专题07 平面向量坐标运算与数量积（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

**基本信息** 以平面向量坐标运算为基础，构建从线性运算到综合应用的递进式训练体系，强化运算能力与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线性运算坐标表示及求参|6题|坐标计算与参数求解|从向量线性运算坐标公式切入，夯实基础运算| |数量积定义及坐标表示|6题|几何图形中数量积计算|衔接定义与坐标表示，建立代数与几何联系| |投影问题|6题|投影向量的模与坐标|深化数量积几何意义，培养数学眼光| |模长与夹角|11题|模长计算、夹角求参及范围|综合数量积与模长公式，提升推理能力| |垂直与共线求参|8题|位置关系的参数求解|应用向量性质解决参数问题，强化逻辑思维| |向量四心问题|10题|三角形重心、外心等判定|结合几何性质，发展数学语言表达| |定比分点|5题|分点坐标计算|拓展向量应用，完善知识体系| |最值和范围问题|8题|动态问题中的最值求解|综合应用向量工具，培养应用意识|

专题07 平面向量坐标运算与数量积 考点01 线性运算的坐标表示以及求参 考点02 数量积定义以及坐标表示 考点03 平面向量投影问题 考点04 平面向量模长与夹角问题 考点05 平面向量垂直与共线求参 考点06 向量四心问题 考点07 线段的定比分点 考点08 利用向量解决最值和范围问题 考点01 线性运算的坐标表示以及求参 1．若，，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【详解】，. 2．已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点的坐标为． 3．已知，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量减法公式计算求解. 【详解】由题意得，，则． 4．已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 5．向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为，，则， 且，所以． 6．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 考点02 数量积定义以及坐标表示 7．在平行四边形中，，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的加法法则可知, 再利用平行四边形求出向量的模与夹角，进而求出数量积. 【详解】由向量的加法法则可知, 在平行四边形中，，，， 所以，, 故. 8．在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，则， ， ， ， ． 9．已知向量，满足，，，则________. 【答案】1 【详解】. 10．在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 【答案】C 【分析】根据平行四边形性质结合向量加法及数量积坐标公式计算求解. 【详解】在中，， 已知点，，， 则， 则. 11．在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题利用向量的加减法则和向量乘法计算公式计算即可. 【详解】， ， . 12．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】由题可得， 所以． 考点03 平面向量投影问题 13．已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，即，即，解得或（舍去），则，所以向量在向量上的投影向量的模为． 14．若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求得，再利用向量在向量上的投影向量公式求解. 【详解】由，，得，所以. 所以向量在向量上的投影向量为，故B正确. 15．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________ 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】若向量， 则在上的投影向量为. 16．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 【答案】 【分析】利用投影向量公式即可求解. 【详解】由题可得：，所以，， 则在方向上的投影向量的坐标为 17．已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】向量，， 向量在方向上的投影向量为，得. 18．已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，则， 所以在上的投影向量为. 考点04 平面向量模长与夹角问题 19．已知，且与的夹角为120°. (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用数量积定义求得，然后利用数量积的运算律求解即可； （2）结合数量积的运算律，利用向量模的运算法则求解即可. 【详解】（1）因向量与的夹角为120°，且， 则， 所以. （2） . 20．若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】两边同时平方，得到，利用余弦值只能在求出k的取值范围即可判断. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 由于，均为单位向量，所以， 所以，由于， 解得，所以只有C符合. 21．已知平面向量，满足，，且，则_________． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律，由，得到 ，再结合求出. 【详解】由, 又，所以； 又 所以，，，. 22．已知向量，则________． 【答案】 【分析】根据题意，利用向量数量积的计算公式和向量模的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，可得， 所以 23．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求出及模长即可． 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故， 所以. 24．已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 【答案】 【分析】分别根据两组向量夹角为钝角的要求，列数量积小于0且排除共线反向的不等式，取交集得到t的取值范围. 【详解】由可得， 由得：，此时与的夹角为. 所以若与的夹角为钝角，则. 因为， 由，得， 由，得，此时与方向相同， 所以若与的夹角为钝角，则. 所以与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则. 25．已知向量，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知， 所以. 26．已知向量，若. (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合数量积的坐标运算求解； （2）由题意可得，利用向量的坐标运算求向量夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得. （2）因为，则， 由（1）可得，则， 所以. 27．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 【答案】 【详解】． ， ． 所以，所以． 28．设、为单位向量，若，则________. 【答案】（或） 【分析】利用向量数量积的运算性质和定义可求得，结合向量夹角的取值范围可得答案. 【详解】因为、为单位向量，，则， 所以， 因为，故. 29．已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解． 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 30．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据投影向量的定义可列出等式，再求出向量与的夹角即可. 【详解】设向量与的夹角为， 则由题意结合投影向量的定义可知， 解得， 因为向量的夹角，所以. 考点05 平面向量垂直与共线求参 31．已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 【答案】A 【详解】由题设，又，， 所以， 由，所以 32．已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，， 由有 ，解得． （2）由已知，， 由有，解得， 于是． 33．向量，则实数的值为__________. 【答案】 【详解】由题意得，， 由可得，得. 34．已知为平面向量，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）设，根据向量的坐标运算列方程解出即可； （2）根据向量的线性运算以及向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）设，由，所以，又， 所以，解得或， 所以或； （2）由，所以， ， 又， 所以，解得或. 35．已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 【答案】 / 【分析】表示出、后，利用共线定理计算可得空一；利用向量垂直性质计算可得空二. 【详解】、； 若三点共线，则、共线，即有，解得； 若，则，解得. 36．已知点，，向量，若，则实数______. 【答案】2 【分析】由点，，可得的坐标，结合向量平行的公式，可列出关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，点，，可得， 因为，且， 所以，解得. 37．平面内给定三个向量，，，若满足，且，求． 【答案】或 【分析】设，求出的坐标，根据向量平行和模的坐标表示列方程组求解. 【详解】设，，，由题意得 得或 ∴或． 38．已知向量，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或3 D．若，则与的夹角为 【答案】A 【分析】应用平行向量的坐标运算计算判断A，应用向量垂直的坐标运算判断B，根据模长公式计算求解判断C，应用夹角余弦公式计算判断D. 【详解】向量，， 若，则，即，A选项不正确； 若，则 ，即，B选项正确； 若，则，所以，解得或3，C选项正确； 若，则向量，，即， 设与的夹角为， 则与的夹角余弦为，则与的夹角为，D选项正确； 考点06 向量四心问题 39．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 40．已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】由题意知分别是的外心与重心，设的中点为，连接，则三点共线，再结合重心，外心的性质得，，最后结合三角形面积公式计算即可. 【详解】因为满足， 所以分别是的外心与重心，即是各边中垂线的交点，是中线的交点， 设的中点为，连接， 因为是的外心，所以 因为，所以三点共线，即是边上的中线， 因为重心在中线上，且， 所以， 因为是中线，，三点共线， 所以， 所以的面积是 41．在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（    ） A．点G为的重心，若，则 B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C．若则是的外心 D．若点O为内一点，且，则 【答案】C 【分析】根据重心的性质用表示，可得，从而求得判断A；根据余弦定理及二次方程有两根，求得的范围，判断B；由向量的数量积的运算及外心的定义判断C；延长交于点，由向量的线性运算法则及向量共线定理，可得，从而求得面积比，判断D. 【详解】选项A：点为的重心，设中点为，则=， 故，即，， 所以，A正确； 选项B：首先，且必有两种可能的取值， 由余弦定理，得， 故关于的方程必有两个不同的正数解， 所以，解得. 另一方面当时，，所以，所以，且， 所以可能是锐角，也可能是钝角，所以确有两解. 所以的取值范围是，B正确； 选项C：若， 则， 所以，所以点在边的高上，所以不一定是的外心，所以C错误； 选项D：若点为内一点，且，延长交于点， 故存在实数，使得，由于在直线上，故，从而， 即，所以，故，D正确. 42．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，延长交于点，延长交于点，根据和得，从而可以得出，设，，得，，再结合垂心和直角三角形余弦值即可求解. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 由为的垂心，，且， 得，又， 则，，所以， 设，，则,即，， 所以，即，则， 所以， 则. 43．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 44．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 45．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 【答案】①③④ 【分析】将移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得，同理推出，，即可判断①；根据①可知，，，再由三角形内角和定理即可判断②；延长交于点，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证，进而求解③；利用三角形面积公式和奔驰定理即可证明④. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 同理可得，，，所以为的垂心，故①正确； 因为，，所以，， 所以， 又， 所以，又， 所以，故②不正确； 由②知，， 延长交于点，    所以 ， 同理可得， 所以， 所以，故③正确； 由，， 则 ， 同理， 所以， 又， 则，故④正确. 故答案为：①③④. 46．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【分析】设，分析得到是的角平分线，从而，所以点的轨迹经过的内心. 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 47．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 【答案】D 【分析】根据模长相等可判断为的外心，利用重心性质以及向量共线定理可判断为重心；由垂直关系的向量表示可得点为垂心；再结合角平分线性质可判断点为内心. 【详解】由可知，点到三点的距离相等， 可知为的外接圆圆心，即为的外心， 取的中点为，如下图所示：    易知，又，可知； 即在中线上靠近的三等分点， 同理可得为三条中线的交点，即为重心； 由可得，即， 可得，同理可得， 所以点为三条高的交点，因此点为垂心； 易知为沿方向上的单位向量，即； 令，所以，且为等腰三角形，，如下图：    由可得，即, 此时为角的平分线， 同理由可得为角的平分线， 因此可知为三条角平分线的交点，因此点为内心. 故选：D 48．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______. 【答案】2 【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误. 【详解】①当动点P满足时， 则点P是的重心，所以①不正确； ②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线， 所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确； ③变形为， 而，表示点A到边的距离，设为， 所以，而表示边的中线向量， 所以表示边的中线向量， 因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确； ④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确； 故答案为：2. 考点07 线段的定比分点 49．在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 50．在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案； 方法二：设是等腰直角三角形，且，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】方法一：如图，由题意得，， 故 ； 方法二：不妨设是等腰直角三角形，且， 以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 则， 设， 故， 所以，解得， 故． 故选：C． 51．已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【详解】设，则， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为. 52．已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】因为点在线段的延长线上，且，所以点为中点， 设点，则，解得，所以点的坐标为. 故答案为：. 53．已知，，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． (3)若 与垂直，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示和线性运算坐标表示列方程组计算即可求解； （2）根据，设，结合向量线性运算坐标表示计算即可求解； （3）根据向量线性运算坐标表示结合题意列式计算即可求解. 【详解】（1）因为，且， 所以， 所以， 因为，所以可得，解得． （2）因为线段的三等分点为（点靠近点）， 所以， 设，即， 得到，解得，即点的坐标为． （3）， 由于与垂直，∴，∴． 54．已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 考点08 利用向量解决最值和范围问题 55．在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 56．如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定坐标及、，设点坐标，由用表示，再结合列方程组，求解. （2）确定矩形各顶点与坐标，由用表示，再由联立方程，推出，根据范围求出取值区间. （3）由三点共线得，设，写出各点与相关向量，把用线性表示，利用建立等式，求出关于的解析式，化简后借助函数单调性求得最大值. 【详解】（1）如图，以A为原点建立平面直角坐标系， 则，所以， 设点，则，由，得， 所以，即， 设，则， 所以，解得； （2）易知， 由得：， 设，则， 所以，可得. 由于，所以； （3）因为三点共线，且， 所以， 设. 则. 所以， 所以， 又，，所以， 所以， 所以， 若，则，若，则， 由对勾函数性质可知当时，单调递减， 故当时，取得最大值为. 综上所述：的最大值为. 57．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    58．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设则，， 所以， 设，则， 所以，所以， 因为，所以， 即的取值范围是， 故选：C. 59．如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 【答案】2 【分析】构建直角坐标系得，令，则，利用向量线性关系的坐标表示得到，结合三角恒等变换及三角函数的性质求得最大值. 【详解】由题设，构建如图所示的直角坐标系， 则， 设，则，，，， 由，得， 即，，解得， 故， 所以当时， 故答案为：. 60．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 61．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系后结合向量性质可表示出，再利用三角函数的有界性计算即可得. 【详解】以A为原点建立直角坐标系，方向为x轴正半轴，方向为y轴正半轴，    则，，，则，， 设（），则圆方程为， 设，则， ， 可得，， 所以，其中， 当，，取得最大值， 当，，取得最小值， 所以的取值范围为． 故答案为：. 62．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，由，利用向量相等求解. 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系： 则， 所以， 因为， 所以， 则，解得， 所以， 故选：B 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量坐标运算与数量积 考点01 线性运算的坐标表示以及求参 考点02 数量积定义以及坐标表示 考点03 平面向量投影问题 考点04 平面向量模长与夹角问题 考点05 平面向量垂直与共线求参 考点06 向量四心问题 考点07 线段的定比分点 考点08 利用向量解决最值和范围问题 考点01 线性运算的坐标表示以及求参 1．若，，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 3．已知，，则（     ）． A． B． C． D． 4．已知平面向量，则（   ） A． B． C． D． 5．向量，，，，则（   ） A． B．2 C． D． 6．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 考点02 数量积定义以及坐标表示 7．在平行四边形中，，，，则（    ） A．1 B． C． D． 8．在中，，，点满足，则（   ） A．1 B． C． D． 9．已知向量，满足，，，则________. 10．在中，已知点，，，则（     ）． A． B． C．18 D．12 11．在平行四边形中，，，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 12．已知，则（    ） A． B． C．2 D．3 考点03 平面向量投影问题 13．已知向量与的夹角为120°，，，则向量在向量上的投影向量的模为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 14．若向量满足，且，则向量在向量上的投影向量是（  ） A． B． C． D． 15．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是________ 16．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为______. 17．已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（    ） A． B．1 C． D．2 18．已知平面向量，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 考点04 平面向量模长与夹角问题 19．已知，且与的夹角为120°. (1)求的值； (2)求的值； 20．若，均为单位向量，且，则实数k的值可以是（    ）． A． B． C．1 D．3 21．已知平面向量，满足，，且，则_________． 22．已知向量，则________． 23．已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 24．已知向量，，，若与的夹角为钝角，且与的夹角也为钝角，则的取值范围为_____. 25．已知向量，则___________． 26．已知向量，若. (1)求实数的值； (2)求与夹角的余弦值. 27．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是________． 28．设、为单位向量，若，则________. 29．已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 30．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 考点05 平面向量垂直与共线求参 31．已知，向量，，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．0或 32．已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 33．向量，则实数的值为__________. 34．已知为平面向量，且． (1)若，且，求向量的坐标； (2)若，且，求实数的值． 35．已知点，，．若三点共线，则___________；若，则___________． 36．已知点，，向量，若，则实数______. 37．平面内给定三个向量，，，若满足，且，求． 38．已知向量，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或3 D．若，则与的夹角为 考点06 向量四心问题 39．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 40．已知在所在平面内，满足，若，，则的面积是（    ） A．2 B．3 C． D．4 41．在中，内角A，B，C所对应边分别为a，b，c，则下列说法不正确的是（    ） A．点G为的重心，若，则 B．若满足，，的有两解，则t的取值范围为 C．若则是的外心 D．若点O为内一点，且，则 42．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为且.若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 43．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 44．已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（    ） A．重心，内心，外心 B．重心，外心，垂心 C．垂心，内心，重心 D．外心，重心，内心 45．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedes-Benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理）．“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是______（填序号）    ①是的垂心；②； ③；④ 46．已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 47．点在所在平面内，满足，，，.则点依次为的（    ） A．重心、外心、内心、垂心 B．外心、重心、内心、垂心 C．重心、垂心、外心、内心 D．外心、重心、垂心、内心 48．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题： ①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中； ②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中； ③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中； ④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为______. 考点07 线段的定比分点 49．在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 50．在中，点D是线段AB上靠近B的四等分点，点E是线段CD上靠近D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 51．已知平面上两点为直线上一点，且，则点的坐标为__________. 52．已知，点在线段延长线上，且，则点的坐标为__________． 53．已知，，，设，，． (1)若，求实数，的值； (2)若为线段靠近点的三等分点，求点的坐标． (3)若 与垂直，求的值． 54．已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 考点08 利用向量解决最值和范围问题 55．在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 56．如图，在矩形中，，点在边上运动（含端点），点在边上运动（含端点），与交于点. (1)若是的中点，，，求实数的值； (2)若是的中点，，求实数的取值范围； (3)若，，求的最大值. 57．在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 58．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．如图，已知扇形半径为1，，弧上的点满足，则的最大值是__________． 60．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 61．如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及其内部的动点，（λ，μ为实数）则的取值范围为________．    62．如图，在直角梯形中，，，，为的中点，若，则的值（    ） A． B． C．2 D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $