精品解析：上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题

6学科网命组卷网 北郊中学2023学年第二学期高三年级数学期中 2024.05 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.不等式K+2>2的解集为。 【答案】（-0，-4U(0,+∞) 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解即可 【详解】由x+2小>2 得x+2>2或x+2<-2,即x>0或x<4, 所以不等式K+2>2的解集为(2,4U0,+) 故答案为： （-0,-4)U(0,+∞) 2.若厅=(1,5)是直线1的一个法向量，则1的倾斜角大小为 个 【答案】6 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量，然后求出直线的斜率，从而可求出倾斜角， 【详解】因为i=(1V3)是直线'的一个法向量， 所以直线的一个方向向量为(N5,), 15 所以直线1的斜率为√万3， 所以直线I的倾斜角。的正切值anas、V3】 3, 第1页/共26页 6学科网命组卷网 a=- 又a∈[0，)，所以6. π 故答案为：6 【点睛】本题考查了直线的法向量，斜率，倾斜角，属于基础题 2i Z= 3.已知复数1-i,则z·z的值等于 【答案】2 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出z,再利用共轭复数及复数乘法计算即得 2i(0+i)-2+2i 【详解】复数1-i(1+i)2 =-1+i ，z=-1-i, 所以2·2=（-1+i(-1-)=2 故答案为：2 4在4ABC A,B,C ，角 的对边分别为 ,则sinC= ac,若a=4b=5,c=6 3万2万 【答案】8㐩8 【解析】 【分析】由余弦定理先求出cosC,再由同角三角函数的平方关系即可求sinC. 【解】白余弦定理，期0sC=0+52-C-16+25-361 2ab 2×4×58,又C∈(0，π) 所如c-c-- 37 37 故答案为：8 第2页/共26页 命学科网命组卷网 5.已知圆 2+y2-4y+m=0 的面积为2π，则实数m的值为 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. S=πr2=2π 【详解】设圆的半径为”，则由题意 故r2=2,将圆一般式x+y-4y+m=0化为标准式得广+(y-2=4-m, 则4-m=2→m=2, 故答案为：2. 4x2y2 =1 6.设FF为双曲线下：9一9左、右焦点，点M在r的右支上，线段FM与厂的左支相交于点 N,且M=MN,则FN=」 【答案】3 【解析】 【分析】由双曲线定义可得M-M=3,结合条件可求FW 【详解】因为点M在「的右支上不B为双曲线「左、右焦点， 所-M=2x-3 又M=MN+|Nl.ME=MN 所以FN=M-ME=3 故答案为：3. 第3页/共26页 6学科网 命组卷网 1og2(x+1),x≥0 7已知f)=25+1,且8()= f(-x),x<0 ，则函数y=g(x)-2的零点为一 【答案】3 【解析】 【分折1令8闭-2=0，分x之0和x<0月 两种情况，解方程可得答案。 log2(x+1),x≥0 【详解】因为f)=2+1,则f(-对=2+1，所以8)= 2+1,x<0 令80)-2=0，则86闭=2， 当x20时，8=log,6x+,令8)=1b8,+D=2,解得，x=3, 当x<0,g()=2+1,令8四=2+1=2，解得：x=0合去， 故函数”8y)- 的零点为3 故答案为：3 8.已知平面向量a,c,满足：同=2，同-，日-利-l,方1c,则6-d的取值范围是」 【答案[2,32] 【解析】 【分析】由a-=l及向量模长公式表示出a-6,由数量积性质a-≤6得到5的范围，再根据向 量模长公式及数量积性质求6-的取值范围， 【详解】由6-6=1得，。-2a6+62-1, 又问=2，则a6=3+ 第4页/共26页 6学科网命组卷网 恩s网则日23 即-46+3≤0，解得l≤同≤3， 5-d=V-25+f,因为= 又b1c.i.c=0 所以6-=26-2 因为1≤≤3，所以V2≤b-s32 9.给出下列结论：①一组数据5,7,9,11,12,14,15,16,18,20的第80百分位数为16：②若随机变量 X-N2,),且P(X>5)=0.2.则P1<X<5)=0.6,③若将一组数据中的每一个数都加上同一个 正数x,则其平均数和方差都会发生变化.其中正确说法的序号为 【答案】②##2 【解析】 【分析】①利用百分位数计算规则即可求得，②利用正态分布的概率计算方法即可解决，③利用平均数和 方差的定义就能理解其中是否变化的道理， 【详解】①这组数据共有10个数，由于10×806=8，所以取第8位数和第9位数的平均数，即 16+18=17 2 则该组数据的第80百分位数是17，故①是错误的： ②由于随机变量X~N(2,a）,可知P(X>2)=0.5, 又因为P(X>5)=0.2,所以P2<X<5)=0.5-0.2=0.3 第5页/共26页 命学科网命组卷网 即P(-1<X<5)=2xP(2<X<5)=2x0.3=0.6 故②是正确的： ③一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则平均数会发生变化，并且平均数也是加上这个正数，由于 平均数和每一个数都加上同一个正数，从而导致方差是没有变化的，故③是错误的： 故答案为：② 10=-1 10.已知等差数列{a,}的前n项的和为S,且a1，Ss=S(亿≠15)，则正整数k的值为 【答案】5 【解析】 【分析】根据等差数列性质以及前n项和性质求解即可. 0=-1 【详解】在等差数列a,}中，由，，得40+41=0，因为Ss=S成立，由对称性知，k<15, 则9+au2++ao+a1++a4+4s=0 所以45+g++a1+a0++a2+041=0 所以4+4s+a+2+a4+…a0+a1++a4+a+2+a5+ae1=0 所以ae1+a,=a+2+44=ao+a1=0 即k+1+15=k+2+14=10+11,解得k=5. 故答案为：5 f(x)=sin(ox+二) 11.已知函数 的图象关于直线x=a对称，若集合{aπ<a<2元中有两个元素，则正 整数0= 【答案】2 【解析】 第6页/共26页 学科网命组卷网 f(x 【分析】根据给定条件，函数 相邻两条对称轴间距离小于兀，间隔一条的两条对称轴间距离不小于 π，求出正整数并验证即得 下∠T 【详解】依题意，函数(x)图象的相邻两条对称轴间距离小于π，即()的半周期o 32r2元 且函数f(x)图象间隔两条对称轴的对称轴间距离不小于π，即(x)的周期2o一， 解得1<0≤3，而0为正整数，则0=2,3， 当0=2时，@n2x+2x+-元+伍kZ 元+kc,keZ 3,由32 ,得122 13m19元∈(m,2) 显然12’12 符合题意， 当0=3时， 19m25r,31∈（元，2m 显然18’18’18 ,不符合题意， 所以0=2 故答案为：2 12.棱长为2的正方体 BCD-A4BCD中，E为楼DD的中点.F为正方 CCDD内一个动点（包 括边界)，且8F∥平面4BE,则当三楼维B-DDF 体积取最大时，其外接球的表面积为 第7页/共26页 6学科网6组卷网 B E D 25π 【答案】 2 【解析】 【分析】先过B作平面ABE。 的平行面从而确定点F的轨迹，再确定三棱锥 B-DDF 体积取最大时F 的位置，进而找到球心所在方位即可求解 【详解】如图，当点H位于CG的中点时，取 ,G中点G,连接 BH,GH,BG 则由正方体性质有 BH//AE,AB//GH 因为GH,BHc平面4BE,4E,4BC平 「平面ABE 所以GH/平面4BE,BH/平面4BE 又HnGH=H月左BGH BGH //ABE ”且都在面 ,所以平面 平面 又6BC面GBH,所以GB∥平面4BE 所以F的轨迹是以CG,DG的中点为端点的线段GH, 因为'台4e=-44D. 所以当F点离平面 BDD 距离最远时三棱锥 B-DDF 体积最大， 此时，点F与CC的中点H重合， 取BD中点0，连接O1(OF）,则由正方体性质可得OH1平面BD,D 第8页/共26页 命学科网命组卷网 所以三棱锥B-D,D 的外接球球心在OH所在直线上， 建立空间直角坐标系，如图所示， D H 则D(00,0D(0,0,2)H(0,2B(2,2,2）,球心为G(x 则GB=GD,GH=GD 5 x= 于是x-2y+0-29+1=2+y2+1→ 3 x2+(y-2)2+0=x2+y2+1 y=4 所以外接球半径为 2=x2+y2+1=2 =4πR2=4π 25.9,）25元 所以 +1 1616 2 25π 故答案为： 2 二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.） 13.下图是我国2018~2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（) 第9页/共26页 学科网组卷网 2018-2023年中国纯电动汽车销量统计 口销量：万辆 800 756.8 668.5 600 536.5 400 291.6 200192,214.5 0201820192020202120222023 A.我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B.这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C.这六年增长率最大的为2019年至2020年 D.2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可： 【详解】A:由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对； B:由6×60%=3.6，故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对： C:由图知：2019年到2020年增长率超过了100%，其它都不超过100%，对： 97.2+11.5+291.6+536.5+668.5+756.8=410.35>291.6 D:由 6 错 故选：D 14.如图，在正方体 BCD-4BGD中，PM,N分别为MB,BB,DD的中点，则与平面MWP垂直的 直线可以是() A D C B M-- P C A.4B B.4D C.AG D.4C 第10页/共26页 6学科网 命组卷网 【答案】D 【解析】 【分折]作出与平面MP平行的平面4MBD,证明4CL面4BD即可 【详解】连接 AB,BD,AD,AC,AC ,如下图所示： A D B 因为PM,N分别为MB,BB,DD的中点，故MPAB,BD/MN, 又MP工面MBD,MBC面MBD,故MPW面ABD, 又MNc面MBD,BDC面ABD,故MNW/面ABD: 又MPOMN=M,MP,NC面MP,放面MP/盾R,D 则垂直于平面MP的直线定垂直于西MBD, 显然CG1面4BGD,BDC面4BCD,故BD1CC 又BD14G,AGnCG=C,4G,CCc面4CC. 故BD1面4CC,又4Cc面4CC,故4C1BD 同理可符4C1B,又nBD=民，，BDC面ABD, 故4CL面4BD,也即4CL面MP, 若其它选顶的直线垂直于平面MWP,则要与4C平行，显然都不平行 第11页/共26页 命学科网命组卷网 故选：D. 5已双出C:专a>06>0的石焦分果E.EO坐标温点，以为直径卵 31 圆与双曲线C交于点P,且OP在OF上的投影向量为5 F 则双曲线C的离心率为() A.2 B.3 C.4 D.V5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到P点坐标关于C的表示，再将其代入双曲线方程得到关于“ ,b,c 的齐次方程，从而 得解 【详解】不妨设点P在第二象限，如图， 9c216c2 又P在双曲线上，六25a25=1,则25ab+16ac2-96c2=0, 即25a(e2-a)+16ac2-9(c-a)e2=0.整理得(9c2-5a(c2-5a)=0 e-je-)-0,ge=50-号*东，e-5 第12页/共26页 6学科网列组卷网 故选：D. 16已知西数y=f四是定义为R,给出下列两个纺论：①当))时，都有≤为，则函数 y=四是R上的增函数：②若函数y=满足广（因=了(），则该函数为奇西数或偶函数.则 () A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，利用反证法，结合增函数定义判断①，由条件举反例判断②，由此可得结论 【详解】任取两个变量，七∈R.书< 若，)f),则，≤，与<盾 所以f)大fx) 由增函数定义可得函数'=心四是R上的增函数，①正确： 由(=∫(-8，可得=f-, 所以)=儿刊不一定恒成立，f)=一f儿←0也不一定恒成立， 例如f(x)= x,x>-1 -x,x≤-1，所以函数y=fx)可能为非奇非偶函数，②错误： 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.已知数列a,}满足：4=1且01=2a.+3,b.=a,+3. （4)证明数列他，}是等比数列，并求数列a}的通项公式 第13页/供26页 6学科网6组卷网 3n+4-8 (2)若 i=1 ,求n的值. 【答案】(1)证明：因为1=2a.+3.b.=a,+3 所以b1=a1+3=(2a+3)+3=2(a.+3)=2b. bntl=2 又b=41+3=4≠0，所以bn≠0，所以bn 所以数列也，}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以b。=4×2”=2*1 即0，+3=2 ,所以a。=21-3 (2)3 【解析】 【分析】（山由条件得到61=0+3=2(a,+3)=26,证明出数列，}是首项为4，公比为2的等 比数列，求出。=2 ，从而0，=21-3 分聚，货合等数列求和公式得立a4-刂小-机利用+产，-4行到方配 求出n=3. 【小问1详解】 略 第14页/供26页 命学科网命组卷网 【小问2详解】 a1=4+4+…+a1=(2-3列+(2-3++(2-3) =(22+2+2+…+22m）-(（3+3+.+3) 40-2）3×m=（4--3加， 1-22 ,故 即（4-刂=84.所以4=64 解得n=3, 18如图所示，在四棱锥P-MBCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB川CD,∠DMB=60 CD=1,AB=3△PB C是等边三角形，F为线段BC的中点，PFL1D BC B (1)求证：平面PCB⊥平面ABCD: 万 (2)若E为线段PF上的一点，且直线BE与平面PAD所成角的正弦值为4，求EF的值. 【答案】(1) 因为△PBC为等边三角形，F为线段BC的中点，所以PF⊥BC,又PF⊥AD, 第15页/供26页 6学科网 命组卷网 ABCD ABI‖CDAD,BC ABCD 因为四边形 为直角梯形， ,所以 是平面 上的两条相交直线， 所以PF⊥平面ABCD,PFC平面PBC,所以平面PBC⊥平面ABCD: (2)EF=2 【解析】 【分析】(I)利用线线垂直可得PF⊥平面ABCD,进而可证平面PBC⊥平面ABCD: (2)过D作DH⊥AB,垂足为H, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ABIICD∠DAB=60° 因为四边形 为直角梯形 ABCD 所以∠MBC=∠DCB=90,过D作DH⊥AB,垂足为， 由CD=1,MB=3,得AH=2,所以DH=25,BC=DH=23 H 建立如图所示的空间直角坐标系，则P0,0,3以A3,V3,0),B(0,V5,0),D1,-5,0) i设E(0,00,则PA=(6,V3,-3),DA=(2,23,0) 设平面PAD的一个法向量为i=(x,少z). 第16页/供26页 命学科网命组卷网 nPA=3x+3y-3z=0 则1DA=2x+2V5y=0，令y=5则方=(-3,5，-2 又BE=(Q,-V5,a,设直线BE与平面PAD所成角为a, 则sina In-BEl 12a+317 nhBE43+ad4，解得a=2,即EF=2° 19.目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播A,在第一天的直播中有超过100万人 次的观看. (1)已知小李第1天观看了虚拟主播A的直播，若小李前一天观看了虚拟主播A的直播，则当天观看虚 拟主播A直播的概率为3，若前一天没有观看虚拟主播A的直播，则当天观看虚拟主播A直播的概率为 3 5,求小李第2天和第3天至少有一天观看虚拟主播直播的概率： 2 (2)若未来10天内虚拟主播A的直播每天有超过100万人次的观看的概率为3，记这10天中每天有超过 100万人次观看的天数为X. (i)比 PX=)与PX=k+D的大小，其中 =0,1,2,…,9 ()记Y=(H),求By] 11 【答案】(1)15 (2)(i)当k≤6时，PX=k+)>PX=),当k27时，PX=k+)<PX=利(i) E[Y]=310 第17页/供26页 6学科网列组卷网 【解析】 【分析】(1)先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播A直播的概念，然后利用正难则反原则即 可求解： (2)(i)由已知X服从二项分布 进而可得 P(X=k+1)_2(10-k) P(X=k) k+1,然后利用比值与1比较大小即可求解； (ii)因 为Y=(←)，所以Y可能取值为1或1，然后结合（分别求出Y=l和Y=-1的概率即可得 解。 【小问1详解】 224 由己知小李第2天和第3天都没有观看虚拟主播4直播的概率为 356 411 1- 所以小李第2天和第3天至少有一天观看虚拟主播A直播的概率为1515： 【小问2详解】 ()由已知X服从二项分布 03.x=-c9 10! 2. P(X=k+1) -2c型_2k+09-_200- P(X=k) Cho((-Cho 101 k+1 k:10-k)川 210-k0>1 P(X=k+D)>1 当k≤6时，k+1 ,所以P(X=k),即P(X=k+I)>P(X=k): 200-k)<1 P(X=k+D)<1 当k≥7时，k+1 ,所以P(X=k),即P(X=k+I)<P(X=k) 第18页/供26页 命学科网命组卷网 i因为y=),所以Y=1或Y=-1, 当Y=1时，X=0,2,4,6,8,10」 w=)=c9”+c品9+C9+c9+9+c 当7=-1时， X=1,3,5,7,9 r---cxc+ciG+cicG EY=Ix0=0+(-xPv=-0=G3-0 2 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解X服从二项分布 0,号，由二项分别公式利用 P(X=k+1)_210-k) P(X=)k+1与1进行比较大小，由Y=(-I)X,得到Y可能取值为1或-1是所对应X的值， 结合二项式定理化简得到答案， 0在平画直角坐标系x0y中，已知椭圆T:4着+3d=1(>0的左、右焦点为万、F 4)若直线：x+y-4=0与'轴相交于点N,B到直线'的距离为22，求0正·，N (2②)若a=1,点A为椭圆「上的作任意一点，设摘圆「的上、下顶点分别为M,M,记△15的面积为 S,△MM,M的面积为S,若S>S,求OA的取值范围： (3)若a=1,过点B(1,3)的直线与椭圆交于P卫两点(P在0的上方)，线段P№上存在点M,使 BPMP 得BgMg,求ME+ME的最小值. 第19页/供26页 6学科网命组卷网 【答案】(1)0g·F,N=64 8V34 (3)17 【解析】 【分析】小问1：使用点到直线的距离公式结合向量的数量积求解， 小向2：表示出三角形的面积，利用椭圆的标准方程代入消元求解出相应的变量的范围，进而求出口A的 范围， BPMP 小问3：首先设直线PQ的方程，再设P(x,),Q(x2,2),M(xo,),利用条件BgMg结合韦 达定理将M(,)的横坐标用斜索k表示出来，再将代入直线方程，求出%和斜率k的关系，进 而利用斜率k,求出M(o,%)满足的直线方程，然后根据直线P的斜率不存在时. 0:x=1r}-别 BP MP_1 由Bg1 满足斜率存在时的直线方程，最后利用将军饮马的思路，求对称点 求出M+M的最小值 【小问1详解】 由己知B(a,0）,因为1：x+y-4=0, 所以E到直线的离d=P+P-2√2， 2,所以a=8:所以5(8.0)， 第20页/共26页 命学科网命组卷网 又因为N(0,4),所以0F=(8,0),FN=(-8,4),0E·EN=8x(-8)+0×4=-64 【小问2详解】 r: 当a=1时， r香+号1.则-10，o) 设4（川0，则8=25=以，及2MM内=25=时 因5>号商时>5时即y>3X国为若+号-1，两以-写)两烈 }oga4-+7-+0-层243 所以O4的范围是 M F2 【小问3详解】 M 显然点B(,3)在椭圆外，设P(,H),(3,),M(,) x2.y2 当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y-3=(x-)与椭圆方程4+了-1联立消去y,化 第21页/供26页 命学科网命组卷网 简得（42+3)x2+(24k-82）x+42-24k+24=0 8k2-24k x+x2= 4k2+3 则 4k2-24k+24由 XiX2= 4k2+3一△=(24-8k2-4(4k2+3)(4k2-24k+24)>0 BP MP 1-=-4 得k2+2k-2>0'所以k>3-1或k<-5-1,由B0Mg,可得-x,x,-x,, 8k2-24k8k2-48k+48 x+为2-2x为3=4k2+34k2+3-4k-8 解得=2-+ 2-8k2-24k 4k+1, 4k2+3 %==然-小- 4k+1消去k可得x。+4。-4=0, 当直线PQ的斜率不存在时， №x=r》o BPMP1 由BQ 满足方程x,+4。-4=0: 所以点M满足直线x+4y-4=0,且位于椭圆的内部，设B,0)关于直线x+4y-4=0的对称点为 23 17 → D(m,n) 则]m+1+4-4=0 4 2 2 n=7 又5Lo所wr+1-wnFn-++)-&. 834 8√34 一当从号在图内部清足要末，所以M中的员不位为， 第22页/共26页 6学科网命组卷网 PO 【点睛】在第三小问中利用直线 的斜率为“桥梁”求解出点M满足的直线方程是解决这一问题的关 键点 21.定义如果函数y=(和y=8()的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数 y=f()和y=g(田具有T关系 （)若=+s:七8=2+：2，试判断函数y=f)和y=g()是否具有T关系： (2)若的数(y)=2cosx-0和8（冈=不具有T关系，求实数a的取值范周； (3)若函数()=e和8()=msi血x(m<0)在区间(0，上具有T关系，求实数m的取值范园， 【答案】()具有 2,@u3+ 3)%,-) 【解析】 【分析】(4山令f()+8()=0求出x,即可确定对称点的坐标，即可判断， 2由f()+g)=0,利用-位角公式及领助角公式得到血(2x+p)=2口- √a+4,结合正弦函数的 性质求出a的取值范围； (3)令h()=f()+8(冈)，利用导数说明函数的单调性，得到函数在(0，上存在零点时参数的取值 范围，即可得解。 第23页/供26页 6学科网列组卷网 【小问1详解】 当x>0时，由f()+8()=x+log2x+2x+1log12x=0 所以y-回和y-闪图上分听在合得片3为N传寸3天于，. 故y=()和y=8(田)具有T关系 【小问2详解】 (g()0caasinxcosx=0asin2x+cos2x-a-1. isin n().sin() Va2+4 2 cos=- ,sin=- 其中 瓜2+40a+4,因为2x+p可取一切实数，所以sin(2x+p≤1， 所以方程sin(2x+p)=2a- 8 0≤a≤ 即4(a-12≤d2+4,即3a2-8a≤0，所以0 3, 所以函数/（因=2cosx-0和3(x)sn不具有T关系时， 实数的服世爸国，0小管】 【小问3详解】 第24页/共26页 命学科网命组卷网 令h()=f(x)+g()=e+msinx,则h()=(x+)e+mcos 函数儿因和8（四在（0，上具有T关系，等价于h()在(0，可）上存在零点 函数(~和8()在(0，风)上不具有T关系，等价于h)在(0，刊上不存在零点 1e当1sm<0,且x(0,时因为(x+1)e>.mcos≤1，所以(y>0, 所h()在(0，上是严格增函数，且(>h(O)=0,此时h(✉在0，风上不存在零点， 即函数f(田)和8(：)在(0，)上不具有T关系 h(x)在 0 2存在唯一零点， 设为a,即a)=0:x@.方<0，音ra引.r>0. 以因在0引上看峰-黄，a国刘QaL是严蓝数. 在[a,)上是严格增函数，因为h(0)=0,所以h(四)K0,又因为h()=e>0, 所以()在(0，)上存在唯一零点B,所以西数（四和8（闪在(0，风上具有T关系 综上所述，若函数)=心和3()=msinx(m<0)在(Q,)上具有T关系，则实数m的取值范围为 (-00,-1) 第25页/供26页 6学科网6组卷网 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为 不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的 单调性、极（最）值问题处理. 第26页/共26页 北郊中学2023学年第二学期高三年级数学期中 2024.05 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为_________. 2. 若是直线的一个法向量，则的倾斜角大小为______________ 3. 已知复数，则的值等于_________. 4. 在中，角的对边分别为，若，则_________. 5. 已知圆的面积为，则实数的值为_________. 6. 设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则______. 7. 已知，且，则函数的零点为______. 8. 已知平面向量，满足：，，，，则的取值范围是_______. 9. 给出下列结论：①一组数据的第百分位数为；②若随机变量，且，则；③若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化．其中正确说法的序号为_________. 10. 已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为_________. 11. 已知函数的图象关于直线对称，若集合中有两个元素，则正整数______． 12. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为_________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.） 13. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 14. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ） A. B. C. D. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 16. 已知函数是定义为，给出下列两个结论：①当时，都有，则函数是上的增函数；②若函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．则（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列满足： 且，. （1）证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的值 ． 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 19. 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． （1）已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； （2）若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 20. 在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为. （1）若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求； （2）若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围； （3）若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 21. 定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系. （1）若，试判断函数和是否具有关系； （2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围； （3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $