专题03 函数（期中复习知识清单）八年级数学下学期新教材青岛版

专题03 函数 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量 ，是的函数 ，又称因变量。 2.函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式自变量取值范围为底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 函数的概念 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）下列表达式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 求自变量的取值范围 【例3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式2】（24-25八年级上·上海静安·期末）函数的自变量的取值范围是________． 用表格表示变量间的关系 【例4】（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【变式3】（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 _______ ，因变量是 _______ ． 用关系式表示变量间的关系 【例5】（25-26八年级上·全国·期中）激光测距仪L 发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L 收到目标M反射回的激光束，则测距仪L 到目标 M 的距离d(单位：)与时间t(单位：s)的关系式为 （   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东河源·期中）幸福小区计划购买一批树苗绿化小区，且需送货上门，已知一棵树苗15元，送货上门需要加100元运费，则所需金额（单位：元）与购买棵数（单位：棵）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如果等腰三角形的周长是20，腰长为，底边为，那么用含的代数式表示_____，x的取值范围_____． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为：____________． 用图象表示变量间的关系 【例6】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 从函数的图象获取信息 【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的盈利y（元）与这天的销售量x（个）之间的函数关系的图象如图所示． （1）当销售量是300个时，盈利 ________ 元； （2）批发部每天至少销售 ________ 个这种电子元件才不亏本． 【变式1】（24-25八年级下·海南海口·期中）某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)图中点A表示的实际意义是 ． 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 用描点法画函数图像 【例8】（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 2 … … … (2)描点并连线． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·月考）通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【变式2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请补充完整． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 1 2 3 … 则表格中______ (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 违背函数概念中“唯一确定”的核心条件 易错表现：判断两个变量是否为函数关系时，忽略“对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应”这一关键，误将不满足“唯一对应”的关系判定为函数。 易错归因：对函数的概念理解不透彻，仅记住“两个变量”的表面条件，未掌握“唯一确定对应”的核心，对函数关系的本质判断不严谨。 混淆自变量与因变量 易错表现：无法准确区分自变量和因变量，不清楚“主动变化的量是自变量，被动随之变化的量是因变量”。 易错归因：对函数概念中“自变量、因变量”的定义理解模糊，未理清两个变量之间“主动变化与被动响应”的逻辑关系，缺乏对函数关系的本质分析。 混淆不同类型函数解析式的取值范围要求 易错表现：对整式型、分式型、根式型、零次幂与负整数指数幂函数的自变量取值范围记忆混淆、遗漏条件。 易错归因：对四种常见函数解析式的取值范围记忆碎片化，未分类整理、精准区分，缺乏“分类讨论”的意识，解题时易遗漏关键约束条件。 图像法解读错误 易错表现：通过函数图像读取信息时，误解横、纵坐标的含义（混淆自变量与函数值对应的坐标轴），或无法通过图像判断两个变量的对应关系，导致读取错误信息。 易错归因：对图像法的定义理解不深刻，缺乏数形结合的思维，不善于将图像上的点与自变量、函数值的对应关系转化，对图像表达函数关系的本质把握不足。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说是自变量 ，是的函数 ，又称因变量。 2.函数值：在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式自变量取值范围为底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 函数的概念 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列四个图象中，能表示是的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，据此进行判断即可． 【解答】解：A，C，D中的图象，对于的每一个确定的值，不一定有唯一的值与其对应，那么不是的函数，不符合题意， B中的图象，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么是的函数，符合题意． 【点评】函数的概念 【例2】（25-26八年级上·江苏扬州·月考）下列表达式中，y不是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义． 根据函数的定义，对于每个自变量x，必须有且只有一个因变量y与之对应． 【解答】解：A．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； B．，对于每个自变量x，有且只有一个因变量y与之对应，y是x的函数； C．，当时，一个自变量对应两个值，不满足函数的定义，y不是x的函数； D．，y是x的函数； 故选：C． 【点评】函数的概念 【变式1】（23-24八年级上·安徽六安·月考）下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【解答】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 【点评】函数的概念 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各图象中，变量不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的定义，有两个变量，若对于的每一个确定的值，都有唯一的值与之对应，那么就叫做的函数，据此逐项判断即可． 【解答】解：由函数的定义可知，四个图象中，只有D选项中的图象中，变量不是的函数， 故选：D． 【点评】函数的概念 【变式3】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【点评】函数的概念 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【解答】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 【点评】函数的概念 求自变量的取值范围 【例3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为）列不等式求解即可． 【解答】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围是． 故选：C． 【点评】求自变量的取值范围、分式有意义的条件 【变式1】（25-26九年级上·山东威海·期末）函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件进行解答即可． 【解答】解：∵ 有意义， ∴， ∴， ∵ 是分式， ∴， ∴， 综上可知， 故选C． 【点评】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求自变量的取值范围 【变式2】（24-25八年级上·上海静安·期末）函数的自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零即可得到答案． 【解答】解：由题意得：． 【点评】分式有意义的条件、求自变量的取值范围 用表格表示变量间的关系 【例4】（25-26八年级上·河北保定·期末）嘉嘉制作了一个简易的计时工具，通过观察，他将容器中水的高度和时间的相关数据记录如下： 时间/min 1 2 3 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 7.5 9 下列描述不正确的是（   ） A．容器中水的高度是因变量，时间是自变量 B．当时间为时，容器中水的高度为 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．时间每增加，容器中水的高度变化是均匀的 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，根据表格数据发现时间每增加，水的高度增加，再逐项判断即可． 【解答】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，其中容器中水的高度是因变量，时间是自变量，时间每增加，水的高度增加， 时间时，水的高度； 当时，； ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【点评】用表格表示变量间的关系、函数的概念 【变式1】（25-26八年级上·广西崇左·月考）下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，从表格中获取信息是关键．观察表格可知，第一行表示月份，第二行表示对应的平均气温，由表格可直接读出时对应的的值，对比各选项，即可得到答案． 【解答】解：当时，的函数值为． 故选：． 【点评】用表格表示变量间的关系 【变式2】（25-26八年级上·福建宁德·期中）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置． 小明依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具，通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/min 1 2 3 4 5 6 水的高度/cm 1.5 3 4.5 6 7.5 9 下列说法中，不正确的是（   ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是6cm C．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系， 根据表格数据，时间与水的高度成正比例关系，时间每增加，水的高度增加，，再逐项判断即可． 【解答】解：∵由表格数据，可知上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，时间时，水的高度； 当时，； 且时间每增加，h增加， ∴选项A、C、D正确，选项B错误． 故选：B． 【点评】用表格表示变量间的关系 【变式3】（2025·北京·模拟预测）丽丽骑自行车去学校，所花时间与行走的路程如下表： 所花时间 0 5 10 15 20 行走的路程 0 1 2 3 4 这个问题中，自变量是 _______ ，因变量是 _______ ． 【答案】 t s 【分析】本题考查了自变量和因变量的定义． 根据自变量和因变量的定义，时间t是独立变化的量，路程s随t的变化而变化 【解答】解：从表格数据可知，时间t每增加5分钟，路程s相应增加1公里， 因此路程s的变化依赖于时间t的变化， 故自变量是时间t，因变量是路程s． 故答案为：t，s． 【点评】用表格表示变量间的关系 用关系式表示变量间的关系 【例5】（25-26八年级上·全国·期中）激光测距仪L 发出的激光束以的速度射向目标M，后测距仪L 收到目标M反射回的激光束，则测距仪L 到目标 M 的距离d(单位：)与时间t(单位：s)的关系式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，根据题意利用速度乘以时间求出总路程，再除以2即为测距仪L 到目标 M 的距离d，进行求解即可． 【解答】解：由题意，； 故选D． 【点评】用关系式表示变量间的关系 【变式1】（25-26八年级上·广东河源·期中）幸福小区计划购买一批树苗绿化小区，且需送货上门，已知一棵树苗15元，送货上门需要加100元运费，则所需金额（单位：元）与购买棵数（单位：棵）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列函数关系式，总费用由固定运费和可变树苗费用组成，根据题意直接列函数关系式即可． 【解答】解：由题意得，， 故选：C． 【点评】用关系式表示变量间的关系 【变式2】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如果等腰三角形的周长是20，腰长为，底边为，那么用含的代数式表示_____，x的取值范围_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，一元一次不等式组的应用，三角形三边关系应用，根据等腰三角形的周长公式可得x，y的关系式，再根据三角形的三边关系确定x的取值范围即可． 【解答】解：∵等腰三角形的周长是20，腰长为，底边为， ∴， ∴， 根据三角形三边关系得：， 解得：． 故答案为：；． 【点评】求一元一次不等式的解集、用关系式表示变量间的关系、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）张师傅加工一批零件，每小时加工个数和加工时间如表： 每小时加工个数个 加工时间时 如果每小时加工的个数用表示，加工的时间用表示，则与的关系式为：____________． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，通过观察表格数据，发现每小时加工个数与加工时间的乘积恒为600，即可得到，再变形即可求解． 【解答】解：由表格数据可得， 所以关系式为 ， 故答案为 ． 【点评】用关系式表示变量间的关系 用图象表示变量间的关系 【例6】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【解答】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 【点评】用图象表示变量间的关系 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【解答】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 【点评】用图象表示变量间的关系 【变式2】（25-26八年级上·安徽淮北·月考）将一个高为的圆柱形杯子，放入一个高为的长方体容器中，现向长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度与注水时间之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案. 【解答】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢， ∴符合题意的图象是B选项中的图象． 故选：B． 【点评】用图象表示变量间的关系 从函数的图象获取信息 【例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）某批发部对经销的一种电子元件调查后发现，一天的盈利y（元）与这天的销售量x（个）之间的函数关系的图象如图所示． （1）当销售量是300个时，盈利 ________ 元； （2）批发部每天至少销售 ________ 个这种电子元件才不亏本． 【答案】 400 100 【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以写出当销售量300个时，盈利多少钱； （2）根据题意和函数图象中的数据可以写出批发部每天至少销售多少个这种电子元件才不亏本． 【解答】解：（1）由图象可得， 当销售量是300个时，盈利400元； （2）由图象可得， 批发部每天至少销量100个这种电子元件才不亏本． 【点评】从函数的图象获取信息 【变式1】（24-25八年级下·海南海口·期中）某校科技节启用无人机进行航拍，在操控无人机时根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题： (1)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟； (2)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分； (3)图中a表示的数是 ；b表示的数是 ； (4)图中点A表示的实际意义是 ． 【答案】(1)5 (2)25 (3)2，15 (4)6分钟时，无人机的高度为50米 【分析】根据坐标轴的实际意义，函数图象中，向上部分的实际意义为无人机上升，水平部分的实际意义为无人机停留，向下部分的实际意义为无人机下降，直线的斜率的实际意义为无人机的飞行速度，根据图象计算分析即可求出各问的答案． 【解答】（1）解：由图象可知，分钟这一段为无人机在75米高的上空停留的时间段， 故停留的时间为（分钟）； （2）解：由题意，无人机全程在上升和下降时的速度相同， 由图象可知，分钟这一段，无人机从50米上升到75米， 故速度为（米/分）； （3）解：由（2）可知，无人机的速度为25米/分， 故， ，即； （4） 解：根据坐标轴的实际意义，点A表示6分钟时，无人机的高度为50米． 【点评】从函数的图象获取信息 【变式2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【解答】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 【点评】行程问题(一元一次方程的应用)、用关系式表示变量间的关系、从函数的图象获取信息 用描点法画函数图像 【例8】（24-25八年级下·广东江门·期中）画出函数的图象．    (1)列表： … 0 1 2 … … … (2)描点并连线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数图象的画法是解题的关键． （1）根据的值求出的值即可； （2）描点、连线即可作出一次函数的图象． 【解答】（1）解：列表： x … … … … （2）描点、连线： 【点评】用描点法画函数图象、正比例函数的图象 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·月考）通过对课本上函数的学习，我们积累了一定的经验．下表是函数的自变量与函数值的部分对应值，请你借鉴学习函数的经验，探究下列问题： x … 0 1 2 3 … y … m 1 3 n … (1)请将表格补充完整：表格中m的值为______，n的值为______． (2)如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象． (3)判断点是否在函数的图象上． 【答案】(1)，5 (2)见详解 (3)点不在函数图象上,点在函数图象上 【分析】本题考查的是函数图象，判断点是否在图象上，解题的关键是通过描点画出函数图象，从表格中读取相关的信息． （1）利用函数解析式进行求的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）将点的横坐标代入解析式，得到的函数值和纵坐标进行比较即可． 【解答】（1）解：将代入得， ； 将代入得， ； 故答案为：，5； （2）解：如图所示； （3）解： 当时，，， ∴点不在函数图象上； 当时，，， ∴点在函数图象上； 【点评】用描点法画函数图象、求一次函数自变量或函数值 【变式2】（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请补充完整． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 3 2 1 1 2 3 … 则表格中______ (2)描点并画出该函数的图象． (3)观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)函数存在最小值，最小值为 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将代入计算即可得解； （2）根据表格描点连线即可； （3）根据函数图象即可得解． 【解答】（1）解：在中，当时，，即； （2）解：描点并画出该函数的图象如图所示： ； （3）解：由图象可得，函数存在最小值，最小值为． 【点评】从函数的图象获取信息、求一次函数自变量或函数值、用描点法画函数图象 违背函数概念中“唯一确定”的核心条件 易错表现：判断两个变量是否为函数关系时，忽略“对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应”这一关键，误将不满足“唯一对应”的关系判定为函数。 易错归因：对函数的概念理解不透彻，仅记住“两个变量”的表面条件，未掌握“唯一确定对应”的核心，对函数关系的本质判断不严谨。 混淆自变量与因变量 易错表现：无法准确区分自变量和因变量，不清楚“主动变化的量是自变量，被动随之变化的量是因变量”。 易错归因：对函数概念中“自变量、因变量”的定义理解模糊，未理清两个变量之间“主动变化与被动响应”的逻辑关系，缺乏对函数关系的本质分析。 混淆不同类型函数解析式的取值范围要求 易错表现：对整式型、分式型、根式型、零次幂与负整数指数幂函数的自变量取值范围记忆混淆、遗漏条件。 易错归因：对四种常见函数解析式的取值范围记忆碎片化，未分类整理、精准区分，缺乏“分类讨论”的意识，解题时易遗漏关键约束条件。 图像法解读错误 易错表现：通过函数图像读取信息时，误解横、纵坐标的含义（混淆自变量与函数值对应的坐标轴），或无法通过图像判断两个变量的对应关系，导致读取错误信息。 易错归因：对图像法的定义理解不深刻，缺乏数形结合的思维，不善于将图像上的点与自变量、函数值的对应关系转化，对图像表达函数关系的本质把握不足。 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $