专题05正方形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题05正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正方形定义，理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属包含关系 2.全面熟记正方形边、角、对角线、对称性的全部性质 3.熟练掌握正方形多种判定方法，区分性质与判定的用法 4.掌握正方形周长、面积计算公式，理解图形衍生几何结论 1.灵活运用性质计算线段长度、角度、周长与面积 2.根据已知条件，合理选用定理判定四边形为正方形 3.整合矩形、菱形相关知识，完成几何证明与综合计算 4.处理正方形折叠、动点、对角线分割类题型 5.规范书写推理步骤，逻辑严谨完成几何论证 1.基础概念、简单计算题型不出错，稳固基础得分 2.精准辨析平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定差异 3.熟练解答常规计算、图形证明考题 4.攻克图形变换、多图形结合的中档综合题 5.规避定理混淆、判定条件缺失、公式误用等常见错误 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形中的旋转问题 题型18.四边形其他综合问题 知识点01:定义（精准直击） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心逻辑：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者所有性质，是最特殊的四边形。 知识点02:正方形的性质（★★★★★） 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 知识点03:性质汇总表 研究方向 平行四边形共性 矩形独有 菱形独有 正方形兼具全部特征 边 对边平行、对边相等 邻边垂直 四条边相等 四边相等，对边平行，邻边垂直 角 对角相等、邻角互补 四个角都是90 无固定角度 四个内角均为直角 对角线 互相平分 对角线相等 对角线互相垂直、平分内角 相等、垂直平分，平分一组对角 对称性 中心对称 2 条对称轴 2 条对称轴 4 条对称轴，中心对称 知识点04.正方形的判定（核心） 易错警示 1.判定正方形必须同时满足矩形 + 菱形双重条件，缺一不可 2.不可只凭对角线垂直或只凭对角线相等判定正方形 3.区分四种四边形性质，避免定理混用 4.面积、周长公式不要和矩形、菱形公式混淆 . 题型01.正方形性质理解 1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 【分析】本题考查了菱形与正方形的性质，解题的关键是熟练的掌握菱形与正方形的性质． 要熟练掌握菱形对角线相互垂直平分与正方形对角线相互垂直平分相等的性质，根据各自性质进行比较即可解答． 【详解】解：A．正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故本选项不符合题意； B．正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意； C．正方形和菱形的对角线都互相垂直，故本选项不符合题意； D．正方形和菱形都是四条边相等，故本选项不符合题意； 故选B． 2．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值____． 【答案】3或7 【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解． 【详解】解：当点P在上运动时，显然A、B、P构不成三角形 ∴此时不符合题意； 当点P在上运动时， 由，，显然此时存在， ∴ ∴， ∴； 当点P在上运动时，如下图所示，此时，，即，， ∴中不存在边与相等， ∴不存在点P，使得和全等； 当点P在上运动时，如下图所示 由， ，显然此时存在， ∴， ∴ ∴． 综上：当和全等时，t的值为3或7． 3．如图，点E表示的数为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点A表示的数为-1，点D表示的数为0，得到AD=1，根据正方形ABCD中AD=CD=1，∠ADC=90°，推出，得到，推出，得到点E表示的数为． 【详解】解：∵点A表示的数为-1，点D表示的数为0， ∴AD=1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD=1，∠ADC=90°， ∴， ∵， ∴， ∴点E表示的数为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解决问题的关键是熟练掌握实数与数轴上的点一一对应的关系，数轴上两点间的距离与两点表示的数的关系． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 【答案】 【分析】根据正多边形外角和定理求出，根据正方形的性质得出，最后利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴． 5．如图，过点C画平行四边形与正方形，其中E点在上，若，，则的度数为（    ） A．50 B．55 C．70 D．75 【答案】C 【分析】根据正方形的性质，得到，进而得到，再利用三角形内角和定理，得到，最后根据平行四边形对角相等，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形和平行四边形的性质是解题关键． 6．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可证，可求，即可求解； （2）设，，由即可求解； 【详解】（1）解：， 是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （2）解：设， ， ， ， 平分， ， ． 题型03.正方形性质求线段长 7．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果． 【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M， ∵，， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴中，． 9．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由，是的中点可知，是的中位线，，由正方形的对角线互相垂直可知，所以，由得，所以； （2）过点作于，通过证得、，在中，由勾股定理可得线段的长． 【详解】（1），是的中点， 是的中位线， ，， 又正方形中，， ， 中，，， ， ； （2）如图，过点作于， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型04.正方形性质求面积 10．七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”．某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可以求出，根据梯形的面积公式即可求出，根据各部分的形状可以求出． 【详解】解：如下图所示， 正方形的面积为，是正方形的对角线， ， ， 和是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ． 11．如图，在平行四边形中，以和为斜边分别向内作等腰直角三角形和，延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点I和J．若四边形是正方形，，则平行四边形的面积是（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】设，，根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质推出，且和是等腰直角三角形，从而得到，，再根据，得到，分别求出，，，最后利用计算可得结果． 【详解】解：设，， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， 又， ∴， 即，且和是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是准确找到图形之间的关系，推算边的长度． 12．在正方形中，，，，，．求正方形的面积． 【答案】 【分析】将，平移，相交于点，连接，则为直角三角形，由此解答即可． 【详解】解：如图，将，平移到CG，EG，如图所示，且相交于点，连接， ∴四边形EFCG为矩形，为直角三角形， . ∴AG=9+3=12cm，CG=EF=5cm， 根据勾股定理，， 所以，正方形的面积为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理解三角形等知识，根据题意作出相应辅助线是解题的关键． 题型05.正方形中的折叠问题 13．如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质得，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片，， ∴，， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∴的面积是， 故答案为：． 14．将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可知，；由此可得：得出，再通过角的和差关系即可求出的值； 【详解】解：∵四边形为正方向 ∴ 由翻折的性质可知：，； ∴ 即： 解得： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形的翻折；熟练运用翻折的性质建立角之间的数量关系是解题的关键． 15．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由正方形的性质得，，由折叠得，，则，，可证明，得； （2）由，是边的中点，得，，由勾股定理得，求得． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是正方形， ，， 将沿折叠，得到，延长交边于点， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：，是边的中点， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 题型06.正方形性质证明 16．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 【答案】5 【分析】连接，根据证明得，再求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， 又， ∴，即， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，． 17．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点，证明，求出，，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题． 【详解】解：（1）在正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即点为的中点，且点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 18．如图1，正方形中，分别为上的点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点为的中点，交于点，连接．求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，得出，进而得到，由此得证； （2）过点作交于点，可证出，得，解直角三角形即可得证； 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点， ∴， ∴ ∵，为的中点，， ∴， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ， ， ， ． 题型07.正方形判定定理理解 19．八年级的数学学习中，有如下问题：如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，．请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 嘉嘉说：添加； 淇淇说：添加； 请判断以下结论，(    )是正确的． A．嘉嘉说的对 B．淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定，由平行四边形的性质得出，，结合作图可得，，得出四边形为平行四边形，进而根据正方形的判定定理，即可求解． 【详解】四边形为平行四边形， ，， 以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点， ，， 四边形为平行四边形； 当，时，四边形为正方形． ， ， ，，， ， 四边形为平行四边形， 四边形为正方形． 故选：C． 20．如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为，利用无刻度直尺作图，请完成下列各小题． (1)在图①中，以为边作一个菱形（不是正方形），其中点为格点； (2)在图②中，以为边作正方形，其中点为格点． 【答案】(1)画图见解析（任画一个） (2)画图见解析 【分析】（）取格点，顺次连接，根据菱形的判定可知四边形 是菱形； （）取格点，顺次连接，由勾股定理可知，由网格特点可知，即可得四边形是正方形，即为所求； 本题考查了菱形的判定，正方形的判定，掌握菱形和正方形的判定是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 21．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作． (1)观察与猜想：是 （填“矩形”、“菱形”或“正方形”）； (2)请验证你的猜想． 【答案】(1)正方形 (2)见解析 【分析】（1）猜想是正方形； （2）过点P作于点K，于点H，先证明四边形是正方形，则，再根据可得出，由此判定，进而得，再根据四边形是平行四边形，且可判定平行四边形是矩形，然后根据即可判定矩形是正方形． 【详解】（1）解：观察与猜想：是正方形． 故答案为：正方形； （2）证明：过点P作于点K，于点H，如图所示： ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，难点是正确地添加辅助线，构造正方形和全等三角形． 题型08.添条件使四边形是正方形 22．如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________．    【答案】且 【分析】依据条件先判定四边形为平行四边形，再根据又，，得出四边形为菱形，再根据，即可得到菱形是正方形． 【详解】应满足的条件是：且， 理由：、、、分别是、、、的中点， 在中，是的中位线， ，， 同理，， 同理，， 则且， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， ， 菱形为正方形， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定，注意三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 23．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 24．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC．CE、CF分别是的内、外角平分线． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）当满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠ACB=90°，理由见解析 【分析】（1）求出∠ECF=90°=∠E=∠F，即可推出答案； （2）∠ACB=90°，推出∠ACE=∠EAC=45°，推出AE=CE即可． 【详解】解：（1）证明：∵CE、CF分别是△ABC的内外角平分线， ∴∠ACE+∠ACF=×180°=90°， ∵AE⊥CE，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形． （2）答：当△ABC满足∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形， 理由是：∵∠ACE=∠ACB=45°， ∵∠AEC=90°， ∴∠EAC=45°=∠ACE， ∴AE=CE， ∵四边形AECF是矩形， ∴四边形AECF是正方形． 【点睛】本题主要考查对矩形和正方形的判定的理解和掌握，能求出四边形AECF是矩形是解此题的关键． 题型09.证明四边形是正方形 25．如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、正方形的判定、等角对等边等知识，熟练掌握正方形的判定是解题的关键． 根据有一组邻边相等的矩形是正方形解答即可． 【详解】证明：四边形为矩形， ． ． 为的平分线， ． ． ． 矩形为正方形． 26．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形可得四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形即可解决问题； （2）由正方形的面积公式求得，进而得到，由四边形是菱形得到，，菱形的面积，由勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得答案． 【详解】（1）证明：菱形的对角线和交于点， ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 四边形是正方形； （2）解：正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积， 在中，， 设点到线段的距离为， ， 即， ． 即点到线段的距离为． 27．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论；由（1）知，四边形是正方形，得出．由，，求出，勾股定理得出，得出．再证明，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ． ， 四边形是矩形． 平分， ， 四边形是正方形． （2）解：平分， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是正方形， ． ∵， ， ，， ． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，掌握全等三角形和勾股定理是解决问题的关键． 题型10.正方形性质与判定求角度 28．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 29．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）60° 【分析】（1）由正方形的性质得出CD=CB，∠DCA=∠BCA，根据SAS即可得出结论； （2）设∠FDE=∠FED=x，表示出∠AEF=∠BEC=∠DEC=135°-2x，利用平角的定义列出方程，求出x值即可得到∠AFE． 【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°， 在△BEC和△DEC中， ， ∴△BEC≌△DEC（SAS）； （2）∵FD=FE， ∴设∠FDE=∠FED=x，则∠AFE=2x， ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x， ∵△BEC≌△DEC， ∴∠BEC=∠DEC=135°-2x， ∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°， 解得：x=30， ∴∠AFE=60°． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、对顶角相等等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理是解题的关键． 30．已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，推出，由三角形的外角性质可得，结合，即可求解； （2）过点作于点，结合，可得，证明，得到，，再根据线段的和差即可求解； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，得到，结合，可推出，由推出，进而得到，可推出，结合可得，设，，则，证明得到，，在中，根据勾股定理求出，得到，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，    ， ， ， ， ， ， ， ； （2）过点作于点， ， ， ，   ， ， ， ， ，   四边形为正方形， ，， ， ，. ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，   ， ， ， ， 四边形是正方形， ，，， ， ， ， 设，   为的中点， ， ，    ， ，   ， ， ， ，    ， 在和中， ， ， ，， ，    ，， ，    ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，并灵活运用相关知识． 题型11.正方形性质与判定求线段长 31．如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时，_______． 【答案】10 【分析】先证明四边形是矩形，过点D作于点G，根据角平分线的性质证明，进而可证四边形是正方形；证明，，利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 过点D作于点G    ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴四边形是正方形； ， ∴， ∵点C为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答本题的关键． 32．如图，为边长为2的正方形的对角线任一点，过点作于点，于点，连接．给出以下4个结论：①；②；③最短长度为；④若时，的长度为．其中结论正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】连接PC，可证得△ABP≌△CBP，结合矩形的性质，可证得PA=EF，可判断①；延长AP交BC于点G，可证得AP⊥EF，可判断②；求得AP的最小值即可求得EF的最短长度，可判断③；过P作PH⊥AB，垂足为H，设AH=x，在△APH中，利用勾股定理求出x，可得AP． 【详解】解：①如图，连接PC， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中， ， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴AP=PC， ∵PE⊥BC，PF⊥CD，且∠FCE=90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC=EF， ∴AP=EF，故①正确； ②延长AP交BC于点G， 由①可得∠PCE=∠PFE=∠BAP， ∵PE∥AB， ∴∠EPG=∠BAP， ∴∠EPG=∠PFE， ∵∠EPF=90°， ∴∠EPG+∠PEF=∠PEG+∠PFE=90°， ∴AP⊥EF，故②正确； ③当AP⊥BD时，AP有最小值为，此时P为BD的中点， 由①可知EF=AP， ∴EF的最短长度为，故③正确； ④过P作PH⊥AB，垂足为H， 设AH=x，则BH=PH=2-x， ∵∠BAP=30°， ∴AP=2PH=4-2x， 在△APH中，， 即， 解得：x=或（舍）， ∴EF=AP=4-2x=，故④正确； 综上可知正确的结论为①②③④， 故选D． 【点睛】本题综合考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识；充分利用正方形的性质证明三角形全等可得相关验证． 33．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． (1)求证：矩形DEFG为正方形； (2)求证：CE＋CG＝8 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，证，得，即可证矩形为正方形； （2）证明，可得，由此可推得，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，则∠MEN＝90°． 四边形是正方形， 平分， 又，， ． ， ，， ． 在△DEN和△FEM中， ， ． ， 矩形是正方形． （2）证明：四边形与四边形为正方形， ∴DE＝DG，，， ∠ADE+∠CDE＝∠CDG+∠CDE＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在与中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解决本题的关键是熟练运用相关性质定理． 题型12.正方形性质与判定求面积 34．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF＝1．连接CE，BF交于点G，则四边形CDFG（图中阴影部分）的面积是 __________________． 【答案】 【分析】连接，易证，得，从而有，通过表示的面积，可求出，从而有，则，代入计算即可解决问题． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、运用等积法求出的长是解题的关键． 35．如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，证明△HGM≌△EBM，得到BM=GB，再根据两个平行四边形的底与高的关系即可求解． 【详解】∵、、、是四个全等的直角三角形， ∴AB=BC=CD=AD,∠ABE+∠FBC=∠ABE+∠BAE=90° ∴四边形ABCD是正方形 ∵BE：AE=1:2 ∴BE=HE=DG ∵∠GHM=∠BME=90°，∠HMG=∠EMB ∴△HGM≌△EBM ∴BM=GB，故BG：MG=2:1 又BFDH，BE=DG ∴四边形    是平行四边形 ∴BGDE ∵AECG ∴四边形    是平行四边形 ∵平行四边形与平行四边形的高相等 ∴四边形和四边形的面积比为BG：MG=2:1 故选B． 【点睛】此题主要考查正方形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质． 36．【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 【答案】【问题一】；【问题二】；【问题三】证明见解析 【分析】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等． 问题一：证明，即可得到结论； 问题二：连接，由正方形的性质可得，，由（1）中结论可得，等量代换即可得到； 问题三：先证明四边形是菱形，再证明，即可得证． 【详解】问题一： ， 证明如下：在 和 中， 因为 ， 且 ， 所以 ，又因为 ， ， 所以 ，所以 ； 问题二： 如图，连接， 因为点O是正方形的中心，所以， 又由问题一可知，，所以， 所以； 问题三：四边形是正方形， 证明如下：由问题一知，，所以， 所以由勾股定理知，所以四边形是菱形， 又因为在和中，对应边均相等，所以两个三角形全等，所以， 所以，所以，所以四边形是正方形． 题型13.正方形性质与判定证明 37．如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），连结，设，完成下面问题： （1）_________°； （2）给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 【答案】 90 ②③④ 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及全等三角形的对应角相等可得答案； （2）先说明四边形是正方形，根据勾股定理得，再结合三角形双边关系，以及勾股定理逐个判断，即可解题． 【详解】解：（1）， ，． ， ， ． 故答案为：90； （2）由（1）同理可得， ， 四边形是正方形， 根据勾股定理，得， 即， 解得． 由， 得， ， ， ， ，即， ①不正确； 根据三角形的三边关系可得． 所以②正确； ， ， ． 所以③正确； 由， 得， 即， 开方，得， ． 所以④正确． 综上所述，正确的有． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，正方形的判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，完全平方公式的应用，证明内部四边形是正方形是解题的关键． 38．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的长为 【分析】本题主要考查正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质，垂直的定义得到，结合矩形的判定方法即可求证； （2）根据四边形是正方形，周长是，是对角线，得到，根据四边形是正方形，得到是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，，则有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是正方形，周长是，是对角线， ∴，， 如图所示，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 同理，，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 39．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 由正方形性质得到，结合已知条件，由三角形全等的判定得到，再由全等性质得到，即可得证四边形是菱形，再求出，由正方形的判定即可得证． 【详解】证明：四边形是正方形， ， 又， ， ， 则四边形是菱形， 又 ， ， ， 四边形是正方形． 题型14.正方形中的动点问题. 40．正方形的边长为6，点E是边上一个动点，连接，作垂直，且，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，过点F作交的延长线于点G，连接，证明，得到，，然后证明是等腰直角三角形，得到，点F在射线上运动，当时，取得最小值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点F作交的延长线于点G，连接 ∵正方形的边长为6 ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴点F在的平分线上运动 ∴当时，取得最小值 ∴此时是等腰直角三角形 ∴， ∴ ∴ ∴的最小值为． 41．如图，在正方形中，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的判定和性质，勾股定理等知识，在上取点关于的对称点，连接，交于点 ，证出，得到，四边形为正方形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，在上取点关于的对称点，连接，交于点      ∴在与中 ∴ ∴ ∴ 三点共线 ∴四边形为矩形 ∴ 同理 ∴， ，为直角三角形 ∴ 故选：C． 42．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点是线段上一动点（不与点重合）．连接，作交于点． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)连接，交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； 【分析】（1）通过过点作和的垂线，利用正方形性质得到等腰直角三角形和线段等量关系，再结合进行等角代换，证明两个直角三角形全等，从而得出所求． （2）借鉴正方形中过对角线上一点作两边的垂线构造正方形的经典方法，过点作于点，于点，过点作于点，于点，连接，先利用全等三角形和等腰三角形性质确定各垂线段之间的数量关系，再利用面积法求出点G到两边的距离，最后通过代数恒等变形完成证明． 【详解】（1）， 过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线，、在直线同侧， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 过点作于点，于点， 过点作于点，于点，连接， ∵四边形是正方形，点在对角线上， ∴， 又∵， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴，， 设，正方形边长为，则， 又∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在对角线上， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 题型15.正方形中的最值问题 43．如图，为正方形的边上一动点，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转得到．若E，F分别为，的中点，连接，则长的最小值为_____． 【答案】1 【分析】添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由三角形中位线定理可得，可得当有最小值时，有最小值，即有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作，且，连接， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， ∴的最小值为1． 44．已知正方形边长为12，，与交于点P，点Q为中点，则最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知证明，根据角度关系，得到是直角三角形，是斜边中线，得到；也是的斜边，设直角边，利用勾股定理，将转换为关于x的二次函数，从而得到关于x的二次函数，求此二次函数的最小值的算术平方根，即可得到结果． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是斜边， 点Q为中点， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得 化简得， ∴， 时，． 45．如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过正方形的性质结合旋转的性质证明，推出，即可得证； （2）过点作交于，证明，得出，再通过四边形的内角和证明，推出，最后根据平行线的判定定理即可得证； （3）如图，连接，先证明四边形是正方形，得到，过点作交延长线于，过点作交于，连接，证明，得到，是等腰直角三角形，推出，作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，得到当，，三点共线时，最小，最小值为的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， 四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， ， 与重合，即点恰好落在正方形的对角线上； （2）解：，理由如下： 如图，过点作交于，设交于点， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 过点作交延长线于，过点作交于，连接， ， ， ， ，，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则，， 是等腰直角三角形， ， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即最小值为． 题型16.正方形与坐标系综合 46．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，顶点A在轴上，顶点D在轴上，，则点C的坐标为___________________． 【答案】 【分析】根据正方形的边长为2，，，可得，，作轴于，证明，得到，，则，即可得解． 【详解】解：∵正方形的边长为2，，， ∴，， ，， 如图，作轴于， 则， 四边形是正方形， ∴， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点在第一象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、坐标与图形，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解此题的关键． 47．如图，正方形的顶点B在y轴上的正半轴上，将其以点A为旋转中心顺时针旋转得到正方形，顶点，在x轴负半轴上，若，则点A的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质， 先作，作，可得四边形是矩形，进而得，再由旋转得，，然后设，则，表示，接下来说明，再求出，建立方程求出解即可. 【详解】解：过点A作，交于点E，过点A作，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴. 由旋转得，， ∴， 根据勾股定理，得， 设，则， ∴. 在四边形中，， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得， 则， ∴点. 故答案为：. . 48．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． (1)直接写出值：_______，_______； (2)正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． (3)如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 【答案】(1)4；4 (2)4; (3) 【分析】（1）根据二次根式的非负性构造不等式即可求解； （2）证明，根据即可求解，再构造对应关系即可配方求得最小值； （3）延长到G，使，连接，证明，可知，再证，再根据三角形的中位线即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 则， ∴； （2） ∵正方形ABCD ∵正方形 在和 , 设,则， ∴， 当时，取得最小值，, 则 ∴的最小值为； （3）延长到G，使，连接 ∵点E是的中点， ∵正方形 , 在和中 在和中， ． 题型17.正方形中的旋转问题 49．如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．由正方形的性质得到，由旋转的性质得到，则可得到旋转中心为点B，旋转角度为，可证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵按顺时针方向旋转角度后成为， ∴， ∴旋转中心为点B，旋转角度为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 50．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，利用等腰三角形“三线合一”性质及全等三角形判定证明，从而得出，进而求出的长，最后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴线段的长为． 51．已知在正方形中，点为线段上一个动点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作射线，与的延长线交于点． (1)如图1，连接，请问四边形是什么四边形，并证明： (2)如图2，连接，，则当的面积是10时，请直接写出正方形的周长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见解析 (2)正方形的周长为 【分析】（1）先由旋转可知，进一步证明，再根据可证明，得到，再证明，最后求出的度数得到，利用平行四边形的判定即可得出结论； （2）根据平行四边形和正方形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形． 证明：过F作延长线于点H， 线段绕点E顺时针旋转，得到线段， ， ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 又， ， 在与中， ， ； ， ， ， 即， ， ， ； ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，的面积是10， ∴平行四边形的面积为的面积的2倍，即平行四边形的面积是20， ∵正方形的面积等于平行四边形的面积， ∴，则， ∴正方形的周长为． 题型18.四边形其他综合问题 52．如图，把边长为的正方形剪成四个完全相同的直角三角形．请用这四个完全相同的直角三角形拼成符合下列要求的图形（要求全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照题中所给的图按实际大小画出： (1)不是梯形和平行四边形的凸四边形； (2)平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）凸四边形就是每个角都小于，凸多边形也是每个角都不大于，由此即可求解； （2）根据平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据凸四边形的定义得， ∴四边形即为所求出凸四边形． （2）解：根据平行四边形的性质可得， ∴四边形即为所求平行四边形． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，凸四边形的概念，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 53．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据正方形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，求得，根据三角形外角的性质得到； （3）求得，连接，由O为的中点，得到，求得，得到是等腰直角三角形，得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵四边形是正方形， ∵O为的中点， ∴， ， ． （3）．理由如下 证明：， ∴， 连接， ∵O为的中点， ∴ ， ， ， ∴是等腰直角三角形，且, ∴, 即, ∴或(不符合题意，舍去)， ∵， ， ∴． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 54．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．    如图，在正方形中，，求证：．请结合图①（设、交于点G），写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在正方形中，，连接、，若正方形的边长为3，四边形的面积为8，则的长为_________； （2）如图③，在正方形中，． ①四边形与的面积关系为：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”） ②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，则的周长为___________． 【答案】【教材呈现】见解析；【结论应用】（1）；（2）①=；②． 【教材呈现】根据四边形是正方形，利用证明，即得； 【结论应用】（1）由【教材呈现】知，设，根据四边形的面积为8，得，解得，即得； （2）①由，得，即可得； ②由正方形的边长为5，图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，可得，即，，在中，，可得，从而，即可得出答案． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 解：（1）由【教材呈现】知，当时，， 设， ∵四边形的面积为8， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴ 故答案为：； （2）①由【教材呈现】知，当时，， ∴， ∴ 即， 故答案为：＝； ②∵正方形的边长为5， ∴正方形的面积为25， ∵图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5， ∴图中阴影部分的面积为， ∴ 由①知， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，即△CDG的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质，三角形和四边形的面积，正方形的性质，勾股定理及应用，完全平方公式等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05正方形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握正方形定义，理清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属包含关系 2.全面熟记正方形边、角、对角线、对称性的全部性质 3.熟练掌握正方形多种判定方法，区分性质与判定的用法 4.掌握正方形周长、面积计算公式，理解图形衍生几何结论 1.灵活运用性质计算线段长度、角度、周长与面积 2.根据已知条件，合理选用定理判定四边形为正方形 3.整合矩形、菱形相关知识，完成几何证明与综合计算 4.处理正方形折叠、动点、对角线分割类题型 5.规范书写推理步骤，逻辑严谨完成几何论证 1.基础概念、简单计算题型不出错，稳固基础得分 2.精准辨析平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定差异 3.熟练解答常规计算、图形证明考题 4.攻克图形变换、多图形结合的中档综合题 5.规避定理混淆、判定条件缺失、公式误用等常见错误 题型01.正方形性质理解 题型02.正方形性质求角度 题型03.正方形性质求线段长 题型04.正方形性质求面积 题型05.正方形中的折叠问题 题型06.正方形性质证明 题型07.正方形判定定理理解 题型08.添条件使四边形是正方形 题型09.证明四边形是正方形 题型10.正方形性质与判定求角度 题型11.正方形性质与判定求线段长 题型12.正方形性质与判定求面积 题型13.正方形性质与判定证明 题型14.正方形中的动点问题. 题型15.正方形中的最值问题 题型16.正方形与坐标系综合 题型17.正方形中的旋转问题 题型18.四边形其他综合问题 知识点01:定义（精准直击） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心逻辑：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者所有性质，是最特殊的四边形。 知识点02:正方形的性质（★★★★★） 类别 性质描述 几何语言（以正方形 ABCD 为例，对角线交于 O） 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 特殊性质（拓展） ➽一条对角线将正方形分成2 个全等的等腰直角三角形。 ➽两条对角线将正方形分成4 个全等的小等腰直角三角形。 ➽周长相等的四边形中，正方形面积最大。 知识点03:性质汇总表 研究方向 平行四边形共性 矩形独有 菱形独有 正方形兼具全部特征 边 对边平行、对边相等 邻边垂直 四条边相等 四边相等，对边平行，邻边垂直 角 对角相等、邻角互补 四个角都是90 无固定角度 四个内角均为直角 对角线 互相平分 对角线相等 对角线互相垂直、平分内角 相等、垂直平分，平分一组对角 对称性 中心对称 2 条对称轴 2 条对称轴 4 条对称轴，中心对称 知识点04.正方形的判定（核心） 易错警示 1.判定正方形必须同时满足矩形 + 菱形双重条件，缺一不可 2.不可只凭对角线垂直或只凭对角线相等判定正方形 3.区分四种四边形性质，避免定理混用 4.面积、周长公式不要和矩形、菱形公式混淆 . 题型01.正方形性质理解 1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值____． 3．如图，点E表示的数为（    ） A．1 B． C． D． 题型02.正方形性质求角度 4．如图，已知四边形是正方形，是对角线的中点，以为边作一个正五边形，则的度数是______度． 5．如图，过点C画平行四边形与正方形，其中E点在上，若，，则的度数为（    ） A．50 B．55 C．70 D．75 6．如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连接，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，作平分交于E．求的度数． 题型03.正方形性质求线段长 7．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2）连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 9．在正方形中，，对角线，相交于点，点在的延长线上，连接是的中点，连接． (1)如图，当时，线段与线段的位置关系是_____，_____； (2)如图，当点在线段上，且时，求线段的长． 题型04.正方形性质求面积 10．七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”．某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________． 11．如图，在平行四边形中，以和为斜边分别向内作等腰直角三角形和，延长和分别交和于点H和F，直线分别交和于点I和J．若四边形是正方形，，则平行四边形的面积是（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 12．在正方形中，，，，，．求正方形的面积． 题型05.正方形中的折叠问题 13．如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在的中点E处．若，则的面积是______． 14．将一张正方形纸片如图所示的方式折叠，为折痕，点折叠后的对应点分别为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 15．如图，正方形中，是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型06.正方形性质证明 16．如图，正方形中，对角线和相交于点，，分别是边，上的点，若，且，则的长为_______． 17．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 18．如图1，正方形中，分别为上的点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点为的中点，交于点，连接．求证： 题型07.正方形判定定理理解 19．八年级的数学学习中，有如下问题：如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，．请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 嘉嘉说：添加； 淇淇说：添加； 请判断以下结论，(    )是正确的． A．嘉嘉说的对 B．淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇合在一起才对 D．无法判断 20．如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为，利用无刻度直尺作图，请完成下列各小题． (1)在图①中，以为边作一个菱形（不是正方形），其中点为格点； (2)在图②中，以为边作正方形，其中点为格点． 21．如图，在正方形中，对角线，相交于点O，P是上的一个动点，连接，作，交的延长线于点E，以和为邻边作． (1)观察与猜想：是 （填“矩形”、“菱形”或“正方形”）； (2)请验证你的猜想． 题型08.添条件使四边形是正方形 22．如图，、、、分别是、、、的中点．要使四边形是正方形，、应满足的条件是________．    23．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在四边形AECF中，AE⊥EC，AF⊥FC．CE、CF分别是的内、外角平分线． （1）求证：四边形AECF是矩形． （2）当满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由． 题型09.证明四边形是正方形 25．如图，在矩形中，对角线相交于点为的平分线．求证：四边形为正方形． 26．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，． (1)求证：四边形是正方形； (2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离． 27．如图，在矩形中，的平分线交于点E，于点F，于点G，与交于点O． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求和的长． 题型10.正方形性质与判定求角度 28．如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 29．如图，在一正方形中，E为对角线上一点，连接、． （1）求证：． （2）延长交于点F，若．求的度数． 30．已知：在正方形中，为上一点，过作于，延长至点与交于，连接，若． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，延长、交于点，连接、，若为中点，，求的长． 题型11.正方形性质与判定求线段长 31．如图所示，两条外角平分线交于点D，，过点D作于点E，于点F．若，当点C恰好是的中点时，_______． 32．如图，为边长为2的正方形的对角线任一点，过点作于点，于点，连接．给出以下4个结论：①；②；③最短长度为；④若时，的长度为．其中结论正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．②③④ D．①②③④ 33．如图，已知四边形ABCD是正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG． (1)求证：矩形DEFG为正方形； (2)求证：CE＋CG＝8 题型12.正方形性质与判定求面积 34．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在边AB，AD上，且AE＝DF＝1．连接CE，BF交于点G，则四边形CDFG（图中阴影部分）的面积是 __________________． 35．如图所示为“赵爽弦图”，其中、、、是四个全等的直角三角形，且两条直角边之比为1∶2，连接、，分别交、于点、，则四边形和四边形的面积比为（    ） A．5∶2 B．2∶1 C． D． 36．【问题一】如图①，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点， 交于点E， 交于点F，则与的数量关系为______； 【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图②：直线m、n经过正方形的对称中心O，直线m分别与交于点E、F，直线n分别与交于点G、H，且 ，若正方形边长为8，求四边形的面积； 【问题三】在图②中，连接E、G、F、H四点，请证明四边形是正方形． 题型13.正方形性质与判定证明 37．如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，b（），连结，设，完成下面问题： （1）_________°； （2）给出下面四个结论：①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是_________． 38．如图，是正方形的对角线上一点，，，垂足分别为．若正方形的周长是． (1)求证：四边形是矩形； (2)当四边形是正方形时，求的长． 39．如图，分别在正方形的边上截取相等的线段，连接得四边形．求证：四边形是正方形． 题型14.正方形中的动点问题. 40．正方形的边长为6，点E是边上一个动点，连接，作垂直，且，连接，则的最小值为___________． 41．如图，在正方形中，，点F是边上的动点，点P是线段上的动点，若，则线段的长为（    ） A． B．2 C． D． 42．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点是线段上一动点（不与点重合）．连接，作交于点． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)连接，交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 题型15.正方形中的最值问题 43．如图，为正方形的边上一动点，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转得到．若E，F分别为，的中点，连接，则长的最小值为_____． 44．已知正方形边长为12，，与交于点P，点Q为中点，则最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 45．如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 题型16.正方形与坐标系综合 46．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为2，顶点A在轴上，顶点D在轴上，，则点C的坐标为___________________． 47．如图，正方形的顶点B在y轴上的正半轴上，将其以点A为旋转中心顺时针旋转得到正方形，顶点，在x轴负半轴上，若，则点A的坐标为______． 48．已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． (1)直接写出值：_______，_______； (2)正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． (3)如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 题型17.正方形中的旋转问题 49．如图，为正方形内一点，，按顺时针方向旋转角度后成为，___________． 50．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，，若，，则线段的长为（） A． B． C． D． 51．已知在正方形中，点为线段上一个动点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，作射线，与的延长线交于点． (1)如图1，连接，请问四边形是什么四边形，并证明： (2)如图2，连接，，则当的面积是10时，请直接写出正方形的周长． 题型18.四边形其他综合问题 52．如图，把边长为的正方形剪成四个完全相同的直角三角形．请用这四个完全相同的直角三角形拼成符合下列要求的图形（要求全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照题中所给的图按实际大小画出： (1)不是梯形和平行四边形的凸四边形； (2)平行四边形． 53．如图，在正方形中，E是延长线上一点，连接，O为的中点，过点E作于点F，连接．设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 54．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容．    如图，在正方形中，，求证：．请结合图①（设、交于点G），写出完整的证明过程． 【结论应用】 （1）如图②，在正方形中，，连接、，若正方形的边长为3，四边形的面积为8，则的长为_________； （2）如图③，在正方形中，． ①四边形与的面积关系为：_________；（填“＞”，“＜”或“＝”） ②若正方形的边长为5，且图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为3：5，则的周长为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $