第十章 概率单元练习卷（B卷能力提升）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 第十章概率单元能力提升卷，通过投篮测试、强基计划面试等真实情境，覆盖互斥事件、独立事件、古典概型等核心知识点，融合数学推理与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|互斥事件（第1题）、独立事件概率（第4题）、古典概型（第6题）|结合抽奖（第8题）、党史竞赛（第10题）等情境，考查概念辨析与逻辑推理| |填空题|3题/15分|独立事件概率计算（第12题）、正八面体几何概型（第14题）|融入空间几何与概率综合，体现数学抽象与空间观念| |解答题|5题/77分|有放回摸球概率（第15题）、强基面试概率（第16题）、得分均值优化（第17题）|以“强基计划”“数学文化测试”为背景，综合考查建模能力与数据分析，契合核心素养中应用意识与创新意识|

第十章 概率（B卷能力提升） 【满分：150分】 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若事件A和B是互斥事件，且P(A)=0.1，则P(B)的取值范围是（ ） A.[0，0.9] B.[0.1，0.9] C.[0，0.9) D.[0，1] 2.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为( ). A. B. C. D. 3．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 4.投篮测试中,每人投2次,至少投中1次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　) A.0.24 B.0.48 C.0.84 D.0.94 5.已知事件A，B，如果A与B互斥，那么；如果A与B相互独立，且，，那么，则，分别为( ) A.， B.， C.， D.， 6．从2,4,8中任取两个不同的数,分别记作a,b,则使为整数的概率是( ) A. B. C. D. 7.设A，B是一个随机试验中的两个事件，则下列结论正确的是( ). A. B. C. D.若，则 8．某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票，六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以表示“在甲抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“在乙抽奖箱中抽奖中奖的事件”，表示“两次抽奖均未中奖的事件”，下列结论中不正确的是（      ） A． B．与相互独立 C． D．与互斥 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）.设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”.下列说法正确的是( ) 机构名称 甲 乙 分数 90 98 90 92 95 93 95 92 91 94 A.甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B.甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C.乙机构测评分数的第一四分位数为91.5 D.事件M，N互为对立事件 10.某社团开展“建党104周年主题活动——学党史知识竞赛”,甲、乙两人能得满分的概率分别为,,两人能否获得满分相互独立,则(　　) A.两人均获得满分的概率为 B.两人至少一人获得满分的概率为 C.只有甲获得满分的概率为 D.两人至多一人获得满分的概率为 11.以下对各事件发生的概率判断正确的是( ) A.甲，乙两人玩剪刀，石头，布的游戏，则玩一局甲不输的概率是 B.从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中1名男同学和1名女同学的概率为 C.将一个质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6)先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是 D.从3件正品，1件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.设A,B是两个相互独立事件,且P(A)=,P(B)=,则P(∪B)=　　　　.  13.已知随机事件A，B，，中，A与B相互独立，B与对立，且，，则__________. 14.在正八面体ABCDEF中,任取四个顶点,则这四点共面的概率为　　　　;任取两个面,则这两个面所成二面角是钝角的概率为　　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球. （1） 一共有多少种不同的结果？请列出所有可能得结果. （2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为5分的概率. 16.（15分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，，答对第二题的概率分别是，， (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； （2）求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率 17．甲、乙两人各有一只箱子.甲的箱子里放有大小形状完全相同的3个红球、2个黄球和1个蓝球.乙的箱子里放有大小形状完全相同的x个红球、y个黄球和z个蓝球，.现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜. (1)当，，时，求乙胜的概率； (2)若规定：当乙取红球、黄球和篮球获胜的得分分别是1分、2分和3分，否则得零分.求乙得分均值的最大值，并求此时x，y，z的值. 18.新课标设置后，特别强调了要增加对数学文化的考查，某市高二年级期末考试特命制了一套与数学文化有关的期末模拟试卷，试卷满分150分，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了100名学生的成绩，按照成绩为，，…，分成了6组，制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于90分). （1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的100名学生成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)； （2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩位于的两组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加这次考试的考情分析会，试求这组中至少有1人被抽到的概率. 19．甲､乙､丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲､乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙､丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，已知任意两次射击互不影响. (1)分别计算乙，丙两人各射击一次且击中目标的概率； (2)求甲､乙､丙各射击一次且恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据） 答案以及解析 1.答案：A 2.答案：A 解析：由题意可知全部结果构成的区间长度为，构成取到的数小于的区间长度为，所以取到的数小于的概率为，故选:A 3.答案：A 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 4.C　方法一　该同学通过测试的概率为0.6×0.6+0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.84. 方法二　依题意,该同学两次投篮都不中的概率为(1-0.6)2=0.16,所以该同学通过测试的概率为1-0.16=0.84. 5.答案：C 解析：如果事件A与B互斥，则，所以.如果事件A与B相互独立，则事件A与也相互独立，所以，， ，即.故选：C. 6．答案：B 解析:由条件可知,得到不同的对数为,,, ,,,共6个对数,其中为整数的有2个, 所以概率. 故选:B 7.答案：D 解析：对于A选项，若A，B是一个随机试验中的两个事件， 则，故A选项错误； 对于B选项，若，，则，故B选项错误； 对于C选项，当A，B独立时，， 当A，B不独立时，则不成立，故C选项错误； 对于D选项，若，则，故D选项正确.故选:D. 8.答案：D 【分析】分别求出，，进一步求出与，从而判断AC选项，在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，故事件A和事件B相互独立，判断BD选项. 【详解】由题意可知：，，，， 因为在甲抽奖箱抽奖和在乙抽奖箱抽奖互不影响，可知事件A和事件B相互独立，故B正确，D错误； 可得，故A正确； 又因为， 所以，故C正确； 故选：D. 9.答案：BD 解析：，，即甲机构与乙机构测评分数的平均分相等，故选项A错误；，，即甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差，所以选项B正确；将乙机构测评分数从小到大排列为91，92，93，94，95，因为，所以第一四分位数为92，故选项C错误；因为甲机构测评分数中共有2个超过平均分，所以事件M与事件N互为对立事件，所以选项D正确.综上，选BD. 10.ACD　设A=“甲获得满分”,B=“乙获得满分”,则P(A)=,P(B)=. A(√)“两人均获得满分”可表示为A∩B,因为两人能否获得满分相互独立,所以P(A∩B)=P(A)P(B)=×=. B(✕)因为“两人至少一人获得满分”的对立事件为“两人都没获得满分”,即∩,所以“两人至少一人获得满分”的概率为1-P(∩)=1-P()P()=1-×=). C(√)“只有甲获得满分”可表示为A∩,其概率为P(A∩)=P(A)P()=×=. D(√)因为“两人至多一人获得满分”的对立事件为“两人都获得满分”,即A∩B,所以“两人至多一人获得满分”的概率为1-P(A∩B)=1-P(A)P(B)=1-×=). 11.答案：BCD 解析：对于A，甲，乙两人玩剪刀，石头，布的游戏，共有(种)情形，结合树状图，可得玩一局甲不输，共有(种)情形，所以玩一局甲不输的概率是，所以A不正确； 对于B，设男同学为a，2名女同学分别为A，B，则从这3人中任选2人包含，，，共3种选法，其中选中1名男同学和1名女同学包含，，有2种选法，所以选中1名男同学和1名女同学的概率为，所以B正确； 对于C，将一个质地均匀的正方体骰子，先后抛掷2次，共有36种不同的结果，其中点数和为6的结果有，，，，，共有5种，所以点数之和是6的概率是，所以C正确； 对于D，从3件正品，1件次品中随机取出2件，一共有(种)情况，取出的产品全是正品包含(种)情况，则取出的产品全是正品的概率是，所以D正确.故选BCD. 12.　因为A,B是两个相互独立事件,所以,B也相互独立,即P(B)=P()P(B).因为P(A)=,所以P()=1-P(A)=,则P(∪B)=P()+P(B)-P(B)=P()+P(B)-P()P(B)=+-×=. 13.答案：0.72 解析：由B与为对立事件，则，又A与B相互独立，则，所以，故答案为：0.72. 14.答案　; 解析　从A,B,C,D,E,F六个顶点中任取四个,相当于剩下两个点,剩下两个点的情况为AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共有15种,因此任取四个顶点的样本点总数为15. 如图,在正八面体ABCDEF中,八个面是全等的等边三角形,EF,AC,BD相交于同一点且两两互相垂直,则四边形ABCD,AFCE,BFDE均是正方形,由此得四点共面的样本点数为3. 则所取四点共面的概率为=. 从正八面体的八个面中任取两个面,类似上面的列举法可知样本点总数为28. 设AB=,则EF=AC=BD=2,取AB的中点H,连接EH,FH,则EH⊥AB,HF⊥AB, 所以∠EHF是二面角E-AB-F的平面角, 又cos∠EHF===-<0, 所以∠EHF是钝角,根据正八面体的结构,可知每个面与相邻的三个面所成的角均为钝角, 因此二面角为钝角的样本点数为12. 所以所取两个面所成二面角为钝角的概率为=. 15.（1）一共有8种不同的结果，列举如下：（红，红，红），（红，红，黑），（红，黑，红），（红，黑，黑），（黑，红，红），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）. （2）记“3次摸球所得总分为5分”为事件A ，事件A包含的基本事件为（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）共3个.由（1）可知，基本事件总数为8，所以事件A发生的概率为 16.答案：(1) (2) (3) 解析：(1)甲通过考核进入面试环节， 答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. (2)乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：. (3)丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 17．答案：(1) (2)乙得分均值的最大值为，此时， 解析：(1)记“甲取红球”为事件，“甲取黄球”为事件， “甲取篮球”为事件，“乙取红球”为事件， “乙取红球”为事件，“乙取红球”为事件， 则由已知可得，，，， ，，. 由已知，乙胜可以用事件来表示， 根据独立事件以及互斥事件可知，. (2)由题意知，，，. 用随机变量X来表示乙得分，则X可取0，1，2，3, 则，，， 所以. 所以. 因为， 所以，且，，， 所以， 当且仅当，，时，等号成立. 所以，乙得分均值的最大值为， 此时，，. 18.答案：（1）116.5 （2） 解析：（1）由频率分布直方图，，， 平均分为； （2）由频率分布直方图得出成绩位于和上的人数比为， 抽取的6人中成绩位于上的有4人，编号为1，2，3，4，位于上的有2人，编号为a，b， 从这6人中任取2人的基本事件有:12，13，14，1a，1b，23，24.2a，2b，34，3a，3b，4a，4b.ab共15个，其中这组中至少有1人被抽到的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab共9个，所以所求概率为. 19.答案：(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （3）设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得； 【详解】（1）令甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 所以，所以， ，所以， 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）令甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 所以 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）设甲射击次数，则至少有一次击中目标的概率为， 令， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. 学科网（北京）股份有限公司 $