期末复习专题12 两点分布、二项分布。超几何分布、正态分布讲义【7大题型+强化训练】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题12 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 知识点1：两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是 知识点2：n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【注意】(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生 (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响 知识点3：二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 知识点4：超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X )＝np. 知识点5：正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 考点一 两点分布 考点二 二项分布的应用 考点三 超几何分布的应用 考点四 二项分布的概率最大问题 考点五 利用分布列解决实际问题 考点六 正态曲线的性质以及对称性求参数 考点七 正态分布的实际应用 考点一 两点分布 1．（25-26高二下·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 【答案】A 【分析】首先求的取值，再求其概率，最后代入期望公式. 【详解】由条件可知，，，， 所以. 2．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 【答案】/ 【分析】直接根据两点分布的期望公式计算即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，. . 3．（25-26高二下·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 【答案】B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 4．（25-26高二下·陕西榆林·期中）若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为服从两点分布，所以， 已知，可得，解得， 那么，则. 5．（25-26高二下·广西河池·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点分布概率和为1，列方程求解即可. 【详解】随机变量服从两点分布， . 6．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用全概率公式，由的值，得到的值，再由条件概率计算公式即可. 【详解】由于 服从两点分布，且 ， 因此. 由全概率公式得， 即， 所以， 由条件概率计算公式得. 故选：D 考点二 二项分布的应用 7．（25-26高二下·江苏南通·期中）校园歌手大赛设有轮独立打分环节，某选手每一轮获得“高分”的概率为，获得“普通分”的概率为．设表示该选手在轮中获得高分的轮数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断随机变量服从二项分布，再代入二项分布的方差公式计算即可. 【详解】由题意可知，轮打分环节相互独立，每轮获得高分的概率均为， 故随机变量服从参数为，的二项分布，即。 则，故A正确. 8．（2026·天津南开·模拟预测）2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________． 【答案】 /0.75 7.5// 【分析】根据对立事件的概率公式计算即可得该队员每次罚球的命中率；根据二项分布的均值公式即可求解平均命中次数． 【详解】设该队员每次罚球的命中率为， 则有，故（负值舍去）． 设该队员罚球10次，命中次数为，则， 因为， 所以该队员罚球10次，则平均命中次数为7.5． 9．（2026·重庆江北·模拟预测）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望； (2) ，元. 【分析】（1）结合题意可得服从参数为的二项分布，进而利用二项分布的概率公式计算概率，列出分布列，再通过二项分布期望公式计算期望； （2）根据题目给出的费用规则，建立与的线性关系式，利用数学期望的线性性质，代入的期望计算的期望. 【详解】（1）由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量，的所有可能取值为，可得对应概率为： ，， ，， 因此的分布列为： X 0 1 2 3 P 由二项分布期望公式得： （2）3个零件的基础检测费用为元，每发现1个不合格品额外支出25元， 因此总费用满足关系式：, 由期望的线性性质：, 即的数学期望为元. 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 3 ， 【分析】（1）借助对立事件概率公式，先计算两次翻牌均未翻出花色牌的概率，再用减去该概率得到甲获得精美礼品的概率. （2）先判断随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式求出各取值对应的概率，列出分布列，再套用二项分布的期望、方差公式完成计算. 【详解】（1）甲获得一份精美礼品的概率为. （2）由题意得， 则，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 ,. 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，有放回的取4次，每次取到黄球的概率为，每次取球相互独立，因此取到黄球的个数服从的二项分布，即，故A错误； 对于B，由二项分布概率公式得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D错误. 12．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）用全概率公式求出“一次回答问题，AI软件答对问题”的概率. （2）求出X的可能值及对应的概率，并列出分布列与期望 【详解】（1）设“一次回答问题，AI软件答对问题”，“选出语文问题让AI回答”， 依题意，，，，， 所以； （2）由（1）知，随机选取1道题让AI软件回答正确的概率为， 依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，， ， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 3 4 数学期望. 考点三 超几何分布的应用 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元，可能的情况有：3张100元，或2张100元，1张300元；或2张100元，1张500元；或1张100元，2张300元. 所以抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率为. （2）的可能取值为0，1，2，3，则， ， ， . 故的分布列为 0 1 2 3 所以或. 14．（25-26高二下·山西临汾·期中）某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据超几何分布求解即可. 【详解】由题可得服从超几何分布，且，，，所以． 15．（25-26高二下·重庆·期中）为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据超几何分布列出分布列，计算数学期望即可； （2）先求每轮答题中取得胜利的概率，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数. 【详解】（1）由题意可知的可能取值有， ，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以. （2）甲、乙两人在一轮竞赛中总共答对的题数为随机变量 Y ， 由题意可知，每人答 2 题，两人共答 4 题，每道题答对的概率均为,且各题答对与否相互独立， 因此 Y 服从二项分布，则他们在每轮答题中取得胜利的概率为： 设他们小组在轮答题中取得胜利的次数为，则，， 由，即，解得， 而，则，所以理论上至少要进行轮答题． 16．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】由求出，再分别由求出，由期望公式求出，最后由期望性质求出. 【详解】由题意可得，解得或（舍去）. 因为，， 所以， 则. 17．（2026·江苏扬州·三模）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 【答案】(1)的分布列为： 期望为1 (2) 【分析】（1）先确定随机变量的取值，再分别计算各取值对应的概率，最后列出分布列并求出期望； （2）方法一：利用概率乘法公式以及条件概率公式求解；方法二：利用古典概型概率公式以及条件概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意知，随机变量的取值为， 则，， ，， 所以的分布列为： 由，所以的期望． （2）记第次取出黑球为事件，第三次取出黑球后袋中没有黑球为事件． 方法一：， ， 所以． 方法二：，， 所以． 18．（25-26高二下·天津东丽·期中）一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个白球的概率； (2)若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列； (3)若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值. 【答案】(1) (2)的分布列为： 1 2 3 (3)的分布列为： 1 2 3 均值 【分析】（1）结合独立重复试验的概率公式计算即可计算即可. （2）判断的可能取值，并计算对应的概率，即可得到分布列. （3）判断的可能取值，并计算对应的概率，即可得到分布列，结合数学期望公式求解均值. 【详解】（1）有放回地随机摸球时，每次摸到白球的概率为， 所以恰好摸到2个白球的概率为. （2）的可能取值为1，2，3. ，，， 所以的分布列为 1 2 3 （3）的可能取值为1，2，3. ，，， 所以的分布列为 1 2 3 所以. 考点四 二项分布的概率最大问题 19．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则（，）取得最大值时，________． 【答案】6或7 【详解】由题意知，X服从二项分布，所以，且． 由不等式（且），得，解得． 所以当时，； 当时，， 因为当且仅当时，， 所以当或时，取得最大值． 20．（25-26高三下·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 【答案】(1)； (2)1013． 【分析】(1)求所有五位二进制数构成的集合中，0出现的次数大于2的概率，计算样本点，通过古典概型概率公式计算概率； (2)因为除第一个位置，其余每个位置出现的结果只有0或1两种可能，并且每一个结果出现都是独立的且概率为，故随机变量服从二项分布，可利用二项分布的概率公式计算． 【详解】（1）5位二进制数形如，由于每个有0，1两个取值， 所以全体5位二进制数总量为个．其中满足的二进制数有5个， 分别为，所以． （2）2026位二进制数首位数码为1，数码0独立且等可能出现在剩下的2025个数位上， 每个数位出现0的概率为，所以0出现的次数服从二项分布，即， 所以，所以， 记，则最大等价于最大： ， 所以，此时单调递增；，此时单调递减， 所以为最大值．综上，当取得最大值时求的值为1013． 21．（25-26高二下·山东青岛·期中）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D．当取最大值时，或2 【答案】ABD 【详解】，，选项A正确. ，选项B正确. ， ，选项C错误. ，，或时，取得最大值，D选项正确. 22．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型的概率计算公式求解即可. （2）先明确事件“”的概率最大的意义，结合二项分布的概率计算公式和数列的单调性以及组合数的计算，可求的最小值. 【详解】（1）设 “抽奖一次中奖”为事件，则. （2）设抽奖次数为，则（表示的整数部分）. 事件“”表示中奖次数为次，设表示中奖次数， 则. 因为事件“”的概率最大， 所以， 所以. 又，所以. 由，解得，即的最小值为. 23．（25-26高三下·江西·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 【答案】(1) 0 1 2 (2)或40或41 【分析】（1）由题意易得的所有可能取值为，算出对应的概率可得分布列，进一步得数学期望； （2）先得到从全校的学生中随机抽取1名学生，他喜欢春节联欢晚会的概率为，再由二项分布概率最大可列不等式求解. 【详解】（1）由，所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为7人和3人， 故的取值为， 则， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. （2）（i）由已知 ，女生有 100 人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为 70 人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为 90 人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， 令 ， 解得， 因为，所以或40或41. 24．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 考点五 利用分布列解决实际问题 25．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月13日，在第七个国际数学日即将来临之际，重庆育才中学的师生们共同策划了一场别开生面的“”庆祝活动，其中校园闯关活动的游戏规则如下：闯关问题按照难度分为基础类与挑战类，每类问题都存在若干数量，每名学生回答对基础类问题的概率为，回答对挑战类问题的概率为，且每名学生回答问题相互独立.若本次回答的是基础类问题，则下一次回答挑战类问题；若本次回答的是挑战类问题，则下一次等可能地回答基础类问题或挑战类问题，如此循环.每名学生均首次回答基础类问题，且只需答对一个问题即认为通过该项闯关活动. (1)若小明有三次答题机会，求小明未通过该闯关活动的概率； (2)若高中年级共有128名学生参加本次闯关活动，且每名学生有四次答题机会，设表示通过该闯关活动的人数，求的期望； (3)若不限制小明的答题次数，求小明最终以答对基础类问题通过该闯关活动的概率. 【答案】(1) (2)95 (3) 【分析】（1）根据条件可知，小明第一次回答基础题，第二次回答挑战类问题，第三次等可能的回答基础或挑战问题，再根据独立事件概率公式求解； （2）首先求解每名学生四次答题失败的概率，再根据对立事件概率公式求闯关成功的概率，最后根据二项分布求期望； （3）首先设和为首先回答基础类问题开始或首先回答挑战类问题开始，且最终回答基础类问题通过活动的概率，再列出关于和的方程组，即可求解. 【详解】（1）设小明三次答题均未通过活动为事件， 则. （2）设每名学生四次均未通过活动为事件， 则，，   由题意可得，           所以. （3）设为首先回答基础类问题开始，且最终回答基础类问题通过活动的概率；为首先回答挑战类问题开始，且最终回答基础类问题通过活动的概率， 由全概率公式可得：，           ，           由上式可得，， 所以小明最终通过答对基础类问题通过活动的概率为. 26．（25-26高二下·河北石家庄·期中）某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 (1)证明：X为奇数． (2)求 (3)试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)是定值，定值为3. 【分析】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或，即每轮的奇偶性改变一次，实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始，设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，，则或，从而得到 或，得到证明. （2）列出或，解得的值，求出． （3）列出方程组，通过计算得到，由得到，从而得到，从而得到结论. 【详解】（1）初始诱变强度等级，每轮筛选变化或， 即每轮的奇偶性改变一次， 实验终止时，（偶数）或（偶数），而初始， 设实验终止时种子经历了次达标，次不达标，， 则或， 则或，所以或， 因为为整数，所以为奇数． （2）由或，解得或， 所以 ． （3）当为奇数时，是定值，定值为3. 理由如下： 依题意可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，即，所以当为奇数时，是定值，定值为3. 27．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 28．（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 29．（2026·湖北武汉·三模）某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； (3)记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 【答案】(1) (2)当能被整除时，和；当不能被整除时，；（表示的整数部分） (3)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用对立事件概率公式计算至少参加一次的概率； （2）由题意求出的组合表达式，再通过解不等式，确定，进而找到取最大值对应的m； （3）（i）结合超几何分布的期望公式即可求得；（ⅱ）利用服从超几何分布的离散型随机变量的方差的性质，求的，再通过不等式放缩证明结论. 【详解】（1）设社团“星火社”至少参加一次博览会为事件M，则； （2）当时，同时收到两次邀请的社团数为， 仅收到周一或仅收到周三邀请的社团数均为， 则由乘法计数原理知事件所含基本事件数为， 此时， 令，即得， 解得， 则当能被整除时， 在和处取得最大值， 当不能被整除时，在处取得最大值； （表示的整数部分） （3）记“某社团参加周一的博览会”为事件A，“某社团参加周三的博览会”为事件B， 记两次都参加的社团数，则，S满足超几何分布， （i）； （ii）证明：， 所以 . 30．（25-26高二下·福建莆田·期中）莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 【答案】(1) (2)随机变量的分布列为 0 1 2 3 (3) 【分析】（1）根据题意，设出事件，结合全概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）设表示“合格”学生人数，表示“总得分”，得到，且，结合期望的性质，即可求解. 【详解】（1）解：设事件“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数超过30”， 则“抽取1名学生，该学生平均每月坚持跑步的次数不超过30”， 设事件“抽取1名学生，该学生体测成绩达到‘及格’等级”， 由全概率公式，可得， 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生体测成绩达到“及格”等级的概率为； （2）解：根据题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 所以期望为. （3）解：设表示“及格”学生人数，表示“总得分”, 则变量，其中， 所以，则. 考点六 正态曲线的性质以及对称性求参数 31．（25-26高二·全国·暑假作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【详解】由题图可知甲曲线关于直线对称，乙曲线关于直线对称， ∴，，故A，C正确； ∵甲曲线比乙曲线更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； ∵乙曲线的峰值为1.99，即，∴，故D错误． 32．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【详解】依题意得， 所以. 33．（25-26高二下·山东潍坊·期中）已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 34．（25-26高二下·陕西商洛·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】B 【分析】根据正态曲线的对称性求解. 【详解】已知，正态曲线关于均值对称， 根据对称性，； 所以. 35．（25-26高二下·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 【答案】C 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 36．（25-26高二·全国·暑假作业）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合对曲线形态的影响，逐一分析各选项的概率关系. 【详解】设随机变量，其正态曲线关于直线对称. 区间关于对称且长度固定，越小，曲线越“瘦高”， 数据在均值附近越集中，因此越大，A正确. 由对称性，，B正确. 区间与关于对称， 故， C正确. 区间与长度均为0.3， 但前者关于的对称区间为，与不重合， 两区间不关于对称，故概率不相等，D错误. 37．（河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题）设随机变量，若，且，则________. 【答案】0 【详解】根据正态曲线的对称性可得，，故， 所以，解得. 38．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，， 则原不等式转化为， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此 考点七 正态分布的实际应用 39．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 【答案】(1)0.8186 (2)学校能顺利实施方案二． 【分析】（1）用各组中点值算出样本平均数，再利用正态分布的性质求解； （2）算出方案1，方案2的总补助，比较即可得出答案.. 【详解】（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575． ， 根据要求，， 由题知， 所以，，，， 因此 ． （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元； 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，， ， ， ， 元， 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且， 所以方案二比方案一支出高，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二． 40．（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)32 (2)8186 (3) 0 1000 2000 3000 4000 ，1100 【分析】（1）利用方差合并公式求方差即可； （2）由正态分布特殊区间的概率及其对称性求区间概率，进而估计区间人数； （3）由题意Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000，求出对应概率值，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）由题意，； （2）由题意，近似地服从正态分布，且，， 由于 ， 因此估计这些车主中满意度评分位于区间的人数为． （3）由题意，Y的所有取值为0，1000，2000，3000，4000， 顾客每次抽奖返还2000元现金的概率为， 顾客每次抽奖返还1000元现金的概率为， 顾客每次抽奖不返还任何现金的概率为， 则，， ， ，， 则的分布列为： 0 1000 2000 3000 4000 所以. 41．（2026高三·全国·专题练习）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 【答案】(1)70.5 (2)人 (3) 【分析】（1）代入平均数公式求解； （2）首先根据参考数据计算，再计算人数； （3）根据（2）的结果，转化为二项分布求概率. 【详解】（1）由题意知：， 4000名考生的竞赛平均成绩为70.5． （2）依题意服从正态分布，其中，，， 服从正态分布， 而， ． ∴竞赛成绩超过84.81的人数估计为（人）人． （3）全市参赛考生成绩不超过84.81的概率．而， ． 42．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）不需矫正速度的概率，即车速保持在之间的概率，根据正态分布的性质及参考公式求出相应概率即可； （2）根据题意可知服从二项分布，根据表格可求出需要矫正速度的车辆的频率（即概率），进而根据二项分布的概率公式和方差可求解. 【详解】（1）由知. 因为， 所以，， 所以， 所以从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率为. （2）由题意可知，需要矫正速度的车辆数的取值为，且车速在之外的车辆需要矫正速度， 由表可知不需要矫正速度的概率，需要矫正速度的概率（也可以通过计算）. 因为以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率， 所以， 所以， 即，，，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 所以的方差. 43．（2026·河南·模拟预测）（多选）我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用正态分布的对称性与区间概率计算，并利用期望与方差的线性性质计算 和即可. 【详解】对于A，由题意得 ，故A错误； 对于B，由题意得， ，故B正确； 对于C，由题意得， ，故C正确； 对于D，由题意得， 即，故D正确. 44．（2026·浙江·三模）信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2) (3)次密钥分发中，“最优传输”的次数约为 【分析】（1）根据两个信道工作相互独立，利用独立事件同时发生的概率乘法公式，将量子信道成功概率与经典信道匹配概率相乘，即可得到单次有效密钥分发成功的概率； （2）单次有效密钥分发成功的概率固定，次独立重复试验中成功次数服从二项分布，直接套用二项分布数学期望公式计算即可； （3）先由正态分布参数算出均值与标准差，将 “准确率不低于” 转化为正态分布中的概率，利用正态分布的对称性和，求出对应概率后乘以总次数，估算出“最优传输”的次数． 【详解】（1）设 “量子信道成功密钥生成”为事件，“经典信道完成信息匹配” 为事件， 由题意得，，且与相互独立， 所以该系统单次有效密钥分发成功的概率； （2）由题意得，，所以； （3）由题意得，，则，， 因为“最优传输”要求，即， 所以， ， 所以次密钥分发中，“最优传输”的次数约为． 1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）若随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量X服从两点分布，所以. 2．（25-26高二下·浙江台州·期中）已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】因为随机变量， 则. 3．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的性质求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 4．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得随机变量服从超几何分布， 所以，故可得. 5．（25-26高二下·重庆·期中）设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 【答案】A 【详解】因为， 所以， 设，则，又， 所以， 因为，所以， 解得，所以. 6．（25-26高二下·上海·期中）设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】通过观察图象中对称轴的位置和曲线的形状即可判断 和 的大小关系. 【详解】 由图可知，曲线 的对称轴在 轴左侧，即 ； 曲线 的对称轴在 轴右侧，即 ，所以 ； 又因为曲线 比曲线 更“瘦高”，说明 更小，即 ，因此A正确. 7．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）（多选）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据学生的体育成绩，求得期望和方差，再结合正态分布曲线的对称性，求得相应的概率，即可求解. 【详解】由题意知，学生的体育成绩， 可得期望，方差， 即，，故A、B正确； 由，， ， 所以，故D正确； 因为， 所以， 即，故C错误. 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，所以，故A正确； 因为，且， 所以，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断4次取球的总分数服从二项分布，再利用二项分布的概率、期望、方差公式逐一判断选项即可. 【详解】从袋子中有放回地随机取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，故随机变量服从二项分布， 又取到黑球记1分，取4次球的总分数，即为取到黑球的个数，则，故A正确； ，故B错误； 因为，所以，故C正确； 又因，故D正确. 10．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（   ） A． B． C．的数学期望 D．随机变量的方差 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到的可能取值为，结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得，结合选项，即可求解. 【详解】由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1， 且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立， 对于A，若，即各位数字都是，所以，所以A不正确； 对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以，所以B正确； 对于C，由随机变量，可得的可能取值为， 则，，， ，， 可得随机变量服从二项分布，所以，所以C正确； 对于D，由随机变量服从二项分布，可得， 设，可得，即，所以D正确. 11．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知随机变量，若，则________． 【答案】 【分析】先依据二项分布的方差公式计算，再结合方差的线性运算性质推导的值. 【详解】 已知随机变量，即服从参数为，的二项分布， 根据二项分布的方差公式，可得， 根据方差的线性运算性质，可得， 即，解得. 12．（25-26高二下·上海·期中）在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 【答案】/ 【分析】利用正态分布的对称性来求解不同区间的概率. 【详解】由题意可得，所以正态分布关于对称， 由对称性可知，， 又易知，所以. 13．（25-26高二下·重庆·期中）某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图． (1)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； (2)以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 【答案】(1) 0 1 2 (2) 或 (3)估计获得“纪念证书”的学生人数为人；竞赛成绩为分的学生能获得“先锋证书”． 【分析】（1）先按照分层抽样求出在的人数为2，则的可能取值为0，1，2，再求出对应的概率即可； （2）随机抽一名学生，求出成绩在的概率，再利用独立重复试验的概率公式，列出不等式求解作答. （3）由频率分布直方图求出平均数可得，由正态分布的概率特征即可求解. 【详解】（1）由题参加座谈的11人中，得分在的有人， 所以的可能取值为0，1，2， 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 （2）用频率估计概率，竞赛成绩在内的概率， 则， ． 令，解得，当且仅当时取等号，即， 当时，，当时，， 所以当或，最大． （3）由频率分布直方图估计这100名学生得分的平均数为 ， 所以取，由已知，，. 由题可知， 所以获得“参赛纪念证书”的学生人数约为：人， ，所以竞赛成绩为91分的学生能获得“先锋证书”． 14．（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得； （2）直接根据频率分布直方图求平均数可得； （3）根据题意可知随机变量，再由二项分布的性质可得分布列及数学期望. 【详解】（1）由题知，，解得. （2）设为样本数据的平均数， 则， 故这组样本数据的平均数为. （3）设表示在这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 因为以频率估计概率，所以， 因此，随机变量，的所有可能取值为， 则，， ， ， 的分布列为： 随机变量的数学期望. 15．（25-26高二下·山西朔州·期中）某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 【答案】(1)（i）分布列见解析；（ii） (2)应扩建甲车间 【分析】（1）（ⅰ）写出X的所有可能的取值，分别求出其概率，列出分布列即可. （ⅱ）根据全概率公式及条件，分析求解，即可得答案. （2）分别求出甲、乙车间的平均获利，比较即可得答案. 【详解】（1）（ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2. ，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 P （ⅱ）用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则，， ， . . （2）估计甲车间加工100个零件可以出厂销售的有81个， 甲车间加工100个零件的平均获利为（元）， 估计乙车间加工100个零件可以出厂销售的有76个， 乙车间加工100个零件的平均获利为（元）， 因为，所以应扩建甲车间. 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. (1)求； (2)记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）求:需分析的比赛过程，即前两球各得1分，后两球连胜，分别计算概率再相乘. （2）为甲胜，即两球甲全胜，为甲胜，因无法领先2分，概率为0， 先分析比赛过程，得到，然后求出即可. 【详解】（1）由题可得：事件“”表示在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或均由乙得分， （2）①由题意可知， 事件“且甲获胜”为不可能事件，所以. ②由比赛规则可知： 当时，事件“且甲获胜”为不可能事件，则， 当时，事件“且甲获胜”，就是在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球， 且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第个球均由甲得分；记“比赛2球结果为平局”为事件B，则. 则， 又，. 综上， . 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 两点分布、二项分布、超几何分布、正态分布 知识点1：两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝ 如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示． X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0—1分布． 【注意】随机变量X只取0和1，才是两点分布，否则不是 知识点2：n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 【注意】(1)每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生 (2)每次试验在相同的条件下进行且各次试验中的事件互不影响 知识点3：二项分布 1．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X )＝np，D(X )＝np(1－p)． 【注意】(1)由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1 (2)两点分布与二项分布的关系：两点分布是只进行一次的二项分布 二项分布问题的两个关注点 (1)判断：关键有两点，一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． (2)参数意义：X～B(n，p)中，n为试验次数，p为成功概率． (3)公式用途：公式P(X＝k)＝pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)是求n重伯努利试验发生k次的概率． 知识点4：超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 【注意】(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件” (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型 判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法 (1)总体是否可分为两类明确的对象． (2)是否为不放回抽样． (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数． 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E＝p，即E(X )＝np. 知识点5：正态曲线及其特征 1．我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X )＝μ，D(X )＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：∀x∈R，f (x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的区域的面积为1． (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当参数σ取固定值时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当参数μ取固定值时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，正态曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 【注意】正态曲线始终位于x轴上方，且与x轴所围成的图形的面积为1 利用正态分布的性质求概率 (1)三个特殊区间内取值的概率 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (2)3σ原则 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在区间[μ－3σ，μ＋3σ]以外取值的概率大约只有0.002 7，几乎不可能发生．它在产品检查、质量检验中起着重要的作用． 考点一 两点分布 考点二 二项分布的应用 考点三 超几何分布的应用 考点四 二项分布的概率最大问题 考点五 利用分布列解决实际问题 考点六 正态曲线的性质以及对称性求参数 考点七 正态分布的实际应用 考点一 两点分布 1．（25-26高二下·山西·期中）在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？（    ） A．0.8 B．0.64 C．0.2 D．0.16 2．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则__________. 3．（25-26高二下·吉林·期中）篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 4．（25-26高二下·陕西榆林·期中）若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广西河池·期中）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 考点二 二项分布的应用 7．（25-26高二下·江苏南通·期中）校园歌手大赛设有轮独立打分环节，某选手每一轮获得“高分”的概率为，获得“普通分”的概率为．设表示该选手在轮中获得高分的轮数，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·天津南开·模拟预测）2025年天津市南开中学斩获天津市首届市直属中学篮球联赛冠军，2026年又卫冕成功，第二次夺得冠军．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________，若该队员罚球10次，则平均命中次数为____________． 9．（2026·重庆江北·模拟预测）某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 10．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某翻牌游戏，规则如下：每一轮翻牌两次，每次翻出花色牌的概率为，且每次翻牌相互独立.若参与者在一轮翻牌游戏中，翻出的花色牌数不少于1，则获得一份精美礼品（多次参与可获得多份精美礼品）. (1)若甲参与一轮翻牌游戏，求甲获得一份精美礼品的概率； (2)若乙参与三轮翻牌游戏，设乙获得的精美礼品数量为，求的分布列与期望、方差. 11．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）一个袋子中有10个大小相同的球，其中4个黄球，6个白球，从中随机有放回的取4次，每次取1球，记取到黄球的个数为，则下述正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）某公司对其开发的AI软件进行测试，拟定让AI软件随机从指定题库中回答几道语文和数学问题，题库中语文与数学问题题数比例为，现经过测试得到测试数据，AI软件答对语文问题的概率为，AI软件答对数学问题的概率为. (1)若从该指定题库中随机选取1道题让AI软件回答，求AI软件回答正确的概率； (2)若从该指定题库中随机选取4道题让AI软件回答，且4道问题是否答对相互独立，设表示AI软件回答正确的题数，求的分布列与期望. 考点三 超几何分布的应用 13．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个彩票盒中装有15张刮开前外表相同的彩票，其中奖金为500元的一等奖彩票有4张，奖金为300元的二等奖彩票有5张，奖金为100元的三等奖彩票有6张，从中随机抽出3张彩票. (1)求抽出的3张彩票的奖金总金额不高于700元的概率； (2)记表示抽出3张彩票中三等奖彩票的张数，求的分布列和数学期望. 14．（25-26高二下·山西临汾·期中）某校高三年级共有12个班级，其中有4个班级被评为先进班集体，现从这12个班级中随机选出5个班级，设选出的5个班级中有X个班级被评为先进班集体，则（     ） A． B． C． D． 15．（25-26高二下·重庆·期中）为响应年青少年拔尖创新人才培养计划，某高校面向全市中学选拔优秀学生，开设数学、物理、化学、信息技术四门学科科研夏令营活动． (1)若数学组的名学员中恰有人来自同一中学，从这名学员中选取人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望； (2)在学营开幕式的晚会上，数学组举行了一次学科知识竞答活动．规则如下：两人一组，每人答题，答对不少于题则获胜，假设每轮答题结果互不影响．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率都为，如果甲、乙两位同学想在此次竞答活动中取得轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？ 16．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知盒子中装有个红球和2个白球，从中任取3个球（取到每个球都是等可能的），用随机变量表示取到的红球个数，的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A．4 B．5 C．6 D．9 17．（2026·江苏扬州·三模）有一个袋子中装有4个红球，2个黑球，现每次从袋子中随机取出一个球，连续取三次． (1)若每次取出的球放回，记取出黑球的次数为，求的分布列和期望； (2)若每次取出的球不放回，已知第三次取出的是黑球，求此时袋中没有黑球的概率． 18．（25-26高二下·天津东丽·期中）一个袋子里有8个大小相同的球，其中有黄球2个，白球6个. (1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个白球的概率； (2)若不放回地从袋中随机摸出3个球，用表示样本中白球的个数，求的分布列； (3)若每次随机摸取出一个球，不放回，用表示首次摸出白球时，已经摸出的球数（最后摸出的白球也算在内），求的分布列和均值. 考点四 二项分布的概率最大问题 19．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则（，）取得最大值时，________． 20．（25-26高三下·重庆·阶段检测）随着AI技术的发展，计算机科学受到越来越多的人关注，计算机内部数的计算采用的是二进制．一般地，k位二进制数可以表示为，其中，并约定，比如全体3位二进制数构成的集合为．设全体位二进制数构成的集合为，其中正整数，从集合中等可能地取出一个二进制数，设这个二进制数中数码0出现的次数为． (1)若，求概率； (2)若，记的概率为，当取得最大值时，求的值． 21．（25-26高二下·山东青岛·期中）（多选）已知，且，则（    ） A． B． C． D．当取最大值时，或2 22．（2026·福建泉州·模拟预测）某商场举行五一节优惠活动，顾客每消费满100元可抽奖一次.抽奖规则如下：箱中共有4个红球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，顾客每次随机摸出3个球，若摸出的红球不少于2个则中奖，否则不中奖.各次抽奖互不影响. (1)求抽奖一次中奖的概率； (2)商场规定每中奖一次，返现10元.设某顾客在活动期间消费元，按规定返现元.若事件“”的概率最大，求的最小值. 23．（25-26高三下·江西·阶段检测）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有． (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为X．求X的概率分布列和期望； (2)将样本的频率视为概率．现从全校的学生中随机抽取n名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为Y，且当时，取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数n． 24．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 考点五 利用分布列解决实际问题 25．（2026·重庆·模拟预测）2026年3月13日，在第七个国际数学日即将来临之际，重庆育才中学的师生们共同策划了一场别开生面的“”庆祝活动，其中校园闯关活动的游戏规则如下：闯关问题按照难度分为基础类与挑战类，每类问题都存在若干数量，每名学生回答对基础类问题的概率为，回答对挑战类问题的概率为，且每名学生回答问题相互独立.若本次回答的是基础类问题，则下一次回答挑战类问题；若本次回答的是挑战类问题，则下一次等可能地回答基础类问题或挑战类问题，如此循环.每名学生均首次回答基础类问题，且只需答对一个问题即认为通过该项闯关活动. (1)若小明有三次答题机会，求小明未通过该闯关活动的概率； (2)若高中年级共有128名学生参加本次闯关活动，且每名学生有四次答题机会，设表示通过该闯关活动的人数，求的期望； (3)若不限制小明的答题次数，求小明最终以答对基础类问题通过该闯关活动的概率. 26．（25-26高二下·河北石家庄·期中）某农科院针对高产抗病水稻开展了太空诱变筛选实验，所有实验相互独立，实验规则如下： 1．诱变强度量化：将种子的基因损伤修复效率对应为诱变强度等级（记为S），等级范围为0至6． 2．初始状态：选取遗传稳定的“优等”种子，初始诱变强度等级． 3．每轮筛选：对种子进行太空辐射模拟和地面性状检测，达标（修复效率提升）则S增加1，不达标（修复效率下降）则S减少1． 4．终止条件：当S=6时，种子获得稳定有益突变（记为“实验成功”）；当时，种子基因损伤不可逆（记为“实验失败”）． 5．概率设定：每轮筛选达标概率为，不达标概率为 记实验终止时的筛选轮次为X．对任意正整数n，定义：第n轮筛选后，的概率为第n轮筛选后，的概率为 (1)证明：X为奇数． (2)求 (3)试问当n为奇数时，是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由 27．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 28．（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 29．（2026·湖北武汉·三模）某中学共有个社团，学校计划在周一和周三各举办一场社团博览会．每场博览会需随机邀请其中个社团参展（，为常数）．两场博览会的邀请工作独立进行，每次均从个社团中等可能地选取个不同的社团．记至少参展过一场博览会的社团总数为． (1)求社团“星火社”至少参加一次博览会的概率； (2)求使概率取得最大值的整数的值（用，表示）； (3)记随机变量的数学期望为，方差为； （ⅰ）求； （ⅱ）证明：． 附：对服从超几何分布的离散型随机变量，即，有，． 30．（25-26高二下·福建莆田·期中）莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为． (1)若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记为抽取的3名学生中“及格”的人数，求的分布列和数学期望； (3)现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格"的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望． 考点六 正态曲线的性质以及对称性求参数 31．（25-26高二·全国·暑假作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为0.4kg B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 32．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知随机变量，且，则__________． 33．（25-26高二下·山东潍坊·期中）已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·陕西商洛·期中）已知随机变量，若，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 35．（25-26高二下·浙江台州·期中）某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．6636 B．8186 C．8400 D．9759 36．（25-26高二·全国·暑假作业）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 37．（河南省新未来2026届高三下学期5月测评数学试题）设随机变量，若，且，则________. 38．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 考点七 正态分布的实际应用 39．（2026·山东德州·三模）某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） (1)试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出增幅不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 40．（2026·辽宁大连·模拟预测）在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2025年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：（每组数据的平均数以该组区间的中点值为代表） 满意度评分 频数 10 15 20 30 15 10 (1)在抽取的样本中，若区间内数据的方差为5，区间内数据的方差为10，求区间内数据的方差； (2)根据频数分布表可以认为，该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数； (3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：若随机变量，则，，． 41．（2026高三·全国·专题练习）在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示．    (1)求这4000名考生的竞赛平均成绩．（同一组中数据用该组区间中点作代表）； (2)由直方图可认为考生竞赛成绩服从正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区4000名考生成绩超过84.81分的人数估计有多少人？ (3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求（精确到0.001）． 附：①，； ②，则，； ③． 42．（2026·四川成都·三模）成都市为疏导城市内的交通拥堵问题，现对三环路进行限速，经智能交通管理服务系统观测计算，通过三环路的所有车辆行驶速度近似服从正态分布，通过分析，车速保持在之间，可令道路保持良好的行驶状况，故认为车速在之外的车辆需矫正速度（速度单位：）. (1)从该三环路上观测到的车辆中任取一辆，估计该车辆不需矫正速度的概率； (2)某兴趣小组也对该三环路进行了观测，他们于某个时间段内随机对200辆车的速度进行取样，根据测量的数据列出下面表格： 车速 车辆数 8 若以该兴趣小组测得数据中的频率视为概率，从该三环路上的所有车辆中任取三辆，记其中需要矫正速度的车辆数为，求的分布列和方差. 附：若，则；. 43．（2026·河南·模拟预测）（多选）我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量服从正态分布，则，，） A． B． C． D． 44．（2026·浙江·三模）信息安全是互联网时代最重要的安全之一，我国自主研发的量子通信保密传输系统，依靠量子密钥分发实现信息安全传输，该系统采用量子信道和经典信道协同工作，某量子通信保密传输系统在单次密钥分发过程中，量子信道成功密钥生成的概率为，经典信道完成信息匹配的概率为，且两个信道工作相互独立．只有当量子信道密钥生成成功，且经典信道信息匹配成功，则本次有效密钥分发成功，否则本次有效密钥分发失败． (1)求该系统单次有效密钥分发成功的概率； (2)若该系统独立进行次密钥分发，记为有效分发成功的次数，求的数学期望； (3)科研人员对该系统连续传输的密钥准确率进行检测，发现密钥准确率（单位：）服从正态分布．若准确率不低于为“最优传输”，估算次密钥分发中，可用于“最优传输”的次数． 附：若，则，，． 1．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）若随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江台州·期中）已知随机变量，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高三下·山东日照·阶段检测）若随机变量，，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆渝北·期中）在5件工艺品中，有2件二等品，3件一等品，现从中抽取3件，设抽得二等品件数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期中）设，且，则（     ） A．0.3 B．0.35 C．0.4 D．0.45 6．（25-26高二下·上海·期中）设两个正态分布和的正态密度函数图像如图所示，则（     ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）（多选）某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（    ） 参考数据：若随机变量，则，，. A． B． C． D． 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）（多选）已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（   ） A． B． C．的数学期望 D．随机变量的方差 11．（25-26高二下·吉林长春·阶段检测）已知随机变量，若，则________． 12．（25-26高二下·上海·期中）在一次满分为100分的数学考试中，学生的数学成绩服从正态分布.已知，则从中任选一名学生的数学成绩超过90分的概率为_________. 13．（25-26高二下·重庆·期中）某市为了传承和发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次知识竞赛，现从中抽取100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：，，，，，，得到如下直方图． (1)从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记得分在的人数为X，试求X的分布列； (2)以样本的频率估计概率，从该市得分在中随机抽取200份学生成绩，用表示200份中恰有k份学生竞赛成绩在的概率，其中．当最大时，求k的值； (3)以样本估计总体，根据频率分布直方图，可以认为参加知识竞赛学生的得分X近似服从正态分布，经计算．若参赛学生得分X满足：，则可获得“纪念证书”；若参赛学生得分X满足：，则可获得“先锋证书”．已知该市共600名学生参加知识竞赛活动，试估计获得“纪念证书”的学生人数，并判断竞赛成绩为91分的学生能否获得“先锋证书”． 附：若，则，，． 14．（25-26高二下·四川德阳·阶段检测）某汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (3)当配件的质量指标值不小于分时，配件为“优秀品”，以频率估计概率.在这批产品中随机抽取件产品，随机变量表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求的分布列及数学期望. 15．（25-26高二下·山西朔州·期中）某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检. （ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列； （ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率. (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间. 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. (1)求； (2)记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $