1.2 第1课时 向量的加法及运算律 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.2 第1课时 向量的加法及运算律 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列等式不正确的是 (　　) A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|<|a|+|b| 解析：选BD　A正确；B错误，+=0；C正确；D错误，当a，b方向相同时，|a+b|=|a|+|b|.故选BD. 2.已知正八边形ABCDEFGH如图所示，其中O为正八边形的中心，则++= (　　) A. B. C. D. 解析：选A　由平面向量的加法法则及正八边形的性质，可得++=+=+=. 3.某人先向东走3 km，位移记为a，接着再向北走3 km，位移记为b，则a+b表示 (　　) A.向东南走3 km B.向东北走3 km C.向东南走3 km D.向东北走3 km 解析：选B　由题意和向量的加法，得a+b表示先向东走3 km，再向北走3 km，即向东北走3 km.故选B. 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　+++=(+)+(+)=+=. 5.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是 (　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 解析：选D　由于=|a|=1，||=|b|=1，||=|a+b|=，所以△ABC为等腰直角三角形.故选D. 6.(多选)下列说法错误的是 (　　) A.如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a+b的方向必与a或b的方向相同 B.若向量a与b的方向相同或相反，且|a|>|b|>0，则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若++=0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a，b均为非零向量，则|a+b|=|a|+|b| 解析：选ACD　A错误，若a+b=0，则a+b的方向是任意的；B正确，若a和b方向相同，则它们的和的方向应该与a(或b)的方向相同，若它们的方向相反，而a的模大于b的模，则它们的和的方向与a的方向相同；C错误，当A，B，C三点共线时，也满足++=0；D错误，|a+b|≤|a|+|b|. 7.化简(+)+(+)+=　　　　.  解析：原式=(+)+(+)+ =++=+=. 答案： 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么+=　　　　，+=　　　　.  解析：因为DE∥BC，AB∥CF，所以四边形DFCB为平行四边形.由向量加法的运算法则可知+=+=+=+=. 答案： 　 9.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=1，则|+|=　　　　.  解析：如图，|+|=||，在Rt△AOB中，AB=1，∠OAB=30°，AC=2AO=2AB·cos 30°=. 答案： 10.在矩形ABCD中，||=4，||=2，则向量++的长度为　　　　.  解析：因为+=， 所以++的长度为的模的2倍. 又||==2， 所以向量++的长度为4. 答案：4 11.设O为△ABC的外心，且满足+=，则∠ACB=　　　　　.  解析：如图，∵+=，∴根据向量加法的平行四边形法则，得四边形OACB为平行四边形，且BC=OA.∵O为△ABC的外心，∴OA=OB=OC，△OBC为等边三角形，∴四边形OACB为菱形，且∠OBC=60°，∴∠ACB=120°. 答案：120° 12.(10分)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： (1)++；（5分） (2)+++. （5分） 解：(1)++=++=++=+=. (2)+++=+++=++=+=0. 13.(10分)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP=QC.求证：+=+. 证明：∵=+=+，∴+=+++.∵与大小相等，方向相反，∴+=0，故+=++0=+. 14.(10分)如图，已知E，F分别是▱ABCD的边DC，AB的中点，求证：四边形AECF是平行四边形. 证明：在▱ABCD中，=，又由E，F分别是DC，AB中点，得=. 所以=+=+=.又A，E，C，F四点不共线，故四边形AECF是平行四边形. 15.(10分)如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力. 解：如图，作▱OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，则在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°.设向量分别表示两根绳子的拉力，则表示物体的重力，且||=300 N，∴||=||cos 30°=150(N)，||=||cos 60°=150(N)，∴与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 16.(15分)如图，已知G是△ABC所在平面内一点.求证：G是△ABC的重心的充要条件是++=0. 证明：(充分性)如图1，以GB，GC为邻边作▱GBEC，连接GE，交BC于点M，则M是BC的中点，也是GE的中点.因为+=，且++=0，所以=.于是可得点G在线段AM上，且AG=2GM.又AM是△ABC边BC上的中线，所以G是△ABC的重心. (必要性)如图2，延长AG交BC于点D，则由G是△ABC的重心，得D是BC的中点，且AG=2GD.延长GD到E'，使DE'=GD，连接E'B，E'C，则四边形GBE'C是平行四边形，所以+='=-，故++=0.综上，G是△ABC的重心的充要条件是++=0. 学科网（北京）股份有限公司 $