专题06 平面向量基本定理与线性运算（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

**基本信息** 以平面向量基本概念为起点，通过运算应用、基底定理、线性运算、参数求解到共线应用，构建层层递进的知识逻辑，题型覆盖选择、填空、解答，突出数学抽象与几何直观的核心素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本概念|4题|概念辨析选择|从向量定义到性质判断，夯实基础| |加减乘法应用|6题|运算化简与几何图形应用|运算规则到几何情境转化| |基底定理|5题|基底判断选择|基本定理的核心要素识别| |线性运算|6题|几何图形中向量表示|基底法在图形中的线性分解| |求参|6题|含参数的向量表示解答|方程思想解决参数问题| |共线定理应用|7题|三点共线证明与参数求解|共线条件的应用与拓展|

专题06 平面向量基本定理与线性运算 考点01 平面向量基本概念 考点02 向量的加减乘法的应用 考点03 平面向量基本定理（基底） 考点04 平面向量基本定理的线性运算 考点05 利用平面向量基本定理求参 考点06 共线定理的应用（三点共线） 考点01 平面向量基本概念 1．是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 3．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫相等向量 B．零向量的长度是0 C．若，则 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 考点02 向量的加减乘法的应用 5．设是平面上的任意五点，试化简： (1)； (2)； (3). 6．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 7．化简：等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，在中，点是线段的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 10．根据如图的平行六面体，化简下列各式：    (1)； (2). 考点03 平面向量基本定理（基底） 11．设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 12．设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 13．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 14．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 15．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 16．如图，在中，，，且与交于点，设，则（   ） A．-1 B． C． D． 考点04 平面向量基本定理的线性运算 17．在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．3 D．4 18．如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 19．如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 20．在四边形中，，，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 21．在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 22．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 考点05 利用平面向量基本定理求参 23．如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. (1)当时，用向量表示与； (2)求证：为定值. 24．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 25．如图，在等腰梯形中，，，与相交于点，过点作直线，分别交延长线上于点，交于点，，，，． (1)求，，，的值； (2)求的最小值． 26．如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若点G在线段上运动，设，求的取值范围． 27．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 28．如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 考点06 共线定理的应用（三点共线） 29．已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 30．设向量和不共线．若，，，且A，C，F三点共线，则实数k的值为______． 31．在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 32．如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 33．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 34．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 35．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 36．在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量基本定理与线性运算 考点01 平面向量基本概念 考点02 向量的加减乘法的应用 考点03 平面向量基本定理（基底） 考点04 平面向量基本定理的线性运算 考点05 利用平面向量基本定理求参 考点06 共线定理的应用（三点共线） 考点01 平面向量基本概念 1．是或的（　　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若或，则必有，故必要性成立； 若，不一定有或，例如方向不同但模相等的向量，故充分性不成立； 因此是或的必要非充分条件． 2．下列说法正确的是（   ） A．单位向量有且仅有一个 B．零向量的模长为零，方向任意 C．模长为的两倍的向量是 D．相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【分析】根据单位向量，零向量，平面向量及相反向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 3．下列说法正确的是（    ） A．长度相等的向量叫相等向量 B．零向量的长度是0 C．若，则 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【详解】长度相等，且方向相同的向量叫做相等向量，所以A不正确； 零向量的长度为0，所以B正确； ，只能说明与的长度相等，并不能确定其方向，所以C不正确； 共线向量也叫做平行向量，只需保证方向相同或相反即可， 所以并不一定在同一条直线上，所以D不正确. 4．下列关于向量的命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A和B，由，得的模相等，而它们的方向不确定，则向量不一定共线，所以A和B均错误； 对于C，取，满足，而可为任意方向，则不一定共线，C错误； 对于D，，由相等向量的意义，得，D正确. 考点02 向量的加减乘法的应用 5．设是平面上的任意五点，试化简： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用向量加法交换律、结合律和三角形法则化简即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式， . 6．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加、减法运算，对四个选项一一计算即可. 【详解】对于A：，故A能化简为； 对于B：，故B不能化简为； 对于C：，故C能化简为； 对于D：，故D能化简为. 7．化简：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量运算求得正确答案. 【详解】 . 8．如图，在矩形ABCD中，E为CD中点，那么向量等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为四边形是矩形，且E为CD中点， 所以，且且， 所以. 9．如图所示，在中，点是线段的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：. 10．根据如图的平行六面体，化简下列各式：    (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量加、减法的几何意义求解即可； （2）由向量加、减法的几何意义求解即可； 【详解】（1） . （2）. 考点03 平面向量基本定理（基底） 11．设是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】由平面向量基底定义可判断选项正误. 【详解】平面内不共线的一组向量可作为一组基底，则不可以作为基底的两向量共线. 对于A，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，A错误； 对于B，假设两向量共线，则存在实数，使，显然满足等式，故这组向量共线，B正确； 对于C，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，C错误； 对于D，假设两向量共线，则存在实数，使，显然不存在，故这组向量可作为一组基底，D错误. 12．设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】由，是平面内所有向量的一组基，得不共线， 对于A，由，得和不共线，A不是； 对于B，由，得和共线，B是； 对于C，由，得和不共线，C不是； 对于D，由，得和不共线，D不是. 13．设，是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】对于A，设存在实数使得，整理可得， 因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，该方程无实数解， 说明不存在这样的实数，所以和不共线，可以作为基底，选项A错误. 对于B，，所以和共线，不能作为基底，选项B正确. 对于C，设存在实数使得，整理可得， 因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，该方程无实数解， 说明不存在这样的实数，所以和不共线，可以作为基底，选项C错误. 对于D ，，因为，是平面内所有向量的一组基底，所以，不共线，因此和也不共线，可以作为基底，选项D错误. 14．下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，共线，不可以作为基底，A错误； 对于B，，共线，不可以作为基底，B错误； 对于C，，不可以作为基底，C错误； 对于D，与为不共线的非零向量，可以作为一组基底，D正确. 15．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即， 所以三点共线，，即，因此，即A正确. 16．如图，在中，，，且与交于点，设，则（   ） A．-1 B． C． D． 【答案】B 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为，，三点共线，且，所以 又因为，，三点共线，且， 所以， 可得，解得，， 所以. 考点04 平面向量基本定理的线性运算 17．在平面四边形中，，向量的夹角为，，，则（ ） A．1 B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用向量线性运算，向量数量积以及求向量模长公式分析计算即可. 【详解】如图所示，延长交于点， 由题意知向量的夹角为， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 所以 ， 又， 所以，即. 18．如图，在中，点D是的中点，点E是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】因点E是的中点，点D是的中点， 所以 . 19．如图，在矩形中，为边上靠近点的三等分点，为边上靠近点的四等分点，且线段交于点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先把用表示出来，然后利用共线定理设，，联立方程即可求解. 【详解】 在矩形中，， 由题意：为靠近的三等分点，故； 为靠近的四等分点，故， 因为在上，设， 又因为在上，根据向量共线定理，存在参数使得： ， 代入得： ， 两个表达式对应系数相等： ， 联立得，解得，代入得. 因此. 20．在四边形中，，，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 则 . 21．在中，为的中点，点在边上，且．若与相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设，再根据条件和三点共线，求，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，因为点三点共线， 所以，得， 所以. 22．如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 考点05 利用平面向量基本定理求参 23．如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，其中，. (1)当时，用向量表示与； (2)求证：为定值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出； （2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系. 【详解】（1）因为AQ为边BC的中线， 所以， 当时，，所以； （2）由（1）可知， 所以， 而， 所以 又因为M，P，N三点共线， 所以 ，可得（定值）. 24．如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P． (1)求中线BN的长； (2)若，，、，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示中线对应的向量，结合向量模长公式、数量积运算规则求解 的长度； （2）通过两种不同的线性运算方式表示，利用平面向量基本定理的系数唯一性列方程. 【详解】（1）由题意得，， ∵ 是边上的中线， ∴ 为的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 代入已知数值得 ， ∴ ，即中线 的长为. （2）∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ①， ∵ ， ∴ ②， ∵ 不共线，根据平面向量基本定理，①②中的对应系数相等， ∴ ， 解得 ， ∴ . 25．如图，在等腰梯形中，，，与相交于点，过点作直线，分别交延长线上于点，交于点，，，，． (1)求，，，的值； (2)求的最小值． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】（1）根据用基底表示向量及向量相等求解即可. （2）用，表示出，由，，三点共线，得到，结合基本不等式，求解即可. 【详解】（1）因为，，与相交于点，所以， 所以，所以，， ，所以，． （2）因为，，， 所以，且，. 又，，三点共线，所以， 所以， 当且仅当时，取，时，等号成立. 所以的最小值为． 26．如图所示，已知梯形中，，，E为线段BC的中点，且线段BD与AE的交点为F，设，． (1)用，表示； (2)求的值； (3)若点G在线段上运动，设，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）结合已知条件，用基底法表示向量； （2）用基底法表示向量，再利用平面向量基本定理构造方程组求出相关比例； （3）用基底法表示向量得出的表达式，进而结合对勾函数性质求值域． 【详解】（1），，， ， E为线段BC的中点， ， ． （2）设，则，， ， 又共线， 存在一个实数，使得， ，两式相除可得，即． （3）设，； ，， ， ， ， ，解得， ，， 令， 函数在上单调递增，如下图所示： 当时，取最小值，最小值为1； 当时，取最大值，最大值为； ． 27．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 28．如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为为边上的中线， ， 因为，，所以，， 所以. （2）解法一：因为三点共线， 所以存在实数，使得， 因为三点共线， 所以存在实数，使得， 所以， 根据平面向量基本定理可得：，解得： 所以， 因为，所以，，即. 解法二：过作的平行线，交于点， 在中，因为，所以∽， 因为，所以， 因为为中点，所以，即， 因为，所以， 因为三点共线，所以， 因为，所以 考点06 共线定理的应用（三点共线） 29．已知，则下列一定共线的三点是（   ） A．A，B，C B．A，B，D C．B，C，D D．A，C，D 【答案】B 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项，设 ，则 ，即 无解，A错误； 对于B选项， ，所以三点共线，B正确； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 30．设向量和不共线．若，，，且A，C，F三点共线，则实数k的值为______． 【答案】2 【分析】根据已知得，利用向量共线的基本定理有，列方程组求参数值即可得. 【详解】∵，， ∴， ∵A，C，F三点共线， ∴，从而存在实数，使得， ∴，又，是不共线的非零向量， ∴，因此． 31．在中，点在线段上，点在线段上，且满足，．若（，），则的值为_____． 【答案】 【分析】由向量的线性运算求解. 【详解】 所以（的系数），（的系数） 则 32．如图，在中，为的四等分点，且靠近点，，分别为，的三等分点，且分别靠近，两点，设，． (1)试用，表示，，； (2)证明：，，三点共线． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）由平面向量的线性运算进行求解； （2）由平面向量的共线定理进行证明． 【详解】（1）在中，因为，，所以， ， ； （2）因为， ， 所以，所以与共线，且有公共点， 所以，，三点共线． 33．如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 34．在中，，是上一点，若，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 设，， 则. 代入，得. 又，所以，解得. 因此. 35．如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=__________ 【答案】 【详解】在平行四边形中，，对角线交点是中点， 因此， 因为是的中点，所以， ， ，得，，因此. 36．在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得解. 【详解】由题意可得， ，所以， 故， 因为、不共线，且，则，， 故. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $