专题03 函数&一次函数15大题型2易错3方法 （期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材青岛版

专题03 函数&一次函数 知识点01 函数及相关概念 （1）常量和变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． （2）函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． （3）自变量：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． （4）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （5）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 知识点02函数的图象及画法 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）用描点法画函数图象的一般步骤： ①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值． ②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点． ③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 知识点03正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 知识点04一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k>0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k>0，b<0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k<0，b>0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k<0，b<0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 知识点05一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左加右减，上加下减”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 知识点06待定系数法 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 知识点07运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 知识点08一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）一次函数与不等式（组）的关系： ①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=k1x+b1和y=k2x+b2；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y． 知识点09一次函数的应用 运用一次函数解决实际问题的步骤是求出函数解析式（如果问题中没有明确两个变量的关系是一次函数关系，就要根据题意直接写出其解析式；如果明确是一次函数关系，就可以用待定系数法求出其解析式)，然后利用其图象和性质解决实际问题． 【题型一】函数及相关概念 【方法点拨】1．常量和变量不是绝对的，必须根据具体的变化过程进行判断．常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．在圆的周长公式中，π不变，是常量． 2．判断一个关系是不是函数关系的方法： 第一，要看是不是一个变化过程； 第二，要看在这个变化过程中是不是有两个变量； 第三，要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 【典例1】（2025春•朝阳区期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是　　 A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【答案】 【分析】根据常量和变量的定义进行作答即可． 【解答】解：付款金额随购物数量的变化而变化， 单价是常量． 故答案为：． 【变式1-1】（2025春•江津区期中）下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】函数的定义：设在某变化过程中有两个变量、，如果对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，那么就称是的函数． 【解答】解：根据函数定义逐项分析判断如下： （1）、（2）满足对于在某一范围内的每一个确定值，都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义； （3），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （4），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； （5），当时，有两个值与之对应，所以不是的函数； 故选：． 【变式1-2】（2025春•曹妃甸区期中）下列图象中，表示是的函数的个数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量，，当给一个值时，有唯一的值与其对应，就说是的函数，是自变量．注意“有唯一的值与其对应”对图象的影响． 【解答】解：根据函数的定义可知，每给定自变量一个值都有唯一的函数值相对应， 所以①④不符合题意，②③符合题意． 故选：． 【变式1-3】（2025春•道里区校级期中）下列四个图象中，不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，据此进行判断即可． 【解答】解：由，，中的图象可得对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，不符合题意， 由中的图象可得对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，符合题意， 故选：． 【题型二】自变量的取值范围 【方法点拨】函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围是使各部分均有意义的实数的公共部分，一定要满足每一种情况，不要出现遗漏． （1）分式的分母≠0； （2）二次根式的被开方数≥0； （3）0的0次方无意义． 【典例2】（2025春•曹妃甸区期中）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：． 【变式2-1】（2024秋•淮北期末）函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出，解该不等式即可得出结论． 【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得， ， 故选：． 【变式2-2】（2024秋•茌平区期末）函数中的自变量的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【答案】 【分析】根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解． 【解答】解：由条件可知：且， 且， 故选：． 【变式2-3】（2025春•青神县期中）在函数中，自变量的取值范围是　　 ． 【答案】且． 【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【解答】解：根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数可得： ， 且； 故答案为：且． 【题型三】函数图像 【方法点拨】（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上． （3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． 【典例3】（2025春•抚州期中）乌鸦喝水是我们从小就熟知的寓言故事，下面　　幅图比较符合故事情节． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意可知，水瓶里原有一部分水（未满），石子投入瓶中，这时水位会上升，上升至瓶口后乌鸦喝到水，此时水位会下降．据此对照下面四幅图进行比较即可． 【解答】解：选项比较符合故事情节． 故选：． 【变式3-1】（2025春•青神县期中）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据容器“上大下小”的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析即可得出答案． 【解答】解：根据容器的形状特点对容器中水的高度与时间的关系进行分析可得： 容器下端较小，上端较大，当均匀地注入水时，刚开始时高度变化较大，随着时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化越来越不明显，四个图象中只有选项B符合该特点， 故选：B． 【变式3-2】（2025•武汉模拟）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．如图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【解答】解： 公共汽车经历：加速匀速减速到站加速匀速， 加速：速度增加， 匀速：速度保持不变， 减速：速度下降， 到站：速度为0． 观察四个选项的图象是否符合题干要求，只有选项符合． 故选：． 【变式3-3】（2025•广安区校级模拟）甲，乙两人进行慢跑练习，慢跑路程为与所用时间之间的关系如图，下列说法错误的是　　 A．5分钟时两人都跑了 B．前两分钟，乙的平均速度比甲快 C．乙跑完的平均速度是 D．甲跑完的平均速度是 【答案】 【分析】根据函数图象可以判断各选项是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：由图可知，5分钟时两人都跑了500米，故选项说法正确，不符合题意； 由图可得，前2分钟，乙跑了300米，甲跑的路程小于300米，从而可知前2分钟，乙的平均速度比甲快，故选项说法正确，不符合题意； 乙跑完的平均速度是：，故选项说法错误，符合题意； 由图可知，甲8分钟跑了800米，可得甲跑完800米的平均速度为100米分，故选项说法正确，不符合题意； 故选：． 【题型四】函数解析式及函数值 【方法点拨】（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． （4）根据函数值的意义，已知自变量的值，就可以求出相应的函数值；反过来，已知函数值，也可以运用方程思想，求出自变量的值． 【典例4】　（2025春•宽城区校级期中）一汽车油箱内剩余汽油的体积（升与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为20升时，它行驶的路程是　　 A．300千米 B．250千米 C．200千米 D．150千米 【答案】 【分析】将代入函数解析式计算求解即可． 【解答】解：由题意得，， 解的， 它行驶的路程是300千米， 故选：． 【变式4-1】（2025春•长沙校级期中）如图，矩形中，，，为边上与、两点不重合的任意一点．设，到的距离为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，过点作交于点，根据矩形的性质将△的面积用不同的底和高表示出来，从而得到和的数量关系，进而将表示为的函数即可． 【解答】解：如图，连接，过点作交于点． 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， 与的函数关系式为． 故选：． 【变式4-2】（2025春•莒县期中）变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是　　 A． B． C．2 D．1 【答案】 【分析】直接把代入中进行求解即可． 【解答】解：在中，当时，， 故选：． 【变式4-3】（2025春•南皮县校级期中）某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支与销售额（元的关系如下表所示，则与的函数关系式为　　 销量支 1 2 3 4 5 销售额元 3 6 9 12 15 A． B． C． D． 【答案】 【分析】观察表格中的数据发现：销售额是销售数量的3倍，据此列出函数关系式． 【解答】解：根据表格中的数据可知，销售额是销售数量的3倍， 与的函数关系式为：． 故选：． 【题型五】正比例函数与一次函数定义 【方法点拨】1．正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0． 2．判断函数是一次函数的方法： 先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断．正比例函数是特殊的一次函数． 【典例5】（2024秋•桥西区期末）下列函数是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【解答】解：根据正比例函数的定义逐项分析判断如下： 、，不是正比例函数，不符合题意； 、，不是正比例函数，不符合题意； 、，是正比例函数，符合题意； 、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】（2025春•渝北区校级期中）已知函数是正比例函数，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义可得：，，，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：，，， 解得：或0，，， ，， ， 故选：． 【变式5-2】（2024秋•临淄区期末）下列函数（其中是自变量）中，是正比例函数的个数有　　 ①；②；③是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【解答】解：，是正比例函数，故①正确，符合题意； ，整理，得：，是正比例函数，故②正确，符合题意； 是常数），当时，不是正比例函数，故③错误，不符合题意； ，不是正比例函数，故④错误，不符合题意； 故选：． 【变式5-3】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省江阴市云亭中学2025-2026学年八年级上学期第二次月考数学试题 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 【题型六】正比例函数图像与性质 【方法点拨】正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 【典例6】（2024•禄丰市二模）在下列各图象中，表示函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】一条经过原点的直线．由的图象经过一、三象限可得答案． 【解答】解：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，且当时，经过一、三象限． 正比例函数的大致图象是． 故选：． 【变式6-1】（2024秋•杨浦区校级月考）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 　　． 【答案】． 【分析】首先根据正比例函数的定义可得，且，解出的值，再根据图象经过第二、四象限，可得，进而确定． 【解答】解：由题意得：，且，． 解得：． 图象经过第二、四象限， ， 解得， ， 故答案为：． 【变式6-2】（2024春•南昌县月考）如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 【答案】． 【分析】根据图象结合性质直接解决即可． 【解答】解：如图： 当时，，，， ， 故答案为：． 【变式6-3】已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】第1课时 正比例函数的图象与性质 八年级数学上册（沪科2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】正比例函数的定义、正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数定义得到，再根据当时，得到，最后确定的值即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 解得， ∵点在其函数图象上．当时，， ∴随的增大而减小， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型七】一次函数图像和性质 【方法点拨】直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行 【典例7】（2025•谯城区模拟）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．3 【答案】 【分析】根据一次项系数小于0时，一次函数的函数值随的增大而减小列出不等式求解即可． 【解答】解：根据一次函数性质可知：函数值随着的增大而减小， ，解得，即选项符合题意． 故选：． 【变式7-1】（2025春•福州期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图象只能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一次函数经过的象限，可得，，即可求解． 【解答】解：直线经过一、二、三象限， ，， ，直线的图象经过一、三、四象限， 故选：． 【变式7-2】（2025春•惠阳区校级期中）一次函数的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【分析】根据一次函数的性质即可判断． 【解答】解：由条件可知一次函数的图象经过一、三、四象限， 图象一定不经过第二象限． 故选：． 【变式7-3】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若，那么正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限； 若，那么正比例函数过二、四象限，一次函数过一、三、四象限； 选项A，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限，不符合题意； 选项B，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限，符合题意； 选项C，正比例函数过二、四象限，一次函数过二、三、四象限，不符合题意； 选项D，正比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限，不符合题意； 故选：B． 【题型八】待定系数法 【方法点拨】1．求正比例函数的解析式 （1）设：设正比例函数的解析式为y=kx； （2）代：将一组x，y的值代入； （3）解：解方程，求k的值． （4）回代：将求出的k的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的函数解析式． 2．运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 【典例8】（2025春•莱州市期中）如图，将13个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点、，则直线的表达式为 　　 ． 【答案】． 【分析】依据题意，利用待定系数法即可求出函数的解析式即可． 【解答】解：从图示来看，点、点的坐标分别是、， 设直线的解析式为， 将点、点的坐标代入直线的解析式得． ． 直线的解析式为． 故答案为：． 【变式8-1】（2025春•宝山区校级期中）已知一次函数的图象在轴上的截距是5，且过点，则该函数的解析式是　　 ． 【答案】． 【分析】在轴上的截距是5即常数项等于5，即一次函数的解析式为，代入点求得的值即可． 【解答】解：设一次函数的解析式为， 在轴上的截距是5， ， 把点代入得，， ， 该函数的解析式是． 故答案为：． 【变式8-2】（2025春•通州区期中）一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数的表达式； （2）在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 【答案】（1）一次函数解析式为；（2）见详解． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标和，再根据两点确定一直线画出函数图象即可． 【解答】解：（1）一次函数的图象经过点和点． ，解得， 一次函数解析式为； （2）一次函数与坐标轴的交点坐标和，根据两点确定一直线画出函数图象如下： 【变式8-3】已知一次函数．当时，对应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 【答案】或． 【难度】0.4 【来源】【智】40 第2课时 用待定系数法求一次函数的解析式（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求一次函数解析式、根据一次函数增减性求参数 【分析】分及两种情况考虑：当时，值随的增大而增大，由、的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式；当时，值随的增大而减小，由、的取值范围可得出点的坐标，由点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析式．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，随的增大而增大， 则由，，得 当时，；当时，， 即解得 此函数的解析式为； ②当时，随的增大而减小， 则由，，得 当时，；当时，， 即解得 此函数的解析式为． 综上，此函数的解析式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质，分及两种情况利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【题型九】一次函数的平移 【方法点拨】一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． 【典例9】（2024秋•西安期末）下列关于一次函数的判断，正确的是　　 A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，，点，在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【答案】 【分析】利用一次函数的性质判断选项；利用一次函数的增减性判断选项；利用一次函数的平移判断选项；利用一次函数与一元一次方程的关系判断选项即可． 【解答】解：，当时， 该函数图象经过二、三、四象限，故选项错误； ，则随的增大而减小， 当时，，但是、的值与0的大小不能比较，故选项错误； 函数的图象向右平移2个单位得， ，解得，故选项错误； 关于的方程的解是，则的图象恒过点，故选项正确． 故选：． 【变式9-1】（2025春•杨浦区校级月考）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 　　． 【答案】． 【分析】设直线的表达式为，将和分别代入中，求出直线的表达式，进而得出答案． 【解答】解：设直线的表达式为， 将和分别代入中， 即， 解得：， 则直线的表达式为， 直线沿轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线， 直线的表达式为， 即直线的表达式为． 故答案为：． 【变式9-2】（2024秋•蜀山区期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与轴交点坐标为 　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题． （2）利用“上加下减”的平移法则得出平移后的函数解析式，再将代入所得函数解析式即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 令， 则， 解得， 所以， 则与之间的函数关系式为． （2）将函数的图象向上平移1个单位，所得函数图象的解析式为． 将代入得， 解得， 所以平移后图象与轴交点坐标为． 故答案为：． 【变式9-3】将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．若一次函数的图象经过两点，且， 【答案】A 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题．根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为， 在中，当时，， ∴一次函数与y轴的交点是，故A说法正确，符合题意； ∵， ∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴一次函数与x轴的交点坐标点是， ∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵， ∴在中，y的值随着x值的增大而增大，当时，，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 【题型十】函数图像共存问题 【方法点拨】这类题目多以选择题的形式出现，一种较好的方法是选定其中一条直线确定k，b的符号，再由此看另一条直线的k，b是否满足相应特征，便可以判断 【典例10】　（2024秋•青阳县期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【解答】解：、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意； 、对于，当，图象经过第一、三象限，则，经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以选项符合题意； 、对于，当，图象经过第一、三象限，则，也要经过第一、三象限，所以选项不符合题意； 、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以选项不符合题意． 故选：． 【变式10-1】（2024秋•新泰市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用一次函数的性质进行判断． 【解答】解：若，，则一次函数与都经过第一、二、三象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数与都经过第一、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数经过第一、二、三象限，经过第二、三、四象限，没有符合条件的选项； 若，，则一次函数经过第一、三、四象限，经过第一、二、四象限，选项符合条件； 故选：． 【变式10-2】（2024秋•淮北期末）在平面直角坐标系中，一次函数、是常数且、和一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分情况讨论，的符号，逐一判断一次函数图象所经过的象限即可解答． 【解答】解：当，时，则，，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限， 当，时，则，，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当，时，则，，， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，一次函数的图象经过第二、三、四象限， 当，时，则，，， 一次函数的图象经过第二、三、四象限，一次函数的图象经过第一、二、三象限， 综上，只有选项符合题意， 故选：． 【变式10-3】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若，那么正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限； 若，那么正比例函数过二、四象限，一次函数过一、三、四象限； 选项A，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限，不符合题意； 选项B，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限，符合题意； 选项C，正比例函数过二、四象限，一次函数过二、三、四象限，不符合题意； 选项D，正比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限，不符合题意； 故选：B． 【题型十一】一次函数与方程不等式的关系 【方法点拨】方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值； 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用． 【典例11】（2025•阳西县一模）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用函数图象，函数值为0，则于的方程的解为． 【解答】解：， 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解为． 故选：． 【变式11-1】（2024秋•田阳区期末）已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】直接根据函数图象与轴的交点进行解答即可． 【解答】解：一次函数的图象与轴的交点在和之间， 方程的解可能是在和0之间． 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【变式11-2】（2025•沈阳模拟）如图，直线与直线、为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用直线的解析式确定点坐标，然后结合函数特征写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：把代入得，解得， 当时，． 故选：． 【变式11-3】（2024秋•金安区期末）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于，的二元一次方程组的解为 　　． 【答案】． 【分析】首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， ，的方程组的解为， 故答案为：． 【题型十二】一次函数的实际应用 【方法点拨】1．分段函数问题 一次函数的应用中通常涉及分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同解析式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2．方案选择问题 （1）在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等． （2）所谓最佳方案，是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，要求学生利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案，此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为函数模型． （3）运用一次函数选择最佳方案的步骤： ①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； ②列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； ③结合实际需求，选择最佳方案． （4）方案最值问题： 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． （5）方法技巧 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 显然，第②种方法更简单快捷． 【典例12】（2025春•松江区期中）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于5（升，那么这辆汽车装满油后至多行驶　　 （千米）后需要再次加油． 【答案】450． 【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解． 【解答】解：设该一次函数解析式为，将，代入得， ， 解得， 该一次函数解析式为． 当时， 解得． 所以这辆汽车装满油后至多行驶450千米后需要再次加油， 故答案为：450． 【变式12-1】（2025春•永寿县期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系． （1），两地相距 　　 ，甲骑行的速度是 　　，乙骑行的速度是 　　； （2）出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？ 【答案】（1）1000，200，100； （2）． 【分析】（1）根据图象及速度路程时间计算即可； （2）求出二人何时相遇，再观察图象即可． 【解答】解：（1），两地相距，甲骑行的速度是，乙骑行的速度是． 故答案为：1000，200，100． （2）当二人相遇时，得， 解得， 由图象可知，当时甲离地的距离大于乙离地的距离． 【变式12-2】（2025春•朝阳区校级期中）“五一”期间有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示． （1）甲车停留前行驶时的速度是 　　， 　　 ； （2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式； （3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？ 【答案】（1）80，1.8； （2）； （3）． 【分析】（1）分别根据速度路程时间、时间路程速度计算即可； （2）根据路程速度时间计算即可； （3）分别计算甲车和乙到达景点的时间并求差即可． 【解答】解：（1）甲车停留前行驶时的速度是， 乙车行驶时所用时间为， ． 故答案为：80，1.8． （2）甲车停留后继续行驶的速度为， ， 甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式为． （3）当时，得， 解得， 乙车到达旅游景点用时， ． 答：甲车比乙车早时间到达旅游景点． 【变式12-3】（2025春•玄武区校级期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　　，乙的速度是　　； （2）分别求出、与的函数关系式； （3）对比图1，图2可知：　　 　　 ；　　 ； （4）乙出发　　 小时，甲、乙两人相距． 【答案】（1）30，12； （2），； （3）12，，24； （4）或或或． 【分析】（1）根据图象中的信息求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）首先求出当时，和，然后作差即可求出；根据题意得到时，，即此时甲乙两人相遇，然后联立表达式求解即可；求出当时，和，然后作差即可求出； （4）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【解答】解：（1）甲的速度是，乙的速度是， 故答案为：30，12； （2）设， 将，代入得，， 解得， ， 设， 将代入得，， 解得， ； （3）当时，，， ， 根据图2可得，时，，即此时甲乙两人相遇， 联立得，， 解得， ， 当时，，， ， 故答案为：12，，24； （4）根据题意得， 当甲还没出发时，， 解得， 当甲出发后，追上乙前，， 解得， 当甲追上后，还没到终点前，， 解得， 当甲到达终点后，乙还没到终点前，， 解得， 综上所述，乙出发或或或小时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或或． 【题型十二】求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积 【典例12】已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【答案】(1)图见解析 (2)1 【难度】0.85 【来源】甘肃省张掖市甘州区甘州区思源实验学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、画一次函数图象 【分析】本题考查的是作一次函数图象及求一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积， （1）先求出直线与坐标轴交点，进而作图即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：一次函数，当时，， 当时，， 解得：， ∴一次函数图象过点， 作出一次函数图象如下： （2）解：由（1）知，一次函数图象与y轴、x轴交点分别为， ∴该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式12-1】如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为 ． 【答案】15 【难度】0.85 【来源】解题技巧专题 一次函数与几何图形的综合 八年级数学上册（北师大2024）【江西宇恒�学海风暴】2025-2026学年八年级上学期同步练 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积的计算． 将点代入一次函数解析式中，求出；对于一次函数解析式，令，求出的值，得到的长度；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：将点代入，得到：， 令，则，解得：， ∴， 则的面积为：. 故答案为：. 【变式12-2】已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，先根据两点求直线方程，再向左平移得到新直线，求新直线与坐标轴的交点，计算直角三角形面积． 【详解】解：把和代入，得： ，解得， ∴， 将向左平移3个单位长度，得到， ∴当时，；当时，， ∴直线与坐标轴的交点为和， ∴； 故选B． 【变式12-3】如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【来源】山东省济南市长清区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出函数图象与x轴的交点坐标，即可求出方程的解； （3）利用三角形面积公式直接求出的面积即可． 【详解】（1）解：把，代入，得， 解得：， 故这个一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 解得：， ∴直线与x轴交于点C的坐标为， ∴方程的解为． 故答案为：． （3）解：的面积为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像和性质，求一次函数解析式，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数解析式． 【题型十三】 由已知直线与三角形的面积求点的坐标 【典例13】如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的函数表达式为 (2)点坐标为或 【难度】0.65 【来源】江苏省扬州市梅岭中学2024-2025学年上学期八年级 数学第三次月考试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，坐标与图形，绝对值方程．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）将代入得，，即，待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）将代入，求得，即，将代入，求得，即，根据，设，则，由的面积等于的面积的，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将，代入得，，解得，， ∴直线的函数表达式为； （2）解：将代入得，，解得，，即， 将代入得，，解得，，即， ∴， 设， ∴， ∵的面积等于的面积的， ∴， 解得，或， ∴点坐标为或． 【变式13-1】设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市深圳实验学校初中部2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试卷 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． （1）根据一次函数，是常数，的图象过，两点，可以求得该函数的表达式； （2）将点坐标代入（1）中的解析式可以求得的值； （3）由题意可求直线与轴的交点坐标，根据三角形的面积公式可求点坐标． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 函数表达式为； （2）解：点在该函数图象上， ， ； （3）解：设点， 直线与轴交于点， 当时， 交点的坐标为， ， ， 或， 点坐标或． 【变式13-2】如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【难度】0.65 【来源】安徽省合肥市第四十五中学芙蓉分校2025-2026学年上学期八年级第三次月考数学试题 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集、求直线围成的图形面积 【分析】本题考查了运用待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式．熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）把点C的坐标代入直线的解析式求出m的值，根据点B、C的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据图像写出直线在直线上方时对应的自变量的范围即可； （3）先求出，根据的面积是面积的，求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵点C在一次函数的图象上， ∴， 解得； ∴， ∵点、在直线上， ∴， 解得：； （2）解：由图像可得，不等式的解集为； （3）解：对于，当时，， 解得，， ∴, 由（1）知，，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， 假设存在点P，使的面积是面积的， ∴, 设点的坐标为， ∴， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集； (3)若点D在y＝3x上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)不等式kx+b﹣3x>0的解集为 (3)点D的坐标为：或 【分析】（1）先确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式，从而得到、的值； （2）结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的的范围即可； （3）先确定B点坐标，设点，则，，然后求出即可得到D点坐标． （1） 解：当时，， 点坐标为． ∵直线经过和， ∴，解得：， 一次函数的解析式为， （2） 解：根据函数图象可知，不等式的解集是； （3） 解：如图，在直线上任取点，过点D作轴交直线AB于点E 当时，即，解得， ∴ ∵S△BCD＝2S△BOC ∴ ∵ ∴ ∴ 设点，则 ∴ ∴，解得或 ∴点D的坐标为：或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式以及一次函数面积问题，解题关键是利用铅锤法表示三角形面积，注意分类讨论． 【题型十四】 一次函数规律探究问题 【典例14】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【来源】福建省福州市晋安区2024-2025学年八年级下学期期末适应性练习数学试题 【知识点】负整数指数幂、一次函数的规律探究问题、坐标与图形综合 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，平面直角坐标系中点坐标的规律计算，理解图示，找出点坐标的规律，面积的计算方法是解题的关键． 根据题意，分别算出，，……的值，找出规律即可求解． 【详解】解：将代入得，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，且点在直线的图象上， ∴， ∴， ∴， 依此类推，，，， ∴（为正整数）， 当时，， 故选：B ． 【变式14-1】（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果． 【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由题意得、是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， ∴正方形的面积， 同理，， ∴正方形的面积， … ， 由规律可知，正方形的面积， ∴正方形的面积， 故答案为：． 【变式14-3】若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【来源】山西省运城市绛县 2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题 【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 【题型十五】一次函数背景下的新定义问题 【典例15】定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【答案】(1)12； (2)见解析 【难度】0.65 【来源】2018年5月13日 每周一测——《每日一题》2017-2018学年八年级数学人教（下） 【知识点】正比例函数的图象、正比例函数的性质 【分析】本题考查了新定义运算、画正比例函数图象，理解新定义是解此题的关键． （1）根据题干所给定义计算即可得解； （2）由题意可得：当时，与的关系式为；当时，与的关系式为；再画出函数图象即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：由题意可得：当时，与的关系式为； 当时，与的关系式为； 列表如下： … 0 1 2 … … 4 2 0 2 4 … 描点、连线，如图所示． ． 【变式15-1】定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1)， (2) (3) 【难度】0.65 【来源】黑龙江省大庆市肇源县第二中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、求一元一次不等式的解集、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，一次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据新定义即可求解； （）由题意得， 然后解不等式即可； （）由，得，再通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，当时，， 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， 由图象得，当时，， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【变式15-2】【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）． 【理解运用】 （1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 　 　； （2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由经过定点求解． （2）将代入求解． （3）先将与代入求出点坐标，再将所求点坐标代入求出，结合图象求出取值范围． 【详解】解：（1）， 点坐标为． 故答案为：． （2）由题意可得点所在直线解析式为， 将代入得， 解得， 该“友好线”的解析式为． （3）由题意得当时，直线在直线下方， 把代入得，把代入得， 直线经过点，， 把代入得， 把代入得， 解得， 经过定点，时，如图， 时，如图， ∴或时满足题意． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是理解题干的新定义函数，通过直线经过定点结合图象求解． 【变式15-3】阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)y轴；证明见解析 【难度】0.65 【来源】 广东省深圳市龙岗区华附集团校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题主要考查正比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而增大． …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 证明过程    图象关于y轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 易错点1 一次函数的性质的综合应用 错误：不能灵活应用一次函数的性质，尤其是含有参数问题 注意：(1)k的符号决定直线从左向右星上升趋势还是下降趋势，当k>0时，呈上升趋势：当k<0时，呈下降趋势 (2)b的特号决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b<0时，直线与y轴的交点在x轴的下方：当b=0时，直线经过原点. 例题1 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末检测数学试题 【知识点】正比例函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了正比例函数的图象以及一次函数图象与系数的关系．熟练掌握该知识点是关键． 根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解：若，那么正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限； 若，那么正比例函数过二、四象限，一次函数过一、三、四象限； 选项A，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限，不符合题意； 选项B，正比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、三象限，符合题意； 选项C，正比例函数过二、四象限，一次函数过二、三、四象限，不符合题意； 选项D，正比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限，不符合题意； 故选：B． 易错点2 一次函数的点的变化规律探究 错误：不能灵活应用一次函数和几何性质，没有找到变化的规律 注意：一次函数组与几何规律探究的解题核心是联立函数求关键点（交点、特殊线交点），结合几何图形性质（距离、面积、对称性等）推导规律 例题2如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数图象与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，通过由特殊归纳得到一般结论是解题的关键．根据正比例函数的性质得到，分别求出正方形、正方形、正方形的面积，…，总结规律得到一般形式，即可求得结果． 【详解】解：∵直线l为正比例函数的图象， ∴， ∴， ∴正方形的面积， 由题意得、是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ∴， ∴正方形的面积， 同理，， ∴正方形的面积， … ， 由规律可知，正方形的面积， ∴正方形的面积， 故答案为：． 技巧01：利用一次函数的性质解决最大利润问题 《方法技巧》 建立一次函数模型，利用一次函数的增减性解决实际问题时，自变量往往是在一定的范围内取值，这使得实际问题的最值，通常在一次函数自变量取值范围的两端处取得. 【典例1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)太阳帽每个进价15元，旅行包每个进价40元 (2)购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用． （1）设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元，根据题意得到，整理得到，根据加减消元法求解即可； （2）设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，，总利润，由，得，分别得到，，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设太阳帽每个进价为x元，旅行包每个进价为y元， 根据题意，得方程组：， 第一个方程乘以5，第二个方程乘以3，得：， 得：， 代入得， 解得：， 即， 所以太阳帽进价15元，旅行包进价40元； （2）解：设购进太阳帽a个，旅行包b个，则，， 太阳帽每个利润为10元，旅行包每个利润为20元， 总利润， 由，得， 代入得：，解得， 又∵， ∴， 将代入， 得， ∵， ∴w随b增大而增大， ∴当时，w最大， 此时， 元． 答：购进太阳帽300个，旅行包200个时，利润最大，最大利润为7000元． 【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）解：当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）解：购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，W最小，最小值为（元）， 种非遗文创用品：（件）． 答：购买种非遗文创用品150件，种非遗文创用品50件，费用最少，最少费用为5500元 技巧02：利用一次函数的性质解决方案问题 《方法技巧》 先利用已知条件中的数量关系列出函数解析式，并确定自变量的取值范围，再根据实际情况将一次函数转化为方程和不等式，通过求解确定适合的方案 【典例2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的表达式，是解题的关键． （1）设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元，根据购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设应购买个“冰墩墩”， 投入资金是元．根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解，根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，设计可行方案进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意，得，解得． ∴购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元； （2）设应购买个“冰墩墩”，则“马墩墩”应购买个，投入资金是元． 根据题意，得，即． ∵， ∴随的增大而减小． 又∵，解得， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴． ∴应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，资金最少，最少资金是2160元． 【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 【答案】(1)A种20元/棵，B种5元/棵 (2)买A种10棵、B种90棵，最省费用650元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用及一次函数的性质（增减性）；掌握根据题意列出方程组和不等式确定变量范围，并利用一次函数增减性求最值是解题的关键．第一问通过设A、B两种花草单价为未知数，根据购买数量和总费用列出二元一次方程组并求解；第二问根据B种花草数量与A种的关系列出不等式确定变量范围，再结合费用函数的增减性求出最省费用及对应方案． 【详解】（1）解：设A种花草每棵x元，B种每棵y元， 列方程组： 第一个方程：， 第二个方程：． 化简第一个方程：， 第二个方程：， ②-第一个方程：，， 代入①：． 答：A种20元/棵，B种5元/棵． （2）解： 购买B种花草棵，由题意：，解得，又， 费用， ∵，W随m增大而增大，∴m最小时，W最省， 此时，（元）． 答：买A种10棵、B种90棵，最省费用650元． 技巧03：一次函数与行程问题 《方法技巧》 一次函数与行程问题的解题核心是用函数表达式y=kx+b）表示“路程、时间、速度”的关系，通过分析函数图像或解析式，提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 【典例3】（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 【变式3-1】（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数&一次函数 知识点01 函数及相关概念 （1）常量和变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量． （2）函数的定义 一般地，在一个变化过程中，如果有__________变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有______确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． （3）自变量：使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义． （4）函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式． （5）函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值． 知识点02函数的图象及画法 （1）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． （2）用描点法画函数图象的一般步骤： ①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值． ②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点． ③连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 知识点03正比例函数 （1）正比例函数的定义 一般地，形如_______（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数，一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数． （2）正比例函数的图象和性质 正比例函数y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0，0）的直线，我们称它为直线y=kx（k≠0）．正比例函数图象的位置和函数值y的增减性完全由比例系数k的符号决定． ①当k>0时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而______； ②当k<0时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而_______． 知识点04一次函数 （1）一次函数的定义 一般地，形如_________（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． （2）一次函数的图象和性质 对于y=kx+b（k≠0 ，b≠0）． 当k___0，b___0，y=kx+b的图象在第一、二、三象限，y随x的增大而增大； 当k___0，b___0，y=kx+b的图象在第一、三、四象限，y随x的增大而增大； 当k___0，b___0，y=kx+b的图象在第一、二、四象限，y随x的增大而减小； 当k___0，b___0，y=kx+b的图象在第二、三、四象限，y随x的增大而减小． 知识点05一次函数的平移 （1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． （2）直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． （3）一次函数图象的平移遵照“左___右___，上___下___”的原则进行，要注意平移后k值不变，只有b发生变化． （4）由两个函数解析式中的k的值相等，可判断两个函数的图象平行，即其中一条直线是由另一条直线平移得到的． 知识点06待定系数法 求一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式，关键是求出k，b的值，一般可根据条件列出关于k，b的二元一次方程组，求出k，b的值，从而求出函数的解析式．这种求函数解析式的方法叫做待定系数法． 知识点07运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 知识点08一次函数与方程、不等式的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． （2）一次函数与不等式（组）的关系： ①任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围． ②一次函数y=ax+b（a≠0）与一元一次不等式ax+b>0（或ax+b<0）的关系： ax+b>0的解集y=ax+b中，y>0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴上方部分图象对应的x的取值范围． ax+b<0的解集y=ax+b中，y<0时x的取值范围，即直线y=ax+b在x轴下方部分图象对应的x的取值范围． （3）用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：y=x+和y=x+；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为x，纵坐标为y． 知识点09一次函数的应用 运用一次函数解决实际问题的步骤是求出函数解析式（如果问题中没有明确两个变量的关系是一次函数关系，就要根据题意直接写出其解析式；如果明确是一次函数关系，就可以用待定系数法求出其解析式)，然后利用其图象和性质解决实际问题． 【题型一】函数及相关概念 【方法点拨】1．常量和变量不是绝对的，必须根据具体的变化过程进行判断．常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量．在圆的周长公式中，π不变，是常量． 2．判断一个关系是不是函数关系的方法： 第一，要看是不是一个变化过程； 第二，要看在这个变化过程中是不是有两个变量； 第三，要看其中一个变量每取一个确定的值，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应． 【典例1】（2025春•朝阳区期中）小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是　　 A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 【变式1-1】（2025春•江津区期中）下列等式（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．其中是的函数有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（2025春•曹妃甸区期中）下列图象中，表示是的函数的个数的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（2025春•道里区校级期中）下列四个图象中，不能表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【题型二】自变量的取值范围 【方法点拨】函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况综合时，自变量的取值范围是使各部分均有意义的实数的公共部分，一定要满足每一种情况，不要出现遗漏． （1）分式的分母≠0； （2）二次根式的被开方数≥0； （3）0的0次方无意义． 【典例2】（2025春•曹妃甸区期中）函数中自变量的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【变式2-1】（2024秋•淮北期末）函数的自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【变式2-2】（2024秋•茌平区期末）函数中的自变量的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【变式2-3】（2025春•青神县期中）在函数中，自变量的取值范围是　　 ． 【题型三】函数图像 【方法点拨】（1）函数图象上的任意点（x，y）中的x，y满足函数解析式． （2）满足函数解析式的任意一对（x，y）的值，所对应的点一定在函数的图象上． （3）利用函数国象可以求方程的解、不等式的解集、方程组的解，还可以预测变量的变化趋势． 【典例3】（2025春•抚州期中）乌鸦喝水是我们从小就熟知的寓言故事，下面　　幅图比较符合故事情节． A． B． C． D． 【变式3-1】（2025春•青神县期中）往如图所示的容器中注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的关系（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025•武汉模拟）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．如图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是　　 A． B． C． D． 【变式3-3】（2025•广安区校级模拟）甲，乙两人进行慢跑练习，慢跑路程为与所用时间之间的关系如图，下列说法错误的是　　 A．5分钟时两人都跑了 B．前两分钟，乙的平均速度比甲快 C．乙跑完的平均速度是 D．甲跑完的平均速度是 【题型四】函数解析式及函数值 【方法点拨】（1）要正确理解函数与函数值：函数是一个关系式，是一种对应关系，是对变量而言的；函数值是对具体数值而言的． （2）一个函数的函数值一般是随着自变量的变化而变化的． （3）求函数值的方法：将自变量的取值代入函数解析式进行运算即可． （4）根据函数值的意义，已知自变量的值，就可以求出相应的函数值；反过来，已知函数值，也可以运用方程思想，求出自变量的值． 【典例4】　（2025春•宽城区校级期中）一汽车油箱内剩余汽油的体积（升与它行驶的路程（千米）之间的关系是，当汽车油箱内剩余汽油为20升时，它行驶的路程是　　 A．300千米 B．250千米 C．200千米 D．150千米 【变式4-1】（2025春•长沙校级期中）如图，矩形中，，，为边上与、两点不重合的任意一点．设，到的距离为，则与的函数关系式为　　 A． B． C． D． 【变式4-2】（2025春•莒县期中）变量与之间的关系式是，当自变量时，因变量的值是　　 A． B． C．2 D．1 【变式4-3】（2025春•南皮县校级期中）某文具店老板购进一批荧光笔，销量（支与销售额（元的关系如下表所示，则与的函数关系式为　　 销量支 1 2 3 4 5 销售额元 3 6 9 12 15 A． B． C． D． 【题型五】正比例函数与一次函数定义 【方法点拨】1．正比例函数必须符合下列两个条件：一是两个变量的次数都是1；二是比例系数k≠0． 2．判断函数是一次函数的方法： 先看函数解析式能否通过变形转化为y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的形式，若能，则是一次函数，当b=0时，该函数是正比例函数，即先化简后判断．正比例函数是特殊的一次函数． 【典例5】（2024秋•桥西区期末）下列函数是正比例函数的是　　 A． B． C． D． 【变式5-1】（2025春•渝北区校级期中）已知函数是正比例函数，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（2024秋•临淄区期末）下列函数（其中是自变量）中，是正比例函数的个数有　　 ①；②；③是常数）；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-3】函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型六】正比例函数图像与性质 【方法点拨】正比例函数y=kx（k≠0）中，|k|越大，直线y=kx越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；|k|越小，直线y=kx越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小． 【典例6】（2024•禄丰市二模）在下列各图象中，表示函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【变式6-1】（2024秋•杨浦区校级月考）如果正比例函数的图象在二、四象限，那么的值是 　　． 【变式6-2】（2024春•南昌县月考）如图，这是正比例函数和的图象，则　　．（填“”“ ”或“” 【变式6-3】已知函数是正比例函数，点在其函数图象上．当时，，则的值为 ． 【题型七】一次函数图像和性质 【方法点拨】直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的．k决定直线的倾斜程度，|k|越大，直线越陡，|k|越小，直线越缓；b决定直线与y轴交点的位置，b>0，直线交y轴上方，b<0，直线交y轴下方．若两直线的k相同，则两直线互相平行 【典例7】（2025•谯城区模拟）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．3 【变式7-1】（2025春•福州期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图象只能是　　 A． B． C． D． 【变式7-2】（2025春•惠阳区校级期中）一次函数的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式7-3】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【题型八】待定系数法 【方法点拨】1．求正比例函数的解析式 （1）设：设正比例函数的解析式为y=kx； （2）代：将一组x，y的值代入； （3）解：解方程，求k的值． （4）回代：将求出的k的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的函数解析式． 2．运用待定系数法求一次函数解析式的步骤： （1）设：设出一次函数的解析式y=kx+b（k≠0）； （2）代：把已知条件（自变量与函数的对应值）代人解析式得到关于k，b的二元一次方程组； （3）解：解方程组，求出k，b的值； （4）回代：将求出的k，b的值回代到所设的函数解析式，即可得到所求的一次函数解析式． 【典例8】（2025春•莱州市期中）如图，将13个边长均为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中，直线经过小正方形的顶点、，则直线的表达式为 　　 ． 【变式8-1】（2025春•宝山区校级期中）已知一次函数的图象在轴上的截距是5，且过点，则该函数的解析式是　　 ． 【变式8-2】（2025春•通州区期中）一次函数的图象经过点和点． （1）求一次函数的表达式； （2）在所给的坐标系中，画出一次函数的图象． 【变式8-3】已知一次函数．当时，对应的函数值的取值范围是，求此函数的解析式． 【题型九】一次函数的平移 【方法点拨】一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是过点（0，b）且和直线y=kx重合或平行的一条直线． 直线y=kx+b可以看作由直线y=kx向上或向下平移|b|个单位长度得到． 【典例9】（2024秋•西安期末）下列关于一次函数的判断，正确的是　　 A．当时，该函数图象经过一、三、四象限 B．点，，点，在该函数的图象上，若，则 C．若该函数的图象向右平移2个单位后经过原点，则 D．若关于的方程的解是，则的图象恒过点 【变式9-1】（2025春•杨浦区校级月考）已知直线经过和，把直线沿轴向左平移2个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 　　． 【变式9-2】（2024秋•蜀山区期末）已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）将（1）中的函数图象向上平移1个单位，则平移后图象与轴交点坐标为 　　 ． 【变式9-3】将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．与轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．若一次函数的图象经过两点，且， 【题型十】函数图像共存问题 【方法点拨】这类题目多以选择题的形式出现，一种较好的方法是选定其中一条直线确定k，b的符号，再由此看另一条直线的k，b是否满足相应特征，便可以判断 【典例10】　（2024秋•青阳县期末）两个关于的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式10-1】（2024秋•新泰市期末）同一平面直角坐标系中，一次函数与，为常数）的图象可能是　　 A． B． C． D． 【变式10-2】（2024秋•淮北期末）在平面直角坐标系中，一次函数、是常数且、和一次函数的图象可能为　　 A． B． C． D． 【变式10-3】在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 【题型十一】一次函数与方程不等式的关系 【方法点拨】方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时x的值； 方程ax+b=0（a≠0）的解函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标． 一元一次不等式的图象解法就是把解不等式转化为比较直线上点的位置的高低，能直观地看到怎样用图形来表示不等式的解集，体现了数形结合和转化思想的应用． 【典例11】（2025•阳西县一模）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为　　 A． B． C． D． 【变式11-1】（2024秋•田阳区期末）已知一次函数的图象如图所示，则方程的解可能是　　 A． B． C． D． 【变式11-2】（2025•沈阳模拟）如图，直线与直线、为常数，相交于点，则关于的不等式的解集为　　 A． B． C． D． 【变式11-3】（2024秋•金安区期末）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于，的二元一次方程组的解为 　　． 【题型十二】一次函数的实际应用 【方法点拨】1．分段函数问题 一次函数的应用中通常涉及分段函数问题，分段函数是在不同区间有不同解析式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2．方案选择问题 （1）在实际生活中，常见的选择方案类型有利润问题、效益问题、分配问题等． （2）所谓最佳方案，是指在某一问题中，符合条件的方案有多种，要求学生利用数学知识经过分析、猜想、判断筛选出最佳方案，此类题目往往要求所设计的问题中出现路程最短、运费最少、效率最高等词语，解题时常常与函数、不等式、几何知识联系在一起．解答的关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，将其转化为函数模型． （3）运用一次函数选择最佳方案的步骤： ①从数学的角度分析实际问题，建立函数模型（往往有两个或两个以上的模型）； ②列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时对应的函数值的大小关系； ③结合实际需求，选择最佳方案． （4）方案最值问题： 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． （5）方法技巧 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： ①可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； ②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 显然，第②种方法更简单快捷． 【典例12】（2025春•松江区期中）已知汽车装满油之后，油箱里的剩余油量（升与汽车行驶路程（千米）之间的函数图象如图所示．为了行驶安全，油箱中的油量不能少于5（升，那么这辆汽车装满油后至多行驶　　 （千米）后需要再次加油． 【变式12-1】（2025春•永寿县期中）甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系． （1），两地相距 　　 ，甲骑行的速度是 　　，乙骑行的速度是 　　； （2）出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？ 【变式12-2】（2025春•朝阳区校级期中）“五一”期间有一批游客分别乘坐甲、乙两辆旅游车同时从旅行社前往某个旅游景点．行驶过程中甲车因故停留一段时间后继续驶向景点，乙车全程以的速度匀速驶向景点．两辆车的行驶路程与时间之间的函数关系如图所示． （1）甲车停留前行驶时的速度是 　　， 　　 ； （2）求甲车停留后继续行驶时的行驶路程与时间之间的函数关系式； （3）求甲车比乙车早多少时间到达旅游景点？ 【变式12-3】（2025春•玄武区校级期中）甲骑电动摩托车，乙骑自行车从某公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，请你解决以下问题： （1）甲的速度是　　，乙的速度是　　； （2）分别求出、与的函数关系式； （3）对比图1，图2可知：　　 　　 ；　　 ； （4）乙出发　　 小时，甲、乙两人相距． 【题型十二】求已知直线与坐标轴围成的三角形的面积 【典例12】已知一次函数． (1)在直角坐标系中画该一次函数的图象； (2)求该函数的图象与两坐标轴围成的三角形面积． 【变式12-1】如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，点在该函数的图象上，连接OC，则的面积为 ． 【变式12-2】已知直线（k、b为常数，且）经过点和，将直线向左平移3个单位长度后得到的直线与x轴、y轴围成的三角形的面积是（   ） A．3 B． C．2 D．1 【变式12-3】如图，已知直线的图象经过点，，，且与x轴交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)观察图象，直接写出方程的解为 ； (3)求的面积． 【题型十三】 由已知直线与三角形的面积求点的坐标 【典例13】如图，已知直线经过点，，与直线相交于点B，且直线交x轴于点C，直线交x轴于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)若在x轴上有一点P，且的面积等于的面积的，求点P的坐标． 【变式13-1】设一次函数，为常数，的图象过，两点． (1)求该函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求的值； (3)设点在轴上，若，求点的坐标． 【变式13-2】如图，一次函数的图像与一次函数的图像交于点．与x轴交于点D，与x轴交于点A，且经过点． (1)求m，k，b的值： (2)根据图像，直接写出的解集． (3)在y轴上是否存在点P，使的面积是面积的如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式13-3】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，6），且与x轴相交于点B，与正比例函数y＝3x的图象相交于点C，点C的横坐标为1． (1)求k、b的值； (2)请直接写出不等式kx+b﹣3x>0的解集； (3)若点D在y＝3x上，且满足S△BCD＝2S△BOC，求点D的坐标． 【题型十四】 一次函数规律探究问题 【典例14】如下图，直线交轴于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；过点作轴，交于点，在轴正方向上取点，使；…记面积为，面积为，面积为，…则等于（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 【变式14-3】若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型十五】一次函数背景下的新定义问题 【典例15】定义运算“”为：． (1)计算：； (2)画出函数的图象． 【变式15-1】定义运算：当时 ，； 当时 ，．如： ，，．根据该定义运算完成下列问题： (1)__________，当时，__________； (2)若，求的取值范围； (3)如图，已知直线与相交于点，若 ，结合图象，直接写出的取值范围是__________． 【变式15-2】【了解概念】 将平面直角坐标系中过某一定点且不与x轴垂直的直线，叫该定点的“友好线”．若点P（1，0），则点P的“友好线”可记为y＝k（x﹣1）． 【理解运用】 （1）已知点A的“友好线”可记为y＝kx﹣3k+，则点A的坐标为 　 　； （2）若点B（3，2）的“友好线”恰好经过点（1，1），求该“友好线”的解析式； 【拓展提升】 （3）已知点M在点Q的“友好线”y＝k（x+2）﹣1上，点N在直线y＝﹣x+2，若M（a，m），N（a，n），且当﹣3≤a≤3时，m≤n，请直接确定k的取值范围． 【变式15-3】阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 易错点1 一次函数的性质的综合应用 错误：不能灵活应用一次函数的性质，尤其是含有参数问题 注意：(1)k的符号决定直线从左向右星上升趋势还是下降趋势，当k>0时，呈上升趋势：当k<0时，呈下降趋势 (2)b的特号决定直线与y轴交点的位置，当b>0时，直线与y轴的交点在x轴的上方：当b<0时，直线与y轴的交点在x轴的下方：当b=0时，直线经过原点. 例题1 在同一平面直角坐标系中，正比例函数与一次函数的图象可能是（    ）． A． B． C． D． 易错点2 一次函数的点的变化规律探究 错误：不能灵活应用一次函数和几何性质，没有找到变化的规律 注意：一次函数组与几何规律探究的解题核心是联立函数求关键点（交点、特殊线交点），结合几何图形性质（距离、面积、对称性等）推导规律 例题2如图，在平面直角坐标系中，直线为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形，…，按此规律操作下所得到的正方形的面积是 ． 技巧01：利用一次函数的性质解决最大利润问题 《方法技巧》 建立一次函数模型，利用一次函数的增减性解决实际问题时，自变量往往是在一定的范围内取值，这使得实际问题的最值，通常在一次函数自变量取值范围的两端处取得. 【典例1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）云南大理地处云南省中部偏西，是我国唯一的白族自治州，是闻名于世的电影《五朵金花》的故乡，也是著名的旅游胜地．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进3个太阳帽和2个旅行包需要125元，购进5个太阳帽和3个旅行包需要195元． (1)求太阳帽、旅行包每个的进价． (2)该景区每个太阳帽售价为25元，每个旅行包售价为60元．景区计划购进太阳帽和旅行包共500个（均购买），且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的倍，景区应如何设计进货方案，才能使销售完后获得的利润最大？最大利润为多少？ 【变式1-1】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧）．经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 技巧02：利用一次函数的性质解决方案问题 《方法技巧》 先利用已知条件中的数量关系列出函数解析式，并确定自变量的取值范围，再根据实际情况将一次函数转化为方程和不等式，通过求解确定适合的方案 【典例2】（25-26九年级上·江西南昌·月考）2025年11月28日，北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【变式2-1】（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 技巧03：一次函数与行程问题 《方法技巧》 一次函数与行程问题的解题核心是用函数表达式y=kx+b）表示“路程、时间、速度”的关系，通过分析函数图像或解析式，提取行程中的关键信息（如相遇、追及、速度等） 【典例3】（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【变式3-1】（2025·天津和平·一模）甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $