专题01 任意角的正弦、余弦、正切与诱导公式（高效培优期末专项训练）高一数学沪教版必修第二册

专题01 任意角的正弦、余弦、正切与诱导公式 考点01 扇形的弧长与面积 考点02 三角函数定义的应用 考点03 利用条件等式求正、余弦（知一求二） 考点04 各象限符号的判断 考点05 sinα+cosα与sinα·cosa的关系 考点06 齐次式的应用 考点07 诱导公式化简求值 考点01 扇形的弧长与面积 1．若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据扇形的面积公式求解即可. 【详解】设扇形的半径为r，由，得r＝1． 2．已知扇形的周长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据扇形的弧长和周长公式，即可求解. 【详解】设扇形圆心角为，，半径，弧长为，周长为， 则扇形的周长为， 又，所以， 又扇形的周长为，半径为，所以，解得. 故选：D. 3．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 【答案】 【分析】由条件结合扇形的弧长及周长公式，列方程求出弧长和半径，进而可求得扇形的面积. 【详解】根据题意，扇形的圆心角为弧度，周长为10， 设扇形的半径为，弧长为，面积为， 则，解得，， 所以，扇形的面积. 4．若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为__________.（结果保留） 【答案】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，则，解得， 故弧长为. 5．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 6．（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 【答案】（1）（2）时，面积S取得最大值 【分析】（1）根据扇形面积公式求解即可； （2）根据扇形面积公式及二次函数的性质求最值即可得解. 【详解】（1）设扇形半径为，圆心角为， 由题意得， 解得（舍去），． 所以扇形圆心角为． （2）设扇形半径为，弧长为， 由已知得，． 所以扇形面积， 所以当时，S取得最大值，此时，解得． 当扇形的圆心角为2弧度时，这个扇形的面积最大为． 考点02 三角函数定义的应用 7．设角终边上一点，则的值为________． 【答案】/ 【详解】，，． ． 8．已知角的终边在直线上，则_____； 【答案】 【详解】∵ 角的终边在直线上，直线经过第二、四象限，分两种情况讨论： ① 当角的终边在第四象限时，在终边上取点， 则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. ② 当角的终边在第二象限时，在终边上取点， 则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. 综上，. 9．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边过点， 所以. 10．角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义得， 平方化简得，解得（正根舍去）. 11．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 12．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 考点03 利用条件等式求正、余弦（知一求二） 13．已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，且为第二象限角， ． 14．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，可知位于第四象限，则， 又因为，则， 且，可得， 即，所以. 15．已知是三角形的内角，且，求的值． 【答案】 【详解】由，得， 将其代入，得， ∴，由于为三角形内角，故，又，故， ∴，，故． 16．已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件结合同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】因为，且角的终边不在轴上， 联立解得，则. 故选：B. 17．若，且，则_____. 【答案】/ 【分析】解法1：联立与，由已知可得，即可解出的值； 解法2：由结合化简得出，再与联立可求得的值； 解法3：令，由平方关系可得出关于的值，分析出，可求出的值，与已知等式联立可求得的值. 【详解】解法1：由已知得， 与联立可得， 故， 因为，则，所以. 解法2：由可知， 因为，则，，则， 由于，则， 联立，解得，即. 解法3：由，构造对偶式，令， 两式平方相加可得 ， 因为，则，，则， 即或（舍）， 所以，解得. 故答案为：. 18．已知，并且，求的值 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，结合求出这两个量的值，即可得解. 【详解】因为，则，， 由已知条件可得，解得， 因此，. 考点04 各象限符号的判断 19．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 20．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由，， 根据三角函数的符号与角的象限间的关系， 可得角的终边位于第四象限. 21．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 【答案】B 【详解】在中，为钝角，则为锐角. 所以，所以点在第二象限. 22．若，则点在第___________象限. 【答案】二 【详解】由可得， 所以点在第二象限. 23．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由是第一象限角，可得为第一或第三象限角，结合象限角性质逐项判断即可得. 【详解】由是第一象限角，则， 则，为第一或第三象限角； 对A：若为第三象限角，则，故A错误； 对B：若为第三象限角，则，故B错误； 对C：为第一或第三象限角，则，故C正确； 对D：取，则，，， 此时，故D错误. 24．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知角的终边不在坐标轴上， 当为第一象限角时，函数； 当为第二象限角时，函数； 当为第三象限角时，函数； 当为第四象限角时，函数． 所以函数的值域为． 考点05 sinα+cosα与sinα·cosa的关系 25．已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【详解】因为， 所以， 而，所以． 26．已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方，整理得，解得，D正确； 因为且，则， ，A正确； 由，得，，C正确，B错误． 27．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角的三角函数关系式可得； （2）根据关系可得. 【详解】（1）由，两边平方可得：， 解得：； （2）由， 因，且，故，则， 故. 28．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，即， 所以，故，即， 可知，得， 所以，解得，， 故． 29．已知，且，则__________. 【答案】 【分析】借助与的关系计算即可得. 【详解】， 由，则，故， 故. 30．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由． 因为，，所以，， 所以，又， 所以，故． 考点06 齐次式的应用 31．已知是三角形的内角，且，求的值． 【答案】2 【分析】利用正余弦的齐次式化切得解. 【详解】由，得，解得. 32．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 33．（1）已知，求的值. （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用齐次式“弦化切”的方法求解； （2）利用同角三角函数的基本关系对等式左侧进行化简证明. 【详解】（1）已知， 所以. （2）证明：. 34．如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助三角函数定义可得，再利用同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【详解】由角的终边在直线上，则， 则. 35．已知，则__________． 【答案】 【详解】. 36．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 【答案】A 【分析】根据题意，得到，把所求式化为“齐次式”，代入计算，即可求解. 【详解】由，可得， 则 考点07 诱导公式化简求值 37．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式求解. 【详解】A.由诱导公式得，，故A错误； B.，故B正确； C.，故C错误； D.，故D错误． 38．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 39．已知，则___________． 【答案】 【详解】． 40．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)根据二次方程根的个数得到参数范围，再由韦达定理可以得出，和与积的关系，解出具体的函数值，由诱导公式化简代值计算； (2)根据三角函数商数关系，代入，的值，根据诱导公式化简计算即可． 【详解】（1）因为有两个根，则，或； 又因为，是关于的方程的两个根， 故，， 因为，， 或， 因为或，所以， 由诱导公式：； （2）． 41．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义求解即可. （2）根据任意角三角函数的定义求解，然后代入原式计算即可. （3）先对原式进行化简，然后再代入求解即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）根据任意角三角函数定义可得. . （3）由（2）可得.    原式. 42．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． （2）由诱导公式得． 43．若，则________ 【答案】/ 【分析】根据诱导公式即可求解. 【详解】由诱导公式可得：. 因为， 所以. 故答案为： 44．已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）由已知，根据诱导公式和商数关系得出，再根据同角三角函数的平方关系得出，结合为第三象限的角，即可得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）∵， ，即， 又，∴，即， 为第三象限的角，， ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 任意角的正弦、余弦、正切与诱导公式 考点01 扇形的弧长与面积 考点02 三角函数定义的应用 考点03 利用条件等式求正、余弦（知一求二） 考点04 各象限符号的判断 考点05 sinα+cosα与sinα·cosa的关系 考点06 齐次式的应用 考点07 诱导公式化简求值 考点01 扇形的弧长与面积 1．若扇形的圆心角为，面积为，则其半径为（   ） A．1 B． C． D．2 2．已知扇形的周长为，半径为，则该扇形的圆心角的弧度数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知扇形的圆心角为弧度，周长为10，则该扇形的面积为___________． 4．若扇形圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为__________.（结果保留） 5．已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 6．（1）已知扇形的周长为10cm，面积为，求扇形圆心角的弧度数． （2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 考点02 三角函数定义的应用 7．设角终边上一点，则的值为________． 8．已知角的终边在直线上，则_____； 9．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A．3 B． C． D． 10．角的终边经过点且，则实数的值为（    ） A．4 B． C． D．3 11．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 12．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 考点03 利用条件等式求正、余弦（知一求二） 13．已知，是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 14．若，，则（    ） A． B． C． D． 15．已知是三角形的内角，且，求的值． 16．已知，角的终边不在轴上，则（   ） A．0 B． C． D． 17．若，且，则_____. 18．已知，并且，求的值 考点04 各象限符号的判断 19．设是第三象限角，且，则是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 20．已知，，则角的终边位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 21．在中，为钝角，则点（    ） A．在第一象限 B．在第二象限 C．在第三象限 D．在第四象限 22．若，则点在第___________象限. 23．若是第一象限角，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 24．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 考点05 sinα+cosα与sinα·cosa的关系 25．已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 26．已知，，则下列选项中错误的是（   ） A． B． C． D． 27．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 28．已知，，则（   ） A． B． C． D． 29．已知，且，则__________. 30．若，，则（    ） A． B． C． D． 考点06 齐次式的应用 31．已知是三角形的内角，且，求的值． 32．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 33．（1）已知，求的值. （2）证明：. 34．如果角的终边在直线上，则（    ） A． B． C． D． 35．已知，则__________． 36．若，则的值为（   ） A． B． C． D．－2 考点07 诱导公式化简求值 37．下列化简正确的是（   ） A． B． C． D． 38．的值为（   ） A． B． C． D． 39．已知，则___________． 40．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 41．角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 42．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． (1)求的值； (2)求的值． 43．若，则________ 44．已知． (1)化简； (2)若，且为第三象限的角，求的值． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $