2026年湖南衡阳市衡阳县初中学业水平模拟考试（一）数学试卷

衡阳县2026年初中学业水平模拟考试（一） 数学 本试题卷共6页，时量120分钟，满分120分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形 码上的姓名、准考证号和相关信息； 报 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4.在草稿纸上、试题卷上作答无效； 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.下列各数中，比-3小的数是 A.1 B.0 C.-3 D.-4 救 2.如图是我们生活中常用的2号电池及其示意图，可以近似看作一个圆柱体上叠放着另一个 圆柱体，则其俯视图是 B C D 第2题图 3.据文化和旅游部数据中心测算，2026年清明节假期3天，全国国内出游约135000000人 次，同比增长6.8%.数据135000000用科学记数法表示为 A.1.35×106 B.13.5×10 C.1.35×108 D.0.135×109 童 4.下列计算正确的是 A.a+a'=a B.a3.a4=a2 C.a8÷a2=a6 D.(2a2)3=4a6 5.将不等式2x-1≥1的解集表示在数轴上，正确的是 -10 1 -10 -10 10 A B C 6.图①是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图②所示. 若AB∥CD,∠MAB=110°，则∠ADC的度数是 A.759 B.70 C.60 D.50 7.在平面直角坐标系中，若点P(-1,2)先向右平移再向下平移， 第6题图 则点P可能移动到的点的位置为 ( A.（-4,1) B.（-4,3) C.(4,3) D.(4,1) 数学试题 第1页（共6页） 8.今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋势不可挡”紧扣生肖马 的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进.在春晚主题的八个 字中，是左右结构字的概率为 ( R时 8 9.如图，在R△ABC中，∠C=90,分别以点A,B为园心，大于1B的长为半径作弧，两弧交 于点M,N,连接MN交BC于点D,连接AD.若CD=3,BD=5,则AB的长为 ( A.4W5 B.8 C.4√3 D.10 G y/cm D H 0.5 1x/cm ② 第9题图 第10题图 10.如图①，点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上，AE=BF=CG=DH=xcm,四边形 EFGH的面积为ycm2.已知y与x之间的函数图象如图②所示，则下列说法错误的是() A.AB的长为1cm B.四边形EFGH是正方形 C.四边形EFGH面积的最小值为0.5cm2 D.当0<x≤1时，y与x之间的函数表达式为y=2x2-x+1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.把正确答案直接写在答题卡对应题目的 横线上) 11.分解因式：2a-6ab= 12.若n为正整数，且满足n<√26<n+1,则n= 13.如图，P是反比例函数y=(h≠0)图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M,连接OP. 若△POM的面积为2，则k的值为 浮箭漏示意图 箭尺 一供水壶 箭 a 0 第13题图 第14题图 第15题图 14.如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD,CE交于点O,则∠BOC的度数为 15.《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭 尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭 尺读数计算时间，如图所示.某实验小组仿制了一套浮箭漏，并进行了测试.下表是实验 小组从上午7时开始记录的数据： 箭尺读数/cm 1 3.5 6 13.5 21 31 指示时间 7:00 8:00 9:00 12:00 ? 19:00 当箭尺读数为21cm时，指示时间应为 数学试题 第2页（共6页） 16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E,F分别在边AC,BC,AB上，已知DF⊥AB,DE 垂直平分CF (1)若∠A=18°，则∠EDF的度数为 (2)下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) D ①若D为AC的中点，则F为AB的中点； ②若连接EF,则四边形CDFE为菱形； B ③若=12.GE=13,则D的长为169 第16题图 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(6分)计算：(-1)026+√4--3引+ +2c0s60° 18.(6分)先化简，再求值： a2+1 王+2÷41，其中a=2马 19.(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，且AD=CD (1)求证：AB=BC; (2)连接OC,过点C作⊙O的切线与BD的延长线交于点E.若CE=CB=√3，求AB的长. C 第19题图 20.(8分)【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的 阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍， 【素材呈现】 素材一：有A,B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%； 素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的 3 【问题解决】 (1)求A,B两种书架的单价； (2)设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式及w的最小值， 数学试题第3页（共6页）】 21.(10分)为践行“健康第一”教育理念，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时， 丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某中学每天除了以课程方式安排1小时 的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间积极锻炼、增强体能.为了解该校七年级男 生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析. 【收集数据】 10093838751768363838576879065829670839572 【整理数据】 该校规定：x≤59为不合格，59<x≤75为合格，75<x≤89为良好，89<x≤100为优秀. (成绩用x表示) 等次 不合格 合格 良好 优秀 合计 频数（人数） 1 4 a 5 20 频率 0.05 0.20 0.50 0.25 1.00 【分析数据】 此组数据的平均数是81，众数是b,中位数是c 【解决问题】 (1)填空：a= ,b= ,C= (2)若该校七年级共有男生400人，估计体能测试达到优秀的男生有多少人； (3)体育老师对本次测试数据分析后，准备对成绩排在前一半的男生进行奖励.小林说： “我的测试成绩是82分，高于平均数，所以肯定会得到奖励.”你认为小林的说法是否 正确？请说明理由. 22.(10分)风凰古城是湖南十大文化遗产之一，沱江作为古城的母亲河，不仅承载着丰富的 历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客.为了促进古城旅游 业发展，古城文旅局计划在端午节期间举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地 还原古驿道寻宝路线.如图，已知打卡点C位于打卡点A正东方向2000米，打卡点D在打 卡点A的东北方向，打卡点B在打卡点A的南偏东60°方向，打卡点C在打卡点B的北偏 西15°方向，打卡点C在打卡点D的东南方向. (1)求打卡点B与打卡点C之间的距离； (2)比赛中，小衡从打卡点A出发，沿A→C→B向B点匀速奔跑；小阳从打卡点D出发， 沿D→A→B向B点匀速奔跑，且两人经过A,C两点均不停留.若两人同时出发，速度 相同，谁先到达B点？请通过计算说明 60 B 第22题图 数学试题第4页（共6页） 23.(12分)【问题背景】 数学活动课上，同学们每人画了一个矩形ABCD,然后剪了一个直角三角形纸片并记为 △CEF,∠G=90,华-C份将这个直角三角形纸片△CEF和矩形A8CD按图①摆放.使 两个图形的点C重合，点E在边BC上，点F在边CD上，将直角三角形纸片△CEF绕点C 顺时针旋转，观察图形的变化，完成探究活动。 【特例探究】 (1)如图②，沙沙同学画的矩形ABCD恰好是正方形，连接BE,DF,则线段BE,DF的数量 关系是 ,位置关系是 【问题解决】 (2)将图①中直角三角形纸片△CEF绕点C顺时针旋转，位置如图③所示，连接BE,DF, (1)中BE与DF的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓广探索】 (3)如图④，在矩形ABCD中，AB=27,在直角三角形纸片△CEF中，CF=2,CF=CD CE CB √3，将直角三角形纸片△CEF绕点C顺时针旋转，当D,E,F三点恰好依次在同一直 线上时，求BE的长 ② 第23题图 数学试题第5页（共6页） 24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴 交于点C,其中A(3,0),C(0,3) (1)求b,c的值； (2)D为第一象限内抛物线上一点，连接BD,与直线AC交于点E,若DE:BE=1:2,求点D 的坐标； (3)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶，点为P(m,n)(m>1),若点P仍在原抛物 线上，新抛物线与直线x=1交于点N,连接FP,PN,∠FPN=120°.探究新抛物线与 x轴是否存在两个不同的交点？若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说 明理由. Y Y木F E B B 0 0 第24题图 备用图 数学试题第6页（共6页）衡阳县2026年初中学业水平模拟考试（一） 数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 题号 1 3 6 7 P 10 答案 D B C B D C A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2a(1-3b) 12.5 13.-4 14.60° 15.15:00 16.(1)54°(2)①②③ 三、解答题（本大题共8小题，共72分) 17.(6分) 解：原式=1+2-3+4+2× 1 。 (5分) 2 =5. (6分) 18.(6分) 解：原式= a+1+2a a (a+1)(a-1) (2分) 0 (a+1) 。。。。。。。。。。。。。。。。。 (3分) a (a+1)(a-1) =a+1 。。。。。。。。。。。。。 a-1· (4分) 当2时，原式=a+1_2+1 =3. (6分) a-12-1 19.(8分) (1)证明：因为BD是⊙O的直径，所以∠BAD=∠BCD=90°. (1分) 所以∠ABD+∠ADB=90°，∠CBD+∠CDB=90°.… (2分) 因为AD=CD,所以∠ABD=∠CBD.所以∠ADB=∠CDB. (3分) 所以AB=BC (4分) (2)解：因为CE是⊙O的切线，所以OC⊥CE,即∠OCE=90.所以∠E+∠COE=90°.·(5分) 因为CE=CB,所以∠E=∠CBE, 因为OB=OC,所以∠OCB=∠OBC 所以∠COE=∠OCB+∠OBC=2∠OBC=2∠CBE. 所以∠E+∠COE=∠E+2∠CBE=3∠E=90°，解得∠E=30°.… (6分) 所以∠B0C=∠E+∠0CE=30°+90°=120°. 在Rt△OCE中，OC=CE-tan E=-5x51, 3 所以⊙0的半径为1. (7分) 所以BC=120m×122元 180 3 由(1)知AB=BC,所以AB的长为 (8分) 3 20.(8分) 解：(1)设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为1.2x元 根据题意，得18000_9000=6. (2分) 1.2xx 解得x=1000, 经检验，x=1000是所列分式方程的解，且符合题意.…(3分) 1.2x=1200. 答：A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为1000元.…(4分) (2)因为购买a个A种书架，所以购买(20-a)个B种书架 因为A种书架的数量不少于B种书架数量的子，所以Q心号 (20-a),解得a28. (5分) 3 根据题意，得1=1200a+1000(20-a)=200a+20000. (6分) 因为200>0，所以p随a的增大而增大. 所以当a=8时，1m取得最小值，最小值为21600. 所以w与a的函数关系式为1=200a+20000,1w的最小值为21600.…(8分) 21.(10分) 解：(1)10 ……… (1分) 83 (3分) 83 (5分) (2)400× =100(人). 20 答：估计该校七年级男生体能测试达到优秀的有100人. (7分) （3)小林的说法不正确。… (8分) 理由：得到奖励的男生成绩应该大于或等于中位数83分，小林成绩虽然高于平均数，但是小于中位数， 所以小林的说法不正确.…（10分) 22.(10分) 解：（1)如图，过点C作CE⊥AB于点E. (1分) 在Rt△4CB中，AC=2000米，∠CAB=90°-60°=30°，所以CE=1AC=1000米.…(2分) 在Rt△BCE中，∠CBE=60-15=45°，所以BC= CE =1000=1000V2(米)· sin∠CBEV2 2 答：打卡点B与打卡点C之间的距离为1000√2米.… (4分) 北 ·东 第22题图 （2)小衡先到达B点.…（5分) 由(1)知，小衡的路程为AC+BC=(2000+1000√2)米 如图，过点D作DF⊥AC于点F. 由题意可知∠DAC=∠DCA=45°，所以△ACD为等腰直角三角形. 在Rt△4CD中，AC=2000米，∠DC4=45,所以4D=AC-in∠DCA=2000x5=1000N2(米). (6分) 在Rt△1CB中，AC=2000米，∠CAB=90-60°-30，所以AB=AC-c09∠C4B=2000×3- 2 1000√5（米）.… (7分) 因为BE=CE=1000米，所以小阳的路程为AD+AB=(1000+1000√3+1000√2)米.：(8分) 因为2000+1000√2<1000+1000√3+1000√2，所以小衡先到达B点.…(10分) 23.(12分) 解：(1)BE=DF (2分) BE⊥DF (4分) (2)（1)中BE与DF的位置关系仍成立.…(5分) 证明：如图①，设DF与BC交于点L,延长DF交BE于点K. 因为四边形ABCD是矩形，所以∠BCD=90° 因为∠ECF=90°，所以∠BCD+∠BCF=∠ECF+∠BCF,即∠DCF=∠BCE.…(6分) 因为CC9所以△BCRADCE所议∠CBB=ZCDR…(⑦分 又因为∠KLB=∠CLD,所以∠BKL=∠DCL=90 所以BE⊥DK,即BE⊥DF 所以(1)中BE与DF的位置关系仍成立.… (8分) ① ② 第23题图 (3)如图②，连接BD 因为四边形ABCD是矩形，所以CD=AB=2√7，∠BCD=90° 因为CB=5,所以CB=5CD=2V2i.所以BD=VCB+cD=4万. (9分) CD 在Rt△CEP中，CF=2, 票-5，所以cg-6c25所以-g+c-4 同(2)可证得△BCB∽△DCR,所以BE=CE-CB=5.所以Dn=5BE …（10分) DF CF CD 所以DB=DN-BR=5BB-4. 3 (w-y 2 由(2)可知BE⊥DF,所以BE+DE2=BD2,即BE+ … (11分) 整理，得BE2-2√5BE-72=0,解得BE=6√5或BE=-4√3（舍去）. 所以BE的长为6√3. (12分) 24.(12分) 解：(1)将A(3,0),C(0,3)分别代入y=-x2+bx+c,得 〔-9+3b+c=0解得 b=2 C=3, c=3. 所以b的值为2，C的值为3.… (2分) (2)由(1)，得抛物线的表达式为y=-x2+2x+3. 令=0，得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.所以B(-1,0) …（3分) 因为A(3,0),C(0,3),所以直线AC的表达式为y=-x+3, 如图①，过点D作DM⊥OA于点M,过点E作EN⊥OA于点N,则∠DMB=∠ENB=90° 因为∠DBM=∠EBN,所以△DMB∽△EB所以DM_BM_BD (4分) EN BN BE 因为DB:BE=1:2,所以DB:BB=3:2所以D4BM_3 、ENBN2 设E,-13),则BN=什1，E=-t3. 所议aM-w-,aM:+.所以on+号所以Dn宁含n+) (6分) 1 2+22+2 所以D（2,3)或D(1,4).…（7分) ① ② 第24题图 (3)存在. …… (8分) 因为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,所以F(1,4) 如图②，过点P作PH⊥FN于点H,则H(1,n) 由题意可知平移后抛物线的表达式为y=-(x-)+. 将x=1代入y=-(x-m)2+,得w=-(1-m)+n 因为点P(m,n)在y=-(x-1)+4上，所以n=-(m-1)2+4.所以(m-1)2=4-n. 所以w=-（1-)2+n=-4++n=-4+2n.所以N(1,-4+2n). 因为F(1,4),N(1,-4+2n),H(1,n),所以FH=N=4-n.所以PF=PN 所以△PFN是等腰三角形. (10分) 因为∠FPN=120°，所以∠FPH=×120°=60°. 2 所以tan∠FPH-tanc60=E-4-n=V5.所以4-E5(m-1). HP m-1 将n=-(m-1)2+4代入4-F√5(m-1)，解得=1（舍去），m=3+1.所以P1+3,1) 所以平移后抛物线的表达式为一-(x-1-3+1.…。 (11分) 令y=0,则-(x-1-V3)+1=0,解得x1=2+V5,x=V3 所以k-x=2+3-V3=2. 所以新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2.…（12分)衡阳县2026年初中学业水平模拟考试（一） 数学 准考证号 考号 姓名 班级 0 0 0 ,答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真松 2 2 注 对条形码上的姓名、准考证号和考室： 正确 3 意 2.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示： 填涂 ! 条形码粘贴处 4 4 3.在草稿纸上，试题卷上答题无效： 5 5 5 事 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰，卡面清洁。 示例 正面朝上， 6 6 6 6 切勿贴出虚线方框 7 7 7 7 此方框为缺考考生标记，由监考员 7 考生禁填用2B铅笔填涂一☐ 8 8 8 回 9 9 9 9 9 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请用2B铅笔填涂） 12345 678910 四四四四四 团四四团四 面面固固 回回回回回 四四国 1C四 ▣四四 回回回回回 回回回回回 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请用0.5毫米黑色墨水签字笔作答） 11. 12. 13. 14 15. 16.(1) (2) 三、解答题（本大题共8小题，共72分，请用0.5毫米黑色墨水签字笔作答） 17.(6分)计算：(-1)+√4--3引+ +2c0s60°. 18.(6分)先化简，再求值： a2+1 .+2 a2-1 ÷ ,其中a=2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学答题卡第1页（共4页） 19.(8分) (1) D E C (2) 20.(8分) (1) (2) 21.(10分) (1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 数学答题卡第2页（共4页） 22.(10分) D 北 (1) 45 →东 60 (2) 23.(12分) (1) (2) ② B (3) ③ D E ④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学答题卡第3页（共4页） 24.(12分) (1) B (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 数学答题卡第4页（共4页）