精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2025年初中学业模拟考试数学试题卷

衡阳县2025年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 4. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形对角线互相平分 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 7. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 8. 如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 米，米 B. 米，米 C. 米，米 D. 米，米 10. 如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 分解因式：_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 13. 如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而_________．（填“增大”或“减小”） 14. 若关于的方程的一个根为，则__________． 15. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度． 16. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 17. 如图，直线 ，点C、A分别在 上，以点C为圆心，长为半径画弧，交l1于点B，连接．若，则的度数为______ 18. 定义：函数图象上到两坐标轴距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣． 21. 为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为_______． （2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； （3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 22. 如图，中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 23. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； （3）该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 24. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 25. 已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图，点E，F分别为线段、上动点（点E不与A，B重合），且，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）若点P在抛物线上，记，若满足条件的点P的个数有4个，求m的取值范围． 26. 如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． （3）设，，求y关于x的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县2025年初中学业水平模拟考试 数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 4．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数，解题的关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．据此解答即可． 【详解】解：实数的相反数是． 故选：B． 2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式运算法则，幂的运算法则，完全平方公式处理． 【详解】A. ，不符合运算法则，本选项错误，不符合题意； B. ，根据积的乘方运算法则处理，运算正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的运算、幂的运算法则、完全平方公式；熟练掌握相关法则是解题的关键． 4. 由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图．根据从前往后看,看到的图形就是主视图即可得到答案． 【详解】解：该几何体从前往后看，其主视图是 故选：B． 5. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系：“第三边大于两边之差小于两边之和”分别判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴能组成三角形，故此选项符合题意； D、∵， ∴不能组成三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊平行四边形性质及判定，即可求解， 本题考查了，特殊平行四边形的性质及判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，故A是真命题， 有三个角是直角的四边形是矩形，故B是假命题， 四条边相等的四边形是菱形，故C是假命题， 对角线相等的平行四边形是矩形，故D是假命题， 故选：A． 7. 估计的值在( ) A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，再估计的范围即可. 【详解】解：， . 故选：C. 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键. 8. 如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质及四边形内角和即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于A、B两点， ∴； ∵，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、四边形内角和，掌握这两个知识是关键． 9. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 米，米 B. 米，米 C. 米，米 D. 米，米 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：观察表中可知，出现了5次，次数最多， 运动员的成绩的众数为：米． 将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下： ，，，，，，，，，，，，，， 运动员的成绩的中位数是米． 故选：A． 【点睛】此题考查了众数和中位数，解题的关键在于熟练掌握众数（一组数据中出现次数最多的数）和中位数（将一组数据按照从小到大的顺序排列，若这组数据是奇数个，则中位数则是最中间的数，若这组数据是偶数个，则中位数是中间两个数的平均数）的概念． 10. 如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，设，根据菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理可得，，证明，即可得到答案． 【详解】解：设， 四边形为菱形， ，， 和为直角三角形，且， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， ， 在中，，， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，掌握关于原点对称的点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 13. 如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而_________．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，掌握对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键．先由待定系数法求出一次函数的解析式，再根据的符号判断增减性． 【详解】解：∵一次函数（k是常数，）的图象经过点， ∴， 解得：， ∴y值随x的增大而减小， 故答案为：减小． 14. 若关于的方程的一个根为，则__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，将代入方程，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，关于的方程的一个根为， 则将代入方程， 可得， 解得 ． 故答案为：5． 15. 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是_____度． 【答案】540 【解析】 【详解】【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和． 【详解】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°， 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与对角线，熟知n边形从一个顶点出发的对角线将n边形分成（n-2）个三角形是关键.这里体现了转化的数学思想. 16. 某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下： 使用寿命 灯泡只数 5 10 12 17 6 根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为______只． 【答案】460 【解析】 【分析】用1000乘以抽查的灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡所占的比例即可． 【详解】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为（只）， 故答案为：460． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确． 17. 如图，直线 ，点C、A分别在 上，以点C为圆心，长为半径画弧，交l1于点B，连接．若，则的度数为______ 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出是解答本题的关键．由作图得为等腰三角形，可求出，由l1l2得，从而可得结论． 【详解】解：由作图得，， ∴为等腰三角形， ∴ ∵∠BCA＝150°， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 18. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象和性质，正确理解“近轴点”的意义，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 依据题意，分两种情况：或，分别画图计算边界点可解答． 【详解】解：∵， ∴一次函数经过， 分两种情况： ①当时，如图1， 当时，， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； ②当时，如图2， 由①知：点A坐标为， ∵一次函数图象上存在“近轴点”， ∴， ∴； 综上，m的取值范围为：或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 20. 先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣． 【答案】5． 【解析】 【详解】分析：首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而可得答案． 详解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab， 当a=2，b=-时，原式=4+1=5． 点睛：此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值． 21. 为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图： 根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ②扇形统计图中的圆心角的度数为_______． （2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数； （3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率． 【答案】（1）①见解析；② （2）1120名 （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及扇形与条形统计图的知识，注意掌握扇形统计图与条形统计图的对应关系，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比； （1）①先根据小组人数及其所对应的百分比可得被调查的总人数，再根据5个兴趣小组人数之和等于总人数求出小组人数，从而补全图形； ②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可； （2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可； （3）画树状图列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，被调查的总人数为（人）， 所以小组人数为（人）， 补全图形如下： ②扇形统计图中的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问2详解】 （名）， 答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名； 【小问3详解】 画树状图为： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为． 22. 如图，在中，点E，F分别在，上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2），，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，证明四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形得出结论； （2）证明是等腰直角三角形，可得，然后再解直角三角形求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质以及解直角三角形，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件， （1）若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件； （2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元； （3）该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）230 （2）当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，根据题意知单价增加5元，则销量减少50件可得结果； （2）设销售单价为x元，则每件的销售利润为（x-30）元，每天可销售件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，可列出关于x的一元二次方程求解即可； （3）根据题意设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，可列出关于y的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即该吉祥物的当天利润不能达到3700元． 【小问1详解】 解：（件）． 故答案为：230． 【小问2详解】 解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得： ， 整理，得， 解得（不合题意，舍去），． 答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元． 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件， 依题意，得， 整理，得． 因为， 所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元． 24. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°． （1）求的长； （2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数） 【答案】（1）3m （2）塔的高度约为 【解析】 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴． 即的长为． 【小问2详解】 设， 在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． 如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 25. 已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D． （1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标； （2）如图，点E，F分别为线段、上的动点（点E不与A，B重合），且，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）若点P在抛物线上，记，若满足条件的点P的个数有4个，求m的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，线段的长度取得最大值． （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式求解参数即可得解析式，再根据顶点公式得顶点； （2）通过角度关系得到相似三角形，得到边长关系，再通过坐标求出各边长，代入相似对应边比例中，可得与的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； （3）先求出面积，再求出当点P在右边抛物线上时面积的最大值，根据三角形面积规律得到点P在左边一定有2个符合比值的位置，得到点P在右边抛物线上时也要有2个点符合比值，故得面积范围，得到比值m的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和， 代入得， 解得：， 抛物线的解析式为， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线，，顶点， ， ，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 所以， 因为， 所以当时，线段BF的长度取得最大值； 【小问3详解】 解：连接、、，作于点H， ， 当点在线段的右侧时，连、、， 设点， 又，， ， 当时，的面积的取最大值， 当点在的右侧时，的最大值； 要想使满足的点P有4个， 当点在的左侧时，可为任何值，故必有2个点能满足条件， 当点在的右侧时，必有2个点能满足条件，此时， ． 【点睛】本题考查二次函数综合计算题，与三角形面积综合题．处理代几综合题时，需要结合题目条件得到对应的几何结论，选择恰当的方法计算．在处理二次函数与三角形面积综合题时注意按照题目说法转化为可计算的式子． 26. 如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，求的面积． （3）设，，求y关于x的函数表达式． 【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，平分可求得，进而得到，由，可知，因此 ，进而可得，即可得证； （2）连接，可求得的值，根据平分得出，从而求得，可证得，从而得出，， 连接与交于H，求得，，再证明，从而，求得，进而求得结果； （3）连接，，可求得，根据表示出，从而得出，的值，根据平分，得出，从而表示出，不妨设，则，，从而得出，根据，得出，从而得出，进一步即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，连接， ∵是的直径， ∴， ，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接与交于H， ∵是的直径， ∴， ，， ∵，， ∴， ∴， ， ； 【小问3详解】 解：如图， 连接，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵平分， ∴， ∴， 不妨设，则，， ∴， 由（2）知：∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$