专题05 解三角形中线、高线、角平分线6大题型专练（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦解三角形中中线、高线、角平分线的计算与最值问题，按基础计算-范围最值-综合应用梯度设计，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形中线问题|6小题|已知边、角求中线长|结合余弦定理、向量法，体现几何直观| |中线长最值|4小题|求中线范围或最大值|综合不等式、三角函数性质，培养推理能力| |角平分线问题|6小题|已知面积、边求角平分线长|应用角平分线定理、面积公式，强化运算能力| |角平分线最值|4小题|求角平分线取值范围|结合函数思想与三角形性质，发展逻辑思维| |高线问题|3小题|已知边、角求高线长|通过面积公式与正余弦定理转化，夯实基础| |多三角形/四边形|8小题|复杂图形中线段计算|综合多个三角形性质，提升综合应用能力|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 解三角形中线、高线、角平分线专练 题型归纳：内容导航 题型4求角平分线的最值（范围）（难 题型1三角形中线问题（常考点） 点) 题型2求中线长的最值（范围）（难点） 题型5三角形高线问题 题型3三角形角平分线问题（常考点） 题型6多三角形或四边形问题 题型通关·靶向提分 题型一三角形中线问题（共6小题） 1.(25-26高一下福建厦门期中)在△ABC中，已知A=60°，AC=2,AB=3,D为BC 的中点，则线段AD的长度为() 19 C. v19 A.√9 B.2 3 0© 4 2.(25-26高一下福建厦门期中)在△ABC中，已知A=60°，AC=2,AB=3,D为BC 的中点，则线段AD的长度为() V19 c. √19 v19 A.19 B.2 3 D. 4 3.(25-26高一下·安徽池州期中)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已 > 知V5(acosC+ccosA)=2 bsinB,a+c=8,且AC边上的中线长为2，则△ABC的面积为 () 93 15V5 A.3V3 B.4V5 C.2 D.4 4.(25-26高一下四川绵阳阶段检测)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a, 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b,c,设向量m=(sim4,b+c),n=(6inC-snB,a+b),且m/m (1)求角C: 2)若b=4.△AB 的面积为25，D为BC边的中点，求4D的长 5.(25-26高一下四川南充期中)在△ABC中，角AB,C的对边分别为a,b,C.已知 m=(2b-c,2a)n=(cosC,1) ，且m1/n (1)求角A的大小： 3V5 (2)若a=3,△ABC的面积为4，线段BC的中点为D,求AD的长. 6.(25-26高一下·福建三明期中)已知△ABC,其内角A,B,C的对边分别为4，b,C,且 2c+b=2acosB (1)求A: (2)0=3.5.c- V3 2,D是BC的中点，求AD的长 题型二求中线长的最值（范围）（共4小题） 7.(25-26高一下贵州毕节期中)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边， a=2v3 3asinC+acosC=b+c 日 (1)求A: (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值 8.(25-26高一下四川资阳期中)在△ABC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c,己知 √3sinB+cosB=2 ,acosC+ccos4=43cosB C 的中点为M (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，求BM的取值范围· 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26高一下四川成都期中)在锐角△ABC中，设角AB,C所对的边分别为a,b,C, 包知I=V3.smB+smC-sin A=sin BsinC (1)求角A: (2)求△ABC周长的取值范围： (3)求边BC上的中线AD的取值范围. 10.(25-26高一下江苏期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,已 3sinB-sintcos 知 2,AC的中点为M. (1)求B: ，尖448c (2)acosC+Ccos4=43cosB 内切圆面积的最大值： (3)若△ABC为锐角三角形，b=2,求线段BM的取值范围。 题型三三角形角平分线问题（共6小题） 35 11.(24-25高一下山东泰安期中)己知△ABC的面积是2，A=60°，BC=3,AD是 ∠BAC的内角平分线，D在边BC上，则AD=() A.1 8.② C V3 D.2 12.(多选)(25-26高一下辽宁鞍山期中)在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°， 则() 19 A.BA.AC=3 B.BC边上的中线长2 6V3 28π C.BC边上的角平分线长5 D.△ABC外接圆的面积为3 13.(多选)(25-26高一下甘肃兰州期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且A=2B+2C,2b=3C,D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是() AA2π 3 19+5 B.△ABC的周长为2 C.若AD为△ABC的中线，则DsVg D若AD为BC的角平分线，别DC 14.(25-26高一下·黑龙江绥化期中)如图，已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc (1)求∠BAC的大小： (2)若b=4,c=6,设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长. 15.(25-26高一下·吉林期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 (2a-b).cosC=c.cosB (1)求角C的大小： 45 2若C=4,△1BC的面积为 ,求该三角形的周长 (3)若a=5,b=3,CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 16.(25-26高一下浙江宁波期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是4，b,C, +c2-b=45s △ABC的面积为S,外接圆半径R=4,且 3 4/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求b: (2)若a=3C,∠CBA的平分线交AC于D,求BD的长度. 题型四求角平分线的最值（范围）（共4小题） 17.(25-26高一下广西玉林期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边为a,b,C,且 a-b sinC-sinB sinA+sinB· (1)求tanA: (2)若△ABC的面积为V3,求内角A的角平分线AD长的最大值， 18.(25-26高一下河南焦作期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为4b,C, sin B tan C m=(2b,c) cosA.cosC 且/n. (1)求角A: (2)若bc=4 sin BsinC,△ABC是钝角三角形. (i)求b+c的范围： (i)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 19. (25-26高一下·河南郑州期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c, 若V3bs血C+3c sit血BE4 asin Bsin C2bs血B+2csC=bc+/3a (1)求角A的大小： (2)求边a的值； (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围. 20.(25-26高一下河南郑州期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c C+3c sin B 4asin B sin C 2bsin B+2c sin C=b (1)求角A的大小： (2)求边a的值： 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围， 题型五三角形高线问题（共3小题】 21.(25-26高一下山东滨州期中)在△4C。 A=45°AC=4AB=3V2 中， BC ,则 边上的高为() 6W10 6V5 3√10 A.2V10 B.5 c.5 D.5 2.(25-26高一下河北石家庄阶段检测)在△1BC中，4=45°，4C=4,4B-=32 则BC边上的高为() 4 6W10 A.10 V10 B.5 C.210 D.5 23.(25-26高一下广东佛山期中)在△ABC中，角A,B,C的对应边分别是4b,c，且 bcosA=c-asin B (1)求∠B: 回若C边上的商等于古BC,求emA的慎 题型六多三角形或四边形问题（共8小题） 24.(25-26高一下·重庆期中)如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2,△ABC为等边 三角形，则△BCD面积的最大值为() A1+V3 B.2+V5 C.2 D. 25.(25-26高一下山东菏泽期中)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,C, 6/8 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且满足>a2+c2 3a=2bsinA,a+c=1 ,点D是边1C上一点，且1C=3CD,则BD的 最小值为() 21 √2i 2√21 4V21 A.7 B.21 C.7 D.21 26.(25-26高-一下广东江门期中)如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD=10 AB=14,∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长() D A.8V2 8.14V2 c.85 D.4V2 27.（25:26高一下广东佛r期中)在R△1BC中，C-受 2,D为BC边上一点，且 CD ∠BAD=2LCAD,AB=3BD,则DB() 4 4 9 A.13 B.9 c D. 28.(25-26高一下陕西榆林期中)如图，已知△ABC中， AB=V6,∠ABC=45,∠4CB=60,延长BC至点D,连接1D, D (1)求AC的长； (2)若CD=3,求AD的长 29.(25-26高一下·湖南益阳期中)如图，在平面四边形ABCD中，AD1AC,BC1CD 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 若4C=5+6.8=25.2CB=45”.求∠4CD 的大小： 2若Bc=5,B=5,CD=3hC,求4C, 30.(25-26高一下山西期中)如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2,BC=3. a创屠4经，C=牙 =4,求sin∠BDC的值； (2)若CD=1,cosA=3cosC,求△ABD的面积 31.(25-26高一下广东揭阳期中)如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直 线AC的两侧，BC=CD=2」 B 0 (若MB=2”4C=AD,且∠ABC=2∠ADC> 2,求∠ABC: 2若AD=5AB:且∠BAD-至，求AC的最大省， 8/8命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05 解三角形中线、高线、角平分线专练 题型归纳·内容导航 题型1三角形中线问题（常考点） 题型4求角平分线的最值（范围）（难点） 题型2求中线长的最值（范围）（难点） 题型5三角形高线问题 题型3三角形角平分线问题（常考点） 题型6多三角形或四边形问题 题型通关·靶向提分 题型一三角形中线问题（共6小题） 1.(25-26高一下·福建厦门期中)在△ABC中，已知A=60°，AC=2,AB=3,D为BC 的中点，则线段AD的长度为() A.19 B. V19 c.19 D.9 2 3 4 【答案】B 【详解】因为D是BC中点，由向量的中点公式可得：AD=)AB+AC), 将上式两边平方得： A0-[B+AC到→a0-a+2464c+4G) 已知AB=3,AC=2,且LA=60°，代入得： 而=13+2BaCc0s60+2）=9+6+4_19 4 4 对两边开平方得：M0=9 2.(25-26高一下.福建厦门期中)在△ABC中，已知A=60°，AC=2,AB=3,D为BC 的中点，则线段AD的长度为() A.19 B. V19 c. √19 D.V19 2 4 【答案】B 1/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为D是BC中点，由向量的中点公式可得：AD=AB+AC), 将上式两边平方得： 0-[西+c到-西-a+2.c+c 已知AB=3,AC=2,且LA=60°，代入得： 40°=432+2a8,4C-c0s60°+2）=9+6+4-19 4 1 对两边开平方得：D=9 3.(25-26高一下·安徽池州期中)在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 5 (aosC+c0s4=2次in8,a+e=8,且4C边上的中线长为7，则4BC的面积为（) A.35 B.45 c.95 D. 15W5 2 4 【答案】D 【详解】由已知条件V3(2 acosC+2ccos4)=4 bsinB，,化简得V5(acosC+ccos4)=2 bsinB. 由正弦定理得，V3(sin AcosC+sin CcosA)=V5sin(A+C)=√3sinB=2sin2B, 又B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以sinB=5,由于ABC为锐角三角形，所以8=60 2 AC边上的中线长为 > 设4C边上的中线长为BD,则BD-⑧丽+8C), 所以BD-ai+Bc+2B.BC-4e2+a2+2 Baecos∠ABC c2+a2+ac_49, 4 4 所以c2+a2+ac=(a+c2-ac=49→82-ac=49→ac=15, 所以SAc=acsinB=x15x5_155 24 2/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4.(25-26高一下.四川绵阳阶段检测)己知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b, c,设向量m=(sinA,b+c,n=(sinC-sinB,a+b),且m/i. (1)求角C: (2)若b=4,ABC的面积为2√5，D为BC边的中点，求AD的长. 【答案】12π， 3(2v2i 【详解】(1)因为m=(sinA,b+c,i=(sinC-sinB,a+b),且m/n, 所以(a+b)sinA-(b+c)sinC-sinB)=0, 由正弦定理可得：(a+b)a-(b+c)(c-b)=0,即-ab=a2+b2-c2, 由余弦定理得：d4水-C=2acoC,所以cosC=- 又C∈(0，，所以C= 3 (2)因为b=4,C=2 由三角形面积公式得：S1c=2V5=×4ax5,解得a=2. 因为D为BC边的中点，所以CD=1, 在ACAD中，AD2=AC2+CD2-2AC.CD·CosC, 即AD2=16+1-2×4×1× 1 2 =21,所以AD=√21 5.(25-26高一下.四川南充期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a4,b,c.己知 m=(2b-c,2a),n=(cosC,1）,且m11n. (1)求角A的大小： 2若a=3,ABC的面积为3 ,线段BC的中点为D,求AD的长， 4 【答案】A=:2AD= 3 2 3/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)由m/1n, 则2b-e=2 a cosC, 结合余弦定理可得2b-c=2ax b2+d2-c2b2+a2-c2 2ab b 所以b2+a2-c2=2b2-bc, 所以b2+c2-a2=bc, 所以cosA=b+c2-a21 2bc2' 又0<A<π， 所以4= π 2国为48C的面积为35，。=，4=及 4 所以-besin A= ,35 4 4 所以bc=3, 又b2+c2-a2=bc,所以b2+c2=9+3=12, 因为D为线段BC的中点，所以D=AB+AC), 所以D=(+2-4c+4C）2+2cos号+b c+c+)-02+3)=, 所以4D=⑤ 2 D 6.(25-26高一下福建三明期中)已知ABC,其内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 2c+b=2acosB (1)求A: 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)c=3,S。ABc 35 ,D是BC的中点，求AD的长. 2 【容灯a经a 【详解】(1)由题意和正弦定理得2sinC+sinB=2 sinAcosB, HsinC sin(B+A)=sinBcosA+cosBsinA 2sinBcosA 2cosBsinA+sinB 2sinAcosB 得2 sin B cosA+sinB=0,且B∈(0，π，则sinB≠0， 可得o4=-且40列，所以4=行 (2)如图： B D 因为c=3,A=2 1 1 由S。ABC= 35所以x3xhx53V3 ,解得b=2, 2 2 在ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=4+9-2×2×3× 则a=9,又D为BC边上的中点，所以BD=9, 2 在ABC中，由余弦定理得，则cosB=a+-公=19+9-44W四 2ac 2×V19×319 在△ABD中，由余弦定理得 AD2=AB2+BD2-2AB-BD60sB=9+19-2x3x19×49_Z 4 21941 所以D=V万 题型二求中线长的最值（范围）（共4小题） 7.(25-26高一下.贵州毕节期中)已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边， a=23asin C+acosC=b+c. (1)求A: (2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值， 5/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】()4=于；(23 【详解】【小题1】因为V5 asinC+acosC=b+c, 由正弦定理得：√3 sin Asin C+sin AcosC=sinB+sinC, 因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cos AsinC,所以√5 sin Asin C=cos Asin C+sinC, 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,所以V5sinA-cosA=1, 所以21-名-1，甲如4名- 长为4e@,所以名<4-君要所以4-君后所以4-号 6 【小题2】因为os4=cd-行a=25,所以+c=12+e, 2bc 因为D是BC的中点，所以0-西+40，所以40-a西+ad+26.40 =e2+B2+2 hecos到=6+e2+hc=2+2加刻 4 4 因为b2+c2≥2bc,所以12+bc22bc,即bc≤12， 所以=42c+12s2+2x12=9, 4 当且仅当b=c时，等号成立，所以AD的最大值为3. 8.(25-26高一下.四川资阳期中)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 √5sinB+cosB=2,且acos C+ccosA=4V5cosB,AC的中点为M. (1)求B: (2)若ABC为锐角三角形，求BM的取值范围. 【答案】aB=:2训万，3] 【详解】(1)由V5sinB+cosB=2 sin cos-2sin2sin 2 又0<B<元，所以元<B+<7n, 6 66 62,B= 所以B+卫=刀， 3 (2)由acosC+ccosA=45cosB,且B=可得acosC+ccos A=2V5, 6/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又acosC+ccos A=2 rsin AcosC+2 rsin Ccos A=2 rsin(A+C)=2 rsin B=b,r为△ABC外 接圆半径) 所以b=23,又b2=a2+c2-2 ac cos B,所以a2+c2=b2+2 ac cos B=12+ac, b 25 =4 在ABC中，由正弦定理得sinA sinC sin∠ABCV3 所以a=4sinA,c=4sinC. 由4C的中点为M,得BW=⑧a+BC), 所以Bw-48i+BC=4(a+8c+2BaBc）4a+c2+ac2+2ad (122sin dsinc)38sin sin c 3 sin Asi 4 =3+43 sin A cos A+4sin2A =3+2v3sin 24+2(1-cos24) =5+4 1 -sin 24- -cos 2A =5+4sin2A-元 6 0<AK2 因为ABC为锐角三角形，所以 ,得<A< 0< 2T-A<2 6 3 则2A-”∈，5π 6(6’6 所以sin 则5+4sin2A- e(7,9], 6 故BM的取值范围是√7,3： 9.(25-26高一下.四川成都期中)在锐角ABC中，设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已 知a=√3且sin2B+sin2C-sim2A=sin Bsin C. (1)求角A: (2)求ABC周长的取值范围； (3)求边BC上的中线AD的取值范围. 7/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【容米1四1-a8+v可：0： 【详解】(1)因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 由正弦定理得，b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理得，cosA分+c0=次，敌1 3 (2)由正弦定理得 a b =2, sin A sin B sin C btes2lsin B+sin C)s2sin BtsinBsingt Y3 3 2 2cosB=2V5sinB+） 6 又因为ABC是锐角三角形，故 <B<号 0<C=π-B< 2 解得名<B<受 6 2 5·a川9 b+c∈3,25，a+b+c∈3+5,35]， △ABC周长的取值范围为3+V3,35。 3)由余弦定理得，c0sAb+c-a=b+c-3-即+c=bc+3 2bc 2bc 2AD=AB+AC,两边平方得4ADP=AB2+|ACP+2AB·AC=b2+c2+bC=2bc+3. b _a 由正弦定理可知，sin B sinC sinA√3 =2,故6=2im8c=2smC, 2 因此2hc+3=8sin8smC+3=8 Ssin si号-8)+3=8 sin co+n8)+3 43sin B cos B+4sinB+3=23sin2B+4.1-cos2B +3=23sin 2B-2cos2B+5 2 =46sin2B. 2 -cos2B+5=4sin2B-马+5， 6 0<B<π 又因为ABC是锐角三角形，故 2 0<c= ,解得刀<B< 3π-B< 6 2 故2B-君eg,sm28-爱e小，4sin2B-象+5e7.9, 666 6 6 即4e(小，则4De 8/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26高一下江苏期中)在ABC中，角A,，B,C所对的边分别为a,b,C,己知 3sinB-sinBeosB= ,AC的中点为M, 2 (1)求B: (2)若acosC+ccosA=4√3cosB,求ABC内切圆面积的最大值； 3)若ABC为锐角三角形，b=2,求线段BM的取值范围. 【答案】a号或g:2元 (3) 3 【详解】(1)由题意可知V51-cos2B-1、 2 之之，七3 cos2B+sin2B-0. 2 可得如28+引=0，因为0<8<，所以号<28+骨资 33 可得2B+=π或2B+=2π，解得B=或B=5红 3 3 6 (2)由题意可得a+-c+e+c-d:4W5cosB,化简得6=4N5osB, +C 2ab 2bc 所以e0sB>0,所以由1)可知8-号可得b=4c0s号-25， 可知cosB= 2+c2-25_1,化简得a+c2=ac+12.即(a+c=3ac+12,可得 2ac ac=a+c2-12 3 由基本不等式可知9c之c,即a+e之ac:当且仅当a=c时取等号， 2 4 所以a+d≥a+c-12,由b=25,解得25<a+c≤45. 4 3 -1。 股内切圆半径为，则Sc)acsin B=-)a+b+C 可得r=acsin B-V3 ac a+b+c 2 a+c+23 5,因为ac=a+c°-12 3 所以 (a+c2-12 r=5.3 51a+e-12.5a*c+25o+c-20)-5a+e-25 2a+c+2W323a+c+25)2 3a+c+2W5) 6 9/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为2√5<a+c≤4V5,所以0<r≤1， 当a=c时，内切圆半径为取得最大值1，此时ABC内切圆面积的最大值为刀. (3)可知8W-8A+8C),所以Bd=8+Bc-e2+a+2 BaccosB,) 园为48C为锐角三角形，所以B-行 所以B-e+e+2aco}-e++ad. 可知c8=-分可得Ge=c+4,所以网-c+1 2ac 3sin4,c=4v5。 因为0”c,所以a=5m b 3 sinC, 则 32 2 331 0<A< π 2 0<A< 因为 0<C<π 由8=行可符 2 2-A 解得后<4 0< 3 2 所以T<2A-亚< 5π 6 6 可得sm24-s1,所以}<®s,即<s6 6 所以线段BM的取值范围为 题型三三角形角平分线问题（共6小题） 11.(24-25高一下山东泰安期中)已知A8C的面积是35 4=60°，BC=3,AD是 ∠BAC的内角平分线，D在边BC上，则AD=() A.1 B.√2 C.5 D.2 【答案】D 〖详解】因为ABC的面积是33，所以-besin A-besit如60E3 所以bc=6, 2 2 在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccos A, 所以32=b2+c2-bc=(b+c2-3bc=(b+c)2-18,解得b+c=3V5, 10/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为Sam+Saam=Sac,所以)c.ADsin∠DAB+号b:ADsin.∠DAC=besin∠BAC, 又AD是∠BAC的内角平分线， 所以e30+b:sin30=csin60, 所以AD(b+C=√3bc,所以3V5AD=6√5，所以AD=2. 12.(多选)(25-26高一下辽宁鞍山期中)在ABC中，AB=2,AC=3,LBAC=60°，则 () A.BA.AC=3 B.BC边上的中线长 2 C.BC边上的角平分线长v5 D 1BC外接圆的面积为28 3 【答案】BC 【详解】选项A:向量Ba与AC的夹角为180°-∠BAC=120°， 所以8A4C-Bd4Ccos120=2x3×(》=-,A错误 选项B:设BC中点为D,则AD=)(AB+4C)则 0-得西+aC-+2-c+ac）=得2+2x2x3xeos60+3判= 故BC边上的中线长V19,B正确， E D 选项C:设角A的角平分线交BC于E,利用面积关系S。ABE+SACE=SHBC, 即4B-4Esm30+4C,4Esn30-4B-4Csm60 也即片x2×4E×行+2X3×1E 11 22*2x3x 11. ,解得4E=65,c正确 5 选项D:由余弦定理得BC2=AB+AC2-24B.4C.c0s60°=2+32-2×2×3×=7，即 2 BC=√7， 11/29 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC√72V2I 设ABC外接圆半径为R,由正弦定理2R sim∠BAC53,则R= 3 2 所以ABC外接圆的面积S=πR2=π √21 7π，0错误 3 13.(多选)(25-26高一下.甘肃兰州期中)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且A=2B+2C,2b=3c,D为线段BC上的一点，则下列结论正确的是() 2π A.A= 3 B.△ABC的周长为V9+5。 2 C.若AD为aABC的中线，则AD=。 0 4 D.若AD为△ABC的角平分线，则AD=3。 【答案】ABD 【详解】因为什B叶C=A+A=元，所以A=2红，A正确 由26=3c,得b=c.由余弦定理a2=b2+c2-2 becosA,得a=19 3 2 2c, 所以sABC的周长为a+b+c-I9+5c c,B正确. 2 2 误 由Suc=So+5m得be sin∠B4C=eAD-sn∠BAD+b:D-s如∠C1D,得 AD=bc3 b+cC,D正确 14.(25-26高一下黑龙江绥化期中)如图，己知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别 为a,b,c,且b2+c2=a2+bc D (1)求∠BAC的大小； (2)若b=4,c=6,设AD为三角形ABC的角平分线，求AD的长. 12/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】肾2 5 【详解】(1)由余弦定理可得cosA= b2+c2-a2 bc 1 2bc 2bc2' 又因为A∈(0，，故A= 3 (2)因为SB4D+SDAc=SB4c, 8 ADsin/BAD+)ADx ACsin.∠DAC=号ABx 又因为AB=c=6,4C=b=4,∠BAD=∠DAC=∠BAC= 6' 新以6ADX+4HD×)=6x4因 2 2 所以AD=125 5 15.(25-26高一下.吉林.期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (2a-b).cosC =c.cosB (1)求角C的大小； (2)若c=4,ABC的面积为4√5，求该三角形的周长 3)若a=5,b=3,CD为∠ACB的平分线，求CD的长. 【答案】a四肾212：15 【详解】(1)解：因为2a-b)cosC=c.cosB, 由正弦定理，可得2sinA-sin B).cosC=sin CcosB, 整理得2 sin AcosC-sin BcosC=sin CcosB, 所以2 sin AcosC=sin CcosB+sin BcosC,即2 sin AcosC=sin(B+C), 又因为A+B+C=元，可得sin(B+C)=sinA,所以2 sin AcosC=sinA, 因为A∈(0，m),可得sinA>0,所以2c0sC=1,即cosC=2, 1 又因为Ce@,所以C-骨 (2)解：由(1)知：C=灭且ABC的面积为4√5， 3 可得)absinC=号bx 1 =4N5,可得ab=16, 2 因为c=4,由余弦定理知c2=a2+b2-2 abcosC, 13/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 可得16=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=(a+b)2-3×16,可得(a+b)2=64, 解得a+b=8,所以ABC的周长为a+b+c=8+4=12. (3)解：因为CD为∠ACB的平分线且C-号，可得∠4CD=∠BCD-君 6 aCD.sin 由Sac=SACD+Sacn,可得)absin C=b-CD-sin+a 6 又因为a=5.b=3,可得x5×3x5x3 11 1 *-ZX3xCDx+7x5xCD* 整理得2CD-15V5,所以cD=155 4 8 16.(25-26高一下.浙江宁波期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,△ABC 的面积为8，外接圆半径R=4,且a'+c2-b2=45y -s. 3 (1)求b: (2)若a=3c,∠CBA的平分线交AC于D,求BD的长度. 【答案】(b=4W5:2)BD-9 7 x,acsinB=2 【详解】(1因为a+c2-_45s,所以a2+c2-b2=45xac -acsinB 3 32 3 由余弦定理得a2+c2-b2-2W 3 acsinB=2 accosB,所以tanB=√5， 又Be(Q,,所以B=了：又因为外接園半径R=4, 则由正弦定理可得b=2 RsinB=8× 3 2=45. 2 (2)由1)知：6=45，B=骨且a=3c 由余弦定理可得c0sBa+c二6=9c+C一48-)，化简得c2三48 2ac 6c2 所以c=45,g=12V5 i a= ∠CBA的平分线交AC于D,则∠CBD=∠ABD=B=」 26 在ABC中，由等面积法得S.ABC=S.BAD+S.BCD, 即grm80s B,1 2+2aBD.sin B 时9号-9o .1 14/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以BD=9V7 B 题型四求角平分线的最值（范围）（共4小题） 17.(25-26高一下广西玉林期中)已知ABC的内角A,B,C的对边为a,b,C,且 a-b sinC-sinB c sinA+sinB (1)求tanA; (2)若ABC的面积为√，求内角A的角平分线AD长的最大值. 【答案】(1)5；(2)5 【详解】(1)因为a-b-sinC-sinB c sin A+sin B 由正孩定度利9。-8名，即c2+6-心心 由余弦定理得c0sA=C+-dc1 2be 2bc 2 因为4∈(0，所以A=于，所以anA=5 (2)因为AD为角A的角平分线，所以∠BAD=∠CAD=T 6 由于SAD8+S.ADc=SHBc,所以AD.csin 元.1 =5, 62 3 所以AD(c+b)=V3bc=43,所以bc=4, 因为b+c≥2√bc=4,当且仅当b=c=2时等号成立， 所以4V3=AD(C+b)≥2 bcAD=4AD,即AD≤√5，当且仅当b=c=2时等号成立， 所以AD的最大值为√ 18.(25-26高一下河南焦作.期中)在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(2b,c) sin B ，n= tan C (cosA·cosC 且mlln· (1)求角A; (2)若bc=4 sin B sin C,ABC是钝角三角形， 15/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (i)求b+c的范围； (i)若点D在BC上，且AD为∠BAC的角平分线，求AD的取值范围. 023 【答案】aA=号：回(i)6+ce(6,:(i)ADe0,2 【详解】(1)由m=(2b,c),i= sin B cos 4-cosCtan Cm sinB 所以2b.tanC-c. sinB -C. =0, cosAcosC =0,26.sinc cosC cosAcosC 化简整理得2 b.sinC.cos4=c.sinB,再由正弦定理得2 sin B.sinC.cosA=sin C.sinB, 因为s血B>0snC>0,所以cosA=且4e0,列，所以4 3 (2)(i)由bc=4 sinB.sinC,结合正弦定理b=2 R.sinB,c=2 R.sinC,得R=1. 因此a=2Rsin4=2x5 5,且C=2元B. 3 因为AB8C为纯角三角形，A=兮，故钝角只能是B或C, 所以B<行或号<C=B经所以引（任） 2 3 =23 V3 sin B+cosB =23sint （6/ 国为8》经）：所以8+6(）s如8 所以b+c∈V5,3 ()因为AD为∠B4C的角平分线，且A=背，如图： 由面积关系S,ABC=SHBD+S4Dc,∠BAD=∠CAD=T, 6 所以cs子)4D-cs如及)1天，化简得MD=5e 32 62 6 b+c 16/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为bc=4 sin Bsin C=4 sin Bsin =3sin 2B-cos2B+1=-2cos s+引1--am8剔 =4sin2B+ π -1, 6 由(1D知b+c=2V3sinB+T 6/: 所以AD=Bac」 4m8+ b+c 2V5sinB+刀 6 2sn+8 1=28+》由知+ 所以1∈山，5 所以AD= -1=1-,因为函数y=t-}在山，5)是单调递增函数， t 所以1=1时，4D=1-1=0,当1=V5时，AD=5--25 53 23 所以AD∈ 19.(25-26高一下.河南郑州期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若5 bsin C+√5 csin B=4 asin B sin C,2 bsin B+2 csin C=bc+√5a. (1)求角A的大小： (2)求边a的值； (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围. 【答案】写：25：创 2V53 32 【详解】(1)由√5 bsin C+√5 csin B=4 a sin B sin C及正弦定理得： 3sin B sin C+3sin C sin B=4sin Asin Bsin C, 因为0<B,C<7,所以sinB≠0，si血C+0 所以sinA= 2 ,又0<A< 2,所以4= 3 17/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由正弦定理 sin b sinc"sina,sinB a 2V3 2a ,sinC=e 2a +23 由2 bsin B+2 esin C=bc+5a得：2b5b+2c 2a 2a bc+3a, 即b2+c2-a2= -abc, 3 由余弦定理得，b2+c2-a2=bc, 联立解得a=√3. (3) B 如图所示，由(1知A=子，由于Sc=5co+S0 C写-D爱DC 62 6 :h-csin=c-4Dsin+4Db-sin交 2 32 62 6 cb=(c+B).AD,=3cb c+b 由(2)知b=2sinB,c=2sinC, 医为4=号，所以sn8=sm4+G)=sn(C+写引}】 1 AD=3cb4 sin Csin B 2V5 sin CsinC+π 2v3sin C 3 2 cosC c+b 2(sin C+sin B) sinC+sinC+交 3 sin C+ sin C+3 2 -cos C 1-cos2C 3 sin2C+3 sin C cosC 十 -2 sin 2C 2 2tsn2c- 6 sinC+csC 2 2 sinc+ 6 令C+工=0，则2C-”=20-, 6 6 因为aABC是锐角三角形，则<C<,<6<2红，5 <sin0≤1， 6 2'3 、3’2 18/29 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 +sin2c-π 20、π 1 sin -c0s20 2-1-2sn0) 则AD= =2sin0- sinC+π sin sin 0 sin 0 2sin0 6 1 令t=sin0,由解析式可知y=2t- 3 单调递增， 2t 2 所以2v3 2113 即23 3 2t <AD≤ 2 3 2 2V53 即AD长度的范围为 32 20.(25-26高一下.河南郑州期中)在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若√5 bsin C+√5 c sin B=4 a sin B sin C,2 bsin B+2 csin C=bc+√5a. (1)求角A的大小： (2)求边a的值； 3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围. 【答案】a)号：25：B 2V53 3’2 【详解】(1)由，√5 bsinC+√3 csin B=4 a sin B sin C及正弦定理得： √5 sin B sinC+√3 sin C sin B=4 sin Asin B sin C, 因为0<B,C< 2,所以sinB0,sinC≠0， 所以sinA=】 ,又0<A<,所以A= 2 31 （2)由正弦定理6。-C=”25。,得nA=6mC-c sin B sinC sin A 3 2a 2a 由20sm8+2 eiC=kc+5a衡：26+2c5e。 -bc+3a, 2a 2a 即2+c2-2=5 abc, 3 由余弦定理得，b2+c2-a2=bc, 联立解得a=V3. (3) 19/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 如图所示，由(1)知A=,由于SBc=S.4c+S4BD, 2 B.AC.sinπ=L 32 4B.AD.sinD.4C.sin 62 6 .b.c.sin.c 2 写2c0sm+}0 62 6 3cb=(c+b)DD=cb c+b 由(2)知b=2sinB,c=2simC, 因为4-骨所以n8=4+G)=sm(C+到： 1 5 则D=V5cb_43 sin Csin 2W5 sin CsinC+元 2v3sin C 3 2sinC+ 2 cosC c+b 2(sin C+sin B) sinC+sinC+ 3 sin C+ -cos C 2 2 1-c0s2C,V sin2C+3 sin CcosC2 3 sin2C 2 m2c-8别 3 inC+cosC 2 令C+元=日，则2C-2=28-x, 6 6 2 因为△48C是锐角三角形，则<C<<9<2红，5 <sin0≤1， 6 23 、3’2 1 则AD=2 sin2c-π）1 6 sin20-π）1 22cos29 3--2sim20 =2sin0- 1 sinC+ sin0 sin sin0 2sin0 6 令1=sin0,由解析式可知y=21-号 31 单调递增， 所以2 3 3<21-1s3,即2 2t2 3 <ADS3 2V53 即AD长度的范围为 3’2 题型五三角形高线问题（共3小题） 20/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.(25-26高一下山东滨州期中)在ABC中，A=45，,AC=4,AB=3√2，则BC边 上的高为() A.210 B.6V10 c.65 D. 310 5 5 5 【答案】B 【详解】在ABC中，A=45°，AC=4,AB=3V2, 由余弦定理，得BC=AB+4C2-2AB-ACc0sA=18+16-2×3N2×4×Y5-10, 2 则BC=√10. 09ms2r·9m-O8四OP·#·里装甲y婴明9 BC 5 22.(25-26高一下河北石家庄阶段检测)在ABC中，A=45°，AC=4,AB=3√2，则 BC边上的高为() A.10 B. C.210 D. 6V10 【答案】D 【详解】在ABC中，A=45°，AC=4,AB=3√2， 由余弦定理得BC=A8+4C:-24B4 Ccos4=18+16-2×32×4×5.10, 2 则BC=而，设BC边上的商为：由等面积法可料4B4Csn4= BC.h, 则h=AB,ACsin A60 BC 5 23.(25-26高一下.广东佛山期中)在ABC中，角A,B,C的对应边分别是a,b,c,且 bcos A =c-asin B. (1)求∠B; 2)若BC边上的高等于写BC,求0s4的值. 【答案】a空a-0 10 【详解】(1)由a= b sin A sin B sin C c及bcosA=c-asin B得sin B cos A=sinC-sin Asin B,① 在ABC中，有sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cosAsin B,② 由①②可知sin B cos A=sin Acos B+cos Asin B-sin Asin B, 则有sin Acos B=sin A sin B, 又sinA≠0，所以cosB=sinB,由0<∠B<π可得tanB=l, 21/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此可得B= (2)如图所示，过A作BC边上的高交BC于D, 由题意可知4D=兮8C,由（①)中∠B=牙可知△48D是等腰直角三角形， 所以BD-8C,4B=EaD=5BC. 3 在Rts4DC中，DC=BC-BC=2BC, 2 3 3 3 则在ABC中，由余弦定理可得cosA=B+AC-BC 2BC2+5 BC2-BC2 s91 10 2AB·AC 2 2BC.5 BC 10 3 3 B 题型六多三角形或四边形问题（共8小题） 24.(25-26高一下.重庆期中)如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2,ABC为等边三 角形，则△BCD面积的最大值为() D A.1+5 B.2+5 C.2 D.5 【答案】B 【详解】在△ADC中，设∠4DC=0,则Sc=×ADxCDsint0=2sin0。 由余弦定理知AC2=AD2+CD2-2AD.CDcos0=8-8cos0. 4c中：8s片 -AC2=23-23cos0. 又AD=CD=2,ABC为等边三角形 所以∠DAC=∠DCA,∠BAC=∠BCA,即LDAB=LDCB 22/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以可通过SAS判断△ABD和△BCD全等 枚5am-5w-5ac+5x=sn0-6cs9-5=2xn0-引、5. 所以当0-号年0-g时.Swl-2+5 6 25.(25-26高一下山东菏泽.期中)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 且满足b2>a2+c2,√3a=2 bsinA,a+c=1,点D是边AC上一点，且AC=3CD,则BD的 最小值为() A.② B.21 C.221 D. 4vW27 7 21 21 【答案】B 【详解】由题√5a=2 bsinA结合正弦定理可得：√3sinA=2 sin Bsin A, 因为si4>0,所以sin8= 2 b>a2+c2,B为钝角，B=2n :AC=3CD,AC=3DC,由爪型定理可得BD=名BC+BA 两边平方可有：(Bo-(c+函-8c+c+8d 2π+1 91 39 991 :a+c=1,.c=1-a, 画-0+gl-ar-al-a--)+分 :当a=号时，D取符最小值牙，即D最小值为哥 26.(25-26高一下广东江门期中)如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD,AD=10, AB=14,∠BDA=60°，∠BCD=135°，则BC的长() 23/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.82 B.142 C.8W3 D.42 【答案】A 【详解】在△ABD中，AD=10,AB=14,∠BDA=60°， 由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2·AD·BD·cOS∠BDA 142=102+BD2-2×10×BD×cos60° 整理得BD-10BD-96=0,解得BD=16或BD=-6(边长为正，舍去)， AD⊥CD,∠ADC=90°， .∠BDC=∠ADC-∠BDA=90-60°=30°. 在△BCD中，∠BDC=30°，∠BCD=135°，BD=16, 由正弦定理得 BC BD sin∠BDC sin∠BCD ÷BC=BD:sin∠BDC_=l6xsin30_16x2 =8√2 sin∠BCD sinl35° 2 2五，25-26高一下广东佛山·期中)在Rt△ABC中，C=,D为8C边上一点，自 ∠BAD=2LCAD,AB=3BD,则CD=() DB A. B. 4 C.5 D. 13 9 9 13 【答案】B 【详解】设∠CAD=0,则∠BAD=20,∠CAB=30, B 24/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由c 则∠CDA=I-0,∠ADB=元+0， AB BD 在△ABD中，由正弦定理可得 sin∠4DB sin∠BAD' 由AB=3BD,则AB sin +0 (2 3 cos0 =3sin 20 =6sine cos0, BD sin20 由0e0写》故cos00,1=6sin0,即sm0 6 sin 30 sin0 cos 20+sin 20 cos0=sin0.(1-2sin20)+2sin0 cos20 =00-2n0叭+2m0-smoj-g-2xG+2*g-6)-号 则AB BC -27(CD+DB)-3DB CD-4 1313 DB 9 28.(25-26高一下陕西榆林.期中)如图，己知ABC中， AB=√6，∠ABC=45°，∠ACB=60°，延长BC至点D,连接AD. B D (1)求AC的长： (2)若CD=3,求AD的长 【答案】(1)2；(2)19 AB 【详解】(1)在ABC中，由正弦定理得TIBGSiWLACB 且AB=V6,∠ABC=45°，∠ACB=60°. 所以AC=ABsin∠ABC vx 2=2 sin∠ACB (2)因为∠ACB=60°，则∠ACD=120°， 在△ACD中，由余弦定理得AD=√AC2+CD2-2AC.CD·cosI20 4+9+2x2x3x:19. 2 29.(25-26高一下.湖南益阳期中)如图，在平面四边形ABCD中，AD1AC,BC⊥CD. 25/29 00学科网·上好课 w w.Zxx k. om 上好每一堂课 D. C A B (1)若 $$A C = \sqrt 2 + \sqrt 6 ， A B = 2 \sqrt 3 ， \angle C A B = 4 5 ^ { \circ } ，$$ ，求 ∠ACD 的大小 (2)若 $$B C = \sqrt 2 ， A B = \sqrt 3 ， C D = 3 A C ，$$ ，求 AC. 【答案】 $$\left( 1 \right) 3 0 ^ { \circ } ； \left( 2 \right) 3$$ 【详解】(1)在 ABC 中，由余弦定理得 $$B C ^ { 2 } = A C ^ { 2 } + A B ^ { 2 } - 2 A C \cdot A B \cos \angle C A B = \left( \sqrt 2 + \sqrt 6 \right) ^ { 2 } + \left( 2 \sqrt 3 \right) ^ { 2 } - 2 \left( \sqrt 2 + \sqrt 6 \right) \times \left($$ $${ \sqrt 2 + \sqrt 6 } \right) \times \left( 2 \sqrt 3 \right) \times \frac { \sqrt 2 } { 2 } = 8 ，$$ 所以 $$B C = 2 \sqrt 2 .$$ 正弦定理 $$f \frac { 1 } { f _ { 1 } }$$ $$\frac { A B } { \sin \angle A C B } = \frac { B C } { \sin \angle C A B } ，$$ $$： \sin \angle A C B = \frac { A B \sin \angle C A B } { B C } = \frac { 2 \sqrt 3 \times \frac { \sqrt 2 } { 2 } } { 2 \sqrt 2 } = \frac { \sqrt 3 } { 2 }$$ 因为 BC⊥CD， ，所以 $$\angle B C D = 9 0 ^ { \circ } ， \angle A C B < 9 0 ^ { \circ } ，$$ ，所以 $$\angle A C B = 6 0 ^ { \circ }$$ 故 $$\angle A C D = \angle B C D - \angle A C B = 9 0 ^ { \circ } - 6 0 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ }$$ (2)设 AC=x， 则 CD=3x， 因为 BC⊥CD， ，所以 $$\angle A C B + \angle A C D = 9 0 ^ { \circ } ，$$ 则 cos∠ACB=sin∠ACD 在 Rt△ACD D中. $$\cdot \sin \angle A C D = \frac { A D } { C D } = \frac { \sqrt { C D ^ { 2 } - A C } ^ { 2 } } { C D } = \frac { \sqrt { ( 3 x ) ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } { 3 x } = \frac { 2 \sqrt 2 } { 3 } ， 则 \cos \angle A C B = \frac { 2 \sqrt 2 } { 3 }$$ 在 中， 由余弦定理得 $$\tan \angle A C B = \frac { A C ^ { 2 } + B C ^ { 2 } - A B ^ { 2 } } { 2 A C \cdot B C } ，$$ $$\frac { 2 \sqrt 2 } { 3 } = \frac { x ^ { 2 } + \left( \sqrt 2 \right) ^ { 2 } - \left( \sqrt 3 \right) ^ { 2 } } { 2 \sqrt 2 x }$$ 整理得 $$3 x ^ { 2 } - 8 x - 3 = 0 ，$$ ，解得x=3或 $$x = - \frac { 1 } { 3 }$$ (舍去) 当 x=3 时， $$B C = \sqrt 2 ， A B = \sqrt 3 ， A C = 3$$ ，能构成三角形，满足条件. 故AC=3 30.(25-26高一下山西期中)如图，在平面四边形 ABCD 中， AB=AD=2，BC=3. 26/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 嘴4.C=子求n∠8DC的值： (2)若CD=1,cosA=3cosC，,求△ABD的面积. 【答案】)y6,242 4 3 【详解】(1)在△ABD中，AB=AD=2,A= 3 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos.∠A=4+4-2×2×2× 2. 所以BD=2√5， 在△BCD中，BD=25,BC=3,C= 4 所以由正弦定理得 sn∠BDc-sinC,得BD sin∠BDC=BCsinc, BC BD 25m<0c=39,得n0C-6 4 (2)在△ABD中，AB=AD=2, 由余弦定理得c0sA=4B+AD-BD8-BD 2AB·AD 8 在△BCD中，BC=3,CD=1, 则余弦定理得cosC=BC+CD2-BD210-BD 2BC.CD 6 因为0s4=3c0sC,所以8-BD-3x10-BD.10-BD,解得BD= 8 6 2 3 32 所以 os4=8-BD2 8 1-3=1-4-1 8 33 因为4e(0,小，所以sn4=-6osA=22 V93 所以△80的面积5w840血4-2x2x29. 1 2 33 31.(25-26高一下广东揭阳期中)如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线 AC的两侧，BC=CD=2. 27/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D a诺B=2,AC=4D,且∠BC-2∠ADC>至，求∠48C, 2诺4D=2AB,且∠B1D-子，求AC的最大值， 【答案】(1)5π，(22+22. 6 【详解】(1)设LADC=9,依题意，∠BAC=∠BCA=∠ABC=元-0， 22 2 则AD=AC=2 AB cos∠BAC=4sin0,CD=2 AD cos∠ADC=8sin0cos0=2, 即s如20-2而<29<x, 1 2 所以∠ABC=20=5π 6 (2)连接BD,△ABD中，AD=V2AB,∠BAD= 4 B C D 由余玻定理得BD=48+AD-21BDc0s号=B+24B-218反B号=4B, 则BD=AB,即∠ABD=,设∠CBD=a0<a<孕，在△BCD中，BC=CD=2, 于是4B=8D=28Cc0s2C8D=4cosa,在4C巾：∠A8C-分+a, 由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2 AB.BC c0s∠ABC, C2=16cos@+4-8cosa.2cos()16csa+4+16sina cosa =8sin2a+8(cos2a+)+4=8V2sin(2a+)+12≤8√2+12， 28/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当且仅当2如+子-子即a一时取等号， 8 所以当a=时，4C=V41+V2可=2+2N2, 8 所以AC的最大值是2+2√2， 29/29