4.1 数列的概念讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

本高中数学讲义围绕数列的概念展开，系统梳理数列的定义、项、分类、与函数的关系及表示方法，构建从基础概念到题型应用的学习支架，涵盖由前几项归纳通项公式、由Sn与an关系求an、递推公式应用及数列性质（单调性、最值、周期性）等核心内容。 资料以方法提炼为核心，通过归纳通项公式的结构分析、递推公式的累加法等培养数学思维，融入九连环、分形几何等实例发展数学眼光，强化训练助力课中教学与课后查漏补缺，提升学生用数学语言解决问题的能力。

§4.1 数列的概念 目录 题型1：由数列的前几项归纳通项公式 3 题型2：写出或判断数列中的项 5 题型3：由与的关系求 8 题型4：数列的递推公式及其应用 11 题型5：数列的性质 18  数列单调性的判断 18  数列的最大（小）项 22  数列的周期性 27 【强化训练】 33 1. 数列的相关概念 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.所以，数列的一般形式是，简记为{an}. 2. 数列的分类 3. 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 4. 数列的表示方法 (1) 列表法：通过列出表格来表示项的序号(n)与项(an)的关系. (2) 图像法：由于数列的定义域为正整数集（或它的有限子集），因此，数列的图像是以为坐标的无限（或有限）个孤立的点. (3) 数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. (4) 递推公式法 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 5. 数列的前项和 (1) 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即. (2) 若数列的前项和为，通项公式为，则 题型1：由数列的前几项归纳通项公式 方法提炼 由数列的前几项归纳通项公式的几种思路： (1) 先统一项的结构,如都化成分数、根式等。 (2) 分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系。 (3) 对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用或来调控。 (4) 对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后,再进行归纳。 【例1.1.】 （多选）下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据选项分为奇数、为偶数求通项可得答案. 【详解】对于A，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故A正确； 对于B，若， 当为奇数时，，所以， 当为偶数时，，所以，故B正确； 对于C，若，则，故C错误； 对于D，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，故D正确； 故选：ABD. 【例1.2.】 （多选）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】观察法求数列通项 【分析】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【详解】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB 【例1.3.】 根据下列各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)； (2)1，7，13，19，…； (3)，2，，8，，…； (4)5，55，555，5 555，…. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.85 【知识点】观察法求数列通项 【详解】 （1）这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n. （2）偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5). （3）数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察，即，，，，，…分子为项数的平方，分母都为2，从而可得数列的一个通项公式为an＝. （4）将原数列改写为×9，×99，×999，…易知数列9，99，999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝ (10n－1). 题型2：写出或判断数列中的项 方法提炼 求数列中的某些项或判断某数是否为数列中的项的方法 (1) 如果已知数列的通项公式,只要将相应序号代入通项公式,就可以求出数列中的某些项。 (2) 判断某数是否为数列中的项,只需将此数代入数列的通项公式中，求出的值。若求出的为正整数,则该数是数列中的项,否则该数不是数列中的项。 【例2.1.】 已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】观察法求数列通项、判断或写出数列中的项 【分析】根据数列的前几项，得出数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为数列为， 所以该数列的通项公式为，得到， 故选：D. 【例2.2.】 已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、判断或写出数列中的项 【分析】由已知条件可得通项公式，代入数据即可求解. 【详解】由已知条件可得：， 令解得：. 故选：C 【例2.3.】 已知数列的通项公式为，则是该数列的第 项． 【答案】12 【难度】0.85 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】根据给定的通项公式，列式求出值即可. 【详解】依题意，，而，解得， 所以146是该数列的第12项. 故答案为： 【例2.4.】 数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据给定数列前5项，利用观察归纳法确定其共同属性即可得解. 【详解】数列，…从第3项起，分子是相邻前两项分子的和，分母也是相邻前两项分母的和， 所以该数列的第6项是，第7项是. 故选：C 【例2.5.】 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】类比三角形数和正方形数得到五边形数，再由从第二项起，后项与前项的差依次为求解. 【详解】解：如图， 称为五边形数， 从第二项起，后项与前项的差依次为， 所以五边形数的第5项为， 故选：C. 【例2.6.】 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为（    ） A．30 B．90 C．170 D．341 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据，逐个代入，即可求解. 【详解】由题，，所以. 故选.：C 题型3：由与的关系求 方法提炼 (1) 与关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化。 ①利用转化为只含的关系式，再求解； ②利用转化为只含的关系式，再求解。 (2) 已知求的3个步骤： ①先利用求出； ②用替换中的得到一个新的关系，利用即可求出当时的表达式； ③注意检验时的表达式是否可以与时的表达式合并。 【例3.1.】 已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据与之间的关系分析可得，令即可得结果. 【详解】因为，则， 两式相减可得：，即， 令，可得， 且，所以. 故选：A. 【例3.2.】 数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】当时，, 当时，不满足上式， 故 故答案为: 【例3.3.】 已知数列的各项都为正数，定义：为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的 . 【答案】/2.1 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、根据数列递推公式写出数列的项、判断或写出数列中的项 【分析】根据定义“匀称值”计算可得，进而当时列出，两式相减即可得出结果. 【详解】因为各项均为正数的数列的“匀称值”为， 所以①， 所以时，②， ①②得，所以， 所以. 故答案为：. 【例3.4.】 数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据题目给出的递推公式进行升次作差即可求解. 【详解】由题意 …①， ， …②， ②①得： ， 则当时，， 当，不适合上式.    ； 故答案为： . 题型4：数列的递推公式及其应用 方法提炼 由递推公式求通项公式的几种常见类型及方法 (1) 累加法：若已知且的数列，则 ，即． (2) 累乘法：若已知且,则 ， 即. (3) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式相减即得，然后按奇、偶分类讨论即可. (4) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式作商可得，然后按奇、偶分类讨论即可. 【例4.1.】 已知数列的首项，且满足（），则的值为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用累加法可求得的值. 【详解】因为（），且， 所以 . 故选：B. 【例4.2.】 已知数列满足，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据题意，利用，代值计算，即可求解. 【详解】由数列满足，可得． 故选：A. 【例4.3.】 在数列中，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式 【分析】考察求数列通项的方法：累加法；在化简过程中注意对数运算； 【详解】化简得：， ，，，； 将上述式子相加， 得， 代入，得， 则， 故答案为：. 【例4.4.】 在数列中，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用累加法进行计算即可得到结果. 【详解】因为， 则，，…， 累加可得，，所以. 故答案为：. 【例4.5.】 在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据所给数列递推式，利用累乘法（迭代法）即可求得数列通项. 【详解】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【例4.6.】 已知数列中，，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 【例4.7.】 在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项 【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解. 【详解】，， . 故答案为：B. 【例4.8.】 在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】依题意对化简，采用累乘法得到，从而得到 【详解】因为，所以，即，得. 所以. 因为，所以. 故选：B. 【例4.9.】 已知数列满足，则 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据给定条件，按为奇数和偶数分类变形，可得，由此求出，再求出即可得解. 【详解】数列中，由，得， 两式相减得，于是，则， 又，则，因此， 而，则，所以. 故答案为：5 【例4.10.】 已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推关系，写出数列前几项，归纳出通项即可得解. 【详解】依题意，设， 则， ，， ，， ，， 可归纳得：，， 所以. 故选：B 【例4.11.】 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．144 B．89 C．55 D．34 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】已知表示第行中的黑圈个数，设表示第行中的白圈个数，则有，利用递推关系求解. 【详解】已知表示第行中的黑圈个数， 设表示第行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈， 一个黑圈产生下一行的一个白圈和两个黑圈， 所以， 又因为所以， 所以， ， ， ， 故选:A. 【例4.12.】 在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】依题意可得，利用累乘法求出的通项公式，依题意可得对恒成立，再分为奇数、为偶数两种情况讨论，利用参变分离法计算可得. 【详解】因为，所以， 当时，， 因为，所以，又，所以； 由，，得对恒成立； 当为奇数时，恒成立，易知为增函数，则； 当为偶数时，恒成立，易知为减函数， 则； 故的取值范围为. 故选：A 题型5：数列的性质 · 数列单调性的判断 方法提炼 解决数列单调性问题的方法 (1) 作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列； (2) 作商比较法：根据（务必要确定的符号）与1的大小关系进行判断； (3) 函数法：结合相应的函数图象直观判断。 【例5.1.】 已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据题意结合数列单调性的定义运算求解即可. 【详解】因为， 若数列是递增数列，则， 则，即. 故选：D. 【例5.2.】 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、根据数列的单调性求参数 【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立， 即对任意恒成立，故， 所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A 【例5.3.】 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由递减数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 【例5.4.】 已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 则的取值范围为，故C正确. 故选：C． 【例5.5.】 已知数列满足，，若存在实数t，使单调递增，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数、判断数列的增减性 【分析】根据给定的数列单调性列不等式，求解即可. 【详解】由单调递增，，得， 所以，即当时，成立，而， 因此，， 又，所以，所以， 又即，所以， 所以t的取值范围是. 故选：C 【例5.6.】 已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由题意可得数列在上是递减数列，数列在上是递增数列，再根据二次函数的单调性即可得解. 【详解】因为对任意都有， 所以数列在上是递减数列， 因为对任意都有， 所以数列在上是递增数列， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【例5.7.】 已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据数列的单调性求参数 【分析】根据给定的分段函数，结合指数函数单调性及数列单调性列出不等式组求解. 【详解】函数，由数列是递增数列， 得，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C · 数列的最大（小）项 方法提炼 求数列最大项与最小项的常用方法 (1) 利用数列的单调性确定数列的最大（小）项。 (2) 解不等式组确定最大项，解不等式组确定最小项。 【例5.8.】 若数列的通项公式为，则数列中的最大项是第 项. 【答案】5或6 【难度】0.85 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】根据数列的通项公式，利用作差比较法判断数列的增减性即可推理得到. 【详解】因，则由 ， 当时，，当时，可得，当时，， 即， 故数列中的最大项是第5或6项. 故答案为：5或6. 【例5.9.】 已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由对勾函数的性质求解即可. 【详解】数列的通项公式为，由对勾函数的性质可知： 当时，取得最小项，即. 故答案为：. 【例5.10.】 数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】由作商法求出数列的单调性，可得，即可求出数列中的最大项的值. 【详解】因为，则， 则， 令，即，因为， 解得，所以， 令，解得， 所以， 故数列中的最大项为，其值为. 故答案为：. 【例5.11.】 已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】分离常数，得到当，时，，且随着的变大，变大，当，时，，且随着的变大，变大，从而得到答案. 【详解】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，. 故选：C 【例5.12.】 在数列中，，，则数列的最大项的值是 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】根据已知条件判断出和的大小，得出数列的单调性即可求解. 【详解】根据以及，可知， 所以①，则②， 由②①得，即 ， 因为，所以与同号， 又因为，且， 所以，所以数列为单调递减数列， 所以因此数列的最大项是，其值是4． 故答案为：4. 【例5.13.】 已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】作商探讨数列的单调性，进而求出最大项即可. 【详解】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为. 故选：D 【例5.14.】 已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【详解】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为： 【例5.15.】 已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得，当时， ， 当时，，，也满足，所以，，， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 故选：C 【例5.16.】 已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】方法一，由是二次函数，若数列中最小项为第3项，则有，计算得解；方法二，利用对称轴求解，若数列中最小项为第3项，则有，计算得解. 【详解】方法一：，，， ，数列中最小项为第3项， ，，，， 则的范围为. 方法二：对称轴为，开口向上，数列中最小项为第3项，， ，则的范围为. 故答案为：. · 数列的周期性 方法提炼 若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则数列称为周期数列，叫做数列的周期。 (1) 若数列满足，则数列是周期数列，且。 (2) 若数列满足（为常数）或数列满足（为常数），则数列是周期数列。 (3) 若数列满足，则数列是周期数列，且。 【例5.17.】 已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（   ） A．27 B．26 C．25 D．24 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据题意有且，根据递推公式有，两式相减有得，即数列是周期为3的周期数列，根据条件③即可求解. 【详解】依题意且，则， 相减得，故， 因为，所以，故 故数列是周期为3的数列，由，及可得， 所以 ， 故选：C. 【例5.18.】 已知数列满足，，则 （    ） A． B．2 C．12 D．33 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用递推关系计算可得数列是周期数列，即可计算出结果. 【详解】由递推公式代入计算可得； 可得数列是以3为周期的周期数列， 所以， 故选：A. 【例5.19.】 在数列中，，，，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】由题意可得，根据数列的周期性即可求解. 【详解】由，知， ∴，即数列是以4为周期的周期数列，. 故选：B. 【例5.20.】 在数列中，已知，，且，则 ． 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】由已知的递推式求出数列的前几项，发现数列以3为周期的周期数列，从而可求得结果. 【详解】因为，，且， 所以，， ，， ，， ，……， 所以数列为3，0，3，3，0，3，3，0，3，3，0，3，…… 所以数列以3为周期的周期数列， 所以. 故答案为：0 【例5.21.】 已知数列满足：均有，且，，则（   ） A．5 B．-5 C．-3 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、数列周期性的应用 【分析】根据原等式先判断数列的周期，从而可求出结果. 【详解】∵①，∴②， 由①②得，即，∴， 故数列是周期为6的周期数列． ∴， ∴ 故选：B． 【例5.22.】 已知数列中，，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数列周期性的应用 【分析】推导出数列是以为周期的周期数列，结合周期性可求得的值. 【详解】在数列中，，且，由可得， ，，，， 以此类推可知，对任意的，，故数列是以为周期的周期数列， 因为，故. 故答案为：. 【例5.23.】 已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】利用数列的递推式求得数列的项，进而求得各项除以3的余数组成的新数列是周期为8的数列，进而可求解. 【详解】因为，，所以数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，， 此数列各项除以3的余数依次构成的数列为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，，是以8为周期的周期数列， 所以 故选：A. 【例5.24.】 已知数列，满足：，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】数列周期性的应用、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据给定的递推公式，依次计算并探讨其周期，进而求出. 【详解】依题意，， 因此数列从第3项起是周期数列，周期为3， 所以. 故选：B 【例5.25.】 已知数列的首项，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、累加法求数列通项、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可求. 【详解】由题设有， 由累加法可得，， 即，， 故，， ，， 而的周期为，故是周期为的数列， 且， 故. 故答案为：. 【例5.26.】 数列满足，若，，则＝ ． 【答案】-6 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】由递推公式可得数列的周期为4，又因为，再由计算即可. 【详解】解：因为，， 所以，，，， 所以数列的周期为4， 又因为， 所以. 故答案为：-6 【强化训练】 1. 已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用，结合充分必要条件的定义即可判断. 【详解】当是递增数列，则，则， 但是的符号不确定，故充分性不成立； 当时，则，故是递增数列，即必要性成立； 综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）    A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】根据规律填写数列中的某项 【分析】根据图象的规律求得正确答案. 【详解】三角形数： 第一个数1，第二个数，第三个数：， 第四个数，第五个数， 正方形数： 第一个数，第二个数，第三个数：， 第四个数，第五个数 故选：B 3. 已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断或写出数列中的项、观察法求数列通项 【分析】通过观察得到数列的通项公式，将代入求值即可. 【详解】该数列的通项公式为， 所以. 故选：A 4. 在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】由累乘法可求得，代入求值即可. 【详解】，即， 所以，, 显然满足上式，所以， 则. 故选：C. 5. 已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 6. 设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用递增数列的定义列式求解即得. 【详解】由数列为递增数列，得，， 而，（），则，， 即对恒成立，即小于的最小值， 因为当时，的最小值为，所以. 故选：B. 7. 已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由累积法可得，根据与的关系计算即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 当时，， 当时，满足， 所以数列的通项公式为. 故选：C 8. 数列满足，且，则等于（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项 【分析】根据题意，将原式变形可得，由累加法分析可得﹒ 【详解】根据题意，数列满足，且， 即， 变形可得， 则有， 则，故； 故选：B． 9. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列的单调性求参数、利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项、判断数列的增减性 【分析】根据数列递推式求得的表达式，即可得，结合其单调性推出恒成立，继而判断的单调性，求出其最大值，即可求得答案. 【详解】由于数列满足， 当时，，当时，， 故，即，也适合，故， 则， 由于数列为单调递增数列，即， 即， 则恒成立，令， 则， 当时，，当时，， 故是数列的最大值的项， 故时，取得最大值，故， 则的取值范围为， 故选：C 10. （多选）已知数列满足，为其前n项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据条件依次可得，，，，，…，，然后可得，，，然后可逐一判断. 【详解】因为，，， ，，…，， 所以，， ， 累加得， ∴，， 因为，，所以， 故选：ABC． 11. （多选）已知数列的通项公式为，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．为最小项 D．为最大项 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项、判断或写出数列中的项 【分析】根据数列的通项公式，利用分离常数法得出，结合及函数的性质即可判断A、C、D；求得即可判断B． 【详解】， 当()时，，且单调递减；当()时，，且单调递减， 则为最小项，为最大项，故C、D正确，A错误； ，，则，故B错误， 故选：CD． 12. 已知数列满足，，则取最小值时 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和 【分析】利用累加法求出的通项公式，得出的表达式，利用基本不等式即可求出取最小值时的值. 【详解】由题意，， 在数列中，， ∴， ∴， 即， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴取最小值时， 故答案为：. 13. 数列满足，，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】数列周期性的应用、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用赋值法可得数列为周期数列，即可得结果. 【详解】由，可得， 又，， 所以数列周期为3的周期数列， . 故答案为：. 14. 记为数列的前项和，满足，且，则 ． 【答案】38 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用与的关系，代入解方程求解前4项，然后利用与的关系得到，进而由累乘法即可求得. 【详解】因为，且， 所以当时，， 则，结合，即①； 当时，②； 当时，③； 将③代入②可得，结合代入①可得. 即，，，， 因为，所以当时，， 则，即， 可得． 故答案为：38 15. 已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性，进而可求解. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即. 故答案为：. 16. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)1，3，6，10，15，…； (2)，，，，，…； (3)2，3，5，9，17，33，…； (4)3，0，，0，3，0，，0，…； (5)8，88，888，8888，…； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.4 【知识点】累乘法求数列通项、观察法求数列通项 【分析】（1）通过所给数据得到，由，得到，将其等号右边的数倒序书写得到，将以上两个等式相加，可得； （2），，，，，…的分子为2n，分母为，从而得到． （3）通过观察可把原数列每项减去1得到：1，2，4，8，16，32，…，即：，从而得到． （4）3，0，，0，3，0，，0，…，则数列的奇数项分别为：3，，3，，…，偶数项分别为：0，0，0，0，…，从而得到． （5）8，88，888，8888，…等价于，，，，…， 从而得到． 【详解】（1）， ， ， ， 将以上两个等式相加，得到，解得. （2），，，，，…的分子为2n，分母为，故数列． （3）通过观察可把原数列每项减去1得到：1，2，4，8，16，32，…，即：， 故通项公式为. （4）3，0，，0，3，0，，0，…，则数列的奇数项分别为：3，，3，，…，偶数项分别为：0，0，0，0，…， 故该数列的通项公式为. （5）8，88，888，8888，…等价于，，，，…， 则． 17. 已知数列的前项和公式为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中的最小项． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、确定数列中的最大（小）项 【分析】（1）根据时求解即可； （2）由题意，进而可得的增减性，进而可得最小项. 【详解】（1）当时， ， 当时，，满足上式， 所以 （2） 当时，，即，所以； 当时，，即； 当时，，即，所以； 所以列中最小的项为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §4.1 数列的概念 目录 题型1：由数列的前几项归纳通项公式 3 题型2：写出或判断数列中的项 4 题型3：由与的关系求 5 题型4：数列的递推公式及其应用 6 题型5：数列的性质 8  数列单调性的判断 8  数列的最大（小）项 9  数列的周期性 10 【强化训练】 11 1. 数列的相关概念 我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.所以，数列的一般形式是，简记为{an}. 2. 数列的分类 3. 数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数，其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 4. 数列的表示方法 (1) 列表法：通过列出表格来表示项的序号(n)与项(an)的关系. (2) 图像法：由于数列的定义域为正整数集（或它的有限子集），因此，数列的图像是以为坐标的无限（或有限）个孤立的点. (3) 数列的通项公式 如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. (4) 递推公式法 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 5. 数列的前项和 (1) 我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即. (2) 若数列的前项和为，通项公式为，则 题型1：由数列的前几项归纳通项公式 方法提炼 由数列的前几项归纳通项公式的几种思路： (1) 先统一项的结构,如都化成分数、根式等。 (2) 分析这一结构中变化的部分与不变的部分,探索变化部分的规律与对应序号间的关系。 (3) 对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用或来调控。 (4) 对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后,再进行归纳。 【例1.1.】 （多选）下列通项公式中，可以作为数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 （多选）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 根据下列各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)； (2)1，7，13，19，…； (3)，2，，8，，…； (4)5，55，555，5 555，…. 题型2：写出或判断数列中的项 方法提炼 求数列中的某些项或判断某数是否为数列中的项的方法 (1) 如果已知数列的通项公式,只要将相应序号代入通项公式,就可以求出数列中的某些项。 (2) 判断某数是否为数列中的项,只需将此数代入数列的通项公式中，求出的值。若求出的为正整数,则该数是数列中的项,否则该数不是数列中的项。 【例2.1.】 已知数列，则该数列的第项为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知数列，则45是该数列中第（    ）项 A． B． C． D． 【例2.3.】 已知数列的通项公式为，则是该数列的第 项． 【例2.4.】 数列，，，，，…的第7项是（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的称为正方形数.则根据以上规律，可推导出五边形数所构成的数列的第5项为（    ） A．22 B．26 C．35 D．51 【例2.6.】 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具.它用九个圆环相连成串，以解开为胜.它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载.周邦彦也留下关于九连环的名句“纵妙手、能解连环.”九连环有多种玩法，在某种玩法中:已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环 2 次，记 为解下个圆环需要移动圆环的最少次数，且，则解下 8 个圆环所需要移动圆环的最少次数为（    ） A．30 B．90 C．170 D．341 题型3：由与的关系求 方法提炼 (1) 与关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化。 ①利用转化为只含的关系式，再求解； ②利用转化为只含的关系式，再求解。 (2) 已知求的3个步骤： ①先利用求出； ②用替换中的得到一个新的关系，利用即可求出当时的表达式； ③注意检验时的表达式是否可以与时的表达式合并。 【例3.1.】 已知各项均不为0的数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 数列的前项和记为，若，则 . 【例3.3.】 已知数列的各项都为正数，定义：为数列的“匀称值”.已知数列的“匀称值”为，则该数列中的 . 【例3.4.】 数列满足，则数列的通项公式为 . 题型4：数列的递推公式及其应用 方法提炼 由递推公式求通项公式的几种常见类型及方法 (1) 累加法：若已知且的数列，则 ，即． (2) 累乘法：若已知且,则 ， 即. (3) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式相减即得，然后按奇、偶分类讨论即可. (4) 形如的数列，可将原递推关系改写成，两式作商可得，然后按奇、偶分类讨论即可. 【例4.1.】 已知数列的首项，且满足（），则的值为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【例4.2.】 已知数列满足，则（    ） A． B． C．5 D．7 【例4.3.】 在数列中，，，则 ． 【例4.4.】 在数列中，，，则 ． 【例4.5.】 在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 已知数列中，，则 . 【例4.7.】 在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【例4.9.】 已知数列满足，则 ． 【例4.10.】 已知数列满足，对于任意的且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【例4.11.】 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为，则（    ） A．144 B．89 C．55 D．34 【例4.12.】 在数列中，，，若，，则的取值范围为（    ） A． B．（-1,1） C． D． 题型5：数列的性质 · 数列单调性的判断 方法提炼 解决数列单调性问题的方法 (1) 作差比较法：根据的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列； (2) 作商比较法：根据（务必要确定的符号）与1的大小关系进行判断； (3) 函数法：结合相应的函数图象直观判断。 【例5.1.】 已知数列的通项公式为，若数列是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【例5.3.】 设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知数列是单调递增数列，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 已知数列满足，，若存在实数t，使单调递增，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.7.】 已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． · 数列的最大（小）项 方法提炼 求数列最大项与最小项的常用方法 (1) 利用数列的单调性确定数列的最大（小）项。 (2) 解不等式组确定最大项，解不等式组确定最小项。 【例5.8.】 若数列的通项公式为，则数列中的最大项是第 项. 【例5.9.】 已知数列的通项公式为，则的最小项的值为 ． 【例5.10.】 数列的通项，则数列中的最大项的值为 . 【例5.11.】 已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例5.12.】 在数列中，，，则数列的最大项的值是 ． 【例5.13.】 已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【例5.14.】 已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【例5.15.】 已知数列满足：，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．6 B．7 C．8 D．9 【例5.16.】 已知，若数列中最小项为第3项，则 ． · 数列的周期性 方法提炼 若数列满足存在正整数使得对一切正整数都成立，则数列称为周期数列，叫做数列的周期。 (1) 若数列满足，则数列是周期数列，且。 (2) 若数列满足（为常数）或数列满足（为常数），则数列是周期数列。 (3) 若数列满足，则数列是周期数列，且。 【例5.17.】 已知数列满足：①任意相邻两项的积不等于1；②任意相邻的连续三项相乘之积等于这三项相加之和；③，.记数列的前项和为，则的值为（   ） A．27 B．26 C．25 D．24 【例5.18.】 已知数列满足，，则 （    ） A． B．2 C．12 D．33 【例5.19.】 在数列中，，，，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【例5.20.】 在数列中，已知，，且，则 ． 【例5.21.】 已知数列满足：均有，且，，则（   ） A．5 B．-5 C．-3 D．3 【例5.22.】 已知数列中，，且，则 . 【例5.23.】 已知数列的第1项和第2项均为1，以后各项由给出.若数列的各项除以3所得余数组成一个新数列，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例5.24.】 已知数列，满足：，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例5.25.】 已知数列的首项，，则 ． 【例5.26.】 数列满足，若，，则＝ ． 【强化训练】 1. 已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，第三行的1，5，12，22称为五边形数．则三角形数､正方形数所构成的数列的第5项分别为（    ）    A．14，20 B．15，25 C．15，20 D．14，25 3. 已知数列，则该数列的第100项为（    ） A． B． C． D． 4. 在数列中，，.则（    ） A．4 B．2 C． D． 5. 已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6. 设数列的通项公式为，（），若数列是递增数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7. 已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ） A． B． C． D． 8. 数列满足，且，则等于（　　） A．19 B．20 C．21 D．22 9. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10. （多选）已知数列满足，为其前n项和，则（    ） A． B． C． D． 11. （多选）已知数列的通项公式为，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．为最小项 D．为最大项 12. 已知数列满足，，则取最小值时 ． 13. 数列满足，，则 ． 14. 记为数列的前项和，满足，且，则 ． 15. 已知数列的通项公式为，则数列的最小项是 ． 16. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数： (1)1，3，6，10，15，…； (2)，，，，，…； (3)2，3，5，9，17，33，…； (4)3，0，，0，3，0，，0，…； (5)8，88，888，8888，…； 17. 已知数列的前项和公式为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列中的最小项． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $