专题04菱形性质与判定期末复习讲义(15大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题04菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰菱形定义，理清菱形与平行四边形的包含关系 2.熟记菱形边、角、对角线、对称性的全部性质 3.熟练掌握菱形三种判定方法，分清性质与判定的区别 4.掌握菱形面积两类计算方式，理解相关几何推论 1.运用菱形性质求解线段、角度、周长与面积 2.依据已知条件，灵活选取判定定理证明四边形为菱形 3.结合等腰三角形、直角三角形知识完成推理计算 4.整合平行四边形、矩形知识点，解答综合性几何题型 5.规范书写证明过程，逻辑严谨条理清晰 1.基础概念与简单计算零失误，稳稳拿下基础分值 2.精准区分平行四边形、矩形、菱形的性质判定差异 3.熟练应对边角计算、图形证明常规考题 4.攻克菱形折叠、动点、对角线相关中档题型 规避定理混淆、公式误用、条件遗漏等常见错误 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形中的折叠问题 题型11.菱形中的动点问题 题型12.菱形中的最值问题 题型13.菱形中旋转问题 题型14.菱形与坐标系综合 题型15.菱形的存在性问题 知识点01:定义（既是性质，也是判定） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键：定义是平行四边形 + 一组邻边相等。 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形。 知识点02:菱形的性质 1.边 对边平行 四条边都相等 2.角 对角相等，邻角互补（同平行四边形） 3.对角线 互相平分 互相垂直 每条对角线平分一组内角 4.对称性 中心对称图形 轴对称图形，有 2 条对称轴（对角线所在直线） 已知四边形 ABCD 是菱形，对角线交于点 O 1.边的性质 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA, AB∥CD, AD∥BC. 2.角的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∠DAB+∠ABC=180∘,∠ABC+∠BCD=180∘. 3.对角线的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC,OB=OD, AC⊥BD,∠CAB=∠CAD, ∠ACB=∠ACD,∠DBA=∠DBC, ∠ADB=∠CDB. 4.对称性 中心对称：对称中心为对角线的交点 O。 轴对称：有 2 条对称轴，分别是对角线 AC 所在直线和 BD 所在直线。 知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 1.四边相等是菱形独有边特征，区别矩形直角特征 2.对角线互相垂直是菱形专属性质，矩形对角线特点为相等 3.判定区分图形类型，普通四边形与平行四边形判定条件不能混用 4.面积两种公式按需选用，不要记错对角线求面积的系数 5.分清性质用来计算，判定用来证明图形形状 题型01.菱形的性质求角度 1．图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 3．如图，在菱形中，，点E在的延长线上，对角线与交于点M，交于点F，且． (1)求的度数． (2)求证：． 题型02.菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的边长为，是延长线上一点，，，则线段的长度是__________． 5．如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．12 6．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 题型03.菱形的性质求面积 8．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 9．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 10．如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 11．如下图，在中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F，四边形GEHF是菱形． (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明理由． (2)若，，则菱形GEHF的面积为________． 题型04.菱形的性质证明 12．如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______． 13．如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 题型05.添条件使四边形是菱形 15．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 16．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 题型06.证明四边形是菱形 18．如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 19．如图，在中，是的平分线，，交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求的长． 20．如图，平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交边于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)记、的交点为，连接．若，，，求的长． 题型07菱形性质与判定求角度 21．如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点．给出以下结论：①；②；③；④当点F与点重合时，，其中正确的结论有__________（填序号）． 22．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 23．已知：如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 题型08.菱形性质与判定求线段长 24．在中，于点O，点M是中点，连接，，则的周长是_______． 25．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（   ） A．15 B． C． D． 26．如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 题型09.菱形的性质与判定求面积 27．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 28．两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ）． A．2 B． C． D． 29．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 题型10.菱形中的折叠问题 30．如图，在菱形中，，点E是边上的一点，沿翻折得到，连接并延长，交于点F．则的度数是__________． 31．如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 32．已知四边形是菱形，，的两边分别与、相交于点E、F，且． (1)如图1，当点E是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点E是线段上任意一点时（点E不与A、D重合），求证：； (3)如图3，，点E是线段的中点，点F是边上一动点（不与点A、B重合），连接，将沿翻折，使点A落在菱形内部点G处，请直接写出的最小值．（根号内数据不化简） 题型11.菱形中的动点问题. 33．如图，菱形的边长为，，，分别是，边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是______． 35．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F． ①直接写出与的数量关系，并求的度数． ②若，，求的长． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________． 题型12.菱形中的最值问题 36．如图，菱形 的边长为 2，， E 为的中点， P 为上一动点，则的最小值为_________． 37．如图，菱形中对角线与相交于点F，且，若点P是对角线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，使得，连接，则在点P的运动过程中，线段最小值为（    ）    A．4 B．6 C．6 D．12 38．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q． (1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长； (2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ； (3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值． 题型13.菱形中旋转问题 39．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 40．如图，菱形的边在x轴负半轴上，点C的坐标为，将菱形绕点A旋转，点O的对应点恰好落在对角线上，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 41．如图一，菱形中，点是的中点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)将图一中绕点D逆时针旋转，使得点和点重合，得到（如图二），连接，试判断的形状； (3)若，在（2）的条件下，求线段的长． 题型14.菱形与坐标系综合 42．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点A的坐标为，则菱形的周长为（   ） A．6 B． C． D． 43．已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为_____． 44．如下图，菱形中，O为坐标原点，点B在x轴上，，． (1)直接写出点B和点A的坐标； (2)P是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点D，判断的形状，并给予证明； (3)在（2）的条件下，以、为邻边作，如果点E在第一象限的角平分线上，求的长． 题型15.菱形的存在性问题 45．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 46．在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____． 47．如图①，在矩形中，，，，分别是，上的点，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点，的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)若，分别是，中点． ①求证：； ②求证：四边形是平行四边形； ③若四边形为矩形，求的值； (2)如图②，若点，以每秒1个单位长度的速度分别从、的中点与点、同时出发，分别向点，运动，当四边形为菱形时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04菱形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰菱形定义，理清菱形与平行四边形的包含关系 2.熟记菱形边、角、对角线、对称性的全部性质 3.熟练掌握菱形三种判定方法，分清性质与判定的区别 4.掌握菱形面积两类计算方式，理解相关几何推论 1.运用菱形性质求解线段、角度、周长与面积 2.依据已知条件，灵活选取判定定理证明四边形为菱形 3.结合等腰三角形、直角三角形知识完成推理计算 4.整合平行四边形、矩形知识点，解答综合性几何题型 5.规范书写证明过程，逻辑严谨条理清晰 1.基础概念与简单计算零失误，稳稳拿下基础分值 2.精准区分平行四边形、矩形、菱形的性质判定差异 3.熟练应对边角计算、图形证明常规考题 4.攻克菱形折叠、动点、对角线相关中档题型 规避定理混淆、公式误用、条件遗漏等常见错误 题型01.菱形的性质求角度 题型02.菱形的性质求线段长 题型03.菱形的性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.添条件使四边形是菱形 题型06.证明四边形是菱形 题型07菱形性质与判定求角度 题型08.菱形性质与判定求线段长 题型09.菱形的性质与判定求面积 题型10.菱形中的折叠问题 题型11.菱形中的动点问题 题型12.菱形中的最值问题 题型13.菱形中旋转问题 题型14.菱形与坐标系综合 题型15.菱形的存在性问题 知识点01:定义（既是性质，也是判定） 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键：定义是平行四边形 + 一组邻边相等。 几何语言：在▱ABCD 中，∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形。 知识点02:菱形的性质 1.边 对边平行 四条边都相等 2.角 对角相等，邻角互补（同平行四边形） 3.对角线 互相平分 互相垂直 每条对角线平分一组内角 4.对称性 中心对称图形 轴对称图形，有 2 条对称轴（对角线所在直线） 已知四边形 ABCD 是菱形，对角线交于点 O 1.边的性质 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA, AB∥CD, AD∥BC. 2.角的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴∠DAB=∠BCD,∠ABC=∠ADC,∠DAB+∠ABC=180∘,∠ABC+∠BCD=180∘. 3.对角线的性质 ∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC,OB=OD, AC⊥BD,∠CAB=∠CAD, ∠ACB=∠ACD,∠DBA=∠DBC, ∠ADB=∠CDB. 4.对称性 中心对称：对称中心为对角线的交点 O。 轴对称：有 2 条对称轴，分别是对角线 AC 所在直线和 BD 所在直线。 知识点03:判定定理・三招定菱形（满足其一即可） 判定 方法 文字语言 几何语言 图示 定义 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AB=AD ∴ 菱形 ABCD 四边相等 四条边相等的四边形是菱形 ∵ AB=BC=CD=DA ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵ 平行四边形 ABCD，AC⊥BD ∴ 菱形 ABCD 对角线垂直平分 对角线垂直且平分的四边形是菱形 ∵ AC⊥BD，OA=OC，OB=OD ∴ 菱形 ABCD 知识点04:菱形的面积计算 计算方法 符号表述 主要依据 .菱形面积=底高 S=BCDE 菱形是特殊的平行四边形 菱形面积=两条对角线乘积的一半 易错知识点 1.四边相等是菱形独有边特征，区别矩形直角特征 2.对角线互相垂直是菱形专属性质，矩形对角线特点为相等 3.判定区分图形类型，普通四边形与平行四边形判定条件不能混用 4.面积两种公式按需选用，不要记错对角线求面积的系数 5.分清性质用来计算，判定用来证明图形形状 题型01.菱形的性质求角度 1．图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，在菱形中，，垂直平分，垂足为E，与对角线交于点F，连接，则的大小为________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质得出相等的边和角，表示出相关的角，根据线段垂直平分线的性质得出，证明，得出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在菱形中，，点E在的延长线上，对角线与交于点M，交于点F，且． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用菱形的性质和三角形外角的性质即可； （2）利用菱形的性质和角平分线的定义证得即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形 ∴ ∴ ∴； （2）证明：∵四边形是菱形 ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 题型02.菱形的性质求线段长 4．如图，菱形的边长为，是延长线上一点，，，则线段的长度是__________． 【答案】 【分析】连接，交于点，由菱形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，可得，即可得线段的长度． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形的边长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，连接．若，，以点C为圆心，长为半径作弧，交边于另一点F，再分别以B，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接交边于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹可知，即为菱形的高，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线长，再利用等面积法求解即可 【详解】解：设与交于点，连接， 四边形是菱形， ， 在中，， ， 由作图可知，，且垂直平分， ， ， ， ． 6．如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接BD，证△DBE≌△DCF（SAS），得DE=DF，∠EDB=∠FDC，再证△DEF是等边三角形，得DE=DF=EF，过点D作DM⊥AB于M，设AD=x（x＞0），则AM=x，DM=x，ME=AE-AM=2x，然后在Rt△DME中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，AD∥BC， ∴△BCD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°，. ∴∠BDC=∠DBC=60°，BD=CD， ∴∠DBE=∠ABC-∠DBC=60°， ∴∠DBE=∠C， ∵AE=BF=2， ∴AB-AE=BC-BF， 即BE=CF， 在△DBE和△DCF中， ， ∴△DBE≌△DCF（SAS）， ∴DE=DF，∠EDB=∠FDC， ∴∠EDB+∠BDF=∠FDC+∠BDF=∠BDC=60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴DE=DF=EF， ∵△DEF的周长为， ∴DE=， 过点D作DM⊥AB于M， 设AD=x（x＞0）， 则AM=x，DM=AD•sin60°=x， ∴ME=AE-AM=2x， 在Rt△DME中，由勾股定理得：（）2+（2x）2=（）2， 整理得：x2-2x-2=0， 解得：x=1+或x=1（舍去）， ∴AD=+1， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 7．如图，菱形的对角线相交于点，过点作且，连接，连接交于点． (1)求证：； (2)若菱形的边长为2，，求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得出，证明四边形是平行四边形．根据，证明平行四边形是矩形，再根据矩形的性质即可证明结论； （2）先证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵为菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． ∴． （2）解：∵在菱形中，，， 为等边三角形， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴在中，由勾股定理得． 题型03.菱形的性质求面积 8．已知一个菱形有一个内角等于，一条对角线长是6，那么这个菱形的面积是___________． 【答案】 或 【分析】根据菱形的性质，菱形邻角互补，对角线互相垂直平分，且平分内角，已知一个内角为，可得相邻内角为，需分已知对角线为短对角线和长对角线两种情况讨论，利用勾股定理求出另一条对角线的长，再根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：设菱形中，，对角线，交于点， 由菱形的性质可得：，，，，平分，平分，， 分两种情况讨论： 当长度为的对角线是较短对角线时，如图所示，， ，， 是等边三角形， ，， 在中，由勾股定理得： ， ， 菱形面积， 当长度为的对角线是较长对角线时，如图所示，， ， 设，在中，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得（舍去负根）， ，， 菱形面积， 9．如图，在菱形中，对角线、交于点O，点E在边上，连接，．若，，则菱形的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据等角对等边得出，结合菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线、的长，利用菱形面积公式求解即可． 【详解】 解：， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ，， 菱形的面积． 10．如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得，，，，，，进而证明，最后根据含的直角三角形的性质，勾股定理，求得的长，进而求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，，，， ． ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， 菱形的面积为． 11．如下图，在中，对角线AC，BD相交于点O，G，H分别是AD，BC的中点，E，O，F分别是对角线BD上的四等分点，顺次连接点G，E，H，F，四边形GEHF是菱形． (1)线段AB和BD有何位置关系？请说明理由． (2)若，，则菱形GEHF的面积为________． 【答案】(1)，理由见解析 (2)2 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得到，；由三角形中位线定理可得，，即得到，可证明四边形是平行四边形，可得，由菱形的性质可得，即可得结论； （2）分别求出、的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：． 理由如下：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． ∵四边形是菱形， ， ，即． （2）解：，， ． ，，分别是对角线上的四等分点， ， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，三角形中位线定理等知识，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 题型04.菱形的性质证明 12．如图，在菱形中，，垂足为点．与交于点，连接．若，则的大小为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质，得出，，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据菱形的性质，得出，再根据垂线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，进而即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理． 13．如图，在菱形中，分别是上的点，且与相交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的“三线合一”，掌握菱形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，，，可证，得到点是的中点，则有平分，，根据直角三角形两锐角互余，角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， 又∵， ∴平分，，即， 在中，， ∴， 故选：B ． 14．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 题型05.添条件使四边形是菱形 15．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 16．如图，在中，，交于点，点，在上，．要使四边形为菱形，还需添加的一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，结合菱形的判定定理，对各选项进行分析即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， 选项B由已知可得，不需要添加， ∵， ∴，即， 选项A由已知可得，不需要添加， ∴四边形是平行四边形， 添加选项C，无法证得四边形为菱形， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∴． 若添加选项D， ∵， ∴． ∴， ∴四边形为菱形， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 17．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是菱形，并证明； (3)若，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形，见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出且，即可得到四边形是平行四边形； （2）首先得到，，然后结合推出，进而证明即可； （3）勾股定理求出，，勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点． ∴且，，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是菱形． ∵分别是的中点． ∴，， 当时，， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长为． 题型06.证明四边形是菱形 18．如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】先根据对角线相互平分的四边形是平行四边形可证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论． 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 19．如图，在中，是的平分线，，交于点F．    (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，如果，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，再结合是的平分线，可得，从而得到，即可求证； （2）过点C作交的延长线于点G，证明，根据直角三角形的性质可得，，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点C作交的延长线于点G，    ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 20．如图，平行四边形中，的平分线交边于点，的平分线交边于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)记、的交点为，连接．若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行四边形的性质和角平分线，证明四边形的两组对边分别平行，得出其为平行四边形；再通过等角对等边证明一组邻边相等，从而证得四边形是菱形． （2）先根据菱形的性质和已知条件，证明为等边三角形，求出相关线段的长度；再通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴平分，即， 过点作于点， 在中， ， 在中， ∵，， ∴，， 设，则， ，， 又∵，即， 解得（负值已舍）， ∴，， ∴， 在中， ． 题型07菱形性质与判定求角度 21．如图，矩形纸片中，，．将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点．给出以下结论：①；②；③；④当点F与点重合时，，其中正确的结论有__________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】连接BE，设EF与BG交于点O，由折叠的性质可得EF垂直平分BG，可判断①；由“ASA”可证△BOF≌△GOE，可得BF=EG=GF，可判断②；通过证明四边形BEGF是菱形，可得∠BEF=∠GEF，求出∠AEB=30°，可得∠DEF=75°，可判断④，根据角平分线的性质得到DK≠KH，即可求解． 【详解】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O， ∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处， ∴EF垂直平分BG， ∴EF⊥BG，BO=GO，BE=EG，BF=FG，故①正确， ∵AD∥BC， ∴∠EGO=∠FBO， 又∵∠EOG=∠BOF， ∴△BOF≌△GOE（ASA）， ∴BF=EG， ∴BF=EG=GF，故②正确， ∵BE=EG=BF=FG， ∴四边形BEGF是菱形， ∴∠BEF=∠GEF， 当点F与点C重合时，则BF=BC=BE=12， 此时BE=2AB， ∴∠AEB=30°， ∴∠DEF=75°，故④正确， ∵BG平分∠EGF， ∴DK≠KH，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 22．如图，四边形和四边形都是菱形，点E，F在上已知，，求： (1)的度数． (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由等边对等角及三角形内角和定理求解即可； （2）连接，根据菱形的对角线互相平分得出，，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）连接，如图所示： ∵四边形和四边形都是菱形，，， ∴，， ∴． 【点睛】题目主要考查菱形的性质及等边对等角，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 23．已知：如图，在中，，点D是的中点，点E是的中点，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据点是的中点，可得，根据，可得，，进而利用可以证明，得出，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）结合（1）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，得平行四边形是菱形，由，可得是等边三角形，由，即可求的长． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：点是的中点， ， ， ，又， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， 平行四边形是菱形， ∵， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 题型08.菱形性质与判定求线段长 24．在中，于点O，点M是中点，连接，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】首先证明出四边形是菱形，得到，点O是中点，然后证明出是的中位线，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵在中，于点O， ∴四边形是菱形 ∴，点O是中点 ∵点M是中点 ∴是的中位线 ∴ ∴的周长是． 25．如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 证明四边形是菱形，利用勾股定理即可得的长，求出菱形的面积,根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：C 26．如图，在四边形中，，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得到，根据等角对等边得到，证明四边形是平行四边形，根据可知平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理可知，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可知 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， ， 在中，， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ． 题型09.菱形的性质与判定求面积 27．如图，在菱形中，对角线、交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则菱形的面积为______． 【答案】 【分析】由菱形的性质可知，O是BD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易知BD＝2OE＝2；在Rt△AOB中，根据勾股定理可求出AC＝2，最后根据菱形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC ∵DE⊥AB， ∴OE＝BD， ∴OB＝OE＝，BD＝2， 在Rt△AOB中，OA＝ ∴AC＝2 ∴菱形的面积为：＝＝ 2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质和菱形的面积计算．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出OE＝BD这一条件是解决此题的关键． 28．两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积． 【详解】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示： ∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形， ∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF， ∴四边形AGCH是平行四边形， 在△ABG和△CEG中，， ∴△ABG≌△CEG（AAS）， ∴AG=CG， ∴四边形AGCH是菱形， 设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x， 在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2， 解得：x=， ∴CG=， ∴菱形AGCH的面积=CGAB=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键． 29．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质证明四边形是平行四边形，再由可得出结论； （2）先由菱形的性质得出，，，再由勾股定理求出，从而得，即可求得，则，设与之间的距离为h，则可求解菱形的面积平行四边形的面积，而菱形的面积，代入即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形 ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与之间的距离为h， ∵菱形的面积，平行四边形的面积， ∴菱形的面积平行四边形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积． 题型10.菱形中的折叠问题 30．如图，在菱形中，，点E是边上的一点，沿翻折得到，连接并延长，交于点F．则的度数是__________． 【答案】/65度 【分析】本题考查菱形的性质、折叠性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其外角性质，熟练掌握菱形的性质和三角形的相关知识是解答的关键． 先根据菱形性质得到，，再由折叠性质，得，，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到，然后利用三角形的外角性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由折叠性质，得，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 31．如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点与重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；由，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确． 【详解】解：是等边三角形，且， ，， 由折叠的性质得：， ，是定值，则结论①正确； ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 四边形为菱形，则结论②正确； 如图，当点与重合时， ， ， 由折叠的性质得：， ，， ， ，则结论③错误； 当最短时，则， 如图，过点作于点，连接，交于点， ， ， ， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ，   设，则，， ， ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ，则结论④正确； 综上，正确的结论是①②④， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、折叠的性质、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理解直角三角形、菱形的判定，用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 32．已知四边形是菱形，，的两边分别与、相交于点E、F，且． (1)如图1，当点E是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点E是线段上任意一点时（点E不与A、D重合），求证：； (3)如图3，，点E是线段的中点，点F是边上一动点（不与点A、B重合），连接，将沿翻折，使点A落在菱形内部点G处，请直接写出的最小值．（根号内数据不化简） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明即可判断． （2）证明即可求证． （3）先由翻折可知，，连接，当G点位于上时，的值最小，最小值为，再利用含角的直角三角形的性质与勾股定理进行求解即可得出最小值． 【详解】（1）解： 理由：如图1 ，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ∵菱形中，平分， ∴， ， ； （2）证明：如图2 ，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ∵菱形中，平分， ∴， ， ； （3）解：如图，由翻折可知，， 连接，当G点位于上时，的值最小，最小值为， ∵，点E是线段的中点， ∴， ∴， 过E点作于H， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了菱形的性质、等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形与利用两点之间线段最短得出使线段最短时动点所在的位置． 题型11.菱形中的动点问题. 33．如图，菱形的边长为，，，分别是，边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，关键是由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到．连接，过作于，判定是等腰直角三角形，求出，由垂线段最短得到，由三角形中位线定理推出，即可得到的最小值． 【详解】解：连接，过作于 ，菱形的边长为， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 的最小值是， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 的最小值为． 故选：A． 34．如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点是对角线上的一个动点，连结，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：菱形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ， ， 如图，连接， ， ，. 点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 35．在菱形中，，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． (1)如图1，当点在菱形内部时，连接交于F． ①直接写出与的数量关系，并求的度数． ②若，，求的长． (2)如图2，当点在线段的延长线上时，延长交于，若，，则__________． 【答案】(1) ， ； ； (2) 【分析】（1）连接，根据证明，则可得，，再根据菱形的对角线平分一组对角可得，，则可得，，进而可得． 连接，过E点作于M点，则可得，，，进而可得．根据证明，则可得，由是等边三角形可得，则可得，根据等腰三角形三线合一可得，则可得，． （2）连接交与O点，连接交于点，连接，由菱形的性质，结合等边三角形的性质，证明，，平移至，连接，，则，，四边形是平行四边形，可得，设，可得，证明，可得，作于点，则，可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴ ，， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， 即， ∴， ∴， ， ∵菱形中，， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，． 如图，连接，过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 同得是等边三角形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴（等腰三角形三线合一）， ∴， ∴． （2）解：连接交与点，连接交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分， 又∵，， ∴是等边三角形，，， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 平移至，连接，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 题型12.菱形中的最值问题 36．如图，菱形 的边长为 2，， E 为的中点， P 为上一动点，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称中的最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称解决最短问题． 如图，连接、交于点，连接，证明，推出，求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图，连接、交于点，连接，   四边形是菱形且边长为2，， ， ，， 和都是等边三角形， E为的中点， ， 是的中垂线， ， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 的最小值是 ． 故答案为：． 37．如图，菱形中对角线与相交于点F，且，若点P是对角线上一动点，连接，将绕点A逆时针旋转得到，使得，连接，则在点P的运动过程中，线段最小值为（    ）    A．4 B．6 C．6 D．12 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质求出菱形的边长，得出是等边三角形，得到，，连接，如图，证明，推出，从而得到点E的运动轨迹是射线，可得当时，最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解. 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 连接，如图， ∵将绕点A逆时针旋转得到，使得， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动轨迹是射线，    ∴当时，最小， 此时，， ∴， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理可得， 即线段最小值为6； 故选：B. 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、得出当时，最小是解题的关键. 38．菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q． (1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长； (2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ； (3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用全等三角形的性质证明，利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论； （2）如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得，连接．利用全等三角形的性质证明，，证明四边形是正方形，推出，再证明，可得结论； （3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接，过点作于点，过点作于，交于点，交于点．由，推出，由，推出的最小值，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 四边形是菱形， ，， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图2中，连接，，过点作于点，作交于点，在上取一点，使得． 由（1）可知，， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是菱形， ，关于对称， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． （3）如图3中，取的中点，连接，延长到，使得，连接 ， ， 点在以为直径的圆上运动， 四边形是菱形，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 过点作于点，过点作于，交于点，交于点． ，， ， ， ， 的最小值， 是等边三角形，， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短，解决最短问题，属于中考压轴题． 题型13.菱形中旋转问题 39．如图，在菱形中，，将该菱形绕点在平面内顺时针方向旋转得到菱形，与交于点，且，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 连接，作于点，利用菱形的性质和旋转的性质求出，，利用直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质，结合 进行求解即可． 【详解】解：连接，作于点，则， ∴，，， ∴， 将菱形绕点顺时针旋转得到菱形， ∴，，， ，，， ， ∴，， 点在上，， ∴，， ， ∴ ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 旋转后的图形与原图形重叠部分的面积是， 故答案为：． 40．如图，菱形的边在x轴负半轴上，点C的坐标为，将菱形绕点A旋转，点O的对应点恰好落在对角线上，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形与坐标、菱形的性质、旋转的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握图形与坐标、菱形的性质、旋转的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点C作轴于点D，过点作轴于点E，由题意易得，，则有，然后可得，，E三点共线，进而根据旋转的性质可进行求解 【详解】解：过点C作轴于点D，过点作轴于点E，如解图所示． 点C的坐标为， ，， ，． ，， ． ∴， 由旋转的性质可知：， ，即，，E三点共线． 由旋转，得， ，， ，． 点的坐标为， 故选C． 41．如图一，菱形中，点是的中点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)将图一中绕点D逆时针旋转，使得点和点重合，得到（如图二），连接，试判断的形状； (3)若，在（2）的条件下，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形． (3) 【分析】（1）首先利用线段垂直平分线的性质，由垂直且平分推导出，再结合菱形四条边都相等的性质得到，从而证明，得出是等边三角形． （2）先由等边三角形“三线合一”的性质算出，利用旋转前后图形全等的性质得到，再结合菱形性质知，最后通过角度相加，从而判定为直角三角形． （3）首先根据菱形边长相等得到直角边，再由旋转性质知另一条直角边等于，接着在等边三角形中利用勾股定理算出高，最后在中利用勾股定理求出斜边的长． 【详解】（1）证明：且点是的中点， 是线段的垂直平分线． 四边形是菱形， ． ． 是等边三角形． （2）由（1）知是等边三角形， ． ， 平分． ． 绕点逆时针旋转得到， ． ． 四边形是菱形，且是等边三角形， 也是等边三角形， ． ． ． 是直角三角形． （3）四边形是菱形， ． 由旋转性质可知． 在等边中，是高． 在中，，． 根据勾股定理：． ． 在中， 根据勾股定理：． ． 题型14.菱形与坐标系综合 42．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点A的坐标为，则菱形的周长为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质，根据点A的坐标为，可以得到，根据，可以求出，根据勾股定理可以求出，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的周长为． 故选：D． 43．已知菱形在平面直角坐标系中位置如图所示，，点在轴正半轴上，点的坐标为，点是对角线的中点，，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，由菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长；连接，由菱形对角线互相垂直且平分可得点M是与的交点，且，据此证明四边形是矩形，得到，由此可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形，点是对角线的中点， ∴点M是与的交点，且， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 44．如下图，菱形中，O为坐标原点，点B在x轴上，，． (1)直接写出点B和点A的坐标； (2)P是对角线上一点，以为一边作，与的延长线相交于点D，判断的形状，并给予证明； (3)在（2）的条件下，以、为邻边作，如果点E在第一象限的角平分线上，求的长． 【答案】(1)，； (2)为等边三角形．理由见解析； (3)． 【分析】（1）由菱形的性质得出，，证明是等边三角形，则可得出点B的坐标，根据30度角的性质和勾股定理可知点A的坐标； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论； （3）过作轴的垂线，交轴于点．设，证明，求出，，可得出方程，解方程求出可得出答案． 【详解】（1）解：四边形为菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 作轴交轴于点G， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：为等边三角形． 证明：菱形，且， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 为等边三角形； （3）解：过作轴的垂线，交轴于点． 设， ∵， ∴， ， ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ， ∴， 即， 四边形是平行四边形， ，， ∴P到D的平移方式和A到E的平移方式相同， ，， ∴P到D的平移方式为先向右个单位，再向上个单位， ∵ ∴ 点在第一象限的角平分线上 点的横纵坐标相同，即有， 解得， 即． 题型15.菱形的存在性问题 45．如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动；同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动．规定：其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t，若在点P，Q的运动过程中，四边形可以构成菱形，则的长为_____． 【答案】 【分析】结合题意得：，，当时，而，可得四边形为平行四边形，求解，当时，四边形为菱形，过作于，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ， ， 当时，而， ∴四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴， 当时，四边形为菱形， 如图， 过作于，而，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴． 46．在矩形 中，，，， 是对角线 上不重合的两点，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，，点 关于直线 ， 的对称点分别是点 ，．若由点 ，，， 构成的四边形恰好为菱形，则 的长为____． 【答案】 【分析】先证明矩形的四个顶点均在菱形的四条边上，且分别为各自边的中点，然后证明菱形的边长等于矩形的对角线长，再证，根据等腰三角形的三线合一性质与勾股定理，求出的长，同理得的长，即可得解． 【详解】解：矩形 中，，， ， 轴对称性质， ， 点A在菱形的边上， 同理可知：点均在菱形的边上， ， 点为的中点， 同理，点为的中点， 连接，交于点，如图所示， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， 过点作于点， ， ， ， 在中，， ； 同理可求得：， ； 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质、平行四边形与等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定是解答此题的关键． 47．如图①，在矩形中，，，，分别是，上的点，，是对角线上的两个动点，分别从点，同时出发相向而行，始终保持，连接，，，．已知点，的速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为． (1)若，分别是，中点． ①求证：； ②求证：四边形是平行四边形； ③若四边形为矩形，求的值； (2)如图②，若点，以每秒1个单位长度的速度分别从、的中点与点、同时出发，分别向点，运动，当四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③或 (2) 【分析】（1）①矩形中，可得，，则，进而证明，由，即可证明； ②由，可得，，可得，证明，从而可得结论； ③连接，证明四边形是矩形，可得，求解，分为当点E，F相遇前，当点E，F相遇后，逐步分析解答即可； （2）设M，N分别为、的中点，连接，，，令与相交于点O，证明四边形为菱形，可得，设，则，再利用勾股定理进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵，分别是，中点， ∴,， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ③连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， 如图1，当点E，F相遇前， ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴， 解得； 如图2，当点E，F相遇后， ∵四边形是矩形， 又∵，， ∴， 解得, 综上所述，四边形为矩形时，或； （2）如图，设M，N分别为、的中点，连接，，，令与相交于点O， ，， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理，可得， 即， 解得， ∵，即， 当四边形为菱形时，t的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $