精品解析：山东省淄博市张店区2025届高三仿真试题（三模）数学试题

2025 年高三仿真试题 数 学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一. 单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合元素满足的条件，确定集合，再根据交集的概念确定. 【详解】因为， 所以. 故选：B 2. 若复数 满足 ，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法可得，然后由共轭复数，的周期性可得答案. 【详解】， 则. 故选：C 3. 设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算法则和向量相等的定义即可判断. 【详解】因为，所以，但向量的方向不确定， 所以推不出； 又根据，得到，所以可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件， 故选：B． 4. 将编号为1，2，3的小球放入编号1，2，3，4的小盒中，每个小盒至多放一个小球，要求恰有1个小球与所在盒子编号相同，则所有放法的种数为（    ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】结合组合数知识，根据分步乘法计数原理求解即可． 【详解】根据题意，先确定一个编号相同的盒子，有种， 假设选的是1号球，剩下的两个小球都没有放到对应的盒子有共三种情况； 所以共有种不同的放法． 故选：B. 5. 随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长. 某公司现有新一代 芯片 两套研发方案，若 A 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 ；B 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 . 如此预计至少几年后A 设计方案计算量更高?(参考数据: )（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设x年后A设计方案计算量更高，由题可得，然后利用参考数据及对数运算性质可得答案. 【详解】设x年后A设计方案计算量更高， 则x年后，A 设计方案计算量为，B设计方案计算量为， 则 ， 预计至少5年后A设计方案计算量更高. 故选：B 6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，则可求，过作于，连接，则可求斜高，故可求侧面积. 【详解】如图，连接，则，过作于， 则，由正四棱台的性质可得平面， 故即侧棱和底面所成角， 所以，在中，可得， 过作于，连接，因为平面， 所以，而平面， 故平面，而平面，故， 而，则， 所以该正四棱台的侧面积为， 故选：B． 7. 已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的性质结合诱导公式得，然后根据诱导公式得，最后逐项验证求解即可判断. 【详解】当时，，则， 所以，即， 又，所以， 所以，或（不恒成立，舍去）， 所以， 当时，，则， 所以，即， 又，所以， 所以，或（不恒成立，舍去）， 所以， 综上，， 对于A，，，此时，则，解得，不合题意； 对于B，，，此时，则，解得，不合题意； 对于C，，，此时，则，解得，不合题意； 对于D，，，此时，则，解得，符合题意. 故选：D 8. 若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（    ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，得到为偶函数，又有唯一零点，由对称性可知的零点为0，根据得到方程，求出答案. 【详解】设，显然， 又 ， 故为偶函数， 又有唯一零点， 由对称性可知的零点为0， 故，即，即， 解得或2， 所以上述关于的方程的非零实数解为2. 故选：C 二.多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得 0分. 9. 等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前10项和为50 【答案】AD 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式得关于的方程，解出，则得到，最后一一判断选项即可. 【详解】对A，设等差数列的公差为，则由题意知， 解得，故A正确； 对B，，， 则当时，取最小值，故B错误； 对C，，，则，故C错误； 对D，数列的前10项和为，故D正确. 故选：AD. 10. 某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本(单位：万元)和企业利润(单位：万元)的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则（    ） A. 若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元 B. 1月到8月企业的月平均利润约为115万元 C. 数据对应的残差为1.8 D. 删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归方程令可预测9月企业利润，即可判断A；根据回归方程过点可判断B；根据残差的定义可判断C；结合残差与回归方程的斜率与样本中心点的关系可判断D． 【详解】对于A，根据回归方程为可得，当时，， 预测9月企业利润约为117.7万元，故A正确； 对于B，由，可得1月到8月的物流成本的平均值， 设1月到8月企业的月平均利润为，且点满足回归直线，所以， 即1月到8月企业的月平均利润约为115万元，故B正确； 对于C，当时，，数据对应的残差为，故C正确； 对于D，删除该组数据后，因为小于样本中心点的横坐标，且大于通过回归方程计算出的对应的预测值， 所以删除改点后，样本中心点向右上方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，故D不正确． 故选：ABC. 11. 旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例如， 对任意平面向量，把 绕起点 沿逆时针方向旋转角得到向量 ，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转 角得到点 .已知椭圆 ，绕坐标原点逆时针旋转得到斜椭圆 ，则下列结论正确的是:（    ） A. 已知点 ，点 ，把点绕点逆时针旋转 得到点 B. 斜椭圆 的离心率是 C. 斜椭圆 方程是 D. 过斜椭圆 在第一象限内的焦点作斜率为 的直线，与斜椭圆交于点 ，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由新定义即可求解，对于B，由原椭圆离心率即可判断，对于C，设上任意一点，绕坐标原点 逆时针旋转得到，由新定义得到，代入原方程即可，对于D，求得交点坐标，代入距离公式即可. 【详解】，由新定义可得， 所以，A正确， 由，可得，其离心率为：，故的离心率为，B错误 设上任意一点，绕坐标原点 逆时针旋转 得到， 由新定义可得：， 所以，代入， 可得：， 也即斜椭圆 方程是 ，C正确， ，右焦点坐标为：，绕坐标原点 逆时针旋转 ， 可得第一象限焦点坐标， 此时过焦点斜率为的直线方程为：， 设与斜椭圆的两交点坐标为， 联立，消去可得：， 所以， 所以， 所以，D正确， 故选：ACD 三. 填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 函数，则曲线在处的切线方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对求导，令可求出，再求出，由导数的几何意义即可得出答案. 【详解】因为，所以， 则，解得：. 所以曲线在处的切线方程的斜率为， 所以，， 所以曲线在处的切线方程：， 化简可得：. 故答案为：. 13. 某比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员答 3 道题，若 3 次都错，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少答对一题， 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员答 3 道题， 每次答对得 5 分， 答错得 0 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每题答对的概率为 ，乙每题答对的概率为 ，各题答对与否相互独立. 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由_____参加第一阶段比赛. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据题意，分别求得甲，乙参加第一阶段比赛时，队伍比赛成绩的期望，然后比较大小，即可得到结果. 【详解】若甲参加第一阶段比赛，设队伍比赛成绩，则的可能取值为， 则， ， ， ， 则 ， 若乙参加第一阶段比赛，设队伍比赛成绩，则的可能取值为， 所以， 且 ， 因为，所以，， 则，即， 应该由甲参加第一阶段比赛. 故答案为：甲 14. 已知，则________． 【答案】， 【解析】 【分析】利用和差化积公式化简求解即可，注意集合的互异性. 【详解】∵ ∴ 由和差化积公式得： ∴ ∴ ∴或 当时，或，， 此时，不满足集合的互异性，故舍去， 当时，，， ∴，，满足题意 ∴， 故答案为：，. 四. 解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 设 的内角 所对的边分别为 ，已知 . （1）求角 ； （2）若 的面积为 ，求 的外接圆半径 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合内角和定理即可化简求角； （2）利用角的两角和余弦公式，即可求得，再利用面积公式和正弦定理就可以求出外接圆的半径. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得：， 再由内角和定理可得：， 代入上式可得：， 又因为，所以， 又因为，所以； 【小问2详解】 由可得， 因为，所以可得， 设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理可得：， 又由 的面积为可得， 解得：. 16. 已知函数. （1）当时，判断有无极值点，并说明理由； （2）当时，判断函数在上零点个数并给出证明. 【答案】（1）无极值点，理由见解析 （2）函数在上有2个零点，证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出导函数，判断导函数的符号，从而判断极值点； （2）利用导数判断的单调性，再结合零点存在性定理即可判断零点个数． 【小问1详解】 当时，无极值点，理由如下： 当时，函数，定义域为， 所以， 令，则，由得， 由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故， 所以在上单调递增，故函数无极值点． 【小问2详解】 当时，函数在上的零点个数为2，证明如下： 由得， 设，则，令，得， 所以当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 因为，，， ， 所以，， 所以，使得，，使得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 设，则，， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 所以，故，即， 因为，所以，故，即. 设，则，， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以，即， 因为，所以. 由得，且. 因为，，， 所以函数在和上各有一个零点，共2个零点． 17. 在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角. （1）当为棱的中点时， (i)证明: 平面； (ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置； （2）当最小时，求 . 【答案】（1）(i)证明见解析；(ii) 在上，且； （2）. 【解析】 【分析】（1）(i)建系，通过可证；(ii)确定的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界），由，结合最大时，最大即可求解； （2）作，连接，得到,.设，再由两角和的正切公式得到进而可求解. 【小问1详解】 (i)因为，所以， 所以，又底面为平行四边形，所以底面为矩形， 因为为直四棱柱，所以两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则, 所以, 则， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面； (ii)因为平面，平面， 所以平面平面，过在底面内作， 因为平面平面， 所以平面，即到平面为， 到直线的距离为，由题可知， 由抛物线定义知轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线在四边形内部部分（包括边界）， 以中点为原点，所在直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为：， 设，，最大时，最大， ，当时，，当时，， 所以，所以当时，最大，即最大， 此时在上，且. 【小问2详解】 作，连接， 因为，且为平面内两条相交直线， 所以平面，又在平面内， 所以，由直角三角形面积易得：， 因为，为平面内两条相交直线， 所以平面，同理， 所以，所以四边形是矩形， 所以， 因为，所以， 所以二面角 的平面角即为, 同理二面角的平面角即为. 当与（或）重合时，， ， 当当不与（或）重合时，设， ， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，最小时，最小， 此时， 综上. 18. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 【答案】（1）（i）分布列见解析，期望为；（ii）； （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）求出的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望；（ii）将事件 “”分拆成两两互斥的事件的和，利用概率的加法公式，结合等比数列前项和公式求解. （2）求出在的条件下，的可能取值，求出对应的概率及期望，再利用全概率公式求出，进而求出的期望的递推公式，利用等比数列通项公式求得. 【小问1详解】 （i）依题意，的所有可能取值为1，2，3，4， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 的数学期望为 （ii）事件，即细胞在个生命周期中只有一次分裂为2个新细胞， 且之前与之后的所有细胞都分裂为1个新细胞， 记事件表示“细胞只在第个周期分裂为2个新细胞”， 则两两互斥，， 而， 因此， 所以事件 “” 的概率为. 小问2详解】 在条件下，的可能取值为， 则， ， 因此 ， （）， 由全概率公式得， 于是的期望 ，则数列是以为首项，为公比的等比数列， 又，所以，即的期望为. 【点睛】方法点睛：全概率公式是将复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率求和问题. 19. 设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线. （1）已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系； （2）已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为. ①证明：是、的等比中项； ②若点在圆上，求的最大值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离，即可判断； （2）解法一：①设，利用导数的几何意义求出切线方程，即可得到直线的方程为，再联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据焦半径公式计算可得；②由①可得，求出的范围，即可求出的最大值；解法二：①设，利用导数的几何意义求出切线方程，再求出点坐标，最后根据弦长公式计算可得；②由①知，设，求出的范围，即可求出的范围，从而得解. 【小问1详解】 圆心到的距离， 即直线与圆相切，所以. 【小问2详解】 解法一：①证明：由，知的准线方程为，. 设. 因为，且与的公共点为， 所以是曲线在点处的切线， 其方程为，即， 则（*）， 同理，，则（**）， 由（*）（**）得直线的方程为，即. 由，消去整理得，则. 又因为， 则. 又因为，所以， 故是、的等比中项. ②解：由①知，， 则 . 因为，所以， 则， 又因为，则， 从而可得，解得， 当时等号成立， 故的最大值为. 解法2：①证明：由题意知，则. 设. 因为，且与公共点为，所以是曲线在点处的切线， 所以，即（*） 同理（**） 联立（*）（**）得，即， 所以， 注意到，因此， 所以是的等比中项. ②解：由①知，，设， 则 . 因为点在圆上， 所以，于是， 从而， 解得，即. 又当时，， 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025 年高三仿真试题 数 学 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2. 回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号. 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一. 单项选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ，集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足 ，则（    ） A. B. C. D. 3. 设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 将编号为1，2，3的小球放入编号1，2，3，4的小盒中，每个小盒至多放一个小球，要求恰有1个小球与所在盒子编号相同，则所有放法的种数为（    ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 5. 随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长. 某公司现有新一代 芯片 两套研发方案，若 A 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 ；B 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 . 如此预计至少几年后A 设计方案计算量更高?(参考数据: )（    ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上奇函数，则，的值可能是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 8. 若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（    ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二.多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，选对但选不全的得部分分，有选错的得 0分. 9. 等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ） A. 数列的公差为2 B. 取最小值时， C. D. 数列的前10项和为50 10. 某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本(单位：万元)和企业利润(单位：万元)的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则（    ） A. 若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元 B. 1月到8月企业的月平均利润约为115万元 C. 数据对应的残差为1.8 D. 删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小 11. 旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例如， 对任意平面向量，把 绕起点 沿逆时针方向旋转角得到向量 ，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转 角得到点 .已知椭圆 ，绕坐标原点逆时针旋转得到斜椭圆 ，则下列结论正确的是:（    ） A. 已知点 ，点 ，把点绕点逆时针旋转 得到点 B. 斜椭圆 的离心率是 C. 斜椭圆 方程是 D. 过斜椭圆 在第一象限内的焦点作斜率为 的直线，与斜椭圆交于点 ，则 三. 填空题: 本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分. 12. 函数，则曲线在处的切线方程为_____. 13. 某比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员答 3 道题，若 3 次都错，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少答对一题， 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员答 3 道题， 每次答对得 5 分， 答错得 0 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每题答对的概率为 ，乙每题答对的概率为 ，各题答对与否相互独立. 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由_____参加第一阶段比赛. 14 已知，则________． 四. 解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 15. 设 的内角 所对的边分别为 ，已知 . （1）求角 ； （2）若 的面积为 ，求 的外接圆半径 16. 已知函数. （1）当时，判断有无极值点，并说明理由； （2）当时，判断函数在上零点个数并给出证明. 17. 在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上动点，、分别是二面角 和二面角的平面角. （1）当为棱的中点时， (i)证明: 平面； (ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置； （2）当最小时，求 . 18. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量. （1）若， （i）求随机变量的分布列和期望; （ii）求事件 “” 的概率; （2）已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望. 19. 设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线. （1）已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系； （2）已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为. ①证明：是、的等比中项； ②若点在圆上，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$