天津市第一中学、咸水沽第一中学2025-2026学年高三考前联合模拟考试数学试题

2025~2026学年高三年级第三次联合模拟考试 高三数学 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分) 1.已知集合U={x∈Z4<x<4,A={-1,3},B={0,2},则(CuA)nB=() A.{0,2 B.02 c.[0,2] D.{23 2.设m,n为非零实数，则m>n"是“L<上”成立的（ m n A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 n 2x +x2 3.函数在[-受0小0月f)= 4ecosx 上的图像大致为() B 4.下列说法正确的是（) A.两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B.数据7,4,2,9,1,5,8,6的70%分位数为6 C.某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2),。越大，该物理量在一次测量中在(9.8,102 的概率越大 D.某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为24 1 5.设a=415,b=log,4,c=cos1,则a,b,c的大小关系为（） 51 A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b 6.己知1，m,n为三条不同的直线，α，B为两个不同的平面，则以下选项正确的是（) A.若m,nca,m1IB,n1IB,则a/1BB.若anB=l,m/la,mlIB,则m/l C.若m⊥a,a⊥B,则m/1B D.若a⊥B,∩B=l,m⊥1，则m⊥ 7.已知a,b都是实数，若b是a,1的等差中项，则e+e的最小值为（) A.2e2 B.2e C.2ve D.2 &已知函数（倒=血(ox+p牙<p<引}在（餐得 内单调递减，x-亚是函数f()的一条 为标镇，且函数y=(+副为商函数，则)() A.=3 B.3 c D. 9.椭圆C与双曲线C,有公共的焦点E(-c,0),E(c,0),c>0,抛物线C的方程为y2=4c,P 为C,C,C的一个公共点，若如∠P5R-号，则G,G离心率的乘积为() A.1 B.2 C.3 D.4 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10.复数：=-2：（其中i为虚数单位），则z的模为 1.在2x- 的展开式中，x的系数是 12.已知过点P(-1,2)的直线1与圆0：x2+y2=8交于M,N两点，且PM=3PW,则a0W 的面积是 13.某篮球运动员进行定点投篮训练.已知他第一次投篮命中的概率为0.5.若前一次命中，则下 一次命中的概率为0.8：若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4.该运动员第二次投篮命中 的概率为：若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功， 每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X,则期望E(X)=一， 14.在梯形ABCD中，AB/CD,AD=1,AB=3,CD=1,AM=,CM与BD相交于点 Q苦亚-片证，则夜乎-一：若C丽=N为线段4C延长线上的喇点 则NO·N丽的最小值为 15.若不等式(x-b)(ax2+2)≤0对任意的x∈(0，o)恒成立，则4a-b2的最大值为 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16.(本小题满分14分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 (2a-3c)cosB=3bcosC. (1)求角B的大小： 2)若c=V3,a+b=2,求ABC的面积； (3)若b=√5a,求cos(2A-B) 17.(本小题满分15分)如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的正方形，DEL底 面ABCD,DEAF,且FA=2DE=2. (I)证明：CD⊥平面ADEF; (2)求平面FCE与平面FAB所成角的余弦值： (3)求四棱锥C-ADEF的体积. 3 8(本小题满分5分)已知稀圆素水 F十分京=1(a>b>0)的离心率为始，右焦点为F,左顶点 为A,上顶点为B,△ABF的面积为3V3 2 (1)求椭圆的方程： (2)已知点R的坐标为(4,0)，M,N是直线x=4上的两点(M在x轴上方，N在x轴下方)， 直线AM,AN与椭圆分别交于P,2两点若P,F,2三点共线，求证：∠R=∠FNR. 19.（本小题满分15分)已知数列{a,}是各项均为正数的等比数列，且a=2,4244=64.对于任 意k∈N°，在a,和ak1之间插入k个数x1,xk2,,x做，使得ak,x,2,,xt,ak+1这k+2 个数构成等差数列，记新得到的数列为{b}: (1)求数列{an}的通项公式： (2)记cn=bn-bn,证明对于任意的n∈N,C,≤C1: n(n+1) ③述返（其中neN) 20.(本小题满分16分)己知函数f(x)=(x+a)血x(a>0). (I)函数f(x)在定义域内无极值，求a的取值范围： Q函数8(=f)受-x(a>0),8()有三个不同的极值点，名，名，<五<5： (i)求a的取值范围： (i)证明x+x+x>2a+ a 4 2025~2026学年高三年级第三次联合模拟考试答案 一、选择题 ADADD BBBD 二、填空题 0.-05 11.-160 12.413.①0.6②.1.6 14⑦3 ② 23 15.-4√2 .9 36 三、解答题：本题共5小题，共5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 16.()由正弦定理得(2sin4-V5 sinC cosB=5 sinBcosC,(1分) 2sinAcosB=3sinCcosB+3sinBcosC=3sin (B+C)=3sin4, 得到2 sinAcosB=V3sin(B+C),即2sin4cosB=√5sin4,(3分) 显然sinA≠0，则cosB- 2 又B∈(0，)，可得B=π.5分) 6 2)B=元，c=5, 6 由余弦定理可得c0sB=Q+3-b=V 2xx32】 整理可得a2-b2+3=3a, 又a+b=2,解得a=b=1, .Sme=acsinB-xxx 1 8分) 2 24 1 (3)由正弦定理得sinB=V2sinA,则inM=-sinB_2-√2， 2V24 :b=√2a,即b>a,则B>A,故A为锐角， 24=n4-2是-m4-2s11-d ..cos(24-B)=cos2 4cos+sin2 Asin nπ_35√万133+√ 6 642428 .4分) 17.(I)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,则PA⊥BC, 由底面ABCD为正方形，得AB⊥BC,(1分) 而PA∩AB=A,PA,ABc平面PAB,(2分) 因此BC⊥平面PAB,而BCC平面PBC,(3分) 所以平面PAB⊥平面PBC.(4分) (2)由PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,得PA⊥AB,PA L AD, 又AB⊥AD,则直线AB,AD,AP两两垂直， 以A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， B 由PA=AB=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1),(（5分) DC=(2,0,0),PD=(0,2,-2),BC=(0,2,0), 设平面PCD的法向量n=(x,y,z),则 元.DC=2x=0 i.PD=2y-2z=01 令y=1,则z=1,x=0, 所以i=(01,1)为平面PDC的一个法向量，(7分) 由BC1平面PAB,得BC=(O,2,0)为平面PAB的-个法向量，(8分) 设平面PAB与平面PCD夹角为0，则eosg=kos(元，BC= i.BC 22 BC 2x2是.0分别 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为5.(1分》 (3)由(2)知，平面PCD的一个法向量为i=(0,1,1),PE=(1,0,-1), 所以点E到平面PcD的距离d=”=?=,12分) 又PD=(0,2,-2),所以PD=V22+(-2}=22, 由DC.PD=(2,0,0)(0,2,-2)=0知CD1PD, 所以5aoCD-PD2x25=2,3分) 所以VP-ECD='E-PCD= 号md=x22x5=5分 3 3 23 18. a=2 由题意得 2a+c)b=35 ,解得6=5，所以椭圆的方程为+兰=1.4分》 4 3 a2=b2+c2 c=1 由题意可设M(4,m),N(4,n),P(x,%),且m>0,n<0. 直线4M的方程为y=(x+2) m (x+2) 6 由 消去y,整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0 -=1 43 △=(4m2Y-4(27+m2)(4m2-108)>0成立 54-2m2 电2弘708解得x7+m 所以w-g+20所以P个 54-2m2 18m 27+m2’27+m2 8分) B ①当直线P21x轴时， 54-2m2 =1,解得m=3,(9分) 27+m2 由椭圆的对称性可得MR=FR=NR=3 又因为∠MRF=∠NRF=90°，所以∠MFR=∠FNR=45, ②当直线PQ不垂直x轴时，即m>0,m≠3时，n<0,n≠-3， 18m -0 直线FP的斜率kp=2?+加 6m 54-2m2 9-m2 6m.(12分) -1 同理k0=g- 27+m2 因为P,F,Q三点共线，所以 6m 6n -m2 9二2所以mn=-9.13分） 在RtAMRF和Rt△NRF中，tan∠MFR= MR FR 3 m FR 3,tan∠FwR= NRn3' 所以tan∠MFR=tan∠FNR.因为∠MFR,∠FNR均为锐角，所以∠MFR=∠FNR. 综上，若P,F,Q三点共线，则∠MFR=∠FNR.(15分) 19.(1)设数列{an}的公比为9，因为数列{an}是各项均为正数， 故a,>0(neN),q>0, 因为a2a4=64,a=a2a4, (1分) 所以a=64,解得4=8，而a=2,则公比g a=2, 3分) 所以数列{an}的通项公式为an=a,g“=2". (4分) 包)由)得等差数列a,8,,a的公差d,-a_2-2-2兰 k+1k+1k+1' 当bn,bn1,bn2∈[ak,ak4i]时，bn1-bn=bn2-bn1=d,则cn=Cn1; 当bn∈[a,ak),bn+2∈(ak+1,ak+2]时， 则6=4,6.=d.=2 261 -k+1du (6分) 2+12 Ca-C=k+2 k+l =25(21 k2 k+2k+1(k+2)k+1) >0,因此cn<C1, 所以Cn≤Cn+1: (8分) 6)依题意，在2,2.k≥2内的数列6，}的所有项和为-2+21-3k-)-22, 2 数列，}中，2“项及前面的项数和为n+[+2+3+…+(m-1川=n+心-)_n+D 2 2 n(n+1) 当n≥2时， 人=2+2+2+…+2°+30-2°+22+3-2+…+m-0-2] (10分) 令Sn=12°+22+3.22+…+(n-1)2"-2, 则2Sn=12+222+32+…+(n-2)2"-2+(n-1)2, 两式相减得-Sn=1+2+22+…+2”-2-(n-1)-2-1=2"-1-1-(n-1)2-1=(2-n)2”-1-1, 解得Sn=(n-2)2"+1,而2+22+23+…+2”=21-2， (13分) n(n+1) 因玄4=2-2+8=2-2+3m-2)-2+=6m-2刃2+ n(n+I) 当n=1时， 立6=6=4=2满足上式， n(n+1) 所以立h=3m-2)-21+1 (15分) 20.()f'(x)=xnx+x+a (x>0), F(x)=xInx+x+a (x>0), 因为函数f(x)在定义域内无极值， 所以函数f'(x)无变号零点，即函数F(x)在(0，+∞)上无变号零点. (1分) 由F()=hx+2=0,得x=是， 当xe0时，F()k0,当xe（+o时，F')>0, 所以F)在0。上单调递减在仁+上单调递增， (3分) 所以F(e)的小值为F)a 由上可，F0,[ (5分) 包G)g()=(+ahx-r-x(a>0,x>0), g'(x)=mx-ax+4(a>0,x>0), 令G(x)=g'(),则G)=-ar+x-a x2 (7分) 因为g(x)有三个不同的极值点，即G(x)有三个变号零点， 所以G(x)=0必有两个不相等的正根， 所以方程-ax2+x-a=0必有两个不相等的正根， 8分) 记为4<4，则4=1,4+=且0<4<1<， 由△=1-4>0得a0》 当x∈(0,4)U(6,+oo)时，G(x)<0,当x∈(6,2)时，G(x)>0, 所以G(x)在(0,4)上单调递减，在(4,2)上单调递增，在(，+∞)上单调递减， 因为0<<1<2，且G(1)=0, (10分) 所以必有2=1，且为极小值点，x∈(0,4)x∈(2，+0)，且为极大值点 G(2)>G()=0,当x→+∞时，G(x)→-o,G(x)在(2，+o)上有唯-零点， 因为G(s)=ln￥-a%+=0,G日 =-Inx;+ax3- =0, (x; 必有x=。∈(0,4)为极大值点 1 综上，当且仅当a∈(0,2)时，8(~)有三个不同的极值点，即a的取值范围为 (12分) )由可知x山，所以++光1中+ 又函数y=十在化+m)单调递增，与>，4+6=场=山， 所以1+5+>1+6+-1++6=1+号 (14分) 又ae》,所以1>2a,所以1+>2a+日 ,1 即x+x2+x3>2a+ (16分) a