专题02 两角和差公式与二倍角公式（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

**基本信息** 聚焦三角恒等变换核心公式，以考点为模块构建从公式逆用到综合应用的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |逆用两角和差公式|6题|化简求值题|从公式正向到逆向应用，培养变形能力| |二倍角公式|6题|给值求值题|基于单角求二倍角，强化公式直接应用| |和差公式给值求值|6题|条件求值解答题|综合角的拆分与范围分析，提升推理意识| |和差公式给值求角|6题|角的求解题|结合函数单调性与角范围确定，培养严谨思维| |辅助角与降幂公式|7题|函数最值与化简题|公式变形与函数性质结合，发展应用意识| |积化和差与半角公式|8题|公式转化题|高阶公式应用，完善恒等变换体系| |三角恒等变换化简与求值|7题|综合化简题|多公式融合应用，提升运算综合能力|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 两角和差公式与二倍角公式 考点归纳 考点01逆用两角和差公式 考点02二倍角公式 考点3利用和差公式给值求值 考点04利用和差公式给值求角 考点05辅助角公式与降幂公式 考点06积化和差与半角公式 考点07三角恒等变换化简与求值 考点专练 考点01逆用两角和差公式 1.cos50°cos10°-sin130°sin10°=() A. 。号 C. p. cos40° 【答案】C 【详解】cos50°cos10°-sinl30°sin10°=cos50°cos10°-sin50°sinl0° 1 =cos(50+10)=c0s60=2· 2.sin100°cos(-20)+cos260°cos70°= 【答案】 【分析】借助诱导公式与两角差的余弦公式计算即可得. 【详解】cos(-20°)=c0s(70°-90°)=sin70°，cos260°=cos(360°-100)=cos100° 故sin100°cos(-20)+cos260°cos70°=sin100°sin70°+cos100°cos70° =c0s(100°-70)=c0s30°=V5 · 3.sin49°sin19°+cos19°sin41°=() 1/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 【答案】c 【详解】 sin49°sin19°+cos19sin410=sin49°sin19+cos19°c0s49=c0s49°-19=c0s30。= 2 4.sin224sin164°-cos44°sin254°= 【答案】2/0.5 【分析】根据诱导公式及逆用两角和的余弦公式求解即可， 【详解】因为sin224=sin(180°+44）=-sin44,sinl64°=sin180°-16)=sin16, sin254°=sin(270°-16)=-cos16°. 所以sin224sin164°-cos44°sin254°=-sin44°sin16+cos44°cos16° 1 =cos(44°+16)=cos60°= 5.tan19'+tan 2tanl9tanl1的值为（) 3 B C.1 2 D.5 【答案】A 【分析】根据30°=19+11结合两角和差的正切公式运算求解。 【医为m0=+片-9。 整理可得anl9+an1r+ 3 tan19'tan13 31-an19tan1r）+ tan19'tanl 3 3 6.（1+5tan80)1-V5tan20）=() A.1 B.2V5 C.3V2 D.4 【答案】D 【分析】利用正切两角差的公式计算即可， 【详解】因为an(80-20）= an80°-tan20° +tan80°tan20’ 2129 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 所以tan80°-tan20=tan60(1+tan80°tan20）=V5(1+tan80°tan20'）, 故(1+V5tan80)1-V5tan20）=1-V3tan20°+V3tan80°-3tan20°tan80 =1+V5(tan80°-tan20）-3tan20°tan80° =1+V3x√5(1+tan80°tan20）-3tan20°tan80 =1+3+3tan80°tan20°-3tan20°tan80°=4. 考点02二倍角公式 π 7.若a∈π，2 2cos2a=sin z+a 4 n2a-（） 则 3 A.4 7 5 B.8 C.1 D.8 【答案】B 【分析】根据题意化简可得cosa-sma= 4，再平方即可求解。 【详解】2cos2a=2(cos2a-sin2a）=2(cosa-sina)(cosa+sina）, (cos-sin)(cosa+sina) 2(cosa+sina), 又a∈π，2 所以cosa<0,sina<0,cosa+sina<0 √2 所以2(cosa-sina)= 2，即cosa-sina= 4 1 ..(cosa-sina)'=1-2cosasina=1-sin 2a= 8 解得sin2a= > 8.已知 (x 若3cos2a+5=8sina则cosa=（） 5 A.- 5 3 c 0.⑤ 3 【答案】B 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式化为关于sina的一元二次方程，即可求得sinx的值，结合角的象 3/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 限从而求得cosa, 【详解】因为3cos2a+5=8sina, 所以31-2sin2a）+5-8sina=0,即3sin2a+4sina-4=0, 化简得(6sna-2ina+2)-=0,解得ma=-2（舍去)或sma 3， 9. 已知ana=-2' 则 sina-cosa)2 的值() cos2a A.2 B.-2 C.3 D.-3 【答案】D 【分析】根据同角的三角函数关系，结合二倍角公式化简求解即可。 【详解】由ana=-2,得 sina2 sina=-2cosa' osa (sina-cosa)sin2a-2sinacosa+cos'a (-2cosa)-2(-2cosa)cosa+cos2a 9cos'a 所以 =-3 cos2a cos2a-sin2a cos2a-(-2cosa) -3cos2a cos2a 1 10.已知1+sin2a 2,则tan2a= 3 【答案】40.75 cos2a 1 【分析】利用二倍角公式和同角三角函数平方和的关系，将1+sim2a2转化为关于ana的式子，解出 tana的值，进而求出tan2a的值. cos2a 1 cos'a-sin'a 【i详解】解：由1+sin2a2得sin'a+cos2a+2 2sinacosa2' 1-tan'a 1 分子分母同时除以cos'a得an'a+2tana+12' 1-tana 1 所以+tana2:故2-2tana=l+tana'且tana≠-1' 1 解得tana=3, 所以tan2a=1-tana4 4/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4 4 B.3 D.-3 【答案】C V10 5，再由同角三角函数的关系求得2 sin xcosx= 3 【分析】应用差角正弦公式及已知得sinx-cosx= 迸 而有sinx+cosx= 2 5, 最后结合二倍角正切公式、商数关系求目标式的值： 【详解】由sinx 4 =sin xcos -cos,xsin- 4 42 -(sin.x-cos)-5 5 v1 2 所以sinx-cosx= 5,(sinx-cosx)=1-2sinxcosx=2 所以2 sinxcosx= 50<x< ,sinx+cosx=(sinx-cosx)+4sinxcosx= 2 cos2x-sin2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx)=-(sinx-cosx)(cosx+sinx)=- 24 V5 =-5 所以tan2x= 2tanx 2sinxcosx 3 1-tan2x cos2x-sin2x 4 2 12.已知tas2a=7,则cos2a的值为 5 【答案】 【分析】根据三角函数的基本关系式和倍角公式，代入即可求解. 【详解】因为tanasin2a=m22 sinca=2sina=号，所以cos2a=1-2sn2a 5 cosa 7 考点03利用和差公式给值求值 13.已知cosa+cosB=),sina+sinB= 2 =3,求cos(a-B)的值， 59 【答案】72 【分析】通过对条件平方，再结合同角三角函数平方关系、两角差余弦公式即可求解. 【详解】由题意，(eosa+cosB=c0sa+2 o+cosB=4D 5/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (sinsina+2sinasin+sin ①+②得2+2(cosac+--sin asin B)=2+2cosa-P)=1+=13 4936 所以cos(a-A)=-59 72 14.已知cos(a-P)=3 ,sinasinB= 8,则cos(2a+2B)=() 1 A.4 B.4 c月 0. 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换求解. 【详】解因为cosa-月=+insin=-子，sinasinB 8 所以cosacoB=3 8 所以oa+=eam月-nas月名名》 所以os(2a+2)=cos[2a+]=2ose+)-1=2x}-1= 15.若分a-号2aoa+s0=5.2na-eas月=-l,则on+到） +3() A.3-6 B.6 D.3+6 6 6 6 【答案】D 【分折】对式子建行平方：再相加化简得如（口-川）-：进而可得a-+名，再回代化商可得6s= 3, 然后用和差公式求解即可. 【详解】因为2cosa+sinB=V2,所以4cos'a+4 cosasinB+sin2B=2①： 又因为2sina-cosB=-l,所以4sin'a-4 sinacosB+cos2B=1②. @+②得4-nla-A)+1=3.所以sina-月)-号 又因为<a-B<5,所以a-B=君，即a=B+君 6/29 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 把a=A+2代入2osa+nB=2,得2coB+8+sm=5, 则6cosp=V2,即eosB=6 把a=A+g代入2ina-cowf=-1,得2n0+8引-coB=-l, 则5simg=-1,即sinB=- 3 所以ua+写=oas号mm号-55k53+6 3=32326 3 16.已知sinx= (2)求sin(2a+B)」 【结灯得 6 216 【分析】(1)借助同角三角函数基本关系与两角差的余弦公式计算即可得： (2)借助同角三角函数基本关系与两角和的正弦公式计算即可得， 2):0<B<5.a<,∴ 22 <a+B<3 ， ∴.sin(2a+B)=sina cos(a+β)+cosasin(a+B) 7129 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 7.已如a》）,p引，且如(e+)=,ma-)=则a的雀为 11 4 【答案】24或3 【分析】先由a,B范围确定a+B、a-B的区间并判断三角函数符号，求出©os(a+P)与 1 1 sin(a-B) sin(a-B),cos(a-PB)再把tana tan通分化简为 sinasinB 利用积化和差公式算出sinasinB:最后代 入数值计算得出结果 1 1 _cosa cos B sin Bcosa-cos psin a sin(a-B) 【详解】tana tanB sina sinB sin a sin B sin a sin B 由角范围得：a+Be(亿，2元)Q-p22 由ama-用=-子所以a-Be(行 3 得sina-A=3 a-月=青 由sin(a+p)=- 4'a+B∈(，2)得cos(a+)= 4 若cos(a+B)=-4则 nasm9:-oa+m-oma-例：)-动d 24+5- 3 代入目标式： sin(a-E=-5=24. sinasin B 1 40 3 若os(a+)=4 sinsin=os(a+川-cos(a-明-)=-别 + 24522040 sin(a-β) 代入目标式： =、5 24 sinasin阝 3131· 40 11 1124 综上所述， tana tanB =24或tand tanp31 8/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.已知0<a<7,-sB<0,ama=,simB=-5 2’2 5 (1)求cos(a-B)的值： (2)求tan(a-2B)的值. 【容类1仙把 (2) y 【分析】(1)根据同角三角函数的关系以及两角差的余弦公式求解即可. (2)根据二倍角的正切公式以及两角差的正切公式求解即可· 【详解】(1)0<a< 2，由tana=7=sina cosa和sin2a+cos2a=1 解得cosa= 7N2 10,sina=. 10 子0自海A点利分-小画月. 5 期e-小-将25沿} 10 2tanB 2×(-。) 4 (2) tanB=sinB。1,则tan2p= -tan21- 3 cos B 2 4 7 25 tan a-tan 28 3 tan(a-2B)= 3 =-1 1+tan a tan 28 1+7×-3 4 25 3 考点04利用和差公式给值求角 19.若cos(a-P)=25 ,cos2a=10 10，并且&，B均为锐角，且a>B?则a+B= 【答案】445 分析】由题意刻0<u=月号0<2a<元'0<a+B<元进而得sn(c-p)= 10，再 根据(a+)=2a-(a-):结合余弦差角公式求得cos(a+B)=5 ，最后根据余弦函数性质即可求得答案。 9/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为a,B均为锐角，且a>B,即0<B<a<受， 所以0<a-B< 2’0<2<π'0<a+B<π， 所以sin(a-B)>0,sin2a>0 因为os(a-)=25 ,cos2a=v10 10 所以sin(a-p)=V1-cos2(a-B)= 25) 5 5 sin 2a=1-cos2 2a √10 310 10 2W51053w10_550_√2 cos(a+B)=cos[2a-(a-B)]=cos2acos(a-B)+sin2asin(a-B)=5x10+5x 1050 2 因为0<a+B<π， 所以a+月=子 20,已知a、ge(0,小，且am(B-a)-=,ama=号，则2g-公的值是() 1 A 8.3 c.4 π 7π D.- 4 4 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式可求出anB的值，可得出B的取值范围，并求出a的取值范围，即可得出 2B-a的取值范围，利用三倍角的正切公式以及两角差的正切公式求出tan(2B-a)的值，即可得出 2B-的值： 11 所mB=[-aa小-mame tan(B-a)+tana 27 1V3 1133 1- 2(7 又因为。·B∈(0，)，所以6 a<,0<B<爱 则0<2<分<u<-所以-x<20-a<月 2 10/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为tan2B= 2tan B 2× 33 1-tan2B 2 4 13 3.1 所以tan(2p-a)= tan 28-tan a 47 1+tan 28 tan a 47 2p-a=-3n 4 故选：B 1已知a》.(侵m-ma+-4。臣，则。植为 Y 【答案】4/45 【分析】根据角的范围，以及同角三角函数关系，求出sinB和©os(a+B),进而根据两角差的正弦公式， 求出结果 【详解】因为Be（爱.csB=所以如B=-es月-25 3 因为a引.B匠所以a+后》. 又因为ma+月：4.2，所以mu+月--知G+.4+g 6 sina=sin(a+B-B)=sin(a+B)cos B-cos(a+B)sin B. 即sina=4 29时引 答案：4 3π 22.已知 (4π， sina= 10 (1)求tana和sin2a的值： 2若sin(a+B)=_25 ，B为锐角，求sim(a-P)的值： 3)若aB=2,B为锐角，求角a+2B 1 7 【答案】()tana=-7,sin2a=25 11/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)sin(a-p)-115 25 3)a+2p=5n 4 【分析】(1)先利用同角基本关系式和a的范围求tana,接着利用二倍角公式求sin2a: (2)先求sinB=sin(a+B)-a),再利用sin(a-B)=-sin acosB-cosasinB得解； 4 (3)利用二倍角正切公式得an2B=3,再求tan(a+2p)=1,结合角的范围得解 【详解】(1)因为sina+cos'a=1P且sima边 10所以c0s2a=49 501 3π 又a∈ 所以cosa=- 7√2 10, sina 因此tana= cosa 7 sin2a-2singcosa=-7 1 25 2四为a(引所以a+B(经）。 又sin(a+β)=- ,则cos(e+P)=-5 2V5 5 sinB=sin((a+B)-a)=sin(a+B)cosa-cos(a+B)sina 10 则cosB=i0 10 所以sin(a-月=sin-=2xio 72 30_115 1010 10 1025； (3)因为ag=,Be08 (6,则tan2B= 2tan B 4 2mn:且20e0. 则tan(a+2B)= tan a+tan 28 =1 1-tan a tan 28 又a+2B∈ 3π4π 4’3, 所以a+2B=5π 4 2.已知。'B为领角，ama-子，日os(a+)=-8 10 12/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求sinB的值： (2)求角2a+B的值. 【答案】(sinB=3v2 50 a2a*p- 【分析】(1)先由同角的三角函数关系得到an(a+P)=-了，再利用差角的正切展开式结合同角的三角函 数关系解方程组可得： (2)方法一：由差角的正切公式结合特殊角的正切值可得：方法二：由同角的三角函数关系结合两角和 的余弦展开式可得 【详解】(1)由a,B为锐角，则0<a+B<π， 又cos(a+P)=-2 72 sin(a+)=-cos (a+B)1. 所以tan(a+B)=-7, 甲m0-mo月a小-9 所以17sinB=31cosB.…①又sin2B+cos2B=1…② 由B为锐角，由O2解得：sinB=31v2 50· 2)由a)知am(a+)=-7,又ana= 4 tan(a+B)+tana=-1 ta(2+)--tn(@+B)tan a 由0<aB<号，且ama=}<1=am年，则0<a<年，所以0<2a< 3 4 又0<B<经，则0<2a+B<,所以2a+月=证 4· 3 3 4 法=：因为a:B为锐角，ana=4,sin2a+cos'a=1解得：sina=亏，cosa= 由0<a+B<'又cos(a+p)=-2 10 所以si(a+)=-cos(a+A=75 10 13/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos(2a+B)=cosa cos(a+B)-sinasin(a+B) 由0<a,B<2,且ana= 1=am年则0<a<年，所以0<2a 3 2' 又0<B< 2:则0<2a+B<元，所以2a+B=3刃 4 24.已知∈ 2π 3 cos2a= 5 (1)求tan的值； 且cosB=-3i0 10, 求a+B的值. 【答案】()2 ,7π 24· 【分析】(1)利用二倍角余弦公式和商数关系弦化切，求得tanα： (2)根据条件，利用同角三角函数基本关系求出tamB,利用两角和的正切公式求出tan(a+P)得解 【详解】(1)由cos2a=cos2a-sin2a=cosa-sin'a_1-tan2a_3 cos2a+sin2a 1+tan2a 5' 即ana=4,解得ana=±2 所以tana=-2 1 10 所以tanB=sinB、1 cos B 3, 又a[行B后，所以a+Be红2 14/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以a+B= 7π 4… 考点05辅助角公式与降幂公式 25.函数f()=sinx+sinx+3 -sin xsin x+ 3的最大值为 【答案】1 【详解】 =5snr+引片mrf2x+到sm(+s+引 设=8s1,即=f片写， 5 26. cos10°sin170° 【答案】-4 5 1 3 5 1√5sin10°-cos10° 【详解】 cos10°sin170°cos10°sin(180°-10°)cos10°sin10° sin10°cos10° cos10° (2 sinl0°-1 2 2(cos30°sin10°-sin30°cos10°) 2sin20 1 sin20° 2 2sin(10°-30）2sin(-20)-2sin20° 4 2sin20 2$in20 2$in200 27.已知数f)=如行m任+小5s血ox 15/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2在A1Bc中，若/引-，录ns:C的取值起回。 【答案】)22+5 6 a 【分折】（④)先对数进行化简，将音+号代入化简后的了：刹到关于。的三角数等式， 先确定α+3的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出相关三角函数值，最后进行求解 A (2)x=2代入化简后的f9),结合三角形内角和A+B+C=π求出A的值，再将sinB+sinC转化为只含 B的三角函数，根据B的范围，利用正弦函数的单调性确定其取值范围 【详解】(1) +2x ).3 （2 2 sin 2x-sin -3，代入化简后的f(x): 引9引9引29 已知π<a< 则暂 .4π π3π <a+ 3<2,该区间内余弦值为负： 6 在△ABC中，0<A<元，故4 6得1 则8+C=C=-B,且08 3 16/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2B-sin B+sin 2π sin B+sin C=sin B+sin cos B-cos 2πsinB =sin B+3 cos B+Isin B=3sin B+ cosB=5smB+君 由0<B<2 ,得 <B 6 66 故如a副行图此a55 5 A司 8.2 C. 4 D. 4 【答案】D 【分析】由tan 仔小号可聚出，的信。胃利附=格角的正我公大以及诗导公式化商来解可 【详解】因为tan 后-小9所烈子-君ae2刃列.可-gae2刃列， 6 3224 故选：D 29. 已知角2，B消足sn(a+)=写sina-)-子.则cosa+smp的值为(） 1 3 3 A.-4 B.4 C.-4 D.4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用降幂扩角公式及和差角的余弦公式求解 【详解】角2，B清足sn(e+)-写sn(e-)-=}, +sin-(+c)+c1+(c2a-c2) 2 =1+cos[(@+B)+(@-B)]-cOs[(@+B)-(@-B)] =l+2-2sna+P)sina--1=1-月×} 344 故选：D 17/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30.把下列各式化成Asin(a+p)的形式. (1)2cosa+23sina: 1 (2)-sin+ -cosa (3)3sina+4cosa (4)2sina-3cosa. (5)f(x)=3cosxsinx+sin2x 6w=sm2x引5（得+2r 1 4 【答案】(L)4sina+6 -a-剖 35sin(a+p)且tano=4 ④lV13sin(a+p)且tanp=- 6)=m2引月 6)/(y)=2sin2x+ 6 m)-s2r+到 【分析】(1)(2)(3)(4)均可根据辅助角公式asina+bcosa =Va2+b2 b sina+ Va2+b2 =va+b(+sino）_V+sin(a+p）(其中 b cos= sin Ja2+b2 √a2+b）直接转化即可： (5)先利用倍角公式将解析式进行降幂处理，再结合辅助角公式即可转化Asin(α+p)的形式： (6)先利用两角和与差的正弦公式将解析式转化成asinx+b©osx形式再利用辅助角公式进行转化即可； 18/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (7)先利用两角和的正弦公式将解析式中的sin(x+ 转化成。sn:+csx形式，再利用利用倍角公式将利 到的解析式中的二次项进行降幂处理得到一次项，再将得到的一次项部分根据辅助角公式进行转化即可得 解 【详解】（因为2+2=4，所以2cosa+25sina=4 (2)-2sina+ 2cosa = s--sna-写 sina cos (3)因为5+年-5·所以3snut4osa=5得na+号wa小上5sn(a+p), 3 其中o满足cosp ,sing=4 5 4因为-而，听2maa-可品a+owa-/T(a+pl 其中p满足00后，smp= 2 13 (5)f(x)=3cosxsinx+sin'x 2 -5m2x2x+片sm2-君}5即re=m2分 (6)()sim+sin-sin2coscos2xsin inoossi 6 6 3 sin 2x- 2 2C0s 2x+v3 7)f=m6r+学cosx+n(2r+爱-5 4 +2m2r+骨- 4 sin.xcosx+ -cosx+sin(2x+3 1 4 -xsn2x+5x5os2x++in2x+- 22 2 2 3 4 22in2r+5。 11 2 cos 2x +sin(2x+) 1 2 19129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2π 31.若函数f()=√5sin2or-2cos2ox(o>0)在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为 () 37 A 44 c. o. 【答案】A 【分析】运用降幂公式和辅助角公式把函数的解析式化成正弦型函数的解析式形式，结合函数零点的定义、 换元法，特殊角的正弦函数值进行求解即可 【详解】f()=V5sin2or-2cos'ax=V5sin2or-2×1+cos2@r=V5sin2ar-cos2ar-1 2 令f-0:2如2-1=0=m2a引 因为函数在(0)上恰有两个零点 所以方程了（闪）=0在0，兮内有两个不相等的实根， 2π 因为*0) 所以2wx-刀 π40r元 6 6’36 5π4omπ13π3 所以有6<3- → 66 4 4 故选：A 考点06积化和差与半角公式 32.已知0<w<3 ,sin π） 7√2 4 10， 则cos号=() A.V B. 2 5 10 5 c26 5 D. 5 【答案】D π 【分析】确定角的范围，求出co-4值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 sina cosa' 最后用 20/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 半角公式即可求解 【详解】已知0<a<3 <-< ，因此4 42， 所以cos 4 42 -(sina+cosa)-2 101 化简得sina+cosa=5①： 而sina- =sinooscossin(sina-cosa)7 4 4 42 10 化简得sina-cosa=5②： 联立0@，相加得：2na-号ma-号相减得：2cosa-总o 4 5,c0sa=-3 3 由0<a< 4,得0<3m 28 根据半角公式cos cosa,代入cosa=-?得cosg =1 2V2 22 33.已知0<a<元’ 且eoo(a-P)+sin(h-a）=g,则os号=（) 2 1 2 1 3 B. 5 C.3 D.5 【答案】C 【分析】根据两角和的余弦公式，可得cos的值，根据半角公式，即可得答案， 【详解】由题得cos/cos(a-B)+-sinBsin(B-a)=cosBcos(a-B)--sinBsin(a-B) -cos(B+a-P)-cosa--g. 又0<a<π'所以号是锐角，所以cos号 cosa+1 2 2-V2 3 34若-<0<0：m0=多则 n2() 21/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A36 5 8.-25 5 5 【答案】B 【分析】根据半角公式及角的范围求解即可， 3 【详解】由半角公式可知，sin9=士 1-cos0 1+ 5 25 2V2 = 2 5 又-π<8<0， 所以受号0，所以如 9-25 “25 故选：B 1 n 35.已知cos0=，则 2 0= 3sin () 2 √5 C.v3 1 A.0 B. 3 3 D. 3 【答案】A 3sin20 -1 【分析】根据半角公式得20_1，所求式子可化为 2 日厂，代入即可求出答案。 sin2 3sin 23 2 【详解】因为cos8 3, 1 所以sin29_1-cos01 31 =一 2 2 23 01 in20 -1 sin一- “2 2 0= =0 3sin 2 3si02 故选：A 36.求值：sin20°sin40°sin60°sin80° 【答案】16 【分析】先利用诱导公式将式子变为余弦，再利用积化和差公式依次化简cos10°cos50°、cos40°cos70°即 可 22/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【i详解】原式=c0s10°c0s30°c0s50°cos70=5 cos10°cos50°cos70° =31 F2'2(cos60°+c0s40）-cos70°=5 os70°+V -c0s40°c0s70° 8 4 cos70°+V3 8 8c0s70°+ os10°+cos30°）=5cos 8 2cos110°+，3 8 6 8cos70°-3 √ 33 os70°+ 8 616 37.求下列各式的值. 1 /si080°cos40°-7sin4 (2)sin37.5°sin22.5°-1 c0s150. (3)cos40°-cos80°-√3sin20° 【答案】( 1 214 (3)0 【分析】(1)根据积化和差公式化简计算即可： (2)根据积化和差公式化简计算即可： (3)根据和差化积公式化简计算即可. 【详解】(a)sm80cos40-n40 =sn(80+40)+sin(s0-40r]-2sn40 =sm120+sm40）- 2sim40= 4 (2)sin37.5°sin22.5°-1 cos150 2 =-2cos(37.5°+2.5）-c0s(67.5°-2.5月-2co0s15 =-(os60-c0s159y-2osl150 2 23/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 = 2c0s60°=- 4· (3)cos40°-cos80°-V3sin20° =-2sin40+80°sin40°，80°-V5sin20 2 =-2sin60°sin(-20)-√3sin20° =√5sin20°-V3sin20°=0」 38.求值：sin20°c0s70°+cos50cos10°= 3 【答案】4/0.75 【分析】方法一应用诱导公式、和差角正弦公式化简求值即可；方法二应用诱导公式、积化和差公式化简 求值即可， 【详解】方法一： 原式=sin20°sin20°+sin40°.sin80°=sin220°+sin(60°-20°)sin(60°+20） =sin220°+sin260°cos220°-cos260°sin220°=sin220°+sin260°1-sin220）-(1-sin260)sin220° sin220°+sin260°-sin220°=2 方法二： 原式=sin20°sin20°+sin40sin80° =sin220° 5cos(40p+80）-cas(40-80】=sm20°-(eow120-os40）-=sn20p-2》 11_3 201-2sin220）-4+24 故答案为：4 39.sin280°+sin40°-sin40°cosl0°= 【答案】4/0.75 【分析】解法一：利用诱导公式、两角和的正弦公式及平方关系，将角度往10°方向转化求解即可： 解法二：利用诱导公式及和差化积与积化和差公式化简求解即可 【详解】解法一：原式=cos210°+sin2(30°+10）-sin(30°+10)cos10 24/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =cos210°+ cos10° =cos210°+ os10°+5 )sin10°cos10°+asin210o1 20s'10- 2sinl0cosl0° =3(sin210°+eos2109）=3 4 4· 解法二：原式=c0s210°+c0s250°-cos10°.cos50°=(c0s10°-c0s50)}+c0s10°.cos50° (2n0m0w6c09osf0-j 2 =sm20+0a片-os40++o4r 故答案为：4 考点07三角恒等变换化简与求值 40.求值4 tanl0°+sinl0°= 【答案】410.25 变形为行×，根据sn60=5 1V5 【分析】把 4 变形，把切化为弦，利用积化和差公式及和差化积公式变 形，计算即可得到结果. sin60°sinl0° 【详解】原式= +sin 10 2cos10 -(cos7-cos5)+2sin10cs1 10 2cos10 =2c0s50 2cos70°+sin200 2cos10 1 <2cos50°-。c0s70+c0s70 2cos10 6cos50+cos70】 2cos10 2Lcos(60-10）+cos(60+10】 2cos10° 25/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c0s60°cos10 2cos10 c0s60 = 2 1 故答案为：4· 2cos8°- 2 sin8,b= 2tanl2° 41.设a 1-cos50" +tan212,c= 2 则有() A.a>b>c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式、二倍角正弦公式和半角公式，先把a,b,C分别化成同一类三角函数值， 再利用余弦函数在[0,180]上的单调性比较大小. 【详解】因为c0s60= 2,sin60=3 >,所以a=2c0s8、V/3 2 sin&-cos60'cos-sin60'sin 由两角和的余弦公式，得a=cos(60°+8)=cos68° 因为sin2x= 2tanx 2tanl2° +anx所以h=1+tam12 =sin24°. 又因为sin24=cos(90°-24)，所以b=cos66. 50° 由半角公式，得sin2 1-c0s50 2 2 即sin'25°=1-cos50 2 1-cos50 因为25为锐角，所以in25>0'从而c=√2 =sin25°. 又因为sin25°=cos(90-25）,所以c=cos65. 由于65°<66°<68 且余弦函数在[0,180]上单调递减，所以cos68°<cos66<cos65 即a<b<c 26/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 cos20 √2 42. (1)已知cos0-元 2,求 的值： 4 sin20 cosl0°1+√3tanl0°）-2sin50 (2)化简： 1-cos10 3 【答案】(1)4：(2)-2 【分析】(1)利用二倍角、差角公式化简已知等式，约去非零项后得到cos8-sin8的值，再平方求sin20 (2)先将正切化为正弦、余弦，用辅助角公式化简分子，再用降幂公式化简分母，约分得到结果. 【详解】(1)由二倍角公式：cos20=cos20-sin20=(cos0-sin0)(cos0+sin0), 由余孩卷角公式em0-牙》s6cs晋+n65n{-6os0+s如0 4 4 42 (cos0-sincossin)(csin) 由于原式分母不为0，故 ,则 √2 2 (cos0+sin0) cos0+sin0≠0 2 化简得os6-sin8=2,两边平方得 (cos0-sin )-cos0-2sin0co0+sin1-sin20-1 解得sin20=3 4 (2)将tan10°=sin10 eos10代入cos10'(+V5tan10)得 cos10'1+V5tanl0)=cos10°+v5sinl0°=2sin(30°+10)=2sin40, 则分子cos10(1+V3tanl0）-2sin50°=2sin40°-2sin50°=2(cos50°-sin50) =22cos(50°+45)=2W2cos95°=-2√2sin5°， 由降幂公式可知分母V1-cos10°=V2sin25=√2sin5°(sin5°>0)， -2√2sin5° 从而原式=J2sin5 =-2 sin280°-sin240° 43. cos280°-sin240°=() A.V3tan40° B.-V3tan40° 27/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 、v3 D 3 C.an40° tan40° 【答案】B 【分析】利用二倍角公式降幂后使用和差化积公式化简，再根据三角函数值求解. 【详解】sin280-s9in240°=1-cos160_1-c0s80-cos80-cos160° 2 2 2 cos280°-sin240°= 1+cos160°1-cos80°cos80°+cos160° 2 cos80°-cosl60 因此原式变为： c0s80°+cosl60 cos80°-cos160=-2sin80+160sin80-,160=-2sin120sin(40）=2sin120°sin40, 2 2 c0s80+c0s160=2cos80+160cos80,160=2c0s120c0s(40）=20s120c0s40, -cos- 2 2 2.3 sin40° V3sin40° 3, ， 代入得： =-√3tan40° sinl20°= c0s40 c0s40° 2 cos120=-2 c0s40°(2c0s20°-c0s40° 44.求值： cos10 【答案】 3 【详解】 c0s40(2cos20°-c0s40）_c0s40°(c0s20°+c0s20°-c0s40°） cos10° cos10° 20°+40°.20°-40° cos40° cos20°-2sin 2 sin 2 cos40°[cos20°-2sin30°sin(-10°)] cosl0° cos10° cos40°(cos20°+sinl0°)cos40°(cos20°+cos80) cos10° cos10° c0s40° 20°+80°20°-80 2cos- 2c0s 2 2cos40°cos50°cos(-30) cos10o cos10° =5cos40°cos50°=V52cos40°sim40°-V5sin80°_V5cos10°_V5 cos10° 2 cosl0° 2cos10°2cos10° 2 45.sin400(tanl0°-V3)=（) 28/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】B 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的关系、两角差的正弦公式等，化简计算，即可得答案. 【详解】原式=sin400(tan10°-V5)=sin(360°+40)(tanl0°-V)=sin40(tan10-tan60°） sin 10 sin 60% sinl0°cos60°-cosl0°sin60°) =sin40° sin 40 cos10° c0s60 cos10°cos60 sin(-50) =sin40° sin40°cos40 sin 80 c0s10°cos60° c0s10°cos60° 2cos10°cos60 cos10 1 1 =-1 2cos10°cos60 2x 2 46. 化简(V5-tan10)cos50°的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】B sinl0° inl00° 【分析】先由同角关系将tan10~化为cos10°，通分后使用辅助角公式结合二倍角公式将原式化简为 c0s10°， 再使用诱导公式化简为最终结果即可 【详解】原式可化为 2/ 3 cos10°- sinl0° V5cos10°-sin10° 2 c0s50° c0s50°= cos50° cos10° cos10° cos10° 2(sin60°cos10°-cos60°sinl0) .cos50°_2sim50°cos50°_-sin1009 cos109 cosl0° cos10 sin10°+909）_cos10° cos10 cos100=1, 故选：B 29/29而学科网·上好课 www zxxk.com 专题02 两角和差公式与 考点归纳 考点01逆用两角和差公式 考点02二倍角公式 考点03利用和差公式给值求值 考点04利用和差公式给值求角 考点05辅助角公式与降幂公式 考点06积化和差与半角公式 考点07三角恒等变换化简与求值 考点专练 考点01逆用两角和差公式 1.cos50°cos10°-sinl30°sin10°=() A.V3 B.2 2 2.sin100°c0s-20°+c0s260°c0s70°= 3.sin49°sin19°+cos19°sin41°() A.1 B. 3 c.3 4.sin224sin164°-cos44°sin254°= 5.an19+ian1r+5am19an1的值为() A.3 B.2 C.1 3 2 6.(1+V3tan80)1-V3tan20）=() A.1 B.25 C.32 考点02二倍角公式 7.若a∈，2 π )2cos2a=sin年+a，则sin2a=( A.3 B. C.1 4 8 8.已知a∈ 若3cos2a+5=8sina,则cosa=() 1/6 上好每一堂课 倍角公式 D.cos40 D.-3 D,5 D.4 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.-5 c D.± √5 5 3 3 9.已知ana:-2,则sina-cosa的值() cos2a A.2 B.-2 C.3 D.-3 10.已知cos2a-1 1+sin2a2，则tan2a= 则tan2x=() 2 B. 4 3 c.3 4 12.已知tana sin2a-号，则cos2a的值为一 考点03利用和差公式给值求值 13.己知cos0+cosB= 分sma+snB写采coa-)的值。 1 14.已为aosa-pl-子siesinp明-安则ao2a+29j=（) A.1 4 B.d C._1 2 15,若-<a-B<号2oa+smf=5.2sna-cosB=-l,则cosB+}（） A.3-6 B.v6 C.v6 D.3+V6 6 6 3 6 6.知sina sinla+A,0<B<行，a<m 3π 1求cosa-4月 (2)求sin2a+B). .已ae》,po引且m1a+=,ma--则a回g的做为 4 tana tanB <7,-7<B<0,ana=7,simB=-5 18.已知0<a<2,-2 (1)求cos(a-B)的值； (2)求tan(a-2β)的值. 2/6 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点04利用和差公式给值求角 5,cos2a=vi 2v5 19.若cos(a-B) ,并且a,B均为锐角，且a>B,则a+B= 10 20.已知a、Be0,到，且am(B-a=7ana=-号则2p-a的值是(） B._3 4 C.S7 4 D.-7 21.已知a∈0,5」 引B=行列oB=有a+=‘更，则a的值为 6 22.己知a (4,sina= 3π 10 (1)求tana和sin2a的值； 2若isin(a+B1=-25,B为锐角，求sin(a-B)的值： 5 e若anB=号B为锐角，求角a+2p, 3 23.已知oa,B为锐角，tana= ,且cosa+B)=-5 10 (1)求sinB的值； (2)求角2+阝的值. 24.已知a∈ 2π (1)求tana的值； 嗜Be2,且csB=3而 ,求a+B的值。 10 考点05辅助角公式与降幂公式 25.函数f八到=snr+snx+引-sin xsin+写)的最大值为 3/6 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 26. 5 1 cos10°sin170° a侣+29.且<a< ,求sina的值： 6 ABc中，若f =l,求sinB+sinC的取值范围. 28.已知am 则sinx·cosx=() A. B.3 2 c 0. 29.已知角a,B满足sna+B)-写sna-)=子测cosa+siB的值为() .3 0.4 30.把下列各式化成Asin (a+p)的形式. (1)2 cosa +2v3 sina ina 2 C0S; (3)3sin a +4cosa (4)2sina-3cosa. (5)f(x)=v3 cosxsinx+sin2x o)=sm2x-君引+5sm[g+2r =+an2+骨-9 31.若函数f(x)=V3sin2wx-2cos2oxo>0)在 2π 0,3 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为() ( D. 59 44 考点06积化和差与半角公式 32已知0<a<sm，则s号) π7N2 A.2 B.v2 c.25 D. 5 10 5 5 4/6 面学科网·上好课 www zxxk com 33.己知0<a<π，且cosBcos(a-B)+sinβsin(B-a)=- A 1 2 B. 5 C·3 34.若-元<0<0，c0s0=-3 A.2V5 B.-25 c. 5 5 5 0 35.已知c0s0= 3则si 0= 2 3sin () A.0 B.V3 C. 3 36.求值：sin20°sin40°sin60°sin80°. 37.求下列各式的值. (1)sin80°cos40°-。sin40°； (2)sin37.5°sin22.5°- 2c0s150: (3)cos40°-cos80°-√3sin20°. 38.求值：sin20°c0s70°+c0s50°c0sl0°= 39.sin280°+sin240°-sin40cosl0°=_ 考点07三角恒等变换化简与求值 40.求值 tanl0°+sin10°= 4 41.设a=2cos8-V3 2 sin8,6= 2tanl2° I-cos50 +tan212’c= 2 A.axb>c B.a<c<b C.b<c<a cos20 2 42.(1)已知 cos0-元）2，求sin20的值； 4 (2)化简： cos10°(1+V3tanl0）-2sin50° v1-cos10 5/6 上好每一堂课 则c0s&=() 2 D.-5 D. 则有() D.a<b<c 而学科网·上好课 43.sin280°-sin240° cos80°-sin240°-（） A.√3tan40 c.5 tan 40 44.求值：cos40(2c0s20°-c0s40°)】 cosl0° 45.sin400tanl0°-√3=() A.-2 B.-1 46.化简（√3-tan10cos50°的值为( A.-1 B.1 www.zxxk.com B.-√3tan40° D. 、 5 tan40° C.1 D.2 C.-2 D.2 6/6 系一每丁