专题08 复数（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

**基本信息** 以8大考点系统构建复数知识网络，从概念理解到运算应用再到几何意义，通过多样化题型培养数学思维与运算能力，实现复数专项的全面突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的四则运算|6题|选择/填空/计算|基础运算，支撑后续应用| |实部与虚部|6题|选择为主，含纯虚数判断|概念辨析，连接复数分类| |共轭复数与复数分类|6题|选择/解答，含纯虚数应用|深化概念，关联相等条件| |复数相等的问题|6题|选择/填空/解答|代数核心，连接实部虚部| |复数的坐标表示|6题|选择/解答，象限判断|几何意义，体现数形结合| |复数的模|6题|选择/填空，含最值问题|几何度量，拓展应用场景| |实系数一元二次方程|6题|解答为主，含根的应用|综合应用，连接方程理论| |复数的三角形式|6题|选择/解答，含棣莫弗公式|拓展深化，提升数学表达|

专题08 复数 考点01 复数的四则运算 考点02 复数的实部与虚部 考点03 共轭复数与复数分类 考点04 复数相等的问题 考点05 复数的坐标表示 考点06 复数的模 考点07 实系数一元二次方程 考点08 复数的三角形式 考点01 复数的四则运算 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ． 2．已知为虚数单位，若复数___ 【答案】 【详解】 3．已知，则的虚部为__________. 【答案】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 4．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式 （2）原式． （3）原式． 5．________. 【答案】2 【分析】利用虚数的性质，逐步化简即可求得结果. 【详解】， ∴. 6．若为虚数单位，则________． 【答案】/ 【详解】因为，所以的周期为4，且， 所以. 考点02 复数的实部与虚部 7．设复数z满足，则复数z的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 所以复数z的虚部是. 8．复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】已知复数是纯虚数，则实部，解得； 虚部，解得， 综上，． 9．已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知复数， 则， 所以的虚部为. 10．已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为复数， 由题意可得，解得. 11．若复数满足，则的实部与虚部之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得， 化简可得， 即的实部为，虚部为， 所以的实部与虚部之和为. 12．已知复数满足，则的实部为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由题可知，，则的实部为2． 考点03 共轭复数与复数分类 13．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以. 14．已知复数，为虚数单位，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过复数除法运算将化为代数形式，再求其共轭复数，进而得到共轭复数的虚部. 【详解】，所以，故的虚部为. 15．已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 16．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据复数除法运算，化简复数，再求其共轭复数. 【详解】， 所以. 故选：A 17．复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．0或 【答案】C 【详解】由题可知，所以 18．已知复数（i为虚数单位），． (1)若z为虚数，求实数m的取值范围； (2)若z为纯虚数，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据z为虚数，即可求解； （2）根据z为纯虚数即可求解. 【详解】（1）若为虚数，则，且， 解得且， 所以实数的取值范围为. （2）若为纯虚数，则， 解得，即， 所以实数的值为． 考点04 复数相等的问题 19．设，为虚数单位，，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以. 20．已知，且，其中，为实数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】，则， ， 即，解得，. 21．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 22．已知，为虚数单位，． (1)若为实数，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）因为为实数，则，解得或. （2）因为，则，解得. 23．已知复数满足，则___________． 【答案】 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 24．已知，则复数的虚部是______． 【答案】/ 【详解】因为，且， 所以，所以， 所以，即复数的虚部是． 考点05 复数的坐标表示 25．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限. 【详解】解：由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限. 26．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第二象限，列出不等式组，解得的范围． （2）写出复数对应的点的坐标，由该点位于第四象限，列出不等式组，解得m的范围． 【详解】（1）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第二象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第二象限． （2）该复数对应的点的坐标为， 当时，该点位于第四象限， 由，得，解得， 则当时，复平面内表示复数的点在第四象限． 27．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数乘法和除法运算，结合复数在复平面内对应的点的坐标进行判断即可. 【详解】由题意知，，则， 在复平面内对应的点为，在第一象限. 28．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以解得，则实数的取值范围是． 29．已知复数. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)根据纯虚数的定义，实部为0且虚部不为0，列方程组求解； (2)第三象限点满足实部<0，虚部<0，列不等式组取交集. 【详解】【小题1】由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得. 【小题2】由复数在复平面内对应的点位于第三象限，则满足，解得，即的取值范围为. 30．复数在复平面内对应的点所在的象限为第_______象限. 【答案】二 【详解】， 对应的点为，位于第二象限. 考点06 复数的模 31．已知复数满足，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】设，，, ，所以. . 32．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数， 所以. 33．已知为虚数单位，复数满足，则_________． 【答案】 【分析】设，则，利用复数的加法和复数相等可求得、的值，可得出复数，利用复数的模长公式可求得答案. 【详解】设，则， 所以， 根据复数相等可得，故，即，故. 34．已知且，则的最大值是______________． 【答案】 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和. 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 35．设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 36．已知，，且，则________． 【答案】 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 考点07 实系数一元二次方程 37．在复数范围内解方程，解得_______． 【答案】或 【详解】因为， 所以或， 所以或. 38．已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 39．已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组求解. 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 40．已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【详解】根据题意是方程的另一根， 由，可得， 又， 所以. 41．若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【分析】易知是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 42．已知是关于的方程的一个根，则实数、的和（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知方程的另一个根为，利用韦达定理可求出实数、的值，即可得解. 【详解】因为、为实数，且是关于的方程的一个根， 则该方程的另一个根为，由韦达定理可得， 解得，，故. 考点08 复数的三角形式 43．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】， 则. 44．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由棣莫弗公式，. 45．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ， 即的虚部为. 46．已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 为纯虚数，故，解得； （2），， 则，，， 若，则，即 47．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 48．已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ，， ，即， 即 ∴或， 根据各项复数的三角表示，只有D符合. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 复数 考点01 复数的四则运算 考点02 复数的实部与虚部 考点03 共轭复数与复数分类 考点04 复数相等的问题 考点05 复数的坐标表示 考点06 复数的模 考点07 实系数一元二次方程 考点08 复数的三角形式 考点01 复数的四则运算 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若复数___ 3．已知，则的虚部为__________. 4．计算： (1)； (2)； (3)． 5．________. 6．若为虚数单位，则________． 考点02 复数的实部与虚部 7．设复数z满足，则复数z的虚部是（   ） A． B． C． D． 8．复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 9．已知复数，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 10．已知复数的实部与虚部互为相反数，则实数的值为（    ） A． B． C． D．1 11．若复数满足，则的实部与虚部之和为（   ） A． B． C． D． 12．已知复数满足，则的实部为（   ） A．2 B． C．4 D． 考点03 共轭复数与复数分类 13．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 14．已知复数，为虚数单位，则z的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 15．已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 16．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 17．复数（其中i为虚数单位）是实数，则实数a的值为（    ） A．1或 B．1 C． D．0或 18．已知复数（i为虚数单位），． (1)若z为虚数，求实数m的取值范围； (2)若z为纯虚数，求实数m的值． 考点04 复数相等的问题 19．设，为虚数单位，，则______． 20．已知，且，其中，为实数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 21．已知，则（   ） A． B． C． D． 22．已知，为虚数单位，． (1)若为实数，求的值； (2)若，求的值． 23．已知复数满足，则___________． 24．已知，则复数的虚部是______． 考点05 复数的坐标表示 25．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．当实数取什么值时，复平面内表示复数的点分别满足下列条件？ (1)位于第二象限； (2)位于第四象限． 27．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 28．已知复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．已知复数. (1)若为纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 30．复数在复平面内对应的点所在的象限为第_______象限. 考点06 复数的模 31．已知复数满足，则（   ） A．2 B． C．4 D．8 32．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 33．已知为虚数单位，复数满足，则_________． 34．已知且，则的最大值是______________． 35．设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 36．已知，，且，则________． 考点07 实系数一元二次方程 37．在复数范围内解方程，解得_______． 38．已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 39．已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 40．已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 41．若是关于的方程的复数根，则____________． 42．已知是关于的方程的一个根，则实数、的和（   ） A． B． C． D． 考点08 复数的三角形式 43．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 44．棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（   ） A． B． C． D． 45．任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 46．已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 47．欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 48．已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $