服从超几何分布，则期望 D. 若服从二项分布，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质和方差的性质即可判断选项A；根据两点分布及随机变量间的对应关系即可判断选项B；根据超几何分布的期望公式即可判断选项C；二项分布的分布列即可判断选项D. 【详解】对于A，若服从正态分布，则，由方差的性质可知：，故选项A错误； 对于B，若服从两点分布，且，所以. 又，所以，故选项B正确； 对于C，若服从超几何分布，则根据超几何分布的期望公式可知：，故选项C正确； 对于D，若服从二项分布，则由二项分布的，故选项D正确. 故选：BCD. 11. 下列的叙述正确的有（ ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元线性回归的相关系数和决定系数的定义即可判断AB，根据独立性检验中随机变量的值的意义即可判断CD. 【详解】对于A，相关系数很接近1，则随机变量y与x的相关程度很强，故A正确； 对于B，关于一元线性回归，决定系数越大，则模型的拟合效果越好，故B错误； 对于C，关于独立性检验，随机变量的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故C正确； 对于D，因的观测值满足，则零假设成立， 即在犯错概率不超过的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件可得出，然后利用二项式展开式的通项公式即得. 【详解】因为在二项式的展开式中，二项式系数最大的项仅是第4项， 所以展开式中第4项是中间项，共有7项，则， 所以展开式的通项公式为， 令，得， 所以展开式中含项的系数是. 故答案为：． 13. 现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出6根小棒中随机抽出3根的情况有种不同的情况，再求出构成三角形的情况有7种，即可求得结果. 【详解】从这6根小棒中随机抽出3根，共有种不同的情况，其中能构成三角形的情况有 共7种，故所求概率为. 故答案为： 14. 在某次学校的游园活动中，高二班设计了这样一个游戏；在一个纸箱里放进了个红球和个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出个球，摸到个或个以上红球即为中奖，则中奖的概率是_______________．（精确到） 【答案】0．103 【解析】 【详解】试题分析：本题中纸箱中共有10个球，其中有5个红球.从中任取5个，摸到红球的个数服从参数为10,5，5的超几何分布.因此, 中奖的概率为. 考点：独立事件的概率，超几何分布的概率和分布列. 【思路点晴】本题主要考查的是独立事件概率和超几何分布的概率以及分布列，属容易题．关键在于能根据题意判断出是超几何分布，利用超几何分布的分布列计算出独立事件的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，. （1）求直方图中的值； （2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 【答案】（1）0.0125 （2）600 （3）分布列见解析，数学期望为1 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形的面积和为1求解即可； （2）求出新生上学所需时间不少于1小时的频率，再估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）先求出所有取值的概率，得到分布列后求出数学期望即可. 【小问1详解】 由直方图，可得. 所以； 【小问2详解】 新生上学所需时间不少于1小时的频率为， 因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿； 【小问3详解】 的可能取值为0，1，2，3，4. 由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为， ，， ，， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 （或）， 所以的数学期望为1. 16. 工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化､精细化､特色化､新颖化优势的中小企业.下表是某地2017-2021年新增企业数量的有关数据： 年份（年） 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 新增企业数量 8 17 29 24 42 （1）求和的相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般； （2）请根据表中所给的数据，求出关于的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量. 参考公式：相关系数，经验回归方程，其中 参考数据：. 【答案】（1），线性相关程度很强 （2），69 【解析】 【分析】（1）根据表中数据计算出平均值，代入相关系数计算公式可得结论； （2）计算出，由样本中心点在回归方程上可得，求出回归方程为，将代入回归方程可预测2025年的新增企业的数量为. 【小问1详解】 ， ， 可得相关系数， 因此变量和线性相关程度很强. 【小问2详解】 由（1）知，， 样本中心点在回归方程上，则, ； 预测2025年，即当时，由经验回归方程可得， 因此估计2025年此地新增企业的数量约为69家. 17. 为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试． （1）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关？ 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 30 总计 60 （2）为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为，得80分以上的概率为，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望. 附: , n=a+b+c+d. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 2.706 3.84 5.02 6.635 7.879 【答案】（1）列联表见解析，有的把握；（2）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）分别求出甲班和乙班优秀与非优秀人数，即可得出分布列，根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论； （2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式即可求出期望. 【详解】解：（1）乙班优秀人数为人， 甲班优秀人数为人，非优秀人数为人， 列联表如下 优秀 非优秀 总计 甲班 40 20 60 乙班 20 30 50 总计 60 50 110 ， 所以有的把握认为环保知识与专业有关； （2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀， 记事件分别表示小王，小张，小李通过预选， 则， 随机变量取值为， ， ， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以. 18. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，利用导数分析函数的单调性即可； （3）结合（2）易得是是一个较小的零点，不妨设，要证，只需证，转化问题为证，进而利用导数证明即可. 【小问1详解】 当时，， 则，即， 故所求切线方程为. 【小问2详解】 由，， 则， 令，则； 令，则， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 当时，， 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 又是的一个较小的零点，不妨设， 要证，只需证， 因为，且在上单调递减， 从而只需证即可. ， 令， 在上单调递增. ，即证，即证. 19. DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小． 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”，利用全概率公式计算可得； （3）的可能取值是，，，求出所对应的概率，即可求出分布列与数学期望，而，根据二项分布的期望公式计算可得. 【小问1详解】 因为小张能全部回答正确的概率； 【小问2详解】 设事件表示“输入的问题没有语法错误”，事件表示“一个问题能被DeepSeek正确回答”， 由题意知，，， 则， 所以 ； 【小问3详解】 已知小张答对的题数为，则的可能取值是，，， 则，，， 所以的分布列为： 所以， 已知DeepSeek答对的题数为，则， 故， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 若集合，若，则集合中的元素有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同排列方式种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（ ） A. B. 90 C. 40 D. 6. 从1，2，3，4，5，6中任取2个不同的数，事件“取到的2个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 7. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 小李一家打算去张家界或长沙旅游，去张家界与长沙的概率分别为0.6，0.4，在张家界去徒步爬山的概率为0.5，在长沙去徒步爬山的概率为0.6，则小李一家旅游时去徒步爬山的概率为（ ） A. 0.54 B. 0.56 C. 0.58 D. 0.6 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得3分，有错选或不选得0分． 9. 已知的展开式中存在常数项，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 当取最小值时，展开式的二项式系数的和为 C. 当时，展开式中常数项为 D. 当时，展开式中没有项 10. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A. 若服从正态分布，则 B. 服从两点分布，且，设，那么 C. 若服从超几何分布，则期望 D. 若服从二项分布，则 11. 下列的叙述正确的有（ ） A. 关于一元线性回归，若相关系数，则y与x的相关程度很强 B. 关于一元线性回归，若决定系数越大，模型的拟合效果越差 C. 关于独立性检验，随机变量的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大 D. 关于独立性检验，若的观测值满足，依据小概率值的独立性检验，认为“两个分类变量无关”（参考数据：） 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第4项，则展开式中的系数为________． 13. 现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是___________. 14. 在某次学校的游园活动中，高二班设计了这样一个游戏；在一个纸箱里放进了个红球和个白球，这些球除了颜色不同外完全相同，一次性从中摸出个球，摸到个或个以上红球即为中奖，则中奖的概率是_______________．（精确到） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，. （1）求直方图中的值； （2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为，求 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率） 16. 工信部发布的《“十四五”促进中小企业发展规划》中明确提出建立“百十万千”的中小企业梯度培育体系，引导中小企业走向“专精特新”“小巨人”“隐形冠军”的发展方向，“专精特新”是指具备专业化､精细化､特色化､新颖化优势的中小企业.下表是某地2017-2021年新增企业数量的有关数据： 年份（年） 2017 2018 2019 2020 2021 年份代码 1 2 3 4 5 新增企业数量 8 17 29 24 42 （1）求和的相关系数（精确到0.01），并推断和的线性相关程度若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般； （2）请根据表中所给的数据，求出关于的经验回归方程，并预测2025年此地新增企业的数量. 参考公式：相关系数，经验回归方程，其中 参考数据：. 17. 为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试． （1）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99%的把握认为环保知识与专业有关？ 优秀 非优秀 总计 甲班 乙班 30 总计 60 （2）为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的概率为，得80分以上的概率为，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，若随机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望. 附: , n=a+b+c+d. 0100 0.050 0.025 0010 0.005 2.706 3.84 5.02 6.635 7.879 18. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）求单调区间； （3）当时，设的两个零点为，求证：. 19. DeepSeek是杭州一家人工智能技术研究公司推出的AI助手．它能进行逻辑推理，解决复杂问题，实现多模态数据融合与学习．某科技公司在使用DeepSeek对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，它回答正确的概率为0.99；如果出现语法错误，它回答正确的概率为0.19．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为0.1，且每次输入问题，DeepSeek的回答是否正确相互独立．该公司科技人员小张想挑战DeepSeek，小张和DeepSeek各自从给定的10个问题中随机抽取8个作答．已知在这10个问题中，小张能正确作答8个问题，答错2个问题． （1）求小张能全部回答正确的概率； （2）求一个问题能被DeepSeek回答正确的概率； （3）设小张和DeepSeek答对的题数分别为和，求的分布列，并比较与的期望大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$