专题02 二次根式10大题型7易错1方法（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材青岛版

专题02 二次根式 知识点01 二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如(a≥O)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. [补充说明] ①二次根式的两个要素(判断依据):含有二次根号“”且根指数为2;被开方数为非负数; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:，都是二次根式; ③二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ④在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了a≥0. 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义:被开方数为 ，即a有意义=a≥0， 2.二次根式无意义:被开方数为 ，即a无意义a<0. 知识点03 .二次根式的性质 1二次根式(a≥0)的非负性 (a≥0)表示“a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数 2二次根式(a≥0) 3二次根式= 知识点04 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 ①被开方数不含 ， ②被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 ①同类二次根式概念:化简后 相同的二次根式叫做同类二次根式。 ②合并同类二次根式的方法:把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘 法分配律。 知识点05二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则:·=(a≥0;b≥0)(二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不 变) （2）二次根式的乘法法则的推广: ①=(; ; ) ②当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. ③二次根式的乘法法则的逆用=·(a≥0;)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质) ④二次根式的乘法法则的逆用的推广:=(; ; ) 2.二次根式的除法 (1)二次根式的除法法则:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 即：（a≥0 b>0，） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中 [注意] 除法法则成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 3.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步骤: ①化:将各个二次根式化成最简二次根式; ②找:找出化简后被开方数相同的二次根式; ③合:合并被开方数相同的二次根式：将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先 ，再 ，最后 ，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 【题型一】 判断是否为二次根式 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【题型二】根据二次根式有意义条件求范围 【例2】（2025•南岗区校级开学）使式子有意义的的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【变式2-1】二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024年四川省绵阳市中考数学试题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【题型三】根据二次根式有意义求值 【例3】已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【变式3-1】若，求的值是 ． 【变式3-2】若、都是实数，且，则 ． 【变式3-3】已知，求的平方根； 【题型四】最简二次根式的判断 【例4】（2024秋•延庆区期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【变式4-1】下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型五】 同类二次根式的判断与求参数 【例5】（2024秋•浦东新区校级期末）下列各式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式5-1】（2024秋•巴中期末）下列二次根式中，与不属于同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式5-2】与最简二次根式为同类二次根式，则 ． 【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【题型六】二次根式的混合运算 【例6】计算：(1)； (2)； (3)． 【变式6-1】计算的结果是 ． 【变式6-2】（2024秋•紫金县期末）化简： （1）； （2）． 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)已知，．求的值． (7) (8) (9)． (10)；   【题型七】利用二次根式的性质化简 【例7】（2025春•秦淮区校级月考）已知，则　　 A． B． C． D． 【变式7-1】（2024秋•栾城区期末）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式7-2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【题型八】 二次根式中的新定义型问题 【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【变式8-1】定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【变式8-2】定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【变式8-3】阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．   类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．   拓展延伸：   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【题型九】二次根式中的分母有理化 【例9】【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【变式9-1】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【变式9-2】两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简：_______；________； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)解方程： 【变式9-3】阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 【题型十】 二次根式中的规律探究问题 【例10】按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【变式10-1】； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【变式10-2】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【变式10-3】在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 易错点1 二次根式的判断 错误：①忽略被开方数的非负性 ②看化简后的结果判断 注意：①二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:， 都是二次根式; 【典例1】 下列各式中，不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 易错点2 二次根式有意义的条件 错误：二次根式出现在分母位置时，忽视被开方数不等于0的条件 注意：当二次根式出现在分母位置时，不仅要满足被开方数>0，还必须要求分母整体 ≠0，即被开方 数>0。 【典例2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 易错点3 利用二次根式的性质化简 错误：忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简时，直接得出a，而未考虑a的正负;对二次根式性质的运用条件把握不准。 注意：化简前先明确被开方数的取值范围;运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 【典例3】已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 易错点4 最简二次根式的判断 错误：被开方数为小数或分数时不是最简二次根式 注意：最简二次根式必须满足： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【典例4】在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 易错点5 隐含条件下的二次根式化简 错误：化简特殊的带有字母的二次根式时、忽视字母的正负性致错。 注意：①二次根式的化简中，下列性质用得特别多，要注意两者的区别和联系 ； ． ②化简特殊的带有字母的二次根式时，应先分析字母的正负性． 【典例5】化各式为最简二次根式：① ；② ； 易错点6 二次根式乘除法则公式成立的条件． 错误：利用二次根式乘除法则公式进行化简和计算时，忽视字母的取值范围致错。 注意：二次根式的乘法法则:·=成立的前提条件是a≥0;b≥0，除法法则 成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 【典例6】若成立，则x的取值范围是_____． 易错点7 二次根式运算中结果的化简问题 错误：二次根式运算中忽视对结果的化简而致错 注意：结果一定要化成最简二次根式或整式 【典例7】计算：(1)； (2)； (3)． 技巧01：倒数法比较大小 《方法技巧》 二次根式的大小比较，含有减（加）号的无理数大小估算，倒数法比较能转化成加（减）法再比较更容易一些．通常需要对二次根式分母有理化。 【典例1】已知：分别是的整数部分和小数部分， (1)求：的值； (2)比较与的大小 ． 【变式1-1】两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简：_______；________； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)解方程： 【变式1-2】观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式 知识点01 二次根式的概念 1.二次根式的概念:一般地，我们把形如(a≥O)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. [补充说明] ①二次根式的两个要素(判断依据):含有二次根号“”且根指数为2;被开方数为非负数; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:，都是二次根式; ③二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ④在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了a≥0. 知识点02 二次根式有无意义的条件 1.二次根式有意义:被开方数为非负数，即a有意义=a≥0， 2.二次根式无意义:被开方数为负数，即a无意义a<0. 知识点03 .二次根式的性质 1二次根式(a≥0)的非负性 (a≥0)表示“a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数 2二次根式(a≥0) 3二次根式= 知识点04 最简二次根式与同类二次根式 1.最简二次根式 ①被开方数不含分母， ②被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2.同类二次根式 ①同类二次根式概念:化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 ②合并同类二次根式的方法:把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘 法分配律。 知识点05二次根式的运算 1.二次根式的乘法 （1）二次根式的乘法法则:·=(a≥0;b≥0)(二次根式相乘，把被开方数相乘，根的指数不 变) （2）二次根式的乘法法则的推广: ①=(; ; ) ②当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数. ③二次根式的乘法法则的逆用=·(a≥0;)(二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质) ④二次根式的乘法法则的逆用的推广:=(; ; ) 2.二次根式的除法 (1)二次根式的除法法则:二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变 即：（a≥0 b>0，） （2）逆用： （3）推广：① ②，其中 [注意] 除法法则成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 3.二次根式的加减法 (1)二次根式加减法则:先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 (2)二次根式加减运算的步骤: ①化:将各个二次根式化成最简二次根式; ②找:找出化简后被开方数相同的二次根式; ③合:合并被开方数相同的二次根式：将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 4.二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）． （2）在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然适用． （3）二次根式混合运算的结果一定要化成最简二次根式或整式． 【题型一】 判断是否为二次根式 【例1】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【来源】山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年第一学期九年级数学期中试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式1-1】下列式子是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）． 【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意； B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意； C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意； D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【变式1-3】下列式子中，一定是二次根式的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，据此逐项判断即可求解﹒ 【详解】解：A. 被开方数，不是二次根式，不合题意； B. 是三次根式，不合题意； C. 被开方数a不能保证大于或等于0，故不一定是二次根式，不合题意； D. 是二次根式，符合题意． 故选：D 【题型二】根据二次根式有意义条件求范围 【例2】（2025•南岗区校级开学）使式子有意义的的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【答案】 【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可． 【解答】解：由条件可知，且， 解得：且， 故选：． 【变式2-1】二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 【变式2-2】（2024年四川省绵阳市中考数学试题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件是解题的关键．根据二次根式被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，， ∴且， 解得． 故选：C． 【变式2-3】若代数式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】任意实数 【分析】根据二次根式有意义的条件及平方的非负性即可得解． 【详解】解：∵， ∴＞0， ∴无论x取何值，代数式均有意义， ∴x的取值范围为任意实数， 故答案为：任意实数． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件及平方的非负性，熟练掌握二次根式的定义是解决本题的关键． 【题型三】根据二次根式有意义求值 【例3】已知x，y为实数，若满足，则的值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，幂的运算等知识，根据二次根式有意义的条件求出，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式3-1】若，求的值是 ． 【答案】2 【知识点】二次根式有意义的条件、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；根据二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组，在求出y，代入中即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 则， ∴， 故答案为：2． 【变式3-2】若、都是实数，且，则 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得出，求出，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为： ． 【变式3-3】已知，求的平方根； 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件及代数式的化简求值，解题关键是利用二次根式的被开方数非负确定未知数的值，通过代数式变形（降幂）简化求值过程． 根据二次根式被开方数非负，求出x的值，代入得y，计算后求平方根． 解：， ，， ， ， ， 的平方根为． 【题型四】最简二次根式的判断 【例4】（2024秋•延庆区期末）下列二次根式中，最简二次根式是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：． 【变式4-1】下列根式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、中含有因数9，不是最简二次根式，故不合题意； C、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； D、中含有分母，不是最简二次根式，故不合题意； 故选：A． 【变式4-2】下列各式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【来源】上海市普陀区教育附属中学2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试题 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题考查最简二次根式的定义；根据被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简； B、，被开方数为整式，且无平方因式或因数，故为最简； C、，被开方数含平方因数4，不是最简； D、，被开方数含平方因式，不是最简． 故选B． 【变式4-3】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，其中最简二次根式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的识别，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且不含能开方的因数或因式），逐一判断各二次根式是否符合条件． 【详解】解： ① 是三次根式，不是二次根式，故不是最简二次根式； ② 被开方数含分母，故不是最简二次根式； ③ 被开方数9能开方（），故不是最简二次根式； ④ 即 ，被开方数含分母，故不是最简二次根式； ⑤ 被开方数 无分母且不能因式分解为完全平方形式（在实数范围内），故是最简二次根式； ⑥ 即 ，被开方数含能开得尽方的因式 ，故不是最简二次根式； ∴ 只有⑤是最简二次根式，共1个， 故选：A． 【题型五】 同类二次根式的判断与求参数 【例5】（2024秋•浦东新区校级期末）下列各式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、与不是同类二次根式，不符合题意； 、，与不是同类二次根式，不符合题意； 、，与是同类二次根式，符合题意； 、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】（2024秋•巴中期末）下列二次根式中，与不属于同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把各个选项化为最简二次根式，再比较被开方数是否相同，即可作答． 【解答】解：、与的被开方数是相等的，不符合题意； 、与的被开方数是相等的，不符合题意； 、与的被开方数是相等的，不符合题意； 、与的被开方数是不相等的，符合题意， 故选：． 【变式5-2】与最简二次根式为同类二次根式，则 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】甘肃省张掖市第一中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，运用化简与方程思想，先将化简为最简二次根式，得到；再根据同类二次根式的定义，被开方数相同，从而建立方程求解． 【详解】 由于与为同类二次根式，因此被开方数相同，即，解得； 故答案为． 【变式5-3】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式的定义，二元一次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，列出方程求解得到x与y的关系，得到的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， ． 故答案为4． 【题型六】二次根式的混合运算 【例6】计算：(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【变式6-1】计算的结果是 ． 【答案】 【难度】0.94 【来源】山西省太原市第五中学校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式6-2】（2024秋•紫金县期末）化简： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）5． 【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先根据平方差公式计算出各数，再由二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【变式6-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)已知，．求的值． (7) (8) (9)． (10)；   【答案】(1)1 (2) (3) (4)0 (5) (6)21 (7) (8) (9) (10)； 【知识点】实数的混合运算、二次根式的混合运算、分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解：， ， ∴， ， ∴ ． (7)解：原式 (8)解： ． (9)解： ． (10)解：原式． 【题型七】利用二次根式的性质化简 【例7】（2025春•秦淮区校级月考）已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由得，，由二次根式和绝对值的性质进行化简，即可求解． 【解答】解：， ， ， 原式 ； 故选：． 【变式7-1】（2024秋•栾城区期末）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行计算即可求解． 【解答】解：选项：，故选项错误； 选项：，故选项错误； 选项：，故选项正确； 选项：，故选项错误． 故选：． 【变式7-2】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】江苏省南通市田家炳中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 【变式7-3】（25-26八年级上·湖南永州·期中）【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．（本题10分） 化简：． 解：隐含条件，解得． 所以． 所以原式． 【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】（2）实数在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】（1）  (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数轴，绝对值化简等知识，熟练掌握二次根式有意义的条件和绝对值的化简，是解题的关键． （1）根据二次根式被开方数有意义的条件得出不等式从而解出的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． （2）由数轴得出、、的取值范围，再根据范围进行开方和绝对值的化简即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∴原式， ， ， ． （2）∵实数在数轴上的位置如图所示， ∴，， ∴原式， ， ． 【题型八】 二次根式中的新定义型问题 【例8】（2025九年级上·全国·专题练习）若两个含二次根式的代数式，满足：，且是有理数，则称与是关于的“和谐二次根式”，如，则称与是关于4的“和谐二次根式”． (1)若与是关于10的“和谐二次根式”，求的值． (2)若与是关于6的“和谐二次根式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； （2）根据“和谐二次根式”的定义列出式子，再进行化简即可得到答案； 本题考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴． （2）解：由题可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、新定义下的实数运算、实数与数轴 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 【变式8-2】定义两种新运算，规定：，，其中，为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】二次根式的乘法、运用平方差公式进行运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式8-3】阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得：．   类比应用： （1）化简： ； （2）化简： ．   拓展延伸：   宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1． （1）黄金矩形ABCD的长BC= ； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为 ． 【来源】专题43 根式的应用和几何图形结合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版） 【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3） 【分析】类比应用： （1）仿照题干中的过程进行计算； （2）仿照题干中的过程进行计算； 拓展延伸： （1）根据黄金矩形的定义结合AB=1进行计算； （2）根据题意算出AD的长，从而得出DF，证明DF和EF的比值为即可； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据△AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可. 【详解】解：类比应用： （1）根据题意可得： =； （2）根据题意可得： = = = =2； 拓展延伸： （1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD的宽AB=1， 则黄金矩形ABCD的长BC===； （2）矩形DCEF为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=， ∴FD=EC=AD-AF==， ∴=， 故矩形DCEF为黄金矩形； （3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，AD=， ∴AE=， 在△AED中， S△AED =， 即，则， 解得DG=， ∴点D到线段AE的距离为. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，正方形的性质，三角形的面积，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． 【题型九】二次根式中的分母有理化 【例9】【认识概念】 一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 如：；，我们称的一个有理化因式为的一个有理化因式是． 二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 如：． 【理解应用】 （1）填空：的有理化因式是_____；将分母有理化得_____； （2）化简：； 【拓展应用】 （3）利用以上解题方法比较与的大小，并说明理由； （4）已知有理数满足，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4） 【难度】0.85 【来源】辽宁省鞍山市部分名校2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题 【知识点】二次根式的加减运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了互为有理化因式，分母有理化的概念，正确理解互为有理化因式，分母有理化是解题的关键． ［理解应用］（1）根据互为有理化因式定义，分母有理化定义解答即可； （2）先分母有理化，然后再把被开方数相同的二次根式合并解答即可． ［拓展应用］（3）可以把分子有理化，根据分子相等，再通过比较分母大小进行比较； （4）先把等式左边各项分母有理化，根据为有理数，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 的有理化因式为， 故答案为：； ， 故答案为：． （2）原式 ， ， ； （3），理由如下： ， ； （4） ， ． 【变式9-1】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（   ） ①若是的小数部分，则的值为； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【难度】0.4 【来源】山东省济南市市中区泉海学校2025--2026学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】分母有理化、比较二次根式的大小、已知条件式，化简求值 【分析】本题主要考查分母有理化，熟练掌握分母有理化是解题的关键；因此此题可根据分母有理化依次排除选项即可． 【详解】解：①若是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意； ②， ，故②正确，符合题意： ③ ，故③错误； ④， ， ， 均不能对其分母有理化，故④正确； ⑤， ， ， 同理， 两式相加得，，，故⑤正确； ⑥， ， ， ， ， ， ， ，故⑥正确； 故选：C． 【变式9-2】两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简：_______；________； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)解方程： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】(1)直接进行分母有理化即可； (2)通过变形得到，，比较分母的大小即可求出原来两个式子的大小关系； (3)设，再与原方程相乘得到，进而求出；再将与原方程相加得到，求出，最后检验即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：∵，， 又∵， ∴， 即：． （3）解：设，与原方程相乘得： ， 整理得到：， 解之得， ∴，与原方程相加得： ， ， 即：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴方程的根是11． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的分母有理化计算，熟练掌握运算法则，计算过程中细心即可． 【变式9-3】阅读下列分母有理化的过程： （Ⅰ）； （Ⅱ）； 请完成下列问题： (1)仿照上述解题过程计算：=__________；=__________；（注意结果化简） (2)观察上面解题过程，请直接写出的结果为_________； (3)通过完成问题（1）（2），你得到的结论是： ； (4)试利用上面所提供的思路，解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一） (4) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据分母有理化的方法即可求解； （4）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算化简方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：， ． （2） （3）①可以利用平方差公式进行分母有理化； ②相邻两个自然数的算术平方根的和（或差）等于这两个自然数的算术平方根的差（或和）的倒数； ③，等等.（结论合理、正确就行） 故答案为：可以利用平方差公式进行分母有理化（答案不唯一）． （4）解： 【题型十】 二次根式中的规律探究问题 【例10】按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】云南省临沧市耿马傣族佤族自治县2024-2025学年七年级下学期期末数学试题卷 【知识点】数字类规律探索、二次根式的应用 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 【变式10-1】； ； ； (1)写出_________； (2)猜想：_________； (3)由以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（）观察已知等式找到规律，即可求解； （）根据规律直接得出结果即可； （）利用（）中结论及有理数的混合运算进行计算即可； 本题考查了二次根式及数字规律，根据题意找出相应规律是解题的关键． 【详解】（1）∵； ； ； ； ； （2）； ； ； ； ； （3）由（）可得， ． 【变式10-2】观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； ． (1)观察以上规律，请写出第5个等式：________． (2)利用上面的规律，计算． (3)请利用上面的规律，比较与的大小，并写出详细过程 【答案】(1) (2)9 (3)，过程见解析 【难度】0.4 【来源】四川省内江市第六中学2025-2026学年上学期九年级第二次月考数学试题 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查规律探索，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）观察各式发现规律直接写出第5个等式即可； （2）通过有理化将各式转化为差的形式，求和计算即可； （3）将两式都看为分母为1 的式子，然后进行分子有理化，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：观察规律，可得第5个等式为． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：设，， 则， ， ， ， 即， 【变式10-3】在学习二次根式运算时，小明根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律， 特例； 特例； (1)特例3：________（填写一个符合上述运算特征的式子）； (2)求证：（，且n为整数）； (3)如果的小数部分是0.1，那么整数部分为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3)5 【难度】0.4 【来源】重庆市四川外国语大学附属外国语学校2025-2026学年八年级数学上学期定时练习周测15 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，根据题干信息，得到（，且n为整数），是解题的关键： （1）仿照题干给出的特例，作答即可； （2）根据二次根式的性质进行化简即可； （3）利用规律先化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，； （2）证明：∵，且n为整数， ∴ ， ； （3）解： ， ∵的小数部分是0.1 ∴， ∴， ∴的整数部分为． 易错点1 二次根式的判断 错误：①忽略被开方数的非负性 ②看化简后的结果判断 注意：①二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足a0; ②二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如:， 都是二次根式; 【典例1】 下列各式中，不是二次根式的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A． ，是二次根式，故本选项不符合题意； B． 被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意； C． 由于，是二次根式，故本选项不符合题意； D． ，是二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 易错点2 二次根式有意义的条件 错误：二次根式出现在分母位置时，忽视被开方数不等于0的条件 注意：当二次根式出现在分母位置时，不仅要满足被开方数>0，还必须要求分母整体 ≠0，即被开方 数>0。 【典例2】若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，能根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出和是解此题的关键．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且，再求出答案即可． 【详解】 解：代数式有意义， 且， 解得：且， 实数x的取值范围是且． 故答案为：且． 易错点3 利用二次根式的性质化简 错误：忽略二次根式中被开方数的非负性，比如在化简时，直接得出a，而未考虑a的正负;对二次根式性质的运用条件把握不准。 注意：化简前先明确被开方数的取值范围;运用性质时严格遵循条件。计算过程中仔细判断符号，多进行分类讨论，做完后检查化简结果是否符合二次根式的定义和性质。 【典例3】已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：___________． 【来源】第12章 二次根式（A卷�知识通关练） -【单元测试】2022-2023学年八年级数学下册分层训练AB卷（苏科版） 【答案】 【分析】根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式，然后根据整式的加减计算法则化简即可得答案． 【详解】解：∵的三边分别为a、b、c， ∴， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，整式的加减计算，三角形三边的关系，正确根据三角形三边的关系得到是解题的关键． 易错点4 最简二次根式的判断 错误：被开方数为小数或分数时不是最简二次根式 注意：最简二次根式必须满足： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【典例4】在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【来源】第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的化简及其加减法 【知识点】化为最简二次根式、最简二次根式的判断 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，正确判断最简二次根式是解题的关键．化简二次根式，，，，，即得答案． 【详解】解：，，，，， 是最简二次根式的是，只有1个． 故选：A． 易错点5 隐含条件下的二次根式化简 错误：化简特殊的带有字母的二次根式时、忽视字母的正负性致错。 注意：①二次根式的化简中，下列性质用得特别多，要注意两者的区别和联系 ； ． ②化简特殊的带有字母的二次根式时，应先分析字母的正负性． 【典例5】化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 ① ② 【难度】0.65 【来源】上海五浦汇实验学校2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题 【知识点】化为最简二次根式 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 易错点6 二次根式乘除法则公式成立的条件． 错误：利用二次根式乘除法则公式进行化简和计算时，忽视字母的取值范围致错。 注意：二次根式的乘法法则:·=成立的前提条件是a≥0;b≥0，除法法则 成立的前提条件是a≥0且b>0，不要与乘法法则的前提条件混淆. 【典例6】若成立，则x的取值范围是_____． 【来源】湖北省恩施州巴东县三校联考2022-2023学年八年级下学期第一次质量检测数学试题 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质，二次根式有意义的条件，得出关于的不等式组，进而求出出答案． 【详解】解：等式成立， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，正确解不等式组是解题关键． 易错点7 二次根式运算中结果的化简问题 错误：二次根式运算中忽视对结果的化简而致错 注意：结果一定要化成最简二次根式或整式 【典例7】计算：(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 技巧01：倒数法比较大小 《方法技巧》 二次根式的大小比较，含有减（加）号的无理数大小估算，倒数法比较能转化成加（减）法再比较更容易一些．通常需要对二次根式分母有理化。 【典例1】已知：分别是的整数部分和小数部分， (1)求：的值； (2)比较与的大小 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可得出、的值； （2）利用倒数法比较即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分，小数部分， ∴，； （2）；， ， ． ． 【点睛】本题考查了无理数的大小估算，含有减号的无理数大小比较，倒数法比较能转化成加法再比较更容易一些． 【变式1-1】两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们你这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： (1)化简：_______；________； (2)比较与的大小，并说明理由； (3)解方程： 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】(1)直接进行分母有理化即可； (2)通过变形得到，，比较分母的大小即可求出原来两个式子的大小关系； (3)设，再与原方程相乘得到，进而求出；再将与原方程相加得到，求出，最后检验即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：∵，， 又∵， ∴， 即：． （3）解：设，与原方程相乘得： ， 整理得到：， 解之得， ∴，与原方程相加得： ， ， 即：， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴方程的根是11． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的分母有理化计算，熟练掌握运算法则，计算过程中细心即可． 【变式1-2】观察下列一组等式，解答后面的问题： (1)化简：______，______（n为正整数） (2)比较大小：______（填“”，“”或“”） (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：______ 【答案】(1) ； (2) (3) 【分析】（1）根据题意，分子分母分别乘以，，即可求解； （2）先求出和，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【详解】（1）解：； ， 故答案是：，； （2）解：∵，， 且， ∴， ∴， ∴， 故答案是：＜； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化，二次根式的混合运算，比较二次根式的大小，明确题意，理解题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $