2026年广东省广州市番禺区九年级数学二模试卷

2026年九年级数学学科综合测试题 【注意事项】 1.本试卷共6页，25小题，满分120分，考试用时120分钟.考生应将答案全部（涂） 写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效； 2、答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等（涂)写在答题卡上； 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分：在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.下列图形不是轴对称图形的是（*) (A) (B) (C) D) 2.下表记录了2026年1月1日我国四个城市的平均气温： 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温℃ -4 16.5 -20.5 -2 其中，平均气温最低的城市是（*). (A)北京 B)广州 (C)哈尔滨 ①)拉萨 3.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12,cosB=2 则BC的长为(*). (A)13 (B)12 (C)10 D)5 4.下列计算一定正确的是（*). (Aa8÷a2=a4 (B)a2,a3=a5 (C)a--a D)a'=a 5.如图1，CE是口ABCD的高，若∠BCE-40°，则∠A的度数为(*). (A)60 (B)50° (C40° (D)25° 6.某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得10个文明微章现从参赛 学生中随机抽取20人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图2所示）， 则这20位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（*) (A)8,6.5 B)7,7.5 (C)7,7 D)7,6.5 九年级数学试题第1页共6页 不人数 6 3 图 B 6 78910个数 图1 图2 7.如图3，正五边形ABCDE中，边AB,DC的延长线交于点F,则∠AFD的度数为（米）. (A)45° B)37.59 (C)36 (①)30° 8.在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间t(单位：s)与下落高度h(单位：m) 近似满足公式t= 2h 1,00 ,其中重力加速度g取10m/s2.若一物体从距地面150m的高度 自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的 是(*). (A)3<4 B)4K长5 (C5<K6 ①)6<7 9.如图4；相距20k的两个城镇A,B之间有一个半径为5km的圆形湖泊，它的圆心落在AB连 线的中点O处现要修建一条由线段AA华，AB?,线段BB三部分组成的公路，其中ALA，BB 分别与⊙O相切于点A,B',则这段公路的总长度为(*)km (A 3π+10vV5 B)2x+103( ©2π+55 25 后π+55 B B B C 图3 图4 10.抛物线y=ax2-2a(a≠0)与直线)y=x(k≠0)交于Ax,),B(x2,y2)两点，若x+x2>0, 则直线y=am+飞一定经过（*)， (A)第一、二象限B)第二、三象限（©第三、四象限D)第一、四象限 九年级数学试题第2页共6页 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1业要使代旅线：中3有意义，则x的值可以是立 12.己知点A么，)，BB,)均在函数y=5的图象上，则*2（选填“>”，“=”， “<”). 13.如图5，在△ABC中，AD是△ABC的中线，E,F分别是AC,AD的中点，连接EF, 已知EF=2,则BC的长为* Z左 B B 图5 图6 图7 14.关于x的方程x2+2mx-m=0的两个根分别为x,2,若x2=5,则为+为2=*_ 15.,如图6，在口ABCD中，E是AD边上一点，将△CDE沿着CE翻折至△CFE.已知BC13, AB=8,∠D=60°，当E,F,B三点共线时，则DB的长是* 16.如图7，在Rt△ABC中，∠ABC90°，AB=1,BC2W2,点D为平面内一动点，满 足AD=AB,分别连接CD,BD.延长BD至点E,连接CE,使∠E=∠DCB.当BD=1 时，BB=*；当线段CB的长度取得最小值时；BE=米 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分4分) 解方程2=3 x-3x 18.（本小题满分4分) 如图8，在△ABC中，点D为边BC上一点，莲接AD, 已知AB=4,BD=2,BC-8. 求证：△BAC∽△BDA. 图8 九年级数学试题第3页共6页 19.（本小题满分6分) 先化简，再求值：(2x-5}-(《x-2x-3)-12,其中x为方程x2-5x+2=0的解. 20.（本小题满分6分) 已知钱G)=过点（可 (1)求k的值： (2)在甲、乙两个不逶明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中 甲袋中的小球上分别标有数字0,1,3；乙袋中的小球上分别标有数字-1，-2， 一3.现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为x,再从乙袋中任意摸出 一个小球，、记其标有的数字为y,以此确定点2的坐标为(x,y).求点(x,y)在 曲线G上的概率， 21.（本小题满分8分) 如图9，在△ABC中，BDLAC于点D,O为，AB的中点 (I)尺规作图：作点D关于点O的对称点E,连接AE,BE (保留作图痕迹，不写作法)： (2)求证：四边形AEBD是矩形. 图9 22.(本小题满分10分) 依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼 动睡眠期(RBM)四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影 响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成.研究表明，各阶段的合理占比范围 如下：浅睡眠期占比a的取值范围为40%≤a≤55%，深睡眠期占比b:的取值范围为 20%≤b≤30%，RBM占比c的取值范围为25%≤c≤30%，情醒期占比越低越好.其 中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠 “不实”；深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解 躯体疲劳；REM是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大 九年级数学试题第4页共6页 脑发育.由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段 的合理占比、 9小时 A占比 一深睡眠 总曦醌时间 40% …REM 30.4% 30% 26.8%27.3%. 204%26.6%278%26.8% 1小时23分 20% 25.5% 5小时25分 ·深睡 ·浅陲 10%F 13.8% 60%180%i70%209%2% 】小时52分 20分 ·快速眼动 ·清醒 0 垦期日屡期一星期二星期三星期四星期五星期六星期 图10 图11 (1)图10是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据， ①请判断该同学本次睡眠REM的占比情况： (选填“过低”，“合适” 或“过高”)； ②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能 使其深睡眠的占比达到合理范围？ (2)该同学最近一周深睡眠与REM的占比情况如图11所示， ①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比； ②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况； (3)结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议、 23.（本小题满分10分) 如图12，以△ABC的一边AC为直径作⊙O,⊙0与BC边的 交点D恰好为BC边的中点。 (1)求证：AB=AC: (2)过点D作DE⊥AB,交AB于点E, ①求证：DE为⊙O的切线； ②连接OB交DB于点了，若m∠ABC=2,求B肥的值 OF 图12 九年级数学试题第5页共6页 24.（本小题满分12分) 如图13，菱形ABCD中，∠ABC-=60°，AB=2,点E是AB的中点，连接DE并延长， 交CB的延长线于点F,点P是边AD上任意一点（点P不与点A,D重合)， (I)求证：△ADE≌△BFE: (2)如图14，连接CP交DF于点G,连接AG,过点C作CH∥AG,交DF于点H. 求9的值： C D G B B 图13 图14 (3)如图15，点2在边FC上，且满足CQ=2AP,连接P2.过点C作CK⊥P2,交 直线Pg于点K,连接DK.当点P在边AD上运动时，求线段DK的取值范围. 0 B O 图15 25.(本小题满分12分) 己知M(,),Nk,2)是抛物线y=m2+bx-1上两个不同的点. Aa (1)当a=1,且抛物线关于y轴对称时， ①若M,N两点都在x轴上，求线段MN的长； ②若直线MW经过平面直角坐标系的原点0，求+已 OM ON 的值； (2)当a>1且b=a2时，若点M,N在抛物线对称轴的左侧，其中<x2且为，x2均 为整数，证明：元-x2÷乃-2>0， 九年级数学试题第6页共6页2026年九年级数学学科综合题评卷参考 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1 2 5 6 8 9 10 B A 0 B C B B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11.0(答案不唯一)： 12. > 13. 8 14. 10 15.6 16.8:26 【评分说明】11题答案不唯一，满足x≠-3即可，答案写“x≠-3”不得分；12题答案填 “大于”不扣分 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分4分)解方程2=3 x-3 x 解：两边同乘x(x-3),得2x=3(x-3). 1分 解得x=9. .2分 检验：当x=9时，x(x-3)≠0 .3分 所以，原分式方程的解为x=9: .4分 【评分说明】两边同乘最简公分母，化为整式方程得1分：正确解整式方程得1分：检验得最 简公分母不为0得1分：得出分式方程的解得1分 18.（本小题满分4分) 如图8，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD, 已知AB=4,BD=2,BC=8. 求证：△BAC∽△BDA. D 图8 解：.AB=4,BD=2, ·AB .AB=4,BC=8, AB-4=1 BC 821 ·照怒 .2分 ·AB .∠ABD=∠CBA, 3分 .△BAC∽△BDA …4分 【评分说明】正确推理得到两组线段对应成比例得2分，找到公共角1分，得出结论得1分， 若写为“：AB=4,BD=2,BC=8,:B肥=5=}”同样得2分，若写为：AB AB BC 2 =4,BD=2,BC=8,.职=织"则酌情扣1分. AB BC 。1 19.(本小题满分6分) 先化简，再求值：(2x-5)2-(x-2)(x-3)-12,其中x为方程c2-5x+2=0的解 解：原式=(4D2-20x十25)-(c2-5x十6)-122分 (完全平方公式、多项式乘多项式运算正确各得1分) =4x2-20x+25-x2+5c-6-12 =3x2-15x+7 3分 .c为方程x2-5x+2=0的解， .x2-5x=-2. 4分 ∴.原式=3(x2-5x)+7 5分 =3×(-2)+7 =1. 6分 20.（本小题满分6分) 已知曲线G:y=过点P(2,6): m (1)求k的值： (2)在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有3个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的 小球上分别标有数字0,1,3：乙袋中的小球上分别标有数字-1，-2，-3.现从甲袋中任 意摸出一个小球，记其标有的数字为x,再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为 y,以此确定点Q的坐标为(x,).求点Q(c,)在曲线G上的概率. 解：()：y=过点P(-26), k=6. -3 .k=-3. …1分 (2)根据题意列树状图如下： 甲袋(x) 0 乙袋(y)-1-2-3 -1-2-3 1-2 -3 Qc,y)(0,-1)(0,-2)(0,-3)1,-1)1,-2)1,-3)3,-1)3,-2)3,-3) 2分 ∴共有9种等可能的结果， 3分 其中满足点Q(x,)在曲线G:y=-3上的情况有2种， 4分 分别为Q(1,-3)和Q(3,-1). 5分 P(点Q)在曲线G上)=号 6分 2· 21.(本小题满分8分) 如图9，在△ABC中，BD⊥AC于点D,O为AB的中点. (1)尺规作图：作点D关于点O的对称点E,连接AE,BE (保留作图痕迹，不写作法)： (2)求证：四边形AEBD是矩形. 图9 解：(1)如图所示，点E及线段AE,BE即为所求 B 2分 (2)证明：.点D与点E关于点O对称， .点D,O,E三点共线，（或∠E0D-180°）3分 ODOE 4分 .点O为AB的中点， .'OA=OB. 5分 .四边形AEBD是平行四边形. 6分 .BD⊥AC, .∠ADB=90° 7分 .口AEBD是矩形. 8分 【评分说明】第(1)题通过尺规作图正确确定点E得1分，正确连接线段AE,BE得1分. 22.（本小题满分10分) 依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼 动睡眠期(REM)四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影 响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成.研究表明，各阶段的合理占比范围 如下：浅睡眠期占比a的取值范围为40%≤a≤55%，深睡眠期占比b的取值范围为 20%≤b≤30%，REM占比c的取值范围为25%≤c≤30%，清醒期占比越低越好.其 中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠 “不实”：深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解 躯体疲劳：REM是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大 脑发育.由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段 的合理占比. .3 9小时 占比 一深睡眠 总睡眠时间 40% --…REM 30.4% 30% 26.8%273%026.4%26.6%278%26.8% 20% 25.5% 1小时23分 5小时25分 ·深睡 ·浅睡 10% 13.8% 160%180%170%2096172% 1小时52分 20分 ·快速眼动 ·清醒 o 星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期 图10 图11 (1)图10是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据， ①请判断该同学本次睡眠REM的占比情况： (选填过低”，“合适” 或过高)： ②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能 使其深睡眠的占比达到合理范围？ (2)该同学最近一周深睡眠与REM的占比情况如图11所示， ①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比： ②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况： (3)结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议. 解：(1)①过低： 2分 ②设深睡眠增加x分钟能使其深睡眠的占比达到合理范围，由题意得 1小时23分=83分钟，9小时=540分钟. 3分 ..83+x≥540×20%. .4分 解得x≥25. 答：该同学本次睡眠的深睡眠时间至少增加25分钟，才能使其深睡眠的占比达 到合理范围. 5分 (2)①18.8%+25.5%+15.0%+18.0%+17.0%+20.9%+17.2%=18.2%. 答：深睡眠的周平均睡眠时间占比为18.2%..7分 ②深睡眠的周平均睡眠时间占比为18.2%，未达到最低标准，一周中仅星期二和星 期六达标，表现为深睡眠不足，不利于有效缓解躯体疲劳： 8分 从折线图可以看出该同学REM占比比较稳定，方差较小，一周中有6天在合理 范围内，说明该同学睡眠质量较好， 9分 (3)养成良好的作息习惯，保证22：30前入睡，6：30起床：睡前应让大脑充分放松，可 以适当听听有助于睡眠的轻音乐，避免睡前大量刷题、玩游戏等活动：白天增加 运动，加强体育锻炼.（答案不唯一，有理即可） .10分 【评分说明】(1)②中用列算式正确计算也可得分，其中转换单位1分，正确列式1分，计 算及作答1分：(2)①列式正确1分，计算结果正确1分；(2)②有理即可，只要能表述 出“深睡眠不足”即可得1分，能表述出“REM占比基本达标”即可得1分：(3)有理即可， 答案不唯一， …4 23.(本小题满分10分) 如图12，以△ABC的一边AC为直径作⊙O,⊙O与BC边的 交点D恰好为BC边的中点. (1)求证：AB=AC; (2)过点D作DE⊥AB,交AB于点E, ①求证：DE为⊙O的切线： ②连接OB交DE于点F,若tan/ABC=2,求BE的值. 图12 OF (1)证明：如图23-1，连接AD. .AC为⊙O直径， .∠ADC=90°，即AD⊥BC .1分 ,D为BC中点， ∴.AD垂直平分BC …2分 ..AB=AC 3分 图23-1 【评分说明】通过△ADC≌△ADB证明AB=AC同样得分，其中得出CD=BD得1分， ∠ADB=∠ADC=90°得1分，最终通过△ADC≌△ADB得到AB=AC得1分. (2)①证明：如图23-2，连接OD. 由(1)得AB=AC,则∠ABC=∠ACB. OD=OC, .∴.∠ODC=∠ACB .∠ODC=∠ABC ∴.OD/AB 4分 .DE⊥AB, ∴.∠BED=90° OD/IAB, .∴.∠EDO=∠BED=90°， ∴.OD⊥DE 5分 OD为半径， ∴.DE为⊙O的切线 6分 图23-2 【评分说明】方法不唯一，有理即可.其中导角正确得1分，得出垂直1分，最终得相切1分. ②解：，在Rt△BDE中，tan∠ABC=2, ÷-2 设BE=a,则DE-2a .BD=√BE+DE2=√5a. .在Rt△ABD中，tan∠ABC=2, .5 AD=2. BD '.AD=2√5a ∴.AB=WBD2+AD2=5a. .'AC=AB=5a. OD-1AC=5 Γ2 . 8分 OD/lAB, ∴.△ODF∽△BEF, 9分 殷=照=a-2 OF OD a 5 .10分 【评分说明】方法不唯一，有理即可.其中正确表示出BE和OD的长度各得1分，推出相似 三角形得1分，最终得出比值1分。 24.(本小题满分12分) 如图13，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,点E是AB的中点，连接DE并延长， 交CB的延长线于点F.点P是边AD上任意一点（点P不与点A,D重合）： (1)求证：△ADE≌△BFE: (2)如图14，连接CP交DF于点G,连接AG,过点C作CH∥AG,交DF于点H. 求AG的值： CH B B 图13 图14 (3)如图15，点Q在边FC上，且满足CQ=2AP,连接PQ.过点C作CK⊥PQ,交 直线PQ于点K,连接DK.当点P在边AD上运动时，求线段DK的取值范围. BO 图15 (1)证明：，四边形ABCD是菱形， ∴.AD//FC ∴.∠DAE=∠FBE,∠ADE=∠BFE. 2分 E为AB中点， ∴.AE=BE ∴.△ADE≌△BFE(AAS). .3分 .6 (2)解：如图24-1，连接AC交BD于点O 由(1)△ADE≌△BFE, .'AD=BF. ,在菱形ABCD中，AD=BC, ∴.CF=2AD .AD//FC, .△OAD∽△OCF. …4分 ÷品-船-司 -2 5分 .AG//HC, .△OAG∽△OCH. 6分 .AG =AO1 CH CO 2 7分 图24-1 (3)解：如图24-2，连接AC交PQ于点M. .APl/OC, .△APM∽△CQM. ·AM=AP=1 CM CQ 2 ,在菱形ABCD中，AB=BC=2,∠ABC=60° ∴.△ABC为等边三角形， 图24-2 .'AC=AB-2. ..CM=2AC=4 3 3 8分 ,CK⊥P9, .∴.∠CKM-90° 如图24-3，点K在以CM为直径的⊙I上运动. …9分F 其中C1=MK7-C1-是 图24-3 3 :点P是边AD上任意一点（点P不与点A,D重合）， ∴当点P位于点A处时，点K于点C重合； 当点P位于点D处时，点K满足CK⊥DF,即位于图24-4中的？处. ∴.点K的运动轨迹为图24-4中的CK" 图24-4 ,DK≤DI+KI, .当D,K,I三点共线时，DK取得最大值DK" B O 如图24-5，连接BD交AC于点N,则BD⊥AC 图24-5 .7 AW=CN-号4C=1, ·DN=√AD-AN=V5,NI=CN-CI= 3 DI-VND+IN =2V7 3 .DK"=DI+IK=2+27 3 .10分 当CK⊥DF时，DK取得最小值. ∴.如图24-6，作DL⊥FC交于点L. DC//AB, ∴.∠DCL=∠ABC=60°， .CD=2, ∴.CL=1,DL=√5 ∴.FL=FC+CL=5, DF=WFLP+DP=2√7. sin∠DFL=CK'=DL √ FC 图24-6 DF2√7 .CF=4, ..CK= √7 DK=VCD-CKT=4 > 11分 :点P是边AD上任意一点（点P不与点A,D重合）， ,DK'<DK≤DK", :.y7<DK≤2+27 12分 7 3 【评分说明】第(3)确定定长CM得1分，确定点K轨迹得1分，计算最大值1分，计算最 小值1分，正确写出取值范围1分（注意临界值是否取到）· 25.(本小题满分12分) 已知M(x1,1),N(x,y2)是抛物线y=ax2+bx- 上两个不同的点。 Aa (1)当a=1,且抛物线关于y轴对称时， ①若M,N两点都在x轴上，求线段MN的长： ②若直线N经过平面直角坐标系的原点O,求O+O的值： (2)当a>1且b=a时，若点M,N在抛物线对称轴的左侧，其中心1<心且c1,x2均 为整数，证明：x1-c2十h-y>0. 解：(1)①.a=1,抛物线关于y轴对称， .b=0. “g} 1分 ,M,N两点都在c轴上， 当0时，-子=0 8 解得+号 M号-（-2)=1. 2分 ②，直线MN经过平面直角坐标系的原点O, .分情况讨论如下： i.若N在x轴上，则OM=ON=1 “品+品=4 3分 ii.若MN不在x轴上，设直线MN为y=x(k≠O) :-}=k如时，-k知-子=0. x=}<0,-t 4分 x1,x异号，不妨设x1<0<x2 ∴.(x1-x2)=(x1+x2)2-4c1c2=k2+1. “品+O六 1 1 1 √1+k2ll .5分 2x2-01 -√1+k2x1c2 √1+k 1+ =4. 6分 综上，O+品的值为4 1 (2).a>1且b=a2, y=ax'+ac-1 4a 1对称销为直线2=品=号 ,点M,N在抛物线对称轴的左侧，其中D1<D且D,2均为整数， 的<-号 7分 ≤-1<8-1 8分 x1-x2+1-=x1-C2+a(ci-x)+a(x1-c2) =(-x2)[a(x1+2)+a2+1]. 9分 其中D1-D2<0, +<-号-1+-号》即+<-a-1. .10分 .a>1, ∴.a(c1+x2）+a2+1<a(-a-1)+a2+1, ∴.a(c1+x2)+a2+1=1-a<0. 11分 .(x1-c2)[a(1十x2)+a2+1]>0,即c1-2+h-y2>0.12分 .9…