专题03 正弦定理与余弦定理（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

**基本信息** 以8大考点构建解三角形知识体系，从基础应用到综合拓展，逻辑递进，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01|4题|已知边角求未知量|直接应用定理，夯实基础| |考点02|6题|边角关系转化|体现定理核心转化思想| |考点03|6题|面积计算|综合定理与面积公式应用| |考点04|6题|形状判断与解的个数|延伸定理性质应用| |考点05|6题|边长/周长最值|结合不等式或三角函数有界性| |考点06|6题|面积最值|综合应用定理与最值思想| |考点07|6题|几何图形应用|复杂图形转化为三角形问题| |考点08|6题|实际应用|数学语言描述现实问题，培养应用意识|

专题03 正弦定理与余弦定理 考点01 利用正、余弦定理解三角形 考点02 正、余弦定理边角互换 考点03 三角形面积公式的应用 考点04 判断三角形形状与解的个数问题 考点05 三角形中边长或周长的最值或范围 考点06 三角形中面积的最值或范围 考点07 几何图形中正、余弦定理的应用 考点08 解三角形实际应用 考点01 利用正、余弦定理解三角形 1．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则此三角形的最大边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，所以，则所对的边最大， 由，可得 2．在中，已知，，，则______________． 【答案】 【详解】由正弦定理得：， 因为，，所以，所以 3．解下列三角形： (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)，， (2)共两组解： ① ， ， ② ，， 【分析】（1）由余弦定理可求得，由等腰三角形的性质求得，进而可求； （2）由正弦定理可得，可求得或，进而分类讨论可解三角形. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理可得， 所以，所以，所以，所以； （2）在中，由正弦定理得，又因为，， 所以，解得， 又因为，所以或， ①，当时，所以，由， 所以； ②，当时，所以，由， 所以； 综上所述：① ， ，；② ，，. 4．中，角，，所对的边分别为，，，则________． 【答案】/ 【分析】首先根据余弦定理求出，然后根据同角三角函数的关系即可求解. 【详解】， ． 考点02 正、余弦定理边角互换 5．在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 【答案】1 【详解】∵，，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 设该三角形外接圆的半径为，由正弦定理得，∴. 6．在中，内角，，所对的边分别是，，c．若，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】在中，由正弦定理得， . 7．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】C 【分析】利用正弦定理可得，结合三角恒等变换运算求解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得，所以. 8．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 【答案】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以． 所以． 9．已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 【答案】/ 【详解】由正弦定理， ， 代入得： ， 由余弦定理得， ， ． 10．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合题意可得结果. 【详解】由余弦定理得. ∵，∴. 考点03 三角形面积公式的应用 11．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解. 【详解】在中，由及的面积为， 得，即，解得， 由正弦定理，得， 因此，所以. 12．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用正弦定理求出角，再结合三角形内角和定理求出角，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，即，解得， 因为，则，所以， 因此， 所以的面积为. 13．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求解. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理可得： ，又因为，， 所以，化简得：， 所以. 14．在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合三角形内角和定理及两角和差的正弦公式化简，即可求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 所以， 又，所以， 所以，所以， 又，即， 由得， 所以，又，即， 所以， 所以的面积为，解得，所以. 15．在中，，，，则的面积为______. 【答案】 【分析】先利用两角和的正弦公式求出 ,再由正弦定理算出sin并结合边角大小确定,接着用三角形内角和求出,最后代入两边及夹角正弦的面积公式化简,求得三角形面积. 【详解】由正弦定理：，代入得. 而. 故. 因为，故为锐角，. . 面积 16．已知的内角所对的边分别为.若，且平分，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式，可得角A，根据条件，结合面积公式，代入求解，可得b，c的值，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意， 所以， 因为，所以， 因为平分，所以， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 则，所以，即， 则，因为，所以，则， 所以. 考点04 判断三角形形状与解的个数问题 17．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 18．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 【答案】D 【详解】对于A,由正弦定理，则， 则三角形是直角三角形，只有1解，故A错误； 对于B,由正弦定理，则， ，故，可能是锐角或钝角，故三角形有两解，故B错误； 对于C,由正弦定理，则， ，故，三角形只有1解，故C错误； 对于D,，为钝角且，故必为锐角， 三角形有1解，故D正确． 19．已知在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，符合条件的有两个，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及恒等变形化简得，结合三角形内角得到角； （2）法一：由正弦定理得，即有两解，且，进而得到，再求即可；法二：根据结论求解． 【详解】（1）解：， ， ， 又，则， ， 为的内角， ； （2）法一：， ， 有两解， 又， ， ， ， 法二：有两解， ， 即， ． 20．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 21．若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】根据正弦定理得到边长比值，通过余弦定理得到最大角的余弦值 大于，进而判断三角形为锐角三角形 【详解】由正弦定理可得，则，， 因此根据余弦定理，即， 而由可知，三角形为锐角三角形. 22．在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系、正弦定理、辅助角公式化简可得，进而可得，由此判断三角形形状. 【详解】若，得， 由正弦定理可得， 化简可得，即， 利用辅助角公式可得， 即， 所以或，或者（舍）， 所以一定是直角三角形. 考点05 三角形中边长或周长的最值或范围 23．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再通过两角和公式与辅助角公式化简即可求解； （2）联立三角形面积公式与余弦定理建立关于的二元方程组即可求解； （3）利用中线向量公式与余弦定理将转化为关于的函数，再通过正弦定理及三角恒等变换，结合锐角三角形的范围限制即可求解. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， ∴， 即，， 因为，所以，所以， 即，即， 又，∴，则． （2）由（1）及题设可得，即， 整理得，解得（负值舍去），故． （3）因为D为BC的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，， 则，解得， 所以，所以，则， 即， 所以，所以中线AD的取值范围是． 24．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用正弦定理进行角化边，再利用余弦定理得解； （2）利用正弦定理及三角恒等变换求出的取值范围进而得出结果； （3）用余弦定理、中线向量定理、正弦定理、辅助角公式等，将的范围转化为的范围，再结合锐角三角形以及角，求得角的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，，故． （2）由正弦定理得 ， ， 又因为是锐角三角形，故，解得， ， 周长的取值范围为 ． （3）由余弦定理得，，即． ，两边平方得． 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则． 25．在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 26．在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由正弦定理边化角计算可得； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形中边的关系可得，从而可得结果. 【详解】（1）在中，，由正弦定理得， 即，因为，且， 所以，因此. （2）由（1）知，且，由余弦定理得， 由基本不等式当且仅当时等号成立， 所以，解得（当且仅当时等号成立） 又由三角形中两边之和大于第三边，所以， 两边平方，再将代入得，即 综上所述，. 故的取值范围为. 27．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简整理即可； （2）根据角平分线建立等角关系，再结合正弦定理和三角形面积公式建立关于的方程并求解； （3）根据余弦定理建立关于周长和函数关系，结合函数单调性求解范围. 【详解】（1）已知，由正弦定理边化角得： ， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）由是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. （3）由余弦定理得：， 因为是锐角三角形，由余弦定理得： ， ， 故，则周长， 易知在上单调递增，得， 因此周长的取值范围为：. 28．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，，的平分线交边于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式求解； （2）根据为锐角三角形，，由得到，再利用正弦定理结合三角恒等变换得到求解； （3）由得到，再利用余弦定理得到，然后根据为角平分线，由求解. 【详解】（1）由，可得， 化简得， ， ，又， 所以，即； （2）因为为锐角三角形，， 所以，即，解得 由正弦定理可知，即， 所以， 由，可得，则， 则，则的周长的取值范围为； （3）由得，即， 由，即，解得， 所以，解得， 可知，即， 由，可得， 所以，得， 解得. 考点06 三角形中面积的最值或范围 29．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 30．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 31．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 32．在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦边角关系及三角形内角的性质求； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由， 由正弦定理得，而，则， 所以，，则； （2）由题可知，化简得， 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为 ， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.    33．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)4 (3) 【分析】(1)使用余弦定理和正弦定理求解； (2)利用基本不等式求出即可； (3)利用基本不等式求出，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则 由 ，得， 根据正弦定理，得， 则. （2）由（1）知， ， 则， 即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4. （3）由（1）知，， 则， 即，得 当且仅当时等号成立， 则. 34．已知中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理求出的值，结合三角形内角范围即可求得角． （2）结合图形用表示，再利用向量数量积的运算律，结合基本不等式求出的最大值，最后代入三角形面积公式即得答案． 【详解】（1）由和正弦定理，得， 即，由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 即， 两边同时平方得， 即， 所以，当且仅当，即时，等号成立． 所以故S的最大值为． 考点07 几何图形中正、余弦定理的应用 35．如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 36．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 37．中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 【答案】/ 【分析】根据题意可得，利用余弦定理解得，，进而可得和. 【详解】在中，因为，， 则的面积为， 即，则，可得， 在中，设， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，，且，， 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得， 且，所以. 38．如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 所以，解得，所以． 39．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 40．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 考点08 解三角形实际应用 41．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】(1)60° (2)收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【分析】(1)在中使用余弦定理得出及 (2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及． 【详解】（1）连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ．    （2）连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 42．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 【答案】A 【详解】在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． 则B、C两点间的距离为海里. 43．数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，所以， 又因为，所以， 所以，解得. 所以. 44．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 45．如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【分析】先利用余弦定理求出乙船12分钟的航行距离得到乙船速度，再建立方程判断是否存在时间使两船相遇，从而得到正确结论. 【详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在中 ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. 46．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【详解】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 正弦定理与余弦定理 考点01 利用正、余弦定理解三角形 考点02 正、余弦定理边角互换 考点03 三角形面积公式的应用 考点04 判断三角形形状与解的个数问题 考点05 三角形中边长或周长的最值或范围 考点06 三角形中面积的最值或范围 考点07 几何图形中正、余弦定理的应用 考点08 解三角形实际应用 考点01 利用正、余弦定理解三角形 1．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则此三角形的最大边长为（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，则______________． 3．解下列三角形： (1)，，； (2)，，． 4．中，角，，所对的边分别为，，，则________． 考点02 正、余弦定理边角互换 5．在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则该三角形外接圆的半径为______. 6．在中，内角，，所对的边分别是，，c．若，，则（   ） A． B． C． D．2 7．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 8．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 9．已知的角A，B，C对应的边为a，b，c，且，则_______． 10．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 考点03 三角形面积公式的应用 11．在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 12．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 13．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则的面积为___________． 14．在中，内角的对边分别为，且，的面积为，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．在中，，，，则的面积为______. 16．已知的内角所对的边分别为.若，且平分，则的面积为（    ） A． B． C． D． 考点04 判断三角形形状与解的个数问题 17．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 18．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（   ） A．，有两解 B．，有一解 C．，无解 D．，有一解 19．已知在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，符合条件的有两个，求的取值范围． 20．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 21．若的三个内角，，满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．以上都有可能 22．在中，，分别为内角，的对边，若，则的形状一定是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 考点05 三角形中边长或周长的最值或范围 23．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， (1)求角A； (2)若，的面积为，求b，c； (3)若，且为锐角三角形，D为BC的中点，求中线AD的取值范围． 24．在锐角中，设角所对的边分别为，已知且． (1)求角； (2)求周长的取值范围； (3)求边上的中线的取值范围． 25．在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 26．在中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围. 27．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，， (1)求角C； (2)若点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值； (3)求锐角的周长的取值范围． 28．在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，，的平分线交边于点，求的长． 考点06 三角形中面积的最值或范围 29．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 30．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 31．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 32．在△ABC中，角，，的对边分别为，，．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 33．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．求： (1)角C及边c的值； (2)的最大值； (3)三角形面积的最大值． 34．已知中，角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)点是边上一点，且，，用表示，并求面积S的最大值． 考点07 几何图形中正、余弦定理的应用 35．如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 36．如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 37．中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 38．如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 39．如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 40．如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 考点08 解三角形实际应用 41．如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 42．如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时．求B、C两点间的距离为（      ） A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里 43．数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ） A． B． C． D． 44．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 45．如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 46．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $