精品解析：广东中山市华侨中学2025-2026学年度第二学期初三数学学科第二次学情调研试题

2025-2026学年度第二学期初三数学学科第二次学情调研试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，该平面展开图可以折成一个正方体的盒子，折好后与“全”字相对的字是（ ） A. 祝 B. 会 C. 你 D. 的 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 某藏家收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”，测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（ ） A. 7.1 B. 6.9 C. 6.8 D. 6.6 6. 一个正方形的面积是5，则它的边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正边形中，，则的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 10. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算_____． 12. 请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 13. 近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域．某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语．如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝你蒙的都对”．小明将二维码打印在边长为3厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______平方厘米． 14. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组． 17. 我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． （1）尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接，则四边形是菱形． （2）根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 18. 某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 20. 如图，是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交⊙O于点D，连接． （1）求证：是⊙O的切线 （2）当四边形是平行四边形时，求的度数． 21. 已知二次函数（，为常数，）的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式； （2）若时，的最大值为，求的值． 五、解答题（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： （1）两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． （2）解（1）中所列方程； （3）设实数、、满足，求的取值范围． 23. 在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长． （2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期初三数学学科第二次学情调研试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，，中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 2. 下列数学符号是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、B、C选项中的数学符号都不能找到一条直线，使数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的数学符号能找到一条直线，数学符号沿这条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形，正确掌握相关定义是解题关键． 3. 如图，该平面展开图可以折成一个正方体的盒子，折好后与“全”字相对的字是（ ） A. 祝 B. 会 C. 你 D. 的 【答案】C 【解析】 【详解】解：折好后与“全”字相对的字是你. 4. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点．若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，根据角的和差关系，结合对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 某藏家收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”，测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（ ） A. 7.1 B. 6.9 C. 6.8 D. 6.6 【答案】B 【解析】 【详解】解：将数据排序后，位于中间的数是6.9， 故中位数为6.9. 6. 一个正方形的面积是5，则它的边长在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解答此题的关键． 先求出正方形的边长，再估算出其大小即可． 【详解】∵一个正方形的面积是5， ∴其边长． ∵， ∴． 故选：． 7. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ， ， 故选：D． 8. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而增大， ∴当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集，即求的解集， 将看作整体，可得， 解得． 9. 如图，在正边形中，，则的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 10. 如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 12. 请你取一个的值，说明命题“”是假命题，那么______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，只需举出一个负数即可说明命题为假命题. 【详解】解：当时，，，此时 ； 因此命题“”是假命题， 故（答案不唯一）. 13. 近年来，二维码已广泛应用于社会生活的各个领域．某班在“轻松一刻钟”开展了“码上解压”活动，参与者只需扫描二维码，即可获取一条解压祝福语．如图是小明设计的一个二维码，其解码后的内容为：“祝你蒙的都对”．小明将二维码打印在边长为3厘米的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______平方厘米． 【答案】 【解析】 【分析】根据点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，得到点落在黑色阴影的概率为0.6，进行求解即可. 【详解】解：由题意点落在黑色阴影的概率为0.6， ∴此二维码中黑色阴影的面积为 （平方厘米）. 14. 如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点O，与地面垂直于点M，，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．过点B作交的延长线于N，求得，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：过点B作交的延长线于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴另一端B离地面的高度为． 故答案为：80． 15. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F， 当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法和步骤是解题的关键．分别解两个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找来确定不等式组的解集即可． 【详解】解：由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 17. 我们知道，通过对特殊三角形作图可以得到菱形．如图，是等边三角形． （1）尺规作图：作的平分线交于点E，在射线上截取，连接，则四边形是菱形． （2）根据下面的思路完成证明过程． 证明：∵是等边三角形，平分， ∴且① ＝② ，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（③ ）（填理由） 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【解析】 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求． 以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点D，连接， 则即为所求． 【小问2详解】 解：证明：∵是等边三角形，平分， ∴且，（三线合一） 又∵， ∴四边形是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）． 18. 某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【答案】原计划完成这项工程需用28个月 【解析】 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答． 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划完成这项工程需用28个月． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（精确到）（参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 20. 如图，是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线，点P是射线上的动点，连接，过点B作，交⊙O于点D，连接． （1）求证：是⊙O的切线 （2）当四边形是平行四边形时，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OD，证明即可； （2）证明四边形是正方形，即可求解． 【详解】（1）如图，连接OD，则 是⊙O的切线 又 在和中 是⊙O的切线． （2）如图，连接OD四边形是平行四边形 , 四边形是平行四边形 又 四边形是菱形 四边形是正方形 ． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，三角形全等的证明，平行四边形的性质与判定，正方形的性质与判定，圆的切线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 21. 已知二次函数（，为常数，）的图象经过点，． （1）求二次函数的表达式； （2）若时，的最大值为，求的值． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）将二次函数化为顶点式后，根据开口方向和对称轴，分三种情况讨论，确定最大值的取点，列方程求解后验证得到符合条件的的值.  【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴． 【小问2详解】 解： ， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， ①当时， 在对称轴左侧，随增大而减小，最大值在处取得 ， ∴ ， 解得或， ∵， ∴符合条件； ②当 ，即时， 在对称轴右侧，随增大而增大，最大值在处取得， ∴ ， 解得或， ∵， ∴符合条件； ③当时，即，则最值在或处取得， 由①②可知，求得的的值均不在内，均舍去； 综上，的值为或. 五、解答题（本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分） 22. 【阅读与探索】 弗朗索瓦·韦达（，）是16世纪法国数学家，他是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进，被誉为“代数学之父”．他深入研究了一元二次方程的根与系数之间的关系．对于一般形式的一元二次方程，如果方程的两根为、，则，．特别地，当二次项系数时，方程可化为，此时根与系数的关系式变得更加简洁：，．这种关系以他的姓氏命名为“韦达定理”也被称为“根与系数的关系”． 根据以上材料回答以下问题： （1）两个数的和为8，积为9.75，求这两个数．在解决这个问题时，可以这样思考： 设这两个数为、，则，．由此可根据韦达定理，构造一个以、为根的一元二次方程，此方程（一般式）为___________． （2）解（1）中所列方程； （3）设实数、、满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系即可写出方程； （2）利用因式分解法即可求解； （3）由条件可得，可看作是一元二次方程 的两个根，再根据一元二次方程的判别式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，一元二次方程的根与系数的关系式为：，， ∵，， ∴，， ∴一元二次方程为． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴ ， ∴，． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴，可看作一元二次方程 的两个根， ∴ ， ∴， 令， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴的解集为，即的取值范围． 23. 在平行四边形中（顶点按逆时针方向排列），为锐角，且． （1）如图1，求边上的高的长． （2）是边上的一动点，点同时绕点按逆时针方向旋转得点． ①如图2，当点落在射线上时，求的长． ②当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）8 （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案； （2）①先证明，再证明，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程即可； ②分三种情况讨论完成，第一种：为直角顶点；第二种：为直角顶点；第三种，为直角顶点，但此种情况不成立，故最终有两个答案． 【小问1详解】 在中，， 在中，． 【小问2详解】 ①如图1，作于点，由（1）得，，则， 作交延长线于点，则， ∴． ∵ ∴． 由旋转知， ∴． 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ②由旋转得，， 又因为，所以． 情况一：当以为直角顶点时，如图2． ∵， ∴落在线段延长线上． ∵， ∴， 由（1）知，， ∴． 情况二：当以为直角顶点时，如图3． 设与射线的交点为， 作于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得， ∴． 情况三：当以为直角顶点时， 点落在的延长线上，不符合题意． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆相关定义，判定，性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $