专题02中心对称与三角形中位线期末复习讲义(12大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题02中心对称与三角形中位线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解中心对称、中心对称图形的定义，分清二者区别与联系 2.掌握中心对称的性质，熟知对称点、对称线段、对称图形的特征 3.学会判定常见图形是否为中心对称图形 4.熟记三角形中位线概念，牢固掌握中位线定理内容 1.能画出一个图形关于某点成中心对称的图形 2.运用中心对称性质求解线段长度、角度度数 3.准确识别生活、几何图形中的中心对称图形 4.利用中位线定理进行边长计算、线段等量推导 5.结合平行四边形知识，完成综合证明与计算题型 1.概念辨析题判断准确，不混淆轴对称与中心对称 2.规范完成中心对称作图题，格式点位无误 3.熟练套用中位线定理解题，基础计算零失误 4.理清几何推理逻辑，规范书写证明步骤 5.解决图形变换、线段推导类综合考题 题型01.成中心对称 题型02.汇总关于某点的对称图形 题型03.画两个图形的对称中心 题型04.根据中心对称的性质求解 题型05.中心对称图形的识别 题型06.判断中心对称图形的对称中心 题型07.方格纸中补画中心对称图形 题型08.中心对称图形的规律问题 题型09.三角形中位线求解问题 题型10.三角形中位线证明问题 题型11.三角形中位线的实际应用 题型12.中点四边形 知识点01:核心概念：中心对称 vs 中心对称图形（必分清） 1. 中心对称（两个图形的关系） 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形完全重合，就说这两个图形成中心对称。 关键：是两个图形之间的位置关系，有一个对称中心。 一句话记忆：两个图形，绕点转 180°，能重合。 2. 中心对称图形（一个图形的特性） 定义：把一个图形绕自身某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键：是一个图形自身的对称性，对称中心在图形内部。 一句话记忆：一个图形，绕点转 180°，自己和自己重合。 3. 二者关系 中心对称是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质。 把中心对称图形的两部分看成两个图形，它们就成中心对称； 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形。 知识点02:中心对称与中心对称图形的区别 对比项 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形的关系 一个图形自身的特性 旋转 绕一点旋转 180°，与另一个图形重合 绕一点旋转 180°，与自身重合 对称中心 是两个图形的公共点 是图形自身的一个点 知识点03:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点04:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点05:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 . 区别：中位线连两边中点；中线连接顶点与对边中点。 2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 定理推论与常用结论 (1)一个三角形有三条中位线 (2)三条中位线把原三角形分成 4 个全等小三角形 (3)中位线围成的小三角形，周长为原三角形的，面积为原三角形的 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.成中心对称 1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于基础题型，熟知轴对称图形和中心对称图形的定义是正确判断的关键． 2．如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点_____． 【答案】 【分析】本题考查成中心对称，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．由于菱形与菱形关于直线上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 【详解】解：由题意和图可知：点为对称中心，点B的对称点是H． 故答案为：． 3．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由于、关于点对称，则，，化简整理即可． 【详解】解：设由于、关于点对称， 可知：，， 解得：，， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于一点成中心对称的问题；掌握中心对称的点的坐标特征是解题的关键． 题型02.汇制关于某点的对称图形 4．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 5．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可； （2）先找到、、对应点、、的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 题型03.画两个图形的对称中心 7．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 8．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 9．如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    【答案】见解析，15 【分析】本题主要考查了中心对称，正确掌握中心对称图形的性质是解题关键． 连接，，其交点就是对称中心；依据和关于点成中心对称，即可得到，进而得出的周长． 【详解】解：如图所示，点即为所求；   和关于点成中心对称， ， ，，， 的周长； 答：的周长为15． 题型04.根据中心对称的性质求解 10．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 【答案】4 【分析】本题考查了中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据对称性可知一定过点，由及等腰直角三角形的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点和点关于点对称，连接，则一定过点， 且， ∵和是等腰直角三角形，为的中点， ∴， 由对称性知， ∴． 故答案为：4 ． 11．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据中心对称的性质得出，，然后证明，得出，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵与关于O中心对称， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型05.中心对称图形的识别 13．平行四边形是____________对称图形，若的对角线相交于点，则点关于点的对称点是点____________． 【答案】 中心 C 【分析】根据平行四边形的对称性质及对角线互相平分的特点分析，确定其对称类型和对称点即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，平行四边形是中心对称图形，其对称中心为对角线的交点O； 由平行四边形的对角线互相平分可知，，且点A、O、C在同一直线上，根据中心对称点的定义，点A关于点O的对称点是点C． 14．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； 15．音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意． 题型06.判断中心对称图形的对称中心 16．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________． 【答案】 【分析】对应点连线的中点即时对称中心的坐标，以此来求解即可． 【详解】解：的中点坐标是， 故答案是：． 【点睛】本题考查了中心对称变换，掌握根据对应点找出对称中心的方法是求解的关键． 17．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 【答案】A 【分析】图案旋转后与原图案重合，说明图案是中心对称图形，旋转中心是对应点连线的中点． 本题考查了中心对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设点P旋转后得到点，旋转中心为O， ∵ 旋转相当于关于点O的中心对称， ∴ O是线段的中点， 因此，旋转中心是对应点连线的中点， 故选：A． 18．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 19．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 【答案】，，中是中心对称图形，对称中心见解析 【分析】本题考查识别图形的中心对称性．要注意正确区分轴对称图形和中心对称图形，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合．根据中心对称图形的定义，抓住所给图案的特征，可找出图中成中心对称图形的字母，再标出它们的对称中心． 【详解】解：根据题意，上述汉字或字母是中心对称图形的有：，，中．“由”不是中心对称图形； 如图所示，，，中的对称中心为图形中的点． 题型07.方格纸中补画中心对称图形 20．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 21．如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 22．仅用无刻度的直尺，在下面方格纸中画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)画出，使它与关于点成中心对称． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查作图−旋转变换、作图−平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）由平移性质，将的三个顶点按照点到的平移发生进行，再连接三个顶点即可得到； （2）由旋转性质，将的三个顶点绕着点旋转，再连接三个顶点即可得到． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：如图所示： 即为所求． 题型08.中心对称图形的规律问题 23．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 24．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 题型09.三角形中位线求解问题 26．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可． 【详解】解：∵，分别是边，的中点．， ∴. 27．如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是线段上一点，且，连接、，若，则的长度是________． 【答案】8 【分析】先根据三角形中位线定理求得的长度，结合已知条件求出的长度，从而得到的长度，紧接着根据直角三角形斜边中线的性质即可得解． 【详解】解：∵点D、E分别是、的中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵分别是 的中点， ∴． 29．在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．交于点H．下面四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由等腰三角形“三线合一”得，根据三角形中位线定理可得；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得，即可得；连接，可证四边形是平行四边形，即可得，由三角形面积关系得出，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，，，，， ， ， 点为中点， ，故①正确； 、、分别是、、的中点， ，， ，， ， ，故②正确； ，， 四边形是平行四边形， ，故③正确； ，， ，， ，即，故④正确； 30．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 【答案】(1)32 (2)2 【分析】（1）作于F，根据可知长度，根据角平分线以及平行线的性质可知，进而可用面积公式求解； （2）取DE中点H，连，可证是平行四边形，根据三角形的中位线以及平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）作于F， ， 平分， ∴, ， ， ， （2）取DE中点H，连，则． ∵点F是的中点，点H是的中点， ∵点E是BC的中点，， ∴是平行四边形， ． 题型10.三角形中位线证明问题 31．如图，点D，E分别是的边的中点，连接BE，过点C作，交的延长线于点F，若，则EF的长为_____________． 【答案】 【分析】根据条件可得四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】解：D，E分别是的边的中点 四边形为平行四边形 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、中位线定理等知识点．掌握相关几何结论是解题关键． 32．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知是线段的垂直平分线，则，从而可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得，从而判断选项D正确；当时得，否则不成立，从而可判断选项C错误． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则，， 故选项A正确； ∵是边上的中线， ∴点E是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选项B正确； ∵是边上的中线，点D是的中点， ∴，， ∴， 故选项D正确； 当时，，否则不成立， 故选项C错误． 故选：C． 33．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】（1）根据中位线定理及中点定义可知，再根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：在中，分别是的中点， 是的中位线， ， ， 点是的中点， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 则四边形的周长 ． 34．如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并构造辅助线进行线段的等量代换． （1）在的延长线上截取，证明，得到，，通过角度的等量代换证明，进而通过等角对等边证明，然后通过线段和差关系等量代换即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再通过中位线的性质得到，结合（1）所证得，，，从而通过线段和差关系等量代换证得． 【详解】（1）证明：如图所示，在的延长线上截取， 在和中， ， ， ，， 又∵ ， ， ， ， ； （2）解：在中，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线，且， 如图，在的延长线上截取， 由（1）可知，，， ， 综上，图中长度等于的线段（不包括）的有、、． 题型11.三角形中位线的实际应用 35．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 【答案】24 【分析】根据三角形的中位线定理，即可得出结果. 【详解】解：由题意，是的中位线，， ∴. 36．如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】先根据直角三角形斜边中线性质得出AD=CD=BD ，根据等腰三角形三线合一性质得出DE⊥AC，且AE=CE，然后得出DE为△ABC的中位线，利用三角形中位线性质求解即可． 【详解】解：点是斜边的中点，， ∴AD=CD=BD ， ∵平分， ∴DE⊥AC，且AE=CE， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE=． 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质，掌握直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的判定与性质是解题关键． 37．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明为的中位线，得出，，由为的中点，得到，由四边形为平行四边形，得到，从而得到，即可得证； （2）由平行四边形的性质得到，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，最后由，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，， 为的中位线， ，， 为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键． 题型12.中点四边形 38．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．小明在研究中点四边形时，得到下面三个结论：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是正方形．其中正确的是______（填序号，填写一个即可）． 【答案】① 【分析】当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，据此逐一判断即可． 【详解】解：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形，原说法正确，故①符合题意； ②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形，原说法错误，故②不符合题意； ③矩形的中点四边形是菱形，原说法错误，故③不符合题意； 综上所述，正确的是①， 故答案为：①． 【点睛】本题考查判断一个四边形的中点四边形的形状，熟练掌握：中点四边形一定是平行四边形；当原来四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形；当原来四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形；当原来四边形的对角线垂直且相等时，中点四边形是正方形，是解题的关键． 39．四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形． 【详解】解：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 40．如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为 【分析】本题考查了三角形中点四边形，中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到，，，，得到，，根据平行四边形的判定定理证明； （2）根据三角形中位线定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， E、F、G、H分别是的中点， 四边形是平行四边形； （2）， ， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， 的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02中心对称与三角形中位线期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解中心对称、中心对称图形的定义，分清二者区别与联系 2.掌握中心对称的性质，熟知对称点、对称线段、对称图形的特征 3.学会判定常见图形是否为中心对称图形 4.熟记三角形中位线概念，牢固掌握中位线定理内容 1.能画出一个图形关于某点成中心对称的图形 2.运用中心对称性质求解线段长度、角度度数 3.准确识别生活、几何图形中的中心对称图形 4.利用中位线定理进行边长计算、线段等量推导 5.结合平行四边形知识，完成综合证明与计算题型 1.概念辨析题判断准确，不混淆轴对称与中心对称 2.规范完成中心对称作图题，格式点位无误 3.熟练套用中位线定理解题，基础计算零失误 4.理清几何推理逻辑，规范书写证明步骤 5.解决图形变换、线段推导类综合考题 题型01.成中心对称 题型02.汇总关于某点的对称图形 题型03.画两个图形的对称中心 题型04.根据中心对称的性质求解 题型05.中心对称图形的识别 题型06.判断中心对称图形的对称中心 题型07.方格纸中补画中心对称图形 题型08.中心对称图形的规律问题 题型09.三角形中位线求解问题 题型10.三角形中位线证明问题 题型11.三角形中位线的实际应用 题型12.中点四边形 知识点01:核心概念：中心对称 vs 中心对称图形（必分清） 1. 中心对称（两个图形的关系） 定义：把一个图形绕某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形完全重合，就说这两个图形成中心对称。 关键：是两个图形之间的位置关系，有一个对称中心。 一句话记忆：两个图形，绕点转 180°，能重合。 2. 中心对称图形（一个图形的特性） 定义：把一个图形绕自身某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原图形完全重合，这个图形就是中心对称图形。 关键：是一个图形自身的对称性，对称中心在图形内部。 一句话记忆：一个图形，绕点转 180°，自己和自己重合。 3. 二者关系 中心对称是两个图形的位置关系，中心对称图形是一个图形的性质。 把中心对称图形的两部分看成两个图形，它们就成中心对称； 把成中心对称的两个图形看成一个整体，它就是中心对称图形。 知识点02:中心对称与中心对称图形的区别 对比项 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形的关系 一个图形自身的特性 旋转 绕一点旋转 180°，与另一个图形重合 绕一点旋转 180°，与自身重合 对称中心 是两个图形的公共点 是图形自身的一个点 知识点03:中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点04:中心对称作图 “标准四步法”（规范不丢分） 场景 1：已知图形和对称中心，画中心对称图形 连：连接图形的关键点与对称中心。 延：延长这条线段，使延长部分与原线段长度相等。 定：得到关键点的对应点。 连：顺次连接所有对应点，得到中心对称图形。 场景 2：已知两个成中心对称的图形，找对称中心 方法：连接任意一组对应点，这条线段的中点就是对称中心。 进阶：连接两组对应点，两条线段的交点就是对称中心。 知识点05:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 . 区别：中位线连两边中点；中线连接顶点与对边中点。 2. 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =BC。 3. 定理推论与常用结论 (1)一个三角形有三条中位线 (2)三条中位线把原三角形分成 4 个全等小三角形 (3)中位线围成的小三角形，周长为原三角形的，面积为原三角形的 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 知识点06:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 题型01.成中心对称 1．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点_____． 3．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型02.汇制关于某点的对称图形 4．三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 5．在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 6．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点的坐标为，请你解答下列问题． (1)在坐标系中，画出关于原点中心对称的； (2)在坐标系中，画出绕原点顺时针旋转得到的． 题型03.画两个图形的对称中心 7．如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是_____． 8．如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 9．如图，和关于点成中心对称，若，，，请在图中画出它们的对称中心，并求出的周长．    题型04.根据中心对称的性质求解 10．如图，等腰直角与等腰直角关于点B中心对称，P为的中点，Q为点P的对称点．若，则P，Q两点间的距离为________． 11．如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．如图，与关于点O中心对称，点E、F在线段上，且．求证：． 题型05.中心对称图形的识别 13．平行四边形是____________对称图形，若的对角线相交于点，则点关于点的对称点是点____________． 14．博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值．下列博物馆标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 15．音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型06.判断中心对称图形的对称中心 16．如图，在平面直角坐标系中，经过中心对称变换得到，那么对称中心的坐标为_________． 17．兴仁市开展“非遗文化进校园”活动，将布依族刺绣图案进行旋转设计，若将一个图案绕某点旋转后与原图案重合，则该图案的旋转中心是对应点连线的（    ） A．中点 B．端点 C．三等分点 D．四等分点 18．如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 19．在美术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 题型07.方格纸中补画中心对称图形 20．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 21．如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 22．仅用无刻度的直尺，在下面方格纸中画图． (1)平移得到，使得点的对应点为； (2)画出，使它与关于点成中心对称． 题型08.中心对称图形的规律问题 23．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 24．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 题型09.三角形中位线求解问题 26．如图，在中，，分别是边，的中点．若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 27．如图，在中，点D、E分别是、的中点，，点F是线段上一点，且，连接、，若，则的长度是________． 28．如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 29．在平行四边形中，对角线，相交于点O，，E，F，G分别是，，的中点．交于点H．下面四个结论：①；②；③；④；其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 30．如图、在中，点E在上，． (1)若平分，求的面积． (2)若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 题型10.三角形中位线证明问题 31．如图，点D，E分别是的边的中点，连接BE，过点C作，交的延长线于点F，若，则EF的长为_____________． 32．如图，中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线，分别交于点D，O；③连接．下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 34．如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 题型11.三角形中位线的实际应用 35．如图，、两地被池塘隔开，李明通过下列方法测出了、间的距离：先在，两地外选一点、然后分别测出、的中点、、并测量出的距离为、由此他就知道了、间的距离、则______． 36．如图，在中，，点是斜边的中点，平分，，则的长是(   ) A．2 B．4 C．6 D．8 37．如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连结并延长，使，连结并延长，使，连结．为的中点，连结．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求的度数． 题型12.中点四边形 38．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．小明在研究中点四边形时，得到下面三个结论：①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是菱形；③矩形的中点四边形是正方形．其中正确的是______（填序号，填写一个即可）． 39．四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形，四边形的形状是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 40．如图，的对角线相交于点O，且E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $