精品解析：上海市上海财经大学附属北郊高级中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题

北郊中学2023学年第二学期高三年级数学期中 2024.05 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为_________. 2. 若是直线的一个法向量，则的倾斜角大小为______________ 3. 已知复数，则的值等于_________. 4. 在中，角对边分别为，若，则_________. 5. 已知圆的面积为，则实数的值为_________. 6. 设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则______. 7. 已知，且，则函数的零点为______. 8. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是____________． 9. 给出下列结论：①一组数据的第百分位数为；②若随机变量，且，则；③若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化．其中正确说法的序号为_________. 10. 已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为_________. 11. 已知函数的图象关于直线对称，若集合中有两个元素，则正整数______． 12. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为_________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.） 13. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 14. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ） A. B. C. D. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 16. 已知函数是定义为，给出下列两个结论：①当时，都有，则函数是上的增函数；②若函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．则（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列满足： 且，. （1）证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求值 ． 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 19. 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． （1）已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； （2）若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 20. 在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为. （1）若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求； （2）若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围； （3）若，过点直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 21. 定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系. （1）若，试判断函数和是否具有关系； （2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围； （3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北郊中学2023学年第二学期高三年级数学期中 2024.05 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】由，得或，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 2. 若是直线的一个法向量，则的倾斜角大小为______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的方向向量,然后求出直线的斜率,从而可求出倾斜角. 【详解】因为是直线的一个法向量, 所以直线的一个方向向量为, 所以直线的斜率为, 所以直线的倾斜角的正切值, 又,所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查了直线的法向量,斜率,倾斜角,属于基础题. 3. 已知复数，则的值等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再利用共轭复数及复数乘法计算即得. 【详解】复数，， 所以. 故答案为：2 4. 在中，角的对边分别为，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由余弦定理先求出，再由同角三角函数的平方关系即可求. 【详解】由余弦定理，得，又， 所以 故答案为： 5. 已知圆的面积为，则实数的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意， 故，将圆一般式化为标准式得， 则， 故答案为：2. 6. 设为双曲线:左、右焦点，点在的右支上，线段与的左支相交于点，且，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由双曲线定义可得，结合条件可求. 【详解】因为点在的右支上，为双曲线左、右焦点， 所以， 又，， 所以. 故答案为：. 7. 已知，且，则函数的零点为______. 【答案】3 【解析】 【分析】令，分和两种情况，解方程可得答案. 【详解】因为，则，所以， 令，则， 当时，，令，解得：； 当，，令，解得：(舍去)， 故函数的零点为 故答案为：3 8. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解 【详解】依题意，设，，. 根据，即，即，整理得 显然，否则，，与已知矛盾，故可得. 由，即，则有，故，解得. 故. 故答案为： 9. 给出下列结论：①一组数据的第百分位数为；②若随机变量，且，则；③若将一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则其平均数和方差都会发生变化．其中正确说法的序号为_________. 【答案】②##2 【解析】 【分析】①利用百分位数计算规则即可求得，②利用正态分布的概率计算方法即可解决，③利用平均数和方差的定义就能理解其中是否变化的道理. 【详解】①这组数据共有10个数，由于，所以取第8位数和第9位数的平均数，即，则该组数据的第80百分位数是17，故①是错误的； ②由于随机变量，可知， 又因为，所以， 即，故②是正确的； ③一组数据中的每一个数都加上同一个正数，则平均数会发生变化，并且平均数也是加上这个正数，由于平均数和每一个数都加上同一个正数，从而导致方差是没有变化的，故③是错误的； 故答案为：②. 10. 已知等差数列的前项的和为，且，，则正整数的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列性质以及前项和性质求解即可. 【详解】在等差数列中，由，得，因为成立，由对称性知，， 则， 所以 所以 所以， 即，解得. 故答案为： 11. 已知函数的图象关于直线对称，若集合中有两个元素，则正整数______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，函数相邻两条对称轴间距离小于，间隔一条的两条对称轴间距离不小于，求出正整数并验证即得. 【详解】依题意，函数图象的相邻两条对称轴间距离小于，即的半周期， 且函数图象间隔两条对称轴的对称轴间距离不小于，即的周期， 解得，而为正整数，则，3， 当时，，由，得， 显然，符合题意， 当时，，由，得， 显然，不符合题意， 所以. 故答案为：2 12. 棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解. 【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接， 则由正方体性质有， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 又且都在面，所以平面平面， 又面，所以平面， 所以的轨迹是以的中点为端点的线段， 因， 所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大， 此时，点与的中点重合， 取中点O，连接，则由正方体性质可得平面， 所以三棱锥的外接球球心在所在直线上， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则，球心为， 则 于是，， 所以外接球半径为， 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，满分18分.第13、14题每题4分，第15、16题每题5分.） 13. 下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（ ） A. 我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势 B. 这六年销量第60百分位数为536.5万辆 C. 这六年增长率最大的为2019年至2020年 D. 2020年销量高于这六年销量的平均值 【答案】D 【解析】 【分析】根据条形图，结合百分位数、平均数求法及各项描述判断正误即可. 【详解】A：由条形图知，我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势，对； B：由，故第60百分位数为2021年数据，为536.5万辆，对； C：由图知：2019年到2020年增长率超过了100%，其它都不超过100%，对； D：由，错； 故选：D 14. 如图，在正方体中，分别为的中点，则与平面垂直的直线可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出与平面平行的平面，证明面即可. 【详解】连接，如下图所示： 因为分别为的中点，故//，//， 又面面，故//面； 又面面，故//面； 又面，故面//面； 则垂直于平面的直线一定垂直于面； 显然面面，故， 又，面， 故面，又面，故； 同理可得，又面， 故面，也即面； 若其它选项的直线垂直于平面，则要与平行，显然都不平行. 故选：D. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解. 【详解】不妨设点在第二象限，如图， 因为在上的投影向量为，则， 又，所以， 又在双曲线上，，则， 即，整理得， 所以，解得或（舍去），. 故选：D. 16. 已知函数是定义为，给出下列两个结论：①当时，都有，则函数是上的增函数；②若函数满足，则该函数为奇函数或偶函数．则（ ） A. ①对②对 B. ①对②错 C. ①错②对 D. ①错②错 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，利用反证法，结合增函数定义判断①，由条件举反例判断②，由此可得结论. 【详解】任取两个变量，， 若，则，与矛盾， 所以， 由增函数定义可得函数是上的增函数，①正确； 由，可得， 所以不一定恒成立，也不一定恒成立， 例如，所以函数可能为非奇非偶函数，②错误； 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知数列满足： 且，. （1）证明: 数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，求的值 ． 【答案】（1）证明见解析，； （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，证明出数列是首项为4，公比为2的等比数列，求出，从而； （2）分组求和，结合等比数列求和公式得到，利用得到方程，求出. 【小问1详解】 因为，， 所以， 又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 所以，即，所以； 【小问2详解】 ， 又，故， 即，所以， 解得. 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，是等边三角形，为线段的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若为线段上的一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可得平面，进而可证平面平面； （2）过作，垂足为， 【小问1详解】 因为为等边三角形，为线段的中点，所以，又， 因为四边形为直角梯形，，所以是平面上的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； 【小问2详解】 因为四边形为直角梯形，，， 所以，过作，垂足为， 由，得，所以，， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 又，设直线与平面所成角为， 则，解得，即. 19. 目前不少网络媒体都引入了虚拟主播，某视频平台引入虚拟主播，在第一天的直播中有超过万人次的观看． （1）已知小李第１天观看了虚拟主播的直播，若小李前一天观看了虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，若前一天没有观看虚拟主播的直播，则当天观看虚拟主播直播的概率为，求小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率； （2）若未来天内虚拟主播的直播每天有超过万人次的观看的概率为，记这天中每天有超过万人次观看的天数为． （i）比较与的大小，其中； （ii）记，求. 【答案】（1） （2）（i）当时，；当时，；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都没有观看虚拟主播直播的概念，然后利用正难则反原则即可求解； （2）（i）由已知服从二项分布，则，进而可得，然后利用比值与1比较大小即可求解； （ii）因为，所以可能取值为1或，然后结合（i）分别求出和的概率即可得解. 【小问1详解】 由已知小李第天和第天都没有观看虚拟主播直播的概率为； 所以小李第天和第天至少有一天观看虚拟主播直播的概率为； 【小问2详解】 （i）由已知服从二项分布，所以， 当时，，所以，即； 当时，，所以，即. （ii）因为，所以或， 当时，， 当时，， . 【点睛】关键点睛：本题解题的关键是理解服从二项分布，由二项分别公式利用与1进行比较大小，由，得到可能取值为1或是所对应的值，结合二项式定理化简得到答案. 20. 在平面直角坐标系中,已知椭圆的左、右焦点为. （1）若直线与轴相交于点，到直线的距离为，求； （2）若，点为椭圆上的任意一点，设椭圆的上、下顶点分别为 ,记的面积为，的面积为,若,求的取值范围； （3）若，过点的直线与椭圆交于两点（在的上方），线段上存在点，使得，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】小问1：使用点到直线距离公式结合向量的数量积求解， 小问2：表示出三角形的面积，利用椭圆的标准方程代入消元求解出相应的变量的范围，进而求出的范围, 小问3：首先设直线的方程，再设，，利用条件结合韦达定理将的横坐标用斜率表示出来，再将代入直线方程，求出和斜率的关系，进而利用斜率,求出满足的直线方程，然后根据直线的斜率不存在时，， 由，解出，满足斜率存在时的直线方程，最后利用将军饮马的思路，求对称点求出的最小值. 【小问1详解】 由已知，因为， 所以到直线的距离，所以，所以， 又因，所以，； 【小问2详解】 当时，，则， 设，则，， 因为，所以，即，又因为，所以，所以，所以，, 所以的范围是； 【小问3详解】 显然点在椭圆外，设，， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立消去，化简得， 则 由， 得，所以或，由，可得， 解得， 消去可得， 当直线的斜率不存在时，， 由，可得满足方程， 所以点满足直线，且位于椭圆的内部，设关于直线的对称点为，则 ， 又，所以， 当在椭圆内部，满足要求，所以的最小值为． 【点睛】在第三小问中利用直线的斜率为“桥梁”求解出点满足的直线方程是解决这一问题的关键点. 21. 定义 如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系. （1）若，试判断函数和是否具有关系； （2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围； （3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围. 【答案】（1）具有 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令求出，即可确定对称点的坐标，即可判断； （2）由，利用二倍角公式及辅助角公式得到，结合正弦函数的性质求出的取值范围； （3）令，利用导数说明函数的单调性，得到函数在上存在零点时参数的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，由， 得，解得，又 ， 所以函数和图像上分别存在点和关于轴对称，故和具有关系. 【小问2详解】 由，得，， ，，， 其中，因为可取一切实数，所以， 所以方程有解的充要条件为， 即，即，所以， 所以函数和不具有关系时， 实数的取值范围为； 【小问3详解】 令，则. 函数和在上具有关系，等价于在上存在零点； 函数和在上不具有关系，等价于在上不存在零点. 1°当，且时，因为，所以， 所以在上是严格增函数，且；此时在上不存在零点， 即函数和在上不具有关系. 2°当时，显然当时，， 当时，因为在是严格增函数，且，，故在存在唯一零点， 设为，即；且当，；当，， 所以在上存在唯一极小值点，所以在上是严格减函数， 在上是严格增函数， 因为，所以，又因为， 所以在上存在唯一零点，所以函数和在上具有关系. 综上所述，若函数和在上具有关系，则实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $