上海市扬子中学2025-2026学年第二学期学程3考试高三数学试题

**基本信息** 高三数学期中试卷，以基础巩固为底，通过出租车空驶率模型、函数与几何综合题等设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配高三学程3能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、向量、圆锥表面积等|第11题结合出租车运营数据考查数学建模| |选择题|4/18|统计相关系数、概率百分位数|第16题函数图像与圆、正方形存在性考查逻辑推理| |解答题|5/78|立体几何、概率分布列、双曲线、函数极值|第19题频率分布直方图与二项分布结合，第21题函数零点问题考查数学思维|

2025学年第二学期学程3考试 高 三 数 学 满分150,时间:120分钟 一. 填空题(本大题共12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分) 1.若集合,则实数 2.不等式的解集为_ 3. 已知向量,,若,则 4.若正数满足,则ab的最大值为 5.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4,弧长为的扇形,则该圆锥的表面积为_ 6.若的二项展开式中项的系数是54,则 7.如果函数 是奇函数,则= 8.已知数列为等比数列,,,则前5顶和为 9. 在中,内角的对边分别是,若,则_ 10.已知复数,复数满足,则的最大值为 11. 甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表: 甲 乙 丙 接单量t(单) 7831 8225 8338 油费s(元) 107150 110264 110376 平均每单里程k(公里) 15 15 15 平均每公里油费a(元) 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率.依据上述数据,小明建立了求解三辆车空驶率的模型,并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%、21.68%、%,则_(精确到0.01) 12.已知关于的不等式对任意均成立, 则实数的取值范围为_ 二. 选择题(本大题共4题,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分,共18分) 13.下面是不同成对数据的散点图,从左到右对应的样本相关系数是,,,,其中最大的是 A. B. C. D. 14.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是( ) A. B. C. D. 15. 下列说法正确的是( ) A. 若随机变量,则 B. 若随机变量,且,则 C. 一组数据11,12,12,13,14,15,16,18,20,22的第80百分位数为19 D. 若,,,则事件A与事件B相互独立 16.设,有如下两个命题: ①函数的图像与圆有且只有两个公共点; ②存在唯一的正方形,其四个顶点都在函数的图像上. 则下列说法正确的是( ). (A) ①正确,②正确 (B) ①正确,②不正确 (C) ①不正确,②正确 (D) ①不正确,②不正确 三. 解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知且 若,解方程; 若,求a的取值范围. 18.如图,在四棱锥中,底面ABCD为菱形,,底面ABCD,, E是PC上任一点,. (1)求证:平面平面PAC: (2)若E是PC的中点,四棱锥P-ABCD的体积为,求ED与平面PAC所成角的大小 19. 地区期末进行了统一考试,为做好本次考试的评价工作,将本次成绩转化为百分制,现从中随机抽取了50名学生的成绩,经统计,这批学生的成绩全部介于40至100之间,将数据按照分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值; (2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在的三组中抽取了11人,再从这11人中随机抽取3人,记为3人中成绩在的人数,求的分布列和数学期望; (3)转化为百分制后,规定成绩在的为A等级,成绩在的为B等级,其它为C等级.以样本估计总体,用频率代替概率.从所有参加考试的同学中随机抽取3人,求获得等级的人数不少于2人的概率. 20.已知双曲线的右焦点为 求双曲线的渐近线方程; 已知,点Q在双曲线C上且PQ不与坐标轴垂直,若为直角三角形,求的面积; 过点F的动直线l交双曲线C于两点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为A与不同于点,连接,这两条直线相交于点Q,问点Q是否为定点,若是,请求出点Q的坐标,若不是,请说明理由. 21. 已知函数的极小值为1. (1)求实数a的值; (2)设函数. ①证明:当时,对任意,恒成立; ②若函数有两个零点,求实数m的取值范围.