期末复习专题11 条件概率与分布列的数字特征讲义【7大题型+强化训练】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

专题11 条件概率与分布列的数字特征 知识点1：条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 知识点2：概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 知识点3：互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 知识点4：全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 知识点5：贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 知识点6：随机变量的概念及分类 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 知识点7：离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点8：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X )＝p. 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平 知识点9：离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 知识点10：离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 离散型随机变量方差的线性运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 考点一 条件概率 考点二 全概率与贝叶斯公式 考点三 利用随机变量分布列的性质解题 考点四 利用随机变量的分布列求概率 考点五 求离散型随机变量的均值与方差 考点六 离散型随机变量的均值与方差的性质 考点七 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 考点一 条件概率 1．（25-26高二下·宁夏银川·期中）设，为两个事件，且，，则________． 2．（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件，满足，，则（     ）． A．事件，相互独立 B．事件，互斥 C． D． 5．（2026·河南安阳·模拟预测）（多选）投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（    ） A． B． C．事件和相互独立 D． 6．（2026·湖南·模拟预测）（多选）已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，则 D．若，则 考点二 全概率与贝叶斯公式 7．（25-26高二下·宁夏银川·期中）若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 8．（25-26高二下·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）盒子中有大小与质地相同的3个红球和5个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球2个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率为________． 10．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9，0.95，则小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为（   ） A．0.93 B．0.91 C．0.94 D．0.92 11．（2026高三·全国·专题练习）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为________． 12．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 考点三 利用随机变量分布列的性质解题 13．（25-26高二下·重庆·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．4 B．3 C．2 D．1 14．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 15．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·四川遂宁·期中）离散型随机变量的分布列如下表格，则（     ） 0 1 2 A． B． C． D． 考点四 利用随机变量的分布列求概率 17．（25-26高二下·广东茂名·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则（   ） 0 1 2 0.51 A．0.35 B．0.45 C．0.3 D．0.4 18．（25-26高二下·宁夏银川·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 19．（25-26高二下·河北沧州·期中）已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高二下·河北保定·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 考点五 求离散型随机变量的均值与方差 21．（25-26高二下·江苏南通·期中）甲、乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各抛掷质地均匀的骰子一次，向上点数大的一方得2分，小的一方得0分，点数相同时双方各得1分．若一方累计得分大于等于3分，则比赛结束．记比赛结束时，比赛的轮数为，则________，________． 22．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）（多选）小李每次射击的命中率为，他射击6次，且每次射击是否命中相互独立，设他最多连续命中的次数为X（若他6次均未命中，则；若他至少命中1次且未连续命中，则），则（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二下·河南郑州·期中）某台机床生产同一种零件，在小时内生产出的次品数为，其分布列分别为： 0 1 2 3 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差为______. 24．（25-26高二下·吉林长春·期中）离散型随机变量的分布列为 0 1 2 4 5 0.3 0.2 0.2 0.1 则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 考点六 离散型随机变量的均值与方差的性质 25．（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 26．（25-26高二下·北京平谷·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 3 P 0.16 0.44 0.40 则________，________. 27．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·重庆·期中）若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·广西河池·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表，则（    ） -1 0 1 A． B． C． D． 30．（2026·上海静安·三模）随机变量X的分布列如下：则________． X 1 2 P 考点七 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 31．（25-26高二下·吉林·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 5 P 若，则值为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 32．（25-26高二下·山东济宁·期中）随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（   ） A． B． C． D． 33．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 34．（25-26高二下·山东济南·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）随机变量的分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C．1 D．2 36．（25-26高二下·山西临汾·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A． B． C．， D．， 1．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知随机事件与满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河南·模拟预测）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·陕西榆林·期中）若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·北京·期中）若离散型随机变量的分布列如下所示，则的值为（   ） 1 2 A． B． C． D． 7．（25-26高二下·广西河池·期中）甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 8．（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 9．（2026·山东德州·三模）（多选）某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 10．（2026·河南·模拟预测）（多选）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）设事件A、B满足，，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与独立，则 D．若，则与独立 12．（25-26高二下·贵州遵义·期中）现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 13．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 14．（25-26高二下·陕西榆林·期中）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________． 15．（2026·江苏·二模）甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 16．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 条件概率与分布列的数字特征 知识点1：条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 知识点2：概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 知识点3：互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 知识点4：全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 知识点5：贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 知识点6：随机变量的概念及分类 (1)随机变量的概念 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． (2)随机变量的特点 ①取值依赖于样本点． ②所有可能取值是明确的． (3)随机变量的表示 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z. (4)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量． (5)离散型随机变量的特征 ①可用数值表示． ②试验之前可以判断其出现的所有值． ③在试验之前不能确定取何值． ④试验结果能一一列出． 知识点7：离散型随机变量的分布列 1．概率分布列 (1)概念：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． (2)表示：离散型随机变量的分布列可以用表格或图形表示． X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (3)性质：①pi≥0，i＝1，2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pn＝1． 知识点8：离散型随机变量的均值 1．离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X )＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y )＝E(aX＋b)＝aE(X )＋b． 2．两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X )＝p. 【注意】分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平 知识点9：离散型随机变量均值的性质 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值． (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可． 知识点10：离散型随机变量的方差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X )的偏差的平方(x1－E(X ))2，(x2－E(X ))2，…，(xn－E(X ))2. 因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X )的偏离程度，我们称D(X )＝(x1－E(X ))2p1＋(x2－E(X ))2p2＋…＋(xn－E(X ))2pn＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X )，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X )． 【注意】(1)方差也可以用公式D(X )＝计算 (2)随机变量的方差是非负常数 离散型随机变量方差的线性运算性质 1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X )． 2．D(c)＝0(其中c为常数)． 3．E(k)=k，D(k)=0，其中k为常数. 4．E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). 5．D(X)=E(X2)-(E(X))2. 6．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 考点一 条件概率 考点二 全概率与贝叶斯公式 考点三 利用随机变量分布列的性质解题 考点四 利用随机变量的分布列求概率 考点五 求离散型随机变量的均值与方差 考点六 离散型随机变量的均值与方差的性质 考点七 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 考点一 条件概率 1．（25-26高二下·宁夏银川·期中）设，为两个事件，且，，则________． 【答案】 【详解】由题知，，解得， 则 2．（25-26高二下·山西临汾·期中）甲、乙两人各自独立破译一个密码，甲、乙两人能译出这个密码的概率分别为，已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式可计算“密码被译出”的概率再用条件概率公式即可. 【详解】设“密码被译出”为事件，“甲译出密码”为事件，则， 已知该密码被译出，则甲译出密码的概率是． 3．（25-26高二下·江苏南京·期中）2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 4．（25-26高二下·上海·阶段检测）已知事件，满足，，则（     ）． A．事件，相互独立 B．事件，互斥 C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则， 则，故事件，相互独立，故A正确； 因为，所以事件，不互斥，故B错误； 题中未给出的值，故， 均未知，故CD错误. 5．（2026·河南安阳·模拟预测）（多选）投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（    ） A． B． C．事件和相互独立 D． 【答案】AD 【分析】由古典概率及条件概率的知识进行判断． 【详解】投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为的基本事件的总数有种， 对于选项A，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 共有种， 则，故A项正确； 对于B项，事件“”包含： 当时，有6种， 当时，有种， 当时，有种， 当时，有种， 共有种，所以，故B项错误； 对于C项，因为，， 则，故事件和不相互独立，故C项错误； 对于D项，， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 事件“且”包含：对每个，有都，有种， 求和：种， 所以， 因此且相同，故，故D项正确． 6．（2026·湖南·模拟预测）（多选）已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】选项A，，若，则，A正确. 选项B，若相互独立，则，根据和事件概率公式，B正确. 选项C，，.若，可得， 当时，则互斥，时，此时等式两边都为0，等式成立但，推不出，C错误. 选项D，，.已知， 代入得 ，消去后得，D正确 考点二 全概率与贝叶斯公式 7．（25-26高二下·宁夏银川·期中）若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂能将的患病者测出阳性，可能将的未患病者错误的测出阳性．现随机抽取该地区的一个被检者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（     ） A．0.0688 B．0.0198 C．0.049 D．0.05 【答案】A 【详解】测出阳性有两种可能，一种是阳性且试剂准确测出，一种是阴性但被误测为阳性， 概率为. 8．（25-26高二下·广西南宁·期中）某系列盲盒中有隐藏款、稀有款、普通款三种玩偶，从中随机抽取一盒，每盒必为其中一款.已知抽到隐藏款、稀有款、普通款的概率分别为、、，若抽到隐藏款、稀有款、普通款，则消费者给出好评的概率依次为、、. (1)求随机抽取一盒盲盒，消费者给出好评的概率； (2)若消费者未给出好评，求其抽到普通款的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用全概率公式，把三种款的概率与对应好评概率相乘再相加，即可得到结果； （2）先算出未给出好评的概率，再结合抽到普通款且未给出好评的概率，利用贝叶斯公式即可求得. 【详解】（1）设事件表示“抽到隐藏款”，表示“抽到稀有款”，表示“抽到普通款”， 事件表示“消费者给出好评”，事件表示“消费者未给出好评”. 根据题意，，两两互斥，且. 由题意得，，，，，. 由全概率公式，得， 所以消费者给出好评的概率为. （2）由（1）知，因此. 根据题意，得. 因为，，两两互斥，且， 由贝叶斯公式，得， 所以，若消费者未给出好评，其抽到普通款的概率为. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）盒子中有大小与质地相同的3个红球和5个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球2个，再从盒子中取1个球，则第二次取出的球是白色的概率为________． 【答案】/0.625 【分析】根据全概率公式求解可得. 【详解】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”， 则，所以， 由题可得，，，， 所以. 10．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）小张经常在某平台点外卖（他只选择甲、乙两家店），他点外卖选择甲店的概率为0.6，选择乙店的概率为0.4，甲、乙两家店的外卖准时送达的概率分别为0.9，0.95，则小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为（   ） A．0.93 B．0.91 C．0.94 D．0.92 【答案】D 【分析】考查全概率公式的运用，分析题意，把外卖准时送达事件分为两种情况，分别用概率中的乘法公式求解即可. 【详解】由全概率公式，得小张在这个平台点的外卖准时送达的概率为. 11．（2026高三·全国·专题练习）假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为________． 【答案】 【详解】用表示买到的电脑是甲厂生产的，表示买到的电脑是合格品. 则，，，. 由贝叶斯公式可知． ． 12．（2026·天津武清·模拟预测）芡实俗称“鸡头米”，是一种不可多得的养生良品，其通过开发可以产出芡实酒．已知A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的，不合格率分别为，现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为_____；若该瓶芡实酒是不合格品，则该瓶酒是B厂生产的概率为_____． 【答案】 【分析】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”，根据题意，第一个空，利用全概率公式，由求解，第二个空，利用贝叶斯公式求解； 【详解】设事件D表示“任取一瓶是不合格品”，事件A表示“产品A厂生产的”，事件B表示“产品B厂生产的”，事件C表示“产品C厂生产的”， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，加工量分别占总量的， 所以， 因为A，B，C三家酒厂同时生产一批芡实酒，不合格率分别为， 所以不合格率分别为， 现从这批产品中任取一瓶芡实酒，则该瓶酒是不合格的概率为： ， ； 由贝叶斯公式得：， 故答案为：， 考点三 利用随机变量分布列的性质解题 13．（25-26高二下·重庆·期中）下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可得，解得． 14．（25-26高二下·广西贵港·期中）已知离散型随机变量X的分布列如表所示． X 0 1 2 P 0.36 则常数q的值是（   ） A．1.8或0.2 B．1.8 C．0.2 D．0.4 【答案】C 【详解】因为概率和为1，所以， 化简得，解得或， 又因为，概率不能为负数，故. 15．（25-26高二·全国·暑假作业）已知，随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知. 16．（25-26高二下·四川遂宁·期中）离散型随机变量的分布列如下表格，则（     ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分布列的性质求得，进而求得正确答案. 【详解】由，解得， 所以. 考点四 利用随机变量的分布列求概率 17．（25-26高二下·广东茂名·期中）下表是离散型随机变量的分布列，则（   ） 0 1 2 0.51 A．0.35 B．0.45 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【详解】由题可知，，解得或， 当时，，，不满足题意，舍去， 故，则. 18．（25-26高二下·宁夏银川·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列为 1 2 4 6 0.2 0.1 则下列选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A不正确； 对于B中，若，可得，则，故B正确； 对于C中，由概率的定义知，所以C不正确： 对于D中，由，则，所以D正确． 19．（25-26高二下·河北沧州·期中）已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由随机变量分布列性质得：，解得， 所以． 20．（25-26高二下·河北保定·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如下表所示，其中，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据分布列的性质判断A；结合概率的加法公式及不等式的性质判断BCD. 【详解】由题意知，，，故A正确. ，. 因为，则，，， 所以，，，故B正确，CD错误. 考点五 求离散型随机变量的均值与方差 21．（25-26高二下·江苏南通·期中）甲、乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各抛掷质地均匀的骰子一次，向上点数大的一方得2分，小的一方得0分，点数相同时双方各得1分．若一方累计得分大于等于3分，则比赛结束．记比赛结束时，比赛的轮数为，则________，________． 【答案】 【分析】先利用古典概型概率公式算出每轮比赛中甲、乙获得2分与双方平局的概率，分析推得的可能取值为2，3，根据，包含的不同情况，利用互斥事件的概率加法公式求出其概率，再由期望公式计算即得. 【详解】依题意，在每轮掷骰子比赛中，甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，总的情况有中， 其中甲获得2分的概率为，同理乙获得2分的概率也为，甲乙各得1分的概率为. 当一方累计得分大于等于3分，则比赛结束，结束时比赛轮数为. 依题意，的可能取值为2，3.若2轮比赛结束，则说明2轮后至少一方得分大于等于3分比赛结果与得分情况如下表： 2轮结果 甲得分 乙得分 概率 甲连胜2轮 4 0 乙连胜2轮 0 4 1轮甲赢+1轮平局 3 1 1轮乙赢+1轮平局 1 3 故； 若前2轮未结束，先计算前2轮未结束的情况（2轮后双方得分均小于3）包括： ①2轮平局，各得2分，概率为；②一轮甲赢+一轮乙赢，各得2分，概率为， 故前2轮未结束的总概率为； 因双方前2轮均为2分，则第3轮无论结果如何，必然至少有一方得分大于等于3（甲赢则甲4分，乙赢则乙4分，平局则甲乙均3分），即第3轮必然结束，即. 故. 22．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）（多选）小李每次射击的命中率为，他射击6次，且每次射击是否命中相互独立，设他最多连续命中的次数为X（若他6次均未命中，则；若他至少命中1次且未连续命中，则），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分析题意得出总事件个数为个，对于选项AD根据选项条件分析各个选项包含的事件个数，运用古典概型求解即可；对于选项B，可用求解；对于选项C，正常求离散型随机变量的期望即可. 【详解】用1表示命中，0表示未命中，则 .的样本点为111110、011111，则，A正确. 的样本点分为3类：1个1、5个0共有6个，2个1、4个0且2个1不相邻的有个， 3个1、3个0且3个1互不相邻的有个，共20个， 则.， 所以，B错误. ，C正确. 的样本点为111100、111101、011110、101111和001111，则. 的样本点分为4类：有4个，有2个，有2个，有4个，共12个，（a，b取值为0，1） 则，D错误. 23．（25-26高二下·河南郑州·期中）某台机床生产同一种零件，在小时内生产出的次品数为，其分布列分别为： 0 1 2 3 0.3 0.2 0.1 则随机变量的方差为______. 【答案】 【分析】根据题意，利用分布列的期望与方差的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由随机变量的分布列，可得， 所以. 24．（25-26高二下·吉林长春·期中）离散型随机变量的分布列为 0 1 2 4 5 0.3 0.2 0.2 0.1 则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质求出，结合数学期望及方差公式求解即可. 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质，得，解得. 所以，故AB错误. ，故C错误，D正确. 考点六 离散型随机变量的均值与方差的性质 25．（25-26高二下·天津静海·期中）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据分布列的性质求，再求，再代入期望公式求. 【详解】由条件可知，，得， ， 所以. 26．（25-26高二下·北京平谷·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 3 P 0.16 0.44 0.40 则________，________. 【答案】 1.32 7.64 【详解】； . 27．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 28．（25-26高二下·重庆·期中）若随机变量X服从两点分布，其中，、分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，的分布列为 则，，故A，C正确； ，故B正确； ，故D错误. 29．（25-26高二下·广西河池·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表，则（    ） -1 0 1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由题意，得，故，所以A正确； 根据离散型随机变量分布列的期望与方差的计算公式可得，，所以B正确； ，所以C不正确； ，所以D正确. 30．（2026·上海静安·三模）随机变量X的分布列如下：则________． X 1 2 P 【答案】4 【详解】由题可知，所以. 考点七 利用离散型随机变量的均值和方差求参数 31．（25-26高二下·吉林·期中）已知随机变量X的分布列为 X 1 2 5 P 若，则值为（   ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【详解】依题意可得， 而，则，解得. 32．（25-26高二下·山东济宁·期中）随机变量的可能取值为0，1，2，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据得到，再由求解. 【详解】因为随机变量的可能取值为0，1，2，且， 所以， ，又因为， 所以. 33．（2026·云南昭通·二模）设下表为随机变量的分布列，其中．若，则（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的取值为，因此的取值为，，对应概率分别为， 因此 . 因为，解得. 则，进而. 34．（25-26高二下·山东济南·期中）（多选）已知离散型随机变量的分布列为： 且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用分布列的性质和期望公式可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可判断AB选项，可得出的分布列，利用方差公式可判断C选项，利用分布列的性质可判断D选项. 【详解】由分布列的性质和期望公式可得，解得， 所以离散型随机变量的分布列为 故， ，BCD都对，A错. 35．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）随机变量的分布列如下表，则（   ） 0 1 A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用离散型随机变量分布列性质，离散型随机变量的期望和方差公式以及离散型随机变量方差的性质分析求解即可. 【详解】由题可知，解得， 则， 则， 所以． 36．（25-26高二下·山西临汾·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A． B． C．， D．， 【答案】ABD 【详解】因为，所以，A正确； ， ，B正确，C错误； ，则，D正确. 1．（25-26高二下·河北衡水·期中）已知随机事件与满足，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】首先求出事件与同时发生的概率： 根据公式，即，解得.所以. 2．（2026·河南·模拟预测）某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 3．（2026·福建泉州·模拟预测）某人工智能模型用于识别图像中有无“深度伪造”内容.已知一批待检测图像中有20%的图像实际存在深度伪造.在一次检测中，若模型输出结果“有深度伪造”，则实际存在深度伪造的概率为0.5；若图像实际无深度伪造，模型误判为“有深度伪造”的概率为0.1.现从该批图像中任取一张检测，输出结果为“有深度伪造”的概率为（   ） A．0.08 B．0.16 C．0.18 D．0.32 【答案】B 【详解】设事件表示“该图像实际存在深度伪造”，事件表示“模型输出结果为有深度伪造”.由已知：，，， 则 ，可得. 又因为 ，所以 故选B. 4．（25-26高二下·吉林长春·期中）当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验室AI辅助新药分子筛选，事件是“AI模型筛选出候选分子”，事件是“AI模型筛选出候选分子”．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由对立事件求出，再结合条件概率公式求出，进而求解即可. 【详解】因为，所以． 所以． 由，得． 所以． 5．（25-26高二下·陕西榆林·期中）若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为服从两点分布，所以， 已知，可得，解得， 那么，则. 6．（25-26高二下·北京·期中）若离散型随机变量的分布列如下所示，则的值为（   ） 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知离散型随机变量分布列满足所有概率之和为且每个概率都大于等于. 根据题意列方程： ，解得. 又 ，， 符合概率非负的要求，故. 7．（25-26高二下·广西河池·期中）甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，若的数学期望为，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据单局胜率表示出总比赛局数的概率分布，再利用给定的数学期望建立方程即可求解. 【详解】由题意得随机变量可能的取值为2，3， ， 因为比赛必定在2局或3局结束，所以打满3局的概率就是不出现2局结束的对立事件概率， 即， 故的分布列为： 2 3 故， 由，解得. 8．（2026·广东茂名·二模）设，，随机变量的分布列如表所示，则下列说法正确的是（     ） 1 A．当增大时，增大，增大 B．当增大时，增大，先增大后减小 C．当增大时，减小，增大 D．当增大时，减小，先减小后增大 【答案】B 【分析】由分布列性质建立的关系式，推导期望的一次函数单调性，利用方差简化公式推导方差的二次函数，结合二次函数单调性分析方差变化规律. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质得，可得， 结合，得. ， 代入，得， 因此，为关于的一次增函数，当增大时，增大. ， 代入、，得， 展开得， ， ， 是开口向下的二次函数，对称轴为，且， 因此，时单调递增，时单调递减，即增大时，先增大后减小. 9．（2026·山东德州·三模）（多选）某数学试卷有道单选题，若某学生对其中的道题完全掌握，道题有思路，道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则（    ） A．答对道题的概率为 B．至少答对道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 【答案】ABD 【分析】对A根据相互独立事件的概率计算可得；对B分有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道，再根据相互独立事件的概率计算可得；对C直接根据期望的性质计算可得；对D根据贝叶斯公式计算可得. 【详解】对于A，答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题全部答对， 由相互独立事件的概率公式得，A正确. 对于B，至少答对道题，即有思路的题目和没有思路的题目共题答对道或道， 答对道的概率：由A选项可知为； 答对道分两种情况： ① 道有思路的全对、道无思路的错：； ​ ② 道有思路的对、道有思路的错、道无思路的对：， 因此总概率：，​ 故B正确. 对于C，设答对总题数为，则（​分别为两道有思路题答对的题数，​为无思路题答对的题数）， 由期望的性质得 ， 因为， 故C错误. 对于D，设“题目做对”，“题目完全掌握”，“题目有思路”，“题目无思路”， 则，，， 根据贝叶斯公式 ， ​ 故D正确. 10．（2026·河南·模拟预测）（多选）随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 11．（25-26高二下·贵州遵义·期中）（多选）设事件A、B满足，，则（    ） A．若，则 B．若与互斥，则 C．若与独立，则 D．若，则与独立 【答案】BC 【详解】对于A选项，若，则，则，故A选项错误； 对于B选项，若与互斥，则，故B选项正确； 对于C选项，， 若与独立，则与独立， 故，故C选项正确； 对于D选项，若，则，得出， 因为，所以与不独立，故D选项错误. 12．（25-26高二下·贵州遵义·期中）现有8道四选一的单选题，学生李华对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对的概率为．现从这8道题中随机选择1题，则他做对该题的概率为____________． 【答案】/0.7375 【分析】将题目划分为有思路、无思路两类，结合对应条件概率，利用全概率公式求解随机抽取一题做对的总概率. 【详解】随机抽取1道题，抽到有思路题的概率为，抽到无思路题的概率为. 抽到有思路题时做对的条件概率为，抽到无思路题时做对的条件概率为. 由全概率公式可得. 13．（2026·天津·二模）甲、乙两人进行多轮猜谜比赛，每轮比赛两人各答一题，已知每轮比赛中，甲、乙猜对的概率分别为和，每轮比赛中两人猜对与否互不影响，每轮结果互不影响，在一轮比赛中，恰有一人猜对的概率为__________；若两轮比赛中只有两次猜对，则这两次都是乙猜对的概率为__________． 【答案】 /0.5 【分析】根据独立事件的乘法公式计算可得第一空，利用全概率及贝叶斯公式可求第二空． 【详解】解：设每轮比赛中，甲猜对为事件，乙猜对为事件， 则， 在一轮比赛中，恰有一人猜对为事件， ， 设两轮比赛中只有两次猜对为事件， 则， 则这两次都是乙猜对的概率为． 14．（25-26高二下·陕西榆林·期中）一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________． 【答案】 【分析】根据可能取值为：，求出对应的概率，利用期望的公式求解即可. 【详解】由题可得：可能取值为：， ：表示前两次都抽到红色，, ：表示前两次都抽到一红一白，第三次抽完红球，, ：表示前三次都抽到一红两白，第四次抽完红球，或者前四次抽的全是白色, ：表示前四次都抽到一红三白，第五次抽完红球，或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球， 则, 所以 15．（2026·江苏·二模）甲､乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为的张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取张卡片.记为甲抽取的张卡片中较大编号者的编号，为乙抽取的卡片的编号，当时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为__________；游戏规定：出现“默契局”时，乙得分，甲得分，否则乙得分，甲得分，则三局游戏后甲､乙两人得分之和的数学期望__________. 【答案】 【分析】①根据的可能取值分类讨论即可，②先考虑单局游戏得分之和的数学期望，再根据每局游戏是相互独立的，从而计算结果. 【详解】①甲先从张卡片中随机抽取张，有种组合，乙从剩下的张中随机抽取张，有种组合， 因此一局游戏中甲乙抽卡的所有可能结果总数为种， 甲抽取张卡片中较大编号为，乙抽取张卡片编号为，“默契局”的条件是， 由题意可知，的可能取值是， 当时，甲抽到的卡片只能是，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或，此时需满足，则乙可以抽到或或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或，此时需满足，则乙可以抽到或，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或，此时需满足，则乙只能抽到，情况数为种； 当时，甲抽到的卡片可以是或或或或或或，此时需满足，没有满足条件的，情况数为种； 因此，“默契局”的总情况数为种，一局游戏成为“默契局”的概率为. ②设单局游戏中甲乙得分之和为，则 如果是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 如果不是“默契局”：乙得分，甲得分，此时，概率为； 则单局得分之和的期望为， 由于三局游戏是相互独立的，总得分之和是三局得分之和的累加，根据数学期望的线性性质，有. 16．（25-26高二下·陕西西安·阶段检测）某游戏共设置了三关，选手按顺序通关挑战，若选手通过本关，则进入下一关挑战，否则游戏结束，且第三关无论通过与否，游戏结束.甲参加该游戏，他通过第一、二、三关的概率分别是，，，假设他每关通过与否相互独立. (1)求甲通过三关的概率； (2)设随机变量X为甲参与挑战的关数，求X的分布列； (3)现有两种奖励方案，方案A为三关全通过则获奖200元，否则得0元，方案B为每通过一关获奖60元，以游戏结束时甲获奖的期望为依据，分析甲应该选择哪种方案，说明你的理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)甲应该选择方案B，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率求解； （2）X的可能取值为1，2，3，分别求得其概率，列出分布列； （3）若甲选择方案A，得到获奖金的期望，若甲选择方案B，Y的可能取值为0，1，2，3，分别求得概率，由，比较选择. 【详解】（1）设事件“甲通过三关”，则， 则甲通过三关的概率为. （2）X的可能取值为1，2，3， ， ， ， 则X的分布列为 X 1 2 3 P （3）若甲选择方案A，则他所获奖金的期望为元. 若甲选择方案B，设随机变量Y为甲通过的关数，则Y的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则， 所以甲选择方案B获得奖金的期望为120元. 因为，所以甲应该选择方案B. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $