山东淄博市2026届高三五月检测数学试题

2026年数学科高考仿真模拟试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数z满足，则（ ） A． B． C．1 D． 2．已知全集，集合，则（ ） A． B． C． D． 3．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则ω的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知正四棱台上、下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（ ） A． B．688 C． D．888 6．已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列时，五张牌的排法总数为（ ） A．8 B．10 C．13 D．16 8．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，分别过、作斜率为、-2的直线、，若和的交点在双曲线上，则C的离心率为（ ） A． B．2 C． D．3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件A，B满足，，，则（ ） A． B．事件A，B相互独立 C． D． 10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元／件）的情况如下表所示． 售价x（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量y（千件） 10 9 9 7 5 则（ ） A．y关于x的线性回归方程为： B．相关系数（小数点后保留两位） C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3．4千件 D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为-0．4 参考公式：① ②③ 参考数据： ，，， 11．对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”．则（ ） A．对于，点，则点是M在的“最近点” B．对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直 C．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．则对任意的，的中点同时是，在的“最近点” D．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，．若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则________． 13．设正项数列，，，则的前n项和为________． 14．已知在中，，，则向量在上的投影向量的模的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，． （1）求A，C； （2）若，求a，c． 16．已知函数． （1）当，时，求的极值； （2）若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围． 17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，与相交于点E，点F在上，，，，． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为β，求． 18．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，过F与l垂直的直线交C于D，E两点，其中B，D在x轴上方，M，N分别为，的中点． （1）若，求M点的横坐标； （2）证明：直线过定点； （3）设G为直线与直线的交点，求面积的最小值． 19．盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第n次摸球后游戏结束的概率． （1）求，； （2）求； （3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量，证明：． 2026年数学科高考仿真模拟试题答案 选择题： 1． A 2．B 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．ABD 10．ABD 11． ABC 8．答案：C解析：由题意知：，则直线方程：；直线方程：；联立方程可得交点坐标：， 因为交点在双曲线上，故满足双曲线方程，代入可得：； 由双曲线定义可知，满足：；代入； 可得：， 两边同乘去分母可得：， 即：，两边同除， 可得：，即； 解得或；因为双曲线离心率； 故，因此双曲线的离心率为． 11．答案：ABC A．当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． B．由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为． 而，故，故直线与在点处的切线垂直． C．因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得，得证． D．设，， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得， 即① ② 由①②相减得，即， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．答案： 13．答案： 14．答案： 解析： ， 向量在上的投影向量的模为，即， 当且仅当，即时取到最小值． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15．解析： （1），所以， 又∵，∴，∵， ∴或， 当时，不成立； 当时，又∵，∴ ∴，综上，． （2）由（1）知，，由正弦定理，， ，∴． 16．解析：（1）当时，， 其定义域为， 令，得或，令，得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值，当时，有极小值， 极大值为，极小值为． （2）若，则，定义域为， 当时，，在上单调递增，无最大值，不合题意， 所以，令，则，在上单调递增； 令，则，在上单调递减， 则， 因为， 因为的最大值小于，所以， 解，设， 易知在上单调递增， 又，所以，所以，故的取值范围为． 17．解析： （1）法一∵底面是菱形，∴， ∵平面，且平面，∴． 又∵，平面，∴平面， ∵平面，∴，又∵，且平面， ∴平面，∵平面，∴， ∵，∴，即，又∵平面平面， 且，∴平面． 法二：以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， ∵，∴， 又∵，∴在中由勾股定理得， 即，∴．∴， ，平面，∴平面． （2）法一：以E为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则， ∵， ∴，又∵， ∴在中由勾股定理得， 即，∴，∴ ∵，∴， ∴，∴，∵平面， ∴与平面所成的角为，∵平面， ∴是平面的一个法向量，∵平面，平面， ∴平面平面，设，只需，则平面， 则， 令，则， ∴，∴． 法二：过作和的平行线，平面平面，过作的延长线于点，连接易证为二面角的平面角 利用等面积法求出，从而求出两角和． 法三：作于，易证平面，作于，易证平面， 在中，， 利用余弦定理和三角形的面积公式，， ． 18．解析：（1）由得， 所以点的横坐标．． （2） 由，故，由直线与直线垂直，故两直线斜率都存在且不为0， 设、、、， 直线、分别为， 联立， 故， 即，同理可得， 由对称性，定点一定在轴上，设为，则，有， 故， 故过定点，且该定点为（3，0）， （3） 先证， 事实上，取的中点，连接，则为的中位线，即， 从而，同理可得， 故，即， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立． 故最小值为8． 19．解析：（1）解：（1）， ． （2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球， 摸到0，1，2个红球的概率分别为， 若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球， 摸到0，1个红球的概率分别为， 则摸球次，记第次和第次分别各摸到一个红球的概率为， 则， 摸球次，记第次摸到两个红球的概率为，则， 则 ． （3）法一：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为 ， 记，则， 可能取值为1，2，且， ，故． 法二：设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为 ， 摸球次，第次摸到两个红球的概率为， ①若， 此时当为奇数且时，；当时，， 则， 故， 记， 则， 可能取值为1，2，且， ，故． ②当时，，结论也成立； 综上，． 学科网（北京）股份有限公司 $