专题03 向量的数量积（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 向量的数量积专项训练以基础运算为起点，通过几何应用、最值问题到创新题型的递进设计，系统覆盖核心概念与综合应用，体现数学思维的逻辑性与运算能力的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|4题型|数量积运算、模长、夹角、投影的基础考查|从概念生成到运算律应用，构建数量积基本认知| |几何应用|2题型|平面图形中数量积的几何意义及坐标法应用|结合几何直观，实现向量与平面几何的转化| |综合提升|3题型|最值问题与新定义题型的综合创新|通过复杂情境考查推理能力与模型意识，形成完整认知链条|

专题03 向量的数量积 题型一 数量积的简单运算及运算律 题型六 平面几何图形与数量积（坐标法）（重点） 题型二 向量模的计算（重点） 题型七 数量积最值问题（难点） 题型三 向量的夹角（重点） 题型八 夹角、模长的最值问题（难点） 题型四 投影向量 题型九 向量数量积的新定义问题（难点） 题型五 平面几何图形与数量积（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数量积的简单运算及运算律 1．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量，，则， ，解得． 2．如图，在中，已知弦，则________. 【答案】2 【详解】过点作，垂足为，则为的中点， 则. 3．在平行四边形中，，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】由向量的加法法则可知, 在平行四边形中，，，， 所以，, 故. 4．已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知是不共线的单位向量，故，设两向量夹角为， 则，即. 因为，所以不等式等价于. 充分性：若，无法推出且，例如满足， 但不满足且，充分性不成立； 必要性：若且，必有，即，必要性成立. 所以是且的必要不充分条件. 5．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________．    【答案】 1 0 【详解】 方法1：如图   可得． 如图   可得与垂直，． 方法2：如图建系，易知. 若，则， 所以. ，，所以.    6．如图，在菱形中，，． (1)若，求的值； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，在菱形中，，因为，所以为的中点， 则，因为，所以， 因此， 又因为 ，且 不共线， 所以 ， 故 ． （2）因为四边形 为菱形，且 ， 所以 ，且 ， 由向量加法法则可知 ． 由（1）知 ， 所以 . 题型二 向量模的计算 7．已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由，得，即.解得.所以， 则. 8．已知向量的夹角为，则__________. 【答案】 【详解】由题意可得， 可知. 9．已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，，， 所以， ，得， 显然，所以． 10．已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两边平方得，， 又得， 所以， 则． 11．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 题型三 向量的夹角 12．设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 因为，是平面上两个非零向量，则， 当时，满足，但不是钝角， 则充分性不成立. 那么“”是“是钝角”的必要非充分条件. 13．已知向量，满足条件：，，且与互相垂直，则与的夹角为________． 【答案】/45° 【详解】设向量与的夹角为，其中. 由与互相垂直，可得，即. 所以，即. 所以，所以. 14．已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 15．已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知，，， 由有 ，解得． （2）由已知，， 由有，解得， 于是． 16．已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）∵，且与夹角为， ∴， ∴； （2）， ∴ 17．已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），解得， 由，则，解得； （2）由，则，， ，则，， 故. 题型四 投影向量 18．已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量的模等于， 已知该模为2，，则有 ，解得. 19．已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为，在上的投影向量相等， 所以它们的投影也相等，即，所以， 又因为，， 所以； 已知，，满足基本不等式的使用条件， 对目标式， 由得， 因此，将目标式乘展开： ， 根据基本不等式，， 代入得： 当且仅当时等号成立，即，结合， 解得，，满足，，因此最小值为. 20．已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 21．已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】两两的夹角相等，故两两夹角为0或， 当两两夹角为0时，故， 故向量在向量上的投影向量是， 当两两夹角为时，， 故向量在向量上的投影向量是 ， 故向量在向量上的投影向量是或. 22．已知向量，且向量在向量上的投影向量的坐标为，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】因为向量在向量上的投影向量的坐标为， 不妨设，已知向量， 所以， 即， 解得. 题型五 平面几何图形与数量积 23．在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】设，如图， 因为， 所以, 即，解得， 所以， ， 故选：A 24．在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是中点，由向量的中点公式可得：， 将上式两边平方得： . 已知，，且，代入得： ， 对两边开平方得：. 25．如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 【答案】 【详解】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 则，，是中点，故； 由，，得； 是上靠近的四等分点， 由定比分点公式得 . 为向量与的夹角，所以. 因为，， 所以， ，. 进而． 26．已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 27．已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点为线段的中点 【分析】 【详解】（1）因为，则，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . （2）因为为的中点，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 又因为、均为非零向量，故，即. （3）因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，，解得，此时，点为线段的中点. 题型六 平面几何图形与数量积（坐标法） 28．在中，为的中点，，与相交于点F，则________． 【答案】 【详解】由余弦定理可知, 所以为直角三角形， 不妨以C为中心分别为轴，建立平面直角坐标系，    则由题意可知：， 即，且， 易知， 即是钝角， 所以. 故答案为： 29．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 【答案】/ 【详解】因为在正三角形中，点为边的中点，所以， 如图以为原点，所在直线分别为轴建立平面直角坐标系， 则， 因为，所以，则， 则，又， 所以. 故答案为：. 30．在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 【答案】 【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，   为菱形，设菱形的边长为，又， ，，，， 是的中点，，， ，即， 菱形的边长为， 故答案为：. 31．正方形的面积为16，，点在线段上．若，则__________． 【答案】 【详解】如图建立直角坐标系，因正方形的面积为16， 则，又，则M为AB中点， 则，因点在线段上，则设，则，. 则，故. 故答案为：. 32．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； (3)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则，，，， ∴，． 由于就是，的夹角． ∴， ∴的余弦值为． （2）设，∴， ∵，∴，∴①． ∵，，， ∴，∴②． 联立①②得，∴，∴． （3）由题得，． ①当点P在AB上时，设，∴， ∴，∴，∴， ∴． ②当点P在BC上时，设，∴， ∴，∴，舍去． 综上，存在，． 题型七 数量积最值问题 33．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以A为原点，、所在的直线分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则，，， ，所以， 设，故， 因为，所以， 则，， 所以， 因为，其对称轴为，取得最小值， 当，取得最大值，所以 34．在中，，，，在边的中线上，则的最小值为________． 【答案】/ 【详解】依题意，以为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 所以直线的方程为， 因为点在边的中线上，所以可设， 所以，， 所以， 当时，取得最小值． 35．如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取AB的中点O，则， 又因为|，所以，所以，则的取值范围为. 36．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 37．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________ 【答案】 0 【详解】 因为， 则， 与夹角为，与夹角为， . 设，可知， ， ， ， ， ，当或时， 有最小值，最小值为0. 故答案为: ； 0. 题型八 夹角、模长的最值问题 38．如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】已知，，所以，化简得. 由是中点，，所以， 化简得，进而. 因为，所以. 由基本不等式，且，所以，当且仅当， 即，最小值为. 39．已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设为原点，，，， 代入已知等式， ， 整理得：，即， 因为在单位圆上，所以，设与夹角为， 对平方得： ， 是不重合的两点，故，即， 代入得： ，开方得， 40．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知 ，得，又 ，故 ， 设，，为中点，则，得， ，已知，又， 故，得， 到直线的距离： ， ，因为 ， 所以是直线上任意点对应向量，其模长最小值就是点到直线的距离， 因此： ​，即最小值为. 41．已知平面向量，满足，，且，则的最小值为______；设向量，，则的最小值为_________． 【答案】 2 1 【详解】由，则， 即，即，则的最小值为2； ， 设，， 则， 令，则， 因为函数开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增， 时，，时，， 故， 则的最小值为. 故答案为：2；1. 42．已知是边长为7的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为________. 【答案】 【详解】取，，，． 由题， 因为，所以M，E，F三点共线． 在中，， 记中EF边上的高为，，解得， 即的最小值为，当与点重合时，的最大值为5， 所以． 题型九 向量数量积的新定义问题 43．定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】设与互为“等模整向量”的向量， 则，所以，令，则，则（舍去）， 令，则，则或， 令，则，则， 故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个． 44．定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，， ， , . 45．对正实数定义运算：.已知平面向量，满足，，，设，，令，记的最大值为M.若正实数a，b满足，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】因为，，，所以， 则，即， ，即， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，则， 由，得，即， 又， 由基本不等式得，则，当且仅当时取等号， 令，， 由二次函数的性质得在上单调递增， 所以当时，，即的最小值为. 46．用和做基向量，其中，，，对于与、共面的任意一个向量，根据平面向量基本定理，存在唯一的一对实数，使得，我们定义有序实数对为向量在基底下的坐标．已知在基底下向量的坐标是，向量的坐标是． (1)求，（其中）在基底下的坐标并写出求解过程． (2)求的坐标运算式并写出求解过程． (3)在基底下，向量的坐标是，求． 【答案】(1)，，求解过程见解析； (2)，求解过程见解析； (3) 【详解】（1）因为在基底下向量的坐标是，向量的坐标是， 所以，， 所以， 所以在基底下的坐标为， 同理， 所以在基底下的坐标为. （2）因为，，， 所以， 所以 . （3）因为向量的坐标是， 所以， 由（2）知，，，， 所以 . 47．如图1，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)若， ，且，的夹角为，求； (3)如图2，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，，，，连接，相交于T点，求的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 则， 所以． （2）由，，即，， 得，， ． 因为，的夹角为，则，解得． （3），. ，． ，． ， ，， ． $专题03 向量的数量积 题型一 数量积的简单运算及运算律 题型六 平面几何图形与数量积（坐标法）（重点） 题型二 向量模的计算（重点） 题型七 数量积最值问题（难点） 题型三 向量的夹角（重点） 题型八 夹角、模长的最值问题（难点） 题型四 投影向量 题型九 向量数量积的新定义问题（难点） 题型五 平面几何图形与数量积（重点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 数量积的简单运算及运算律 1．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，已知弦，则________. 3．在平行四边形中，，，，则（    ） A．1 B． C． D． 4．已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，若，则___________；___________．    6．如图，在菱形中，，． (1)若，求的值； (2)若，，求． 题型二 向量模的计算 7．已知向量，若，则（    ） A． B． C．4 D． 8．已知向量的夹角为，则__________. 9．已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知向量，满足，，则，的夹角为（    ） A． B． C． D． 11．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 题型三 向量的夹角 12．设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 13．已知向量，满足条件：，，且与互相垂直，则与的夹角为________． 14．已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 15．已知向量． (1)当时，求实数的值． (2)当时，求向量与的夹角的余弦值． 16．已知，，且与夹角为． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 17．已知，，，. (1)求实数的值； (2)求和夹角的余弦值. 题型四 投影向量 18．已知向量在向量上的投影向量的模为2，且，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 19．已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 20．已知非零向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 21．已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（ ） A． B． C．或 D．或 22．已知向量，且向量在向量上的投影向量的坐标为，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型五 平面几何图形与数量积 23．在平行四边形中，，，，为边上一点，若，则线段的长为（    ） A． B． C．3 D． 24．在中，已知，，，D为BC的中点，则线段AD的长度为（   ） A． B． C． D． 25．如图，在中，已知，，，边上的中线为，为边上靠近的四等分点，连接交于点．则 的余弦值为________． 26．已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 27．已知在中，为中点，，，.    (1)若，求； (2)设和的夹角为，若，求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 题型六 平面几何图形与数量积（坐标法） 28．在中，为的中点，，与相交于点F，则________． 29．已知正三角形的边长为，点在边上且，点为边的中点，与交于点，则的余弦为______________ 30．在菱形中，，是的中点，若，菱形的边长为________. 31．正方形的面积为16，，点在线段上．若，则__________． 32．如图，正方形的边长为6，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点． (1)求的余弦值． (2)以为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，求点坐标； (3)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型七 数量积最值问题 33．已知在梯形中，，，，，点E在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 34．在中，，，，在边的中线上，则的最小值为________． 35．如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4，AD=3，其上方是一个以CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 37．《哪吒2》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代．内饰充满了中国文化符号、某中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形ABCDEFGH，边长为2，，点P在线段CH上，且 则的值为_____；若点Q为线段 CD上的动点，则 的最小值为________ 题型八 夹角、模长的最值问题 38．如图，在中，，为中点，，若，则的最小值是（    ）    A．4 B．2 C． D． 39．已知平面内有单位圆，点是不与点重合的一点，若圆上存在不重合的两点使得，则的取值范围为（        ） A． B． C． D． 40．已知向量，，满足，且，，则当时，的最小值为（     ） A． B． C． D． 41．已知平面向量，满足，，且，则的最小值为______；设向量，，则的最小值为_________． 42．已知是边长为7的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为________. 题型九 向量数量积的新定义问题 43．定义：若不相等的两个向量满足条件：且均为整数，则称向量互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 44．定义变换，变换可以将平面向量逆时针旋转角得到向量，其中，．若将向量按照的变换得到向量；将按照的变换得到向量，则与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 45．对正实数定义运算：.已知平面向量，满足，，，设，，令，记的最大值为M.若正实数a，b满足，则的最小值为_______. 46．用和做基向量，其中，，，对于与、共面的任意一个向量，根据平面向量基本定理，存在唯一的一对实数，使得，我们定义有序实数对为向量在基底下的坐标．已知在基底下向量的坐标是，向量的坐标是． (1)求，（其中）在基底下的坐标并写出求解过程． (2)求的坐标运算式并写出求解过程． (3)在基底下，向量的坐标是，求． 47．如图1，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若，记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)若， ，且，的夹角为，求； (3)如图2，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，，，，连接，相交于T点，求的余弦值． $