专题03 作图相关求解证明（2大考点期末真题汇编，吉林专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 汇编吉林多地期末真题，聚焦尺规作图与格点作图两大高频考点，24道题覆盖从基础计算到综合证明的梯度训练 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |尺规作图|8题|角平分线、垂直平分线作图及应用（如第2题平行四边形中作角平分线求线段长）|结合几何图形性质，设置证明与计算综合题（如第6题探究平行四边形作图合理性）| |格点作图|16题|正方形、菱形、平行四边形等图形在网格中的构造（如第9题在不同网格中作正方形、对角线等长四边形）|通过多网格情境（5×5、6×6）训练空间观念，融入面积计算与性质应用（如第14题作特定边长和面积的平行四边形）|

专题03 作图相关求解证明 2大高频考点概览 考点01 尺规作图求解证明 考点02 格点作图 考点01 尺规作图求解证明 1．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)   A．4 B．8 C．6 D．10 3．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 4．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则 的长为___． 5．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______．    6．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)在学习了平行四边形的判定后，月月同学想到了一个探究题：如图1，已知，利用尺规作图法在图2中画出． 她的作法如下：①作的平分线； ②以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点N，作射线； ③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接； 故四边形为所求． 你认为她的作图方法是否正确，如果正确请帮她证明四边形是平行四边形，如果不正确请说明理由． 7．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)阅读理解，解答问题已知：．求作：菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接；四边形就是所求作的菱形． (1)使用直尺和圆规，在图中，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)补全下面的证明． 证明：，平分，_____． ， 四边形是_____形（_____）（填推理的依据）． ， 四边形是菱形（_____）（填推理的依据）． 8．(24-25八下·吉林辽源·期末)如图1，在四边形中，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连结． 根据所学知识判断小丽和小明的作法是否正确，并选择一个说明理由． 9．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． 考点02 格点作图 (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 10．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图： (1)在图1中，在上找一点P，连接，使得； (2)在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分． 11．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． (1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 12．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 13．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 14．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角； (2)在图2中作一个边长分别为，，的格点； (3)在图3中作一个有一边长为且面积为6的格点平行四边形． (4)请判断图2中所作的形状，并说明理由． 15．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)图①、图②均是的正方形网格，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作出以，为边的正方形； (2)在图②中，作出的中线． 16．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)求证∶ 为直角三角形． (2)画出边上的高，并说明理由． 17．(24-25八下·吉林辽源·期末)【综合与实践】 问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现： （1）在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点都是格点，则边长分别是_____，_____，_____，_____；四边形的面积为_____． 实践探究： （2）在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，并求出矩形的面积． 继续探究： （3）若中有两边的长分别为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（顶点都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 18．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1、线段、的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图、所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以、为边画一个菱形； (2)在图②中以为对角线画一个矩形； (3)在图③中以为一边画一个等腰直角． 19．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； (2)在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 20．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画矩形，使其面积为3． (2)在图②中画正方形． (3)在图③中画，使其面积为10． 21．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中按要求作图． (1)在图①中画出线段，使其长度为（画一条即可）； (2)在图②中画出一个直角，使其三边长均是有理数（画一个即可）； (3)在图③中画出一个菱形，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 22．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 23．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． (1)以为一边，在图①中画一个格点菱形； (2)以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 24．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)图①、图②、图③都是由边长为1的等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点A，B均为格点．分别在给定的网格中按要求作图： (1)在图①中，以AB为边画一个菱形ABCD，且点C，D均在格点上； (2)在图②中，以AB为边画一个矩形ABEF，且点E、F均在格点上； (3)在图③中，以AB为边画一个面积最大的平行四边形ABGH，且点G，H均在格点上． 试卷第4页，共9页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 作图相关求解证明 2大高频考点概览 考点01 尺规作图求解证明 考点02 格点作图 考点01 尺规作图求解证明 1．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)如图，中，，以A为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作一条线段等于已知线段， 根据平行四边形的性质得，再根据题意得，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 根据题意，得， ∴． 故选：A． 2．(24-25八下·吉林通化辉南县第四中学·期末)如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为(　　)   A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【详解】解：设AG与BF交点为O， ∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO， ∴∠BAO=∠FAO， ∴△ABO≌△AFO（SAS）， ∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90º， ∵AB=5， ∴， ∵AF∥BE， ∴∠FAO=∠BOE， 又∵OB=OE，∠AOE=∠EOB， ∴△AOF≌△EOB（AAS）， ∴AO=EO， ∴AE=2AO=8， 故选B． 【点睛】本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 3．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图，已知，分别以，为圆心，， 的长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则四边形是平行四边形的依据是______． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了尺规基本作图-作线段等于已知线段，平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 利用平行四边形的判定方法可直接求解． 【详解】解：分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点， ，， 四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 4．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)如图，在中，以点A为圆心，为半径画圆弧交于点E，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径 画圆弧交于点F，连接并延长交于点G．若，， 则 的长为___． 【答案】16 【分析】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识．先证明是等腰三角形，设交于点．证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】证明：连接，设交于点，由作图可知，平分， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ； 由作图可知：，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， 在中，， ， ． 故答案为：16． 5．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)如图，的顶点，)，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，分别以点A，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点F，画射线交于点G，则点G的坐标是______．    【答案】 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 6．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)在学习了平行四边形的判定后，月月同学想到了一个探究题：如图1，已知，利用尺规作图法在图2中画出． 她的作法如下：①作的平分线； ②以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点N，作射线； ③以点A为圆心，长为半径画弧，交射线于点D，连接； 故四边形为所求． 你认为她的作图方法是否正确，如果正确请帮她证明四边形是平行四边形，如果不正确请说明理由． 【答案】她的作图方法正确，证明见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义，平行线的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的判定，理解作图过程，熟练掌握平行四边形的判定是解答的关键．方法正确，证明，即可． 【详解】答：她的作图方法正确， 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． 7．(24-25八下·吉林吉林舒兰第十六中学·期末)阅读理解，解答问题已知：．求作：菱形． 作法： ①以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点； ②连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接；四边形就是所求作的菱形． (1)使用直尺和圆规，在图中，依作法补全图形（保留作图痕迹）； (2)补全下面的证明． 证明：，平分，_____． ， 四边形是_____形（_____）（填推理的依据）． ， 四边形是菱形（_____）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了菱形的判定、基本作图等知识，准确作图是关键． （1）按照作图步骤进行作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：，平分， ． ， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ， 四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） 8．(24-25八下·吉林辽源·期末)如图1，在四边形中，．小丽和小明研究用直尺和圆规作图，在上作点，使得四边形是矩形． 小丽：如图2，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连结． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连结． 根据所学知识判断小丽和小明的作法是否正确，并选择一个说明理由． 【答案】小丽和小明的作法都正确，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，尺规作图，解题关键是熟悉上述知识，并能熟练运用求解． 小丽作法中可得出，再结合，先证四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角，可证是矩形； 小明作法中可得出，进而通过证明，得到，后续证明同上即可． 【详解】解：小丽和小明的作法都正确 小丽作法，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵由题意知， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 小明作法，理由如下： 连结AE，BD， 由题意，知， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 9．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)图1、图2、图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上．在给定的网格中按要求画图，使所画图形各不相同，且所画图形的顶点均在格点上． 考点02 格点作图 (1)在图1中，以为边画一个正方形； (2)在图2中，以为边画一个四边形，使其两条对角线的长度均与线段AB相等； (3)在图3中，以为边画一个面积为7的平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查了网格作图，运用网格求面积，正方形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征以及正方形的性质进行作图即可； （2）结合网格特征以及题干要求进行作图即可； （3）结合网格特征以及平行四边形的面积为7进行作图即可． 【详解】（1）解：正方形如图所示： （2）解：四边形如图所示： （3）解：平行四边形如图所示： 平行四边形的面积． 10．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)如图均是边长为1的正方形组成的网格，小格的顶点叫格点，矩形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求作图： (1)在图1中，在上找一点P，连接，使得； (2)在图2中，在上找一点Q，连接，，使得平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在上取点P，使得，连接，利用勾股定理可得，满足题意； （2）在CD上取一点Q，使得，利用勾股定理可得，根据等腰三角形的性质，可得，然后根据平行线的性质，可得，所以可推得，满足题意． 【详解】（1）解：如图1中，点P即为所求； （2）解：如图2中，点Q即为所求． 【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，角平分线的定义，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 11．(24-25八下·吉林吉林第七中学校·期末)下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：．求作：菱形使点在上，点在上，点在上． 作法：①作的角平分线，交于点；②作线段的垂直平分线，交于点，交于点；③连接，． 所以四边形为所求的菱形． (1)请你根据小明的作法使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)若，，则四边形的周长为______，它的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)8， 【分析】（1）根据小明的作法，按照尺规作图的要求补全图形即可； （2）由，，证明是等边三角形，则，所以，由，得，由，求得，则，所以，，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：根据小明的作法补全图形如图所示， 理由：设交于点， 垂直平分，交于点，交于点， ，，， 平分，交于点， ， ，， ， ， ， 四边形为所求的菱形 （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形的周长为8，它的面积为， 故答案为：8；． 【点睛】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出图形并且证明是等边三角形是解题的关键． 12．(24-25八下·吉林吉林第五中学·期末)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中，以为边画一个菱形（正方形除外）； (2)在图②中，以为边画一个面积为2的平行四边形； (3)在图③中，以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题是四边形综合题，主要考查作图——应用与设计作图，平行四边形和菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）取格点C、D，连接、、，因为，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以， 即四边形是菱形； （2）取格点E、F，连接、、，因为，5×5的正方形网格中，小正方形的边长均为1，所以，，，，所以，四边形ABEF是平行四边形， 因为，所以，平行四边形的面积，平行四边形即为所求； （3）取格点M、N，连接、、，得，，所以，四边形是平行四边形，不是菱形；因为，平行四边形的面积，所以，平行四边形即为所求． 【详解】（1）如图①，取格点C、D，连接、、， 菱形即为所求． （2）如图②中，取格点E、F，连接、、， 平行四边形即为所求． （3）如图③中，取格点M、N，连接、、， 平行四边形即为所求． 、 13．(24-25八下·吉林吉林丰满区·期末)图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． （1）取格点，并依次连接，得，，则，得出四边形为正方形； （2）取格点，并依次连接，得，，得出四边形为菱形，但不是正方形； （3）取格点，并依次连接，得，得出四边形为平行四边形，但不是菱形． 【详解】（1）解：四边形即为所求作； （2）解：四边形即为所求作； （3）解：四边形即为所求作． 14．(24-25八下·吉林白城通榆县·期末)按要求作图：下面三幅网格图中的小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点称为格点． (1)在图1中作一个边长都为整数的格点直角； (2)在图2中作一个边长分别为，，的格点； (3)在图3中作一个有一边长为且面积为6的格点平行四边形． (4)请判断图2中所作的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 (3)见解析 (4)为直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，平行四边形的定义，根据相关知识点正确作图即可． （1）利用勾股定理，在网格中作直角边长和，斜边长为的直角三角形即可； （2）利用勾股定理作图即可； （3）先利用勾股定理作长度为的线段，再作平行四边形即可； （4）利用勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：如图，平行四边形即为所求作； （4）解：由题意可知，，，， ，， ， 为直角三角形． 15．(24-25八下·吉林松原前郭县第一中学·期末)图①、图②均是的正方形网格，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作出以，为边的正方形； (2)在图②中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是作正方形，作三角形的中线，正方形的判定与性质，勾股定理与勾股定理的逆定理； （1）如图，取格点，连接，则四边形即为所求； （2）如图，取格点，连接，连接交于，则即为所求. 【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求； ； 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； （2）解：如图所示，中线即为所求： ； 由（1）可得，四边形为正方形； ∴， ∴为的中线. 16．(24-25八下·吉林敦化·期末)如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)求证∶ 为直角三角形． (2)画出边上的高，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析；理由见解析 【分析】本题主要考查了网格中三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）利用勾股定理求出三角形每条边的平方，再利用勾股定理逆定理即可证明； （2）根据矩形的性质得到线段中点，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形； （2）解：如图连为所求， ∵，为的中点， ∴． 17．(24-25八下·吉林辽源·期末)【综合与实践】 问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点．操作发现： （1）在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点都是格点，则边长分别是_____，_____，_____，_____；四边形的面积为_____． 实践探究： （2）在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，并求出矩形的面积． 继续探究： （3）若中有两边的长分别为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（顶点都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 【答案】（1），，，，18；（2）作图见解析，矩形的面积为26；（3）作图见解析，或． 【分析】本题主要考查了勾股定理、矩形的定义、平行四边形的定义、四边形的面积等知识点，灵活运用切割法是解题的关键． （1）根据勾股定理即可求得，然后根据图形运用割补法即可解答； （2）先运用勾股定理以及矩形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答； （3）先运用勾股定理以及平行四边形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答． 【详解】解：（1），，， 四边形的面积为：． 故答案为：，，，，18． （2）如图2：矩形即为所求； 矩形的面积为：． （3）∵中有两边的长分别为， ∴中有两边的长分别为， 如图：即为所求，的面积为：； 如图：即为所求，的面积为：． ． 综上，的面积为或． 18．(24-25八下·吉林白山浑江区第九中学·期末)图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1、线段、的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图、所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以、为边画一个菱形； (2)在图②中以为对角线画一个矩形； (3)在图③中以为一边画一个等腰直角． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】（1）取格点，满足即可； （2）利用网格特点取格点，满足即可； （3）取格点，满足，即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 由勾股定理可得： ， ∴四边形为菱形； （2）解：如图，四边形即为所求作的图形； ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图，即为所求； ∵，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； 【点睛】本题考查的是格点作图，菱形的判定，矩形的判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的定义，熟练的画图是解本题的关键． 19．(24-25八下·吉林吉林第九中学·期末)如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点，用无刻度的直尺分别按下列要求画图． (1)在图①中，画一个菱形，且邻边不垂直； (2)在图 ②中，画一个平行四边形，使，且面积为6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了无刻度作图，掌握菱形和平行四边形的性质是解题关键． （1）根据菱形性质得到和互相平分，，则四边形是菱形； （2）令成为正方形的一条对角线，且到的距离2即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：平行四边形如图所示： 20．(24-25八下·吉林松原前郭县南部学区·期末)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．图①、图②、图③中线段的端点均在格点上，在图①、图②、图③中分别以为对角线画一个四边形，使该四边形的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图①中画矩形，使其面积为3． (2)在图②中画正方形． (3)在图③中画，使其面积为10． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的判定以及题目要求作出图形即可； （2）根据正方形的判定作出图形； （3）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【详解】（1）解：如图①中，四边形即为所求； （2）解：如图②中，四边形即为所求； （3）解：如图③中，四边形即为所求． 21．(24-25八下·吉林松原前郭县西部学区·期末)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，小正方形的顶点称为格点，在正方形网格中按要求作图． (1)在图①中画出线段，使其长度为（画一条即可）； (2)在图②中画出一个直角，使其三边长均是有理数（画一个即可）； (3)在图③中画出一个菱形，使其对角线的长均是无理数（画一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，菱形的性质； （1）根据网格的特点以及勾股定理即可求解； （2）画一个边长分别为，，的三角形，即可求解； （3）画一个对角线分别为的菱形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，即为所求， ， （3）解：如图所示，菱形即为所求， 对角线 22．(24-25八下·吉林吉林第三十二中学校·期末)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中作图、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定是解答的关键． （1）利用网格特点，作一个底是1，高是3的平行四边形即可； （2）利用网格特点，作一个底是3，高是3的平行四边形即可； （3）利用网格特点和平行四边形的判定与性质，结合要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作； （2）解：如图，四边形即为所求作； （3）解：如图，四边形即为所求作． 23．(24-25八下·吉林吉林永吉县·期末)如图，点、点B分别是网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长均为，请在网格中按下列要求作图． (1)以为一边，在图①中画一个格点菱形； (2)以为一边，在图②中画一个面积等于的格点平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的判定画出图形即可． （2）根据平行四边形的判定，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求； （2）解：如图，平行四边形． 【点睛】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质． 24．(24-25八下·吉林吉林龙潭区·期末)图①、图②、图③都是由边长为1的等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点A，B均为格点．分别在给定的网格中按要求作图： (1)在图①中，以AB为边画一个菱形ABCD，且点C，D均在格点上； (2)在图②中，以AB为边画一个矩形ABEF，且点E、F均在格点上； (3)在图③中，以AB为边画一个面积最大的平行四边形ABGH，且点G，H均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据菱形的定义利用数形结合的思想解决即可； （2）根据矩形的定义利用数形结合的思想解决即可； （3）根据平行四边形的定义并利用平行四边形的面积公式，选择最长的另一条边并结合数形结合解决即可． 【详解】（1）如图①，菱形ABCD即为所求； （2）如图②，矩形ABEF即为所求； （3）如图③，平行四边形ABGH即为所求． 【点睛】本题考查了作图，解决本题的关键是掌握数形结合的思想进行画图． 菱形：有一组邻边相等的平行四边形； 矩形：四个内角相等的四边形； 平行四边形：两组对边分别平行的四边形． 试卷第8页，共28页 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03作图相关求解证明 ☆2大高频考点概览 考点01尺规作图求解证明 考点02格点作图 目目 考点01 尺规作图求解证明 1. 【答案】A 2. 【答案】B 3. 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 4. 【答案】16 5. 【答案】(5,4) 6. 【答案】她的作图方法正确，证明见解析 7. 【详解】(1)解：如图所示 C M (2)证明：：AB=AC,AE平分∠CAB, :CO=0B. “A0=D0, ·四边形ABDC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. AB=AC, :四边形ABDC是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形） 1/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8. 【详解】解：小丽和小明的作法都正确 小丽作法，理由如下： :∠A=∠B=90°， ∠A+∠B=180°， AD‖BC, :由题意知AD=BE, “四边形ABED是平行四边形， :∠A=90°， “四边形ABED是矩形 小明作法，理由如下： 连结AE,BD, 由题意，知AE=BD, :∠ABE=∠BAD=90°，AE=BD,AB=BA, :.Rt△ABE≌Rt△BAD(HL) :AD=BE :∠ABE+∠BAD=180°， :AD I BC, .四边形ABED是平行四边形， :∠A=90°， .四边形ABED是矩形. 目目 考点02 格点作图 9. 【详解】(1)解：正方形ABCD如图所示： 2/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：四边形ABCD如图所示： D B (3)解：平行四边形ABCD如图所示： 平行四边形ABCD的面积=3×4-专×1×3-专×1×3-专×1×2-专×1×2=7. 10. 【详解】(1)解：如图1中，点P即为所求； D P A 图1 (2)解：如图2中，点Q即为所求 D r- A 图2 【点晴】本题考查了无刻度直尺作图，角平分线的定义，勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解 题的关键是掌握相关知识解决问题. 11 【详解】(1)解：根据小明的作法补全图形如图所示， 3/14 多学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 理由：设EF交AD于点I, :EF垂直平分AD,交AB于点E,交AC于点F, ·AE=DE,AF=DF,∠AIE=∠AIF=90°， :AD平分∠BAC,交BC于点D, ·∠EAI=∠FAI, :∠AEI+∠EAI=90°，∠AFI+∠FAI=90°， ·∠AEI=∠AFI, :AE=AF, ·AE=DE=AF=DF, ·四边形AEDF为所求的菱形 (2)解：：AE=AF,∠BAC=60°， ·△AEF是等边三角形， ·EF=AE=AF, :AD⊥EF, :EI=FI=号EF=专AE, ·AE=2EI, :AD=25, ·AN=DI=支AD=V3 AI=AE2-E2=(2E1)2-E12=3EI=3 ÷EI=1, ·EF=AE=2EI=2, AE+DE+AF+DF=4AE=8,S四边形ADF=AD·EF=支×2V5×2=2W5, :四边形AEDF的周长为8，它的面积为25， 4/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：8：2W5。 【点晴】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余 角相等、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出图形并且证明 △AEF是等边三角形是解题的关键， 12. 【详解】(1)如图①，取格点C、D,连接AD、CD、BC, 菱形ABCD即为所求. 图① (2)如图②中，取格点E、F,连接AE、BF、EF, 平行四边形ABEF即为所求。 图② (3)如图③中，取格点M、N,连接AN、BM、MN, 平行四边形ABMN即为所求. 图③ 13. 【详解】(1)解：四边形AMBN即为所求作； 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B 图1 (2)解：四边形CMDN即为所求作； C Mi D 图2 (3)解：四边形EMFN即为所求作 M 图3 14. 【详解】(1)解：如图，△ABC即为所求作； B (2)解：如图，△DEF即为所求作 0 E (3)解：如图，平行四边形GHMN即为所求作； 6/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 (4)解：由题意可知，DE=V2,DF=22,EF=V10, :DE2+DP2=(2)+(2W2)=10,E2=(V10)=10 ..DE2+DF2=EF2 :△DEF为直角三角形. D 15. 【详解】(1)解：如图所示，正方形ABDC即为所求； B 图① 理由如下： :AB=BD=CD=AC=V22+32=V13,BC=N12+252=V26, .AB2+AC2=BC2, ∠CAB=90°， :.四边形ABDC为正方形； (2)解：如图所示，中线AE即为所求： 7/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图② ； 由(1)可得，四边形ABDC为正方形： ·CE=BE, ·AE为△ABC的中线， 16. 【详解】(1)证明：：AB2=32+12=10,BC2=32+12=10,AC2=42+22=20, :AB2+BC2=AC2=20, .△ABC为直角三角形； (2)解：如图连BE为所求， :AB=BC,E为AC的中点， ·BE⊥AC 17. 【详解】解：(1)AB=V42+42=4V2,BC=V22+22=2V2,CD=V22+4=25, AD=V22+42=2V5 1.B 图1 8/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四边形ABCD的面积为：专×6×4+专×6×2=18， 故答案为：4V2,22,2W5,25,18. (2)如图2：矩形MNPQ即为所求； 图2 矩形MNPQ的面积为：MNMQ=V13×213=26 (3):□ABCD中有两边的长分别为2V2a,2W10a(a>0), 口ABCD中有两边的长分别为V8a40a(a>0), 如图：☐ABCD即为所求，☐ABCD的面积为：专×8a×2a+专×8a×2a=16a2; 图3 如图：□ABCD即为所求，☐ABCD的面积为：专×4a×2a+专×4a×2a=8a2, B 图3 综上，□ABCD的面积为16a2或8a2. 18. 【详解】(1)解：如图，四边形ABCD即为所求； 9/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B 图① 由勾股定理可得： AB=BC=CD=AD=12+32=10, :.四边形ABCD为菱形； (2)解：如图，四边形AEBF即为所求作的图形： E B 图② :∠AEB=∠EBF=∠FAE=∠AFB=90°， .四边形AEBF是矩形； (3)解：如图，△ABK即为所求； 图③ :AB=V12+22=V5=BK,AK=2+32=10, AB2+BK2=AK2, ∠ABK=90°， ·△ABK为等腰直角三角形： 【点晴】本题考查的是格点作图，菱形的判定，矩形的判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，等 腰直角三角形的定义，熟练的画图是解本题的关键 19. 【详解】(1)解：MNPQ如图所示： 10/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M 图① (2)解：平行四边形ABCD如图所示： D 图② 20. 【详解】(1)解：如图①中，四边形ACBD即为所求； D A B (2)解：如图②中，四边形ACBD即为所求； B (3)解：如图③中，四边形ACBD即为所求 11/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B 21. 【详解】(1)解：如图所示，线段AB即为所求； B A AB=V12+32=V10 (2)解：如图所示，△DEF即为所求， F D EDE=3,DF=4,EF=V32+42=5, (3)解：如图所示，菱形MNGH即为所求， 对角线HN=V2,MG=V32+32=3V2 22, 【详解】(1)解：如图，四边形☐ABCD即为所求作S=1×3=3; B 图① (2)解：如图，四边形☐AEBF即为所求作： 12/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 图② (3)解：如图，四边形☐AGBH即为所求作. 图③ 23. 【详解】(1)解：如图，菱形ABCD即为所求； B 图① (2)解：如图，平行四边形ABEF. A 图② 【点晴】此题考查了作图知识，解题的关键是熟悉平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质. 24. 【详解】(I)如图①，菱形ABCD即为所求； (2)如图②，矩形ABEF即为所求； (3)如图③，平行四边形ABGH即为所求， 13/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 F H B B B 图① 图② 图③ 【点睛】本题考查了作图，解决本题的关键是掌握数形结合的思想进行画图 菱形：有一组邻边相等的平行四边形； 矩形：四个内角相等的四边形： 平行四边形：两组对边分别平行的四边形 14/14