专题05 函数y=Asin（wx+φ）的图像（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角函数图象变换与解析式综合应用，构建从基础变换到实际建模的完整训练体系，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数图象变换过程|6题|选择为主，考查伸缩平移顺序与量|从变换规则到逆向推理| |求图象变化前后的解析式|6题|选择填空，含双向变换|变换规则的正向应用| |利用图象确定函数解析式|6题|填空选择解答，结合图象特征|由形到数的转化| |利用三角函数性质确定函数解析式|6题|选择解答，结合周期最值对称|由性质推导参数| |三角函数的图象变换后解三角函数的性质|5题|选择解答，含单调性对称性|变换后性质分析| |正、余弦型三角函数图象的应用|6题|选择填空解答，零点交点问题|图象与方程综合| |三角函数实际应用问题|5题|解答为主，水车潮位模型|数学建模与应用|

专题05 函数y=Asin(wx+φ)的图像 考点01 三角函数图象变换过程 考点02 求图象变化前后的解析式 考点03 利用图象确定函数解析式 考点04 利用三角函数性质确定函数解析式 考点05 三角函数的图象变换后解三角函数的性质 考点06 正、余弦型三角函数图象的应用 考点07 三角函数实际应用问题 考点01 三角函数图象变换过程 1．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变， 得到新函数的图象， 根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：， 可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象， B选项正确. 2．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】应用三角函数的伸缩变化结合平移规则计算求解. 【详解】正弦函数各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到. 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】易知函数， 因此只需将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变可得到， 再将其向右平移个单位长度可得到. 因此只需将函数的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 再向右平移个单位长度可得到函数的图象. 4．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：由题可知，又，所以. 5．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】首先根据诱导公式化为同名三角函数，再根据变换规律求解. 【详解】， 将的图象上所有的点横坐标变为原来的（纵坐标不变），变为， 再向左平移个单位，得到函数. 6．只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】要得到函数的图象，需要把函数的图象各点的横坐标缩短到原来的， 再向左平移个单位长度得到. 考点02 求图象变化前后的解析式 7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将的图象先向左平移个单位长度，得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为． 8．将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图像相同（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移伸缩得出三角函数解析式. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，得出， 再向右平移个单位，得到. 9．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到图象对应的函数解析式为， 再将所得图象向右平移个单位长度， 得到的图象对应的函数解析式为. 10．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的平移及逆向变换思路求解即可. 【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得到. 所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到. 又，所以. 11．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解. 【详解】把函数图象向右平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到. 12．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得. 考点03 利用图象确定函数解析式 13．函数（，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则________． 【答案】 【详解】由函数的部分图象知，， 该函数的最小正周期，因，则． 又时，， ，解得， ， 故． 14．已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 【答案】/ 【分析】由最值点确定周期，由周期得出，然后再由最低点或最高点确定. 【详解】由题意，， ，， 又因为，所以. 15．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先根据图象的已知点坐标求出的解析式，根据平移变换求出的解析式即可判断 【详解】由题意可得，，得，所以 ， 又因为，所以当时，，函数； 由，得，所以，， 即，又，所以， 当时，，所以函数； 将的图象向右平行移动个单位长度，得函数， 所以，. 16．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点，中心对称 C．函数在单调递减 D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 【答案】D 【详解】∵ 由图象可知，函数的最大值为，最小值为，且，故. ∵ 函数最高点横坐标为，相邻零点横坐标为，二者间隔为，对应个周期， ∴ ，即，故，则. 将最高点代入得，即， 又，故，解得，即. 对选项A：∵ 的最小正周期，不是，∴ A错误. 对选项B：令，，解得，，即函数对称中心为，，与，不一致，∴ B错误. 对选项C：当时，， ∵ 在上单调递减，在上单调递增， ∴ 在上不是单调递减，∴ C错误. 对选项D：将图象向右平移个单位长度，得， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，符合要求，∴ D正确. 17．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意由三角函数的对称性得到，再结合正弦函数的周期性和最值求解即可． 【详解】如图， 由三角函数的对称性可得阴影部分的面积等于矩形和矩形的面积之和， 又，所以， 因为函数图象向左平移个单位长度得到的图象，所以 ， 所以 ，即，故， 由图象可得，所以，则， 又 ，所以 ，则， 又，所以． 18．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【答案】 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 考点04 利用三角函数性质确定函数解析式 19．若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用函数过已知点求解，再根据零点的最小距离求解，最后代入计算函数值. 【详解】因为 图象过点， 所以 ，所以， 因为，所以， 令 ，所以， 所以，或, 解得，或, 相邻零点的最小距离是， 由题意的任意两个零点，之间距离的最小值为， 所以，所以，所以， 所以. 20．已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的最大值、最小正周期、过点，依次求得，从而确定正确答案. 【详解】由于的最大值为，所以. 由于的最小正周期，所以. 所以， 代入点，得， 由于，所以. 所以. 21．已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出和的值，进而得到函数的解析式； （2）先求出函数的单调递增区间，再结合给定区间确定的最大值； （3）令，将问题转化为关于的不等式恒成立问题，再借助二次函数性质求解的取值范围. 【详解】（1）由，且，得，相邻对称轴距离为，故周期. 由，得. 因此，函数解析式为：. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 已知函数在区间上单调递增，令，可得单调递增区间为， 所以，即实数的最大值为. （3）当时，，故. 令，则不等式对所有恒成立. 设，这是开口向上的二次函数，只需端点满足不等式： 当时： 当时： 综上，的取值范围为. 22．已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 23．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：的图象关于点对称； 条件②：的图象关于直线对称． (1)请写出你选择的条件序号，并求的解析式； (2)在（1）的条件下，求的单调递增区间； (3)在（1）的条件下，记函数为在区间上的最小值，试写出的解析式（不用写出过程）． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)条件①，；条件②． (2)． (3) 【分析】（1）选择条件①，通过正弦函数对称中心代入即可求解，选择条件②，通过正弦函数对称轴代入即可求解； （2）通过正弦函数单调区间，整体代换即可求解； （3）借助正弦型函数的单调区间，通过讨论，，，即可求解. 【详解】（1）因为函数f（x）＝的最小正周期为， 所以， 选择条件①： 因为的图象关于点对称， 所以，所以， 因为，所以，故的解析式为． 选择条件②： 因为的图象关于直线对称，所以， 所以，因为，所以， 故的解析式为． （2）令， 所以， 故的单调递增区间为． （3）令， 所以， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 且，， 所以当， 当， 当， 即 24．已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出周期可得，再由对称中心求出，根据正弦型三角函数的性质求最小值即可得解； （2）根据函数图象的变换求出解析式，由正弦型函数的性质及所给条件列出不等式，求参数的取值范围即可 【详解】（1）函数且图象上相邻两个最高点的距离为，函数的最小正周期为，则， 又关于点中心对称，， 则，而，所以， ． 当时，，当，即时，取得最小值1． 要使恒成立，则的取值范围是． （2）由题意，函数． ，要使函数有且仅有4个零点， 则，解得，所以的取值范围是． 考点05 三角函数的图象变换后解三角函数的性质 25．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（   ）. A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．图像关于直线对称 D．图像关于点对称 【答案】A 【分析】利用逆向变换求出的解析式，利用三角函数的周期公式、单调区间判断选项A、B，根据对称轴与对称中心的性质判断C、D. 【详解】将沿x轴向右平移个单位长度，横坐标变为原来的， 可得. 选项A，的，最小正周期，A正确； 选项B，当时，，在单调递增， 在单调递减，故在不是单调递减，B错误； 选项C，正弦函数对称轴处函数值为，代入： ，因此不是对称轴，C错误； 选项D，正弦函数对称中心处函数值为，代入： ，因此不是对称中心，D错误. 26．已知函数，且的图像过点. (1)求的值及函数的最小正周期； (2)将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，已知，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用两角和正弦公式和二倍角的正余弦公式化简得，代入点的坐标求得，进而利用正弦型函数的最小正周期公式可求得函数的最小正周期； （2）利用图像平移知识求得的解析式，进而可求得，利用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）函数. 因为的图像过点，所以， 所以，，即.再结合，可得， 所以，故它的最小正周期为. （2）将的图像向右平移个单位， 得到函数的图像. 因为，所以， 所以. 27．已知函数. (1)求函数的对称中心； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，由，得到，可得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 令，解得， 所以函数的对称中心为； （2）解：函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 可得， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得， 因为，所以， 又由， 可得 所以在的值域为. 28．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 【答案】(1)，对称中心为，. (2). 【分析】（1）先按照三角函数图象变换规则，依次对做横坐标缩短、纵坐标伸长、向右平移变换，逐步化简求出解析式，再利用余弦函数对称中心的性质，令相位等于解出，即可写出对称中心坐标. （2）先代入方程化简得到余弦等式，确定在给定区间内对应相位的范围，利用余弦函数在该区间内的轴对称性，得出两根满足的关系式，求出的值，再代入余弦公式算出结果. 【详解】（1）①横坐标缩短到原来的：将中替换为，得. ②纵坐标伸长到原来的2倍：将函数值乘以2，得. ③向右平移个单位：根据“左加右减”，得. 令，，解得，， 所以对称中心为，. （2）由，得，即. 令 已知，则. 方程的解关于函数直线对称，即，即. 化简得，故. 29．已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值． (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，；， (3) 【分析】（1）先根据最值得出，再根据周期得出，最后代入点结合求值得出解析式； （2）应用换元法结合正弦函数最值求解； （3）先根据平移得出解析式，再结合正弦函数图象及方程的解列式计算求解. 【详解】（1）由图知，，函数的最小正周期满足， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是． （2）因为，所以， 则当时，即当时，， 当时，即当时，； （3）的图象向右平移个单位长度得到， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到. 由，可得， 因为在上有两个解，所以与在上有两个交点， 作出函数的图象. 由图知,，解得， 即a的取值范围为． 30．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A．[]， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质判断即可 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到， 令，，解得，， 故的单调递增区间为，，故C正确 考点06 正、余弦型三角函数图象的应用 31．已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，且是偶函数．若在上有且只有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据周期公式求得，根据函数平移及为偶函数得出，再利用换元法数形结合即可求解． 【详解】因为的最小正周期为，所以， 将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到， 因为是偶函数，所以， 又，所以，则， 当时，设， 则在上有且只有4个零点等价于在上只有4个零点， 数形结合可知，，解得． 32．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象结合周期和特殊点可求解析式； （2）利用换元法，结合图象对称性可求的值，进而可得结果. 【详解】（1）由图象的最低点纵坐标为，可得， 由图可知，所以，解得. 函数为，代入可得， 所以，即，由，可得， 所以. （2），令，可得， 设，则，设，则； 作出简图如下，由图可知，； 所以 ， . 33．（多空题）已知函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则______，______． 【答案】 / 1 【分析】利用倍角公式辅助角公式及周期求出，利用图象的对称性即可求解. 【详解】函数 由，可得， ． 画出的图象，如图： 结合图象知， 则． 故答案为：， 34．已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先根据经过点，得出只能为整数，排除选项A，C；再结合图像可验证选项B满足题意，选项D不满足题意. 【详解】由题意知经过点， 因此，得：， 即只能为整数，排除选项A，C； 当时，作出与在上的图象： 由图像可得：与的图象在上有5个公共点，满足题意. 当时，作出与在上的图象： 由图象可得：与的图象在上有7个公共点，不满足题意. 故选：B. 35．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则为奇函数 D．若是的两个零点，则当取最小值时，的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用辅助角公式对函数进行变形，根据对称性、平移性质及奇偶性分析判断选项A、B、C；选项D根据函数零点及取最小值得到与的关系，结合和差公式及辅助角公式对进行化简，求出最值即可. 【详解】. 选项A：由，可得的图象的对称轴为， 当时，对称轴为，所以的图象关于直线对称，故A正确； 选项B：由，可得的图象的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象不关于点对称，故B错误； 选项C：将函数的图象向右平移个单位长度， 则， 再向下平移1个单位长度，则， 满足，所以为奇函数，故C正确； 选项D：令，则， 因为是的两个零点，所以或， 解得或， 所以，不妨设，则， 则 ， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 36．已知函数满足：对任意，有． ①的最小值为________； ②若恰有三个不同的值，使得在上单调递增，则正数的取值范围是________． 【答案】 【分析】①根据题意要得出，从而可求解出，即可得的最小值； ②根据不同的值作出函数图象，再根据图象去分析区间端点值的范围，最后根据三个的值满足题意，来确定最终的取值范围. 【详解】①因为，且对任意的， 所以，，即， 所以，，则， 因为，故当时，取最小值； ②当时，，作图如下： 则在区间上递增，由于，则， 所以，则有，解得； 当时，，作图如下： 则在区间上递减，由于，则， 所以在不可能递增，故此时不满足题意； 当时，，作图如下：    则在区间上递增，由于，则， 所以，则有，解得； 当时，，作图如下： 则在区间上递减，由于，则， 所以在不可能递增，故此时不满足题意； 当时，，作图如下：     则在区间上递增，由于，则， 所以，则有，解得； 当时，，作图如下：      则在区间上递减，由于，则， 所以在不可能递增，故此时不满足题意； 当时，，作图如下：      则在区间上递增，由于，则， 所以，则有，解得； 综述以上四个不同的值以及满足题意的的取值范围分别是： 当时，；当时，； 当时，；当时，； 由于恰有三个不同的值，使得在区间上递增， 则正数的取值范围是， 故答案为：①；②. 【点睛】方法点睛：利用数形结合，根据不同的值，作出相应的图象，再根据单调区间中必有元素1，根据1这个隐藏条件，再去找到相应的递增区间来求出的取值范围，最后分析仅满足三个不同的值来确定最终的取值范围. 考点07 三角函数实际应用问题 37．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据角速度，结合三角函数的定义，即可列式求解； （2）根据（1）的结果，利用“五点法”作图； （3）根据（1）的结果，解不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设 由，即， ，， 所以 故函数 （2）由知， 根据题意列表如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3）由（1）知 易知的最小正周期, 根据函数的周期性，取第一圈内的数据进行分析即可， 所以水车旋转一圈，水车上点的纵坐标大于等于时， 则有，且， 所以， 解得， 水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间， 故水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间为． 38．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一圈．如果水车上一点从水中浮现时（图中）开始计时，经时秒后，水车旋转到点，则下列说法错误的是（   ） A．点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B．第30秒和第70秒时，点在水面以上且距离水面的高度相同 C．在转动一圈内，点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒 D．当时，点距离水面的最大高度为6米 【答案】D 【分析】由题意可知，再设角是以为始边，为终边的角，可求得高度与时间的关系，进而根据三角函数图象性质进行判断. 【详解】如图，建立平面直角坐标系： 由题意可知， 设角是以为始边，为终边的角, 则点距离水面的高度关于时间的函数为, 即，解得, 故高度， 当时，，，得， 所以. 对于A，当时，即， 解得，当时，, 所以点第一次到达最高点需要的时间为秒，故A正确； 对于B,当时，， 当时，，故B正确； 对于C，当时，即， 则，即， 解得, 当时，，满足条件，故C正确； 对于D，当时，则， 所以， 即,则点距离水面的最大高度为,故D错误. 故选：D. 39．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则_______________. 【答案】 【分析】由函数模型，通过圆的半径为，圆心距离水面，可以计算出与的值，通过每分钟转动5圈，计算出周期即可求得的值，最后通过点位置求解的值.进而求得函数解析式. 【详解】由题意知，函数模型中，由于圆的半径为，圆心距离水面，可得：，， 又，所以， 又，得：，显然，所以， 综上可得：. 故答案为： 40．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 【答案】(1)， (2)图象见解析，答案见解析 【分析】（1）根据条件中的数据，由最值求和，以及根据周期和初相求和，即可求函数的解析式； （2）由条件转化为进港条件为，根据（1）的结果求的的值，再结合函数的图象，即可求解. 【详解】（1）从数据和图形可以得出： 由题意可知，，得，， ，；由，得， 所以这段曲线的函数解析式为，． （2）货船需要的安全水深为米，所以，进港条件为. 如上图所示，在点后或点后可以进港. ，与在区间有四个交点. 令，即， 因此，由，及得（时）时2分，（时）时10分. 由函数的周期性得：时2分+12时24分=13时26分，时10分+12时24分=17时34分. 因此，货船可以在1时10分左右进港，早晨5时20分左右出港；或在下午13时30分左右进港，下午17时40分左右出港．每次可以在港口停留约5小时． 41．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. (1)求函数的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）根据（1）所得解析式求出点，结合图象的连续性求参数，进而求点P，即可求面积. 【详解】（1）由图象，可知，， 将代入中，得， 所以. ∵， ∴，故. （2）在中，令，，则， 由在曲线OD上，则，故曲线为，则， ∴矩形PMFE的面积为，即儿童乐园的面积为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数y=Asin(wx+φ)的图像 考点01 三角函数图象变换过程 考点02 求图象变化前后的解析式 考点03 利用图象确定函数解析式 考点04 利用三角函数性质确定函数解析式 考点05 三角函数的图象变换后解三角函数的性质 考点06 正、余弦型三角函数图象的应用 考点07 三角函数实际应用问题 考点01 三角函数图象变换过程 1．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 2．只需要把图象上（    ），即可得到的图象. A．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 B．各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度 C．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 D．各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 3．要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 B．横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 C．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 4．将函数的图象向右平移（）个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（   ） A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位 B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位 C．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度 6．只需要把函数的图象（   ），即可得到函数的图象. A．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 B．各点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位长度 C．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 D．各点的横坐标伸长到原来的倍，再向左平移个单位长度 考点02 求图象变化前后的解析式 7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 8．将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图像相同（    ） A． B． C． D． 9．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 10．把函数图像上所有点的横坐标扩大为原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 11．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 12．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 考点03 利用图象确定函数解析式 13．函数（，，是常数，，，）的部分图象如图所示，则________． 14．已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 15．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 16．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点，中心对称 C．函数在单调递减 D．将该图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得的图象 17．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，，且图中阴影部分的面积为，则（    ） A． B． C． D． 18．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 考点04 利用三角函数性质确定函数解析式 19．若函数图象过点，的任意两个零点，之间距离的最小值为，则（    ） A． B．0 C． D．1 20．已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 21．已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，，求的取值范围． 22．已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 23．已知函数的最小正周期为，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件： 条件①：的图象关于点对称； 条件②：的图象关于直线对称． (1)请写出你选择的条件序号，并求的解析式； (2)在（1）的条件下，求的单调递增区间； (3)在（1）的条件下，记函数为在区间上的最小值，试写出的解析式（不用写出过程）． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 24．已知函数的图象关于点中心对称，且图象上相邻两个最高点的距离为． (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)将函数的图象的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将其向右平移个单位，得到函数的图象．若，函数有且仅有4个零点，求实数的取值范围． 考点05 三角函数的图象变换后解三角函数的性质 25．将函数图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将图像沿x轴向左平移个单位长度，得到，则下列结论正确的是（   ）. A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．图像关于直线对称 D．图像关于点对称 26．已知函数，且的图像过点. (1)求的值及函数的最小正周期； (2)将的图像向右平移个单位，得到函数的图像，已知，求的值. 27．已知函数. (1)求函数的对称中心； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在的值域. 28．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 29．已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值． (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围． 30．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的单调递增区间为（   ） A．[]， B．， C．， D．， 考点06 正、余弦型三角函数图象的应用 31．已知函数的最小正周期为，将的图象上所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，且是偶函数．若在上有且只有4个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)函数，的图象与直线恰有三个公共点，记三个公共点的横坐标分别为且，求的值． 33．（多空题）已知函数的最小正周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，则______，______． 34．已知函数与的图象在上恰有5个公共点，且其中一个公共点的坐标为，则的值为（    ） A． B．2 C． D．3 35．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，则为奇函数 D．若是的两个零点，则当取最小值时，的最大值为 36．已知函数满足：对任意，有． ①的最小值为________； ②若恰有三个不同的值，使得在上单调递增，则正数的取值范围是________． 考点07 三角函数实际应用问题 37．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 38．水车在古代是进行灌溉的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水车圆心在水面以上距离水面3米，已知水车每60秒转动一圈．如果水车上一点从水中浮现时（图中）开始计时，经时秒后，水车旋转到点，则下列说法错误的是（   ） A．点第一次到达最高点需要的时间为20秒 B．第30秒和第70秒时，点在水面以上且距离水面的高度相同 C．在转动一圈内，点在水面以上且距离水面米以上的持续时间为10秒 D．当时，点距离水面的最大高度为6米 39．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆，筒车上的盛水桶抽象为圆上的点，已知圆的半径为，圆心距离水面，且当圆上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间，点的高度随时间（单位秒）变化时满足函数模型，则_______________. 40．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋下表是某港口某天的时刻与水深关系的预报. 时刻 水深m 时刻 水深/m 时刻 水深m 0:00 5.0 9：18 2.6 18：:36 5.0 3:06 7.4 12：24 5.0 21：:42 2.6 6:12 5.0 15：:30 7.4 24：00 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天该港口的水深与时间的关系，请写出这段曲线的函数解析式. (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与洋底的距离），请结合图像说明货船进港的必要条件，并求该船这一天何时能进入港口？在港口能呆多久？ 41．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. (1)求函数的解析式； (2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $