精品解析：天津市第八十二中学2026届高三下学期高考模拟数学试题

天津市第八十二中学2026届高三下学期高考模拟数学试题 一、选择题： 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（ ） A. 42.5分钟 B. 45.5分钟 C. 47.5分钟 D. 50分钟 5. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三棱柱中，是上靠近的三等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 7. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则下列结论正确的个数是（ ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 9. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 10. 若z=1+i，则______________. 11. 已知的展开式中的系数为，则________. 12. 已知直线与圆交于A，B两点，直线垂直平分弦，则弦的长为__________． 13. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________． 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则______________；若的面积为，则的最小值为______________． 15. 若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是____________． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，分别为三个内角的对边．且 （1）求角的大小； （2）若． （i）求； （ii）求的值． 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，为侧棱上一点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求和的通项公式： （2）若，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 20. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围： （3）已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第八十二中学2026届高三下学期高考模拟数学试题 一、选择题： 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】验证集合中的元素，是否是集合中元素，即可求. 【详解】因为，所以，，所以，，所以， 所以. 故选：C 2. 已知．则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立， 取，满足，但，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答. 【详解】，而，则，即， 所以. 故选：B 4. 为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第25百分位数约为（ ） A. 42.5分钟 B. 45.5分钟 C. 47.5分钟 D. 50分钟 【答案】C 【解析】 【分析】由频率之和为1求出，利用求百分位数的公式进行求解. 【详解】由频率之和为1得：， 解得：， 由，， 故第25百分位数位于内， 则第25百分位数为， 可以估计该地区学生每天体育活动时的第25百分位数约为47.5 故选：C 5. 已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，根据选项代特值检验即可. 【详解】设题设函数为，由选项可知：ABCD中的函数定义域均为， 对于选项D：若，但此时，矛盾，故可排除D； 对于选项C：若，但此时，矛盾，故可排除C； 对于选项B：若，但此时，矛盾，故可排除B. 故选：A. 6. 如图，三棱柱中，是上靠近的三等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定出截面的位置，然后采用割补法结合替换顶点求解出，由此可求解出的值. 【详解】取靠近的三等分点，连接，如图所示， 因为分别是靠近的三等分点， 所以且，所以，所以四点共面； 设三棱柱的高为，三棱柱体积，因为， 所以 ， ， 所以， 所以，所以，所以， 故选：C. 7. 设数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 8. 已知函数，则下列结论正确的个数是（ ） ①的图象关于点对称； ②在区间内有2个极大值点； ③； ④将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于直线对称． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先用辅助角公式把函数化成的形式，再结合函数的图象和性质进行判断. 【详解】. 对于①，因为，所以是的一条对称轴，故①错误； 对于②，由，得，，所以，， 所以可能为：，等等，在内只有两个极大值点和，故②正确； 对于③，因为， ， 又在上单调递减，所以，即，故③正确； 对于④，把的图象向左平移个单位，可得， 当时，为函数最小值，是所得函数的一条对称轴，故④正确. 综上，结论正确的个数是3. 二、填空题 9. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于点A、B，若为等边三角形，则双曲线的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义结合等边三角形的条件得出关于和的等量关系，即可求出离心率. 【详解】是双曲线的左右焦点，在右支、在左支，根据双曲线定义： 对右支上的：， 对左支上的：， 因为，是等边三角形，设，且直线顺次为​，因此， 代入的定义式：，得；再代入的定义式，得，因此等边边长， 点处，，​在的延长线上，因此， 在中，，由余弦定理： ，  代入， 化简得，即，因此离心率. 10. 若z=1+i，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的四则运算以及模长公式求解即可． 【详解】，则 故答案为： 11. 已知的展开式中的系数为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】写出的展开式，可得出的展开式中的系数，结合已知条件可求得实数的值. 【详解】因为， 所以，的展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 12. 已知直线与圆交于A，B两点，直线垂直平分弦，则弦的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得直线过圆心，求出，进而求出，再利用垂径定理求出结果. 【详解】圆可以化为， 圆心，半径， 由垂径定理可得直线过圆心， 则，所以， 因为直线与直线垂直， 所以，则， 圆心到直线的距离， 则， 故答案为：. 13. 红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色．已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色．现有等量的红、黄、蓝彩色颜料各两瓶，甲从六瓶中任取两瓶颜料进行等量调配，则甲调配出绿色的概率为________；在甲调配出绿色的情况下，乙再从余下四瓶中任取两瓶颜料，进行等量调配，则乙调配出紫色的概率为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式和条件概率，即可求出所求概率. 【详解】设A=“甲调配出绿色”，B=“乙调配出紫色”， 因为等量的黄色加蓝色调配出绿色，且等量的红、黄色、蓝彩色颜料各两瓶共6瓶， 所以， 因为甲调配出绿色时已经用掉1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料， 则颜料剩余红色2瓶，黄色1瓶，蓝色1瓶共4瓶， 因为等量的红色加蓝色调配出紫色，所以. 故答案为：， 14. 如图，在中，，，为上一点，且满足，则______________；若的面积为，则的最小值为______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先通过条件用表示，根据三点共线，可求得 根据的面积求得 ， 由，平方可得，代入即可求得答案. 【详解】∵，又， ∴，∴， 又因为三点共线，则，即， ， 的面积为， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：,. 15. 若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，所以． 当时，，所以． 下面分情况讨论． ①当时: 在区间上，，其对称轴为． 因为，所以在上单调递增． 又，且当时，，所以这一段恰有一个零点． 在区间上，，其对称轴为． 因为，且，，，所以这一段恰有两个零点． 故当时，函数恰有三个零点． ②当时： 在上，，只有一个零点；在上，恰有一个零点． 故此时共有两个零点，不合题意． ③当时： 在区间上，，又该二次函数开口向下，所以这一段没有零点；在区间上，， 且在上单调递增，所以这一段恰有一个零点． 故此时共有一个零点，不合题意． ④当时： ，只有一个零点，不合题意． ⑤当时： 在区间上，． 因为其对称轴满足，所以在上单调递增． 又当时，，且，所以这一段恰有一个零点． 在区间上，的判别式为，所以这一段没有零点． 故此时共有一个零点，不合题意． ⑥当时： 在上恰有一个零点；在上，，恰有一个零点． 故此时共有两个零点，不合题意． ⑦当时： 在区间上，在上单调递增， 且当时，，，所以这一段恰有一个零点． 在区间上，，其对称轴为，且． 又，，且当时，，所以这一段恰有两个零点． 故当时，函数恰有三个零点． 综上，实数的取值范围为． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，分别为三个内角的对边．且 （1）求角的大小； （2）若． （i）求； （ii）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理结合同角三角函数的商数关系计算即可； （2）（i）利用余弦定理求解；（ii）根据正弦定理可求的值，结合，利用三角函数恒等变换的应用可求，进而可求答案. 【小问1详解】 因为，所以， 由余弦定理得，所以， 又，故. 【小问2详解】 （i）因为，，， 所以，故. （ii）由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以， 所以，， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，，为侧棱上一点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，可得出，由，结合直线与平面垂直的判定定理可证明出平面； （2）方法一：设，由（Ⅰ）得知为二面角的平面角，计算出CO，利用锐角三角函数的定义求出；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果； （3）方法一：计算出三棱锥的体积，设点到平面的距离为，计算出的面积，由可计算出，即点到平面的距离；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面， 平面，， 又，， ，平面，平面，平面， 平面，． ，，、平面， 平面； 【小问2详解】 方法一：设，连接，由（1）知，平面． 平面，，， 为二面角的平面角， 在和中，，， ，，， ，在中，， ，， 在中，，． 因此，二面角的大小为； 方法二：以点为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设点，则， ，，解得，. 设平面的一个法向量为， 由，可得， 令，则，，∴平面的一个法向量为． 显然，是平面的一个法向量，， 结合图形知，二面角为锐角，它的大小为； 【小问3详解】 方法一：设点到平面的距离为，易知， ， 可知， ，即，， 因此，点到平面的距离为； 方法二：易知点到平面的距离为． 18. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，且垂直于轴． （1）求椭圆的方程； （2）直线斜率存在，交椭圆于两点，三点不共线，且直线和直线关于对称． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆的方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，由，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出的面积，由基本不等式求最大值. 【小问1详解】 点在椭圆上，且垂直于轴，则有 设椭圆的焦距为，则， 点代入椭圆方程，有， 解得，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设直线l的方程为，由， 消去y，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 设，所以， 因为直线和直线关于对称， 所以 所以 所以 解得. 所以直线l的方程为， 所以直线l过定点. （ⅱ）设直线l的方程为，由， 消去，整理得， 因为l交椭圆C于两点，所以， 解得， ， 所以， 所以 令 则，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知数列的前项和为，，，数列为正项等比数列，，是与的等差中项. （1）求和的通项公式： （2）若，求数列的前项和； （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到是以为首项，为公差的等差数列，即可求出的通项，设正项等比数列的公比为，由等比中项的性质求出，再由等差中项的性质求出，即可求出的通项； （2）由（1）可得，利用错位相减法计算可得； （3）由（1）可得，利用裂项相消法及分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为， 所以，即，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 设正项等比数列的公比为，由，解得或（舍去）， 又是与的等差中项，所以 ，即， 即，解得（负值舍去）， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）可得 ， 所以 当为偶数时 ， 当为奇数时 ， 综上可得. 20. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围： （3）已知，曲线在不同的三点处的切线都经过点，且，当时，证明：. 【答案】（1）单调减区间为：，单调增区间为：； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，解导函数大于0和小于0的不等式即得. （2）求出函数的导数，由在附近的临近区域导数值左正右负求出范围. （3）由（1）及导数的几何意义求出切线方程，再构造函数利用函数的三个零点可得，再借助换元法及分析法推理论证即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，，即在上递减，在上递增， 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 【小问2详解】 依题意，函数，求导得， 当时，当时，，则函数在处不可能取到极大值； 当时，由，得，由，得或， 则函数在处取到极大值，所以. 【小问3详解】 由（1）知，，曲线过有三条不同的切线，切点为， 于是，方程有3个不同的根， 该方程整理为， 设，求导得， 而，当或时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 显然有3个不同的零点，必有， 则，且，即， 又，设， 则方程即为：， 记，则为有三个不同的根， 设，要证，即证， 即证，即证， 即证，即证， 又且， 则，即， 于是即证，即证， 设，记，求导得， 设，则， 则函数在上单调递增，有， 于是，即在上为增函数，有， 因此 记， 则， 于是在为增函数，则， 所以，即， 从而原不等式得证. 【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $