1.1 向量 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（湘教版）

1.1 向量 [课时跟踪检测] 1.(多选)若四边形ABCD是矩形，则下列命题正确的是 (　　) A.与相等 B.与相等 C.与模相等，方向相反 D.与模相等 答案：CD 2.(多选)两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶了相同的路程，设两列火车的位移分别为a和b，则下列说法正确的是 (　　) A.a与b方向相同 B.a与b为模相等的向量 C.a与b为相等向量 D.a与b为相反向量 解析：选BD　两列火车从同一站台出发，沿相反方向行驶，即a与b的方向相反，故A、C错误；两列火车行驶了相同的路程，即a与b的模相等，故B正确；又a与b的方向相反，所以a与b为相反向量，故D正确. 3.(多选)下列说法错误的是 (　　) A.若|a|>|b|，则a>b B.若a≠b，则|a|≠|b| C.零向量的长度为0 D.若=，则= 解析：选AB　向量不能比较大小.故A错误； 两个向量不相等， 但它们的模可以相等， 故B错误；零向量的长度为0， 故C正确；=，则它们的相反向量也相等，故D正确. 4.某人先向正东方向走了4 km，然后他向左转90°并向新的方向走了3 km，此时他距离出发点 (　　) A. km B.2 km C.3 km D.5 km 解析： 选D　作出示意图如图，此时他距离出发点=5 km. 5.如图，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是 (　　) A.= B.= C.= D.= 解析：选D　根据相等向量的定义，分析可得，A、B不成立； C中，与方向相反，故=不成立； D中，与方向相同，且长度都等于线段EF长度的一半，故=成立. 6.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为 (　　) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.等腰梯形 解析：选B　∵在四边形ABCD中，=，∴BA与CD不重合，BA∥CD，且||=||，∴四边形ABCD为平行四边形，又||=||，∴四边形ABCD为菱形. 7.(多选)如图，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中 (　　) A.向量的模相等 B.= C.向量相等 D.||+||=5 解析：选BD　==，||==2，A错误；||==，B正确；向量不相等，C错误；||+||=2+3=5，D正确. 8.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB=30°，||=2，则||等于 (　　) A.1 B. C. D.2 解析：选A　如图，连接AC， 由||=||， 得∠ABC=∠OCB=30°， 又∠ACB=90°， 则||=||=×2=1. 9.(多选)下列结论中，正确的是 (　　) A.|a|=|b|是a=b的必要而不充分条件 B.|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件 C.a与b的方向相同，且|a|=|b|是a=b的充要条件 D.a与b方向相反或|a|≠|b|是a≠b的充分而不必要条件 解析：选ACD　若a=b，则a与b的方向相同，长度相等，所以A、C、D正确，B错误. 10.(多选)在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有8个(不含) C.的模恰好为的模的倍 D.= 解析：选ACD　与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||=||=||= ||=||=||=||=||=||=||，B错误；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB=120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE=∠ABE=30°，在Rt△BED中，||=，在Rt△AEB中，||=||=||，所以||==||，C正确；与方向相同，大小相等，故=，D正确. 11.(5分)如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则=　　　　.  答案： 12.（5分）如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为　　　　.  解析：根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，因此有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为. 答案： 13.(10分)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点. (1)求与相等的向量；（5分） (2)求的相反向量.（5分） 解：因为四边形EFGH为正方形，所以EF=FG=GH=HE，且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，所以BF=FG=GC=HD=AE. (1)所以与相等的向量有. (2)的相反向量有. 14.(10分)如图，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： (1)与相等的向量共有几个；（5分） (2)与方向相同且模为3的向量共有几个. （5分） 解：(1)由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，则与相等的向量共有5个(不包含本身)，即，如图1. (2)与方向相同且模为3的向量共有2个，即，如图2. 15.(15分)已知线段AB被n(n≥2)等分，等分点分别为M1，M2，M3，…，Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量?（7分） (2)求互不相等的非零向量的总数，用n表示.（8分） 解：(1)当n=4时，等分点有M1，M2，M3，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点，构成互不相等的非零向量.当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，当模长为||时，有2个，为，总共有8个. (2)由(1)知，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，当模长为||时，有2个，依次类推，当模长为||时，有2个，总共有2n个. 学科网（北京）股份有限公司 $