专题03矩形性质与判定期末复习讲义(18大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题03矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解矩形定义，明确矩形与平行四边形的从属关系 2.熟练掌握矩形边、角、对角线的全部性质定理 3.牢记矩形三种判定方法，理清性质与判定的区别 4.掌握矩形相关推论，理解直角三角形斜边中线性质 1.运用矩形性质计算线段长度、角度、周长与面积 2.依据已知条件，灵活选用判定定理证明四边形为矩形 3.利用直角三角形斜边中线定理解决线段计算问题 4.结合全等、中位线、中心对称知识完成几何综合推理 5.规范书写几何证明步骤，逻辑严谨条理清晰 1.基础概念、简单计算题型零失误，稳拿基础分 2.准确区分平行四边形与矩形的性质、判定条件 3.熟练解答证明题、边角计算常规考题 4.攻克矩形折叠、动点类中档题型 5.规避定理混用、审题疏漏等常见错题 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.添条件使四边形是矩形 题型10.证明四边形是矩形 题型11.矩形的性质与判定求角度 题型12.矩形的性质与判定求线段长 题型13.矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形中的平移问题 题型15.矩形中的最大值问题 题型16.矩形中的动点问题 题型17.矩形中的最小值问题 题型18.矩形的存在性问题 知识点01.核心概念：矩形的定义与丛属关系 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.关键细节 定义本质：矩形是“特殊的平行四边形”，满足平行四边形的所有判定条件，额外增加“一个角为直角”的限定。 从属关系：矩形⊂平行四边形，即所有矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 定义的双向应用：① 已知平行四边形+一个角是直角→可判定为矩形（判定用法）；② 已知矩形→可直接得出它是平行四边形（性质用法）。 知识点02:性质对比表（一眼区分共性与特色） 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点05.矩形的周长与面积公式 1.周长：设长为a，宽为b，C=2(a+b)。 2.面积：S=ab。 3.对角线长度：由勾股定理，对角线d=。 知识点06.解题心法：矩形问题的 "万能思路" 1.见矩形，标直角：所有角度计算先锁定 90°，利用互余 / 互补推导 2.遇对角线，连中点：对角线相等平分，优先找中点，活用 "斜边中线定理" 3.证矩形，分两步：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补判定条件 4.求线段，用勾股：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，勾股定理是核心工具 错题避雷 1.对角线互相平分是所有平行四边形共性，对角线相等才是矩形独有标志 2.仅有一个直角，无法判定普通四边形为矩形 3.斜边中线定理只适用于直角三角形，普通三角形不适用 4.判定图形时分清四边形、平行四边形类别，定理不可交叉混用 5.审题分清周长、面积、对角线，公式切勿混用代错 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为______． 3．如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 5．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图（1）是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 题型03.矩形的性质求线段长 7．在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 8．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在矩形和矩形中，，，，是的中点，点，分别在边，上，且，连接，，若，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 10．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 题型04.矩形的性质求面积. 11．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______ ． .   12．如图，平行四边形四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 13．如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 题型05.矩形的性质证明 14．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等；③；④，所有正确的结论是________（只写序号）． 15．如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 16．如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 17．如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________． 18．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，．将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处，则点B的对应点的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 19．如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． (1)求直线的表达式： (2)点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． 题型07.矩形与折叠问题 20．如图，在矩形中，，．将矩形折叠，使得点D与点B重合，折痕为，则的长为________． 21．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 22．如图，将矩形沿折叠（在上），点的对应点恰好落在的延长线上，点的对应点为点，与相交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)连接，若，求的大小． 题型08.矩形的判定定理理解 23．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 24．为检测如图所示的矩形相框是否标准，小明同学认为用一个量角器就可以检测；小华认为用一根适当长度的绳子也可以检测．你认为他们俩的说法（   ） A．小明正确，小华错误 B．小明错误，小华正确 C．小明正确，小华也正确 D．小明错误，小华也错误 25．如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 题型09.添条件使四边形是矩形 26．班级展板的边框是一个四边形，已知它的一组对边平行且相等，再添加以下哪个条件可以判定它是矩形？（　　） A．另一组对边相等 B．对角线互相平分 C．有一个角是直角 D．对角线互相垂直 27．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当______时，四边形ACBD为矩形． 28．如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形． 题型10.证明四边形是矩形 29．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 30．如图，点为的边的中点，点为上的一点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是的角平分线，求证：四边形是矩形． 31．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 题型11.矩形的性质与判定求角度 32．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 33．如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 34．在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 题型12.矩形的性质与判定求线段长 35．如图，在中，，，，在边上（不与重合的一动点），过点分别作于点，于点，则线段的取值范围是________． 36．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段于点．则下列两个命题中说法正确的是（    ） 为等腰三角形； 设长为，长为，则． A．正确，正确 B．正确，错误 C．错误，正确 D．错误，错误 37．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，求的长． 题型13.矩形的性质与判定求面积 38．如图，矩形中，点F为中点，点E在边上，，，，则线段的长度为___________． .   39．如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（    ） A．12 B．7 C．6 D．3 40．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 题型14.矩形中的平移问题 41．如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示） 42．如图：，将沿着射线方向平移，得到．已知，，则阴影部分的面积为______． 43．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 题型15.矩形中的最大值问题 44．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则_____，的最大值是_____． 45．如图，，矩形的顶点A，D分别在射线，上，当点A在射线上运动时，点D随之在上运动，矩形的形状保持不变，已知，． （1）连接，当时，________； （2）在运动过程中，点C到点O的最大距离是________． 46．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为_____． 题型16.矩形中的动点问题 47．如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是(  ) A．先变短后变长 B．变化没有规律 C．先变长后变短 D．始终保持不变 48．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为_____________________． 49．如图①，在矩形中，，，点在边上，，点是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点的对应点分别为点． (1)_____； (2)当时，_____；当时，_____． (3)如图②，当点落在边上时，连接，求的值． (4)当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 题型17.矩形中的最小值问题 50．如图，矩形中，点，分别为边，上两动点，且，，沿折叠矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为________． 51．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 52．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 题型18.矩形的存在性问题 53．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 54．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 55．如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03矩形性质与判定期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解矩形定义，明确矩形与平行四边形的从属关系 2.熟练掌握矩形边、角、对角线的全部性质定理 3.牢记矩形三种判定方法，理清性质与判定的区别 4.掌握矩形相关推论，理解直角三角形斜边中线性质 1.运用矩形性质计算线段长度、角度、周长与面积 2.依据已知条件，灵活选用判定定理证明四边形为矩形 3.利用直角三角形斜边中线定理解决线段计算问题 4.结合全等、中位线、中心对称知识完成几何综合推理 5.规范书写几何证明步骤，逻辑严谨条理清晰 1.基础概念、简单计算题型零失误，稳拿基础分 2.准确区分平行四边形与矩形的性质、判定条件 3.熟练解答证明题、边角计算常规考题 4.攻克矩形折叠、动点类中档题型 5.规避定理混用、审题疏漏等常见错题 题型01.矩形的性质理解 题型02.矩形的性质求角度 题型03.矩形的性质求线段长 题型04.矩形的性质求面积 题型05.矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.矩形的判定定理理解 题型09.添条件使四边形是矩形 题型10.证明四边形是矩形 题型11.矩形的性质与判定求角度 题型12.矩形的性质与判定求线段长 题型13.矩形的性质与判定求面积 题型14.矩形中的平移问题 题型15.矩形中的最大值问题 题型16.矩形中的动点问题 题型17.矩形中的最小值问题 题型18.矩形的存在性问题 知识点01.核心概念：矩形的定义与丛属关系 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 2.关键细节 定义本质：矩形是“特殊的平行四边形”，满足平行四边形的所有判定条件，额外增加“一个角为直角”的限定。 从属关系：矩形⊂平行四边形，即所有矩形都是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形。 定义的双向应用：① 已知平行四边形+一个角是直角→可判定为矩形（判定用法）；② 已知矩形→可直接得出它是平行四边形（性质用法）。 知识点02:性质对比表（一眼区分共性与特色） 分析角度 平行四边形通用性质 矩形独有专属性质 图形特征 边 对边平行、对边相等 邻边相互垂直 角 对角相等，邻角互补 四个内角均为90 对角线 两条对角线互相平分 对角线长度相等 对称性 仅中心对称 轴对称 + 中心对称兼备 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 如图：Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 本质：由矩形对角线相等且平分直接推出。 知识点05.矩形的周长与面积公式 1.周长：设长为a，宽为b，C=2(a+b)。 2.面积：S=ab。 3.对角线长度：由勾股定理，对角线d=。 知识点06.解题心法：矩形问题的 "万能思路" 1.见矩形，标直角：所有角度计算先锁定 90°，利用互余 / 互补推导 2.遇对角线，连中点：对角线相等平分，优先找中点，活用 "斜边中线定理" 3.证矩形，分两步：先证平行四边形（边 / 角 / 对角线），再补判定条件 4.求线段，用勾股：矩形内线段计算，优先构造直角三角形，勾股定理是核心工具 错题避雷 1.对角线互相平分是所有平行四边形共性，对角线相等才是矩形独有标志 2.仅有一个直角，无法判定普通四边形为矩形 3.斜边中线定理只适用于直角三角形，普通三角形不适用 4.判定图形时分清四边形、平行四边形类别，定理不可交叉混用 5.审题分清周长、面积、对角线，公式切勿混用代错 题型01.矩形的性质理解 1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．如图，点是矩形外一点，连接，过点作分别交，于点，．已知．则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角性质，先由矩形的性质推出，然后结合三角形的外角性质列式，代入数值进行计算即可．解题的关键是掌握矩形的性质． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故答案为：． 3．如图，点在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】A 【分析】利用三角形全等的性质得，对应边相等及对应角相等，得出一组对边平行且相等，即可判断出形状． 【详解】解：由题意： ， ， 又， ， ， ， 四边形为平行四边形， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定定理及性质、平行四边形的判定，解题的关键是：掌握平行四边形判定定理，利用三角形全等去得出相应条件． 题型02.矩形的性质求角度 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点在边上，且，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出及，结合已知条件求出的度数，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数；由利用等腰三角形性质求出的度数，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图（1）是翻花绳的一种图案，可以抽象成右图，在矩形中，，，，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，进而可得；再根据三角形内角和定理可得；然后再证四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，最后由对顶角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵矩形中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 6．如图，在四边形中，，，，，点E，F分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先求得，推出四边形是平行四边形，利用有一个是直角的平行四边形是矩形即可判断结论成立； （2）先证明四边形是平行四边形，利用直角三角形斜边中线的性质及角直角三角形的性质证明，推出，再证明，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：，点是的中点， ，， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ，， 四边形是矩形， ， ， ∵， ， 点为的中点 ， ∴的等边三角形， ∴， ∴， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 题型03.矩形的性质求线段长 7．在矩形中，，，P为边上的一个动点，过点P分别作、的垂线，垂足分别为N，M两点，则__________________． 【答案】 【分析】设与交于点O，连接，首先利用勾股定理求出，得到，然后求出，然后利用求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点O，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与交于点O， ∴，， ∴， ∴． 8．如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质及判定为等边三角形，求出及、的长，再通过角度计算证明为等腰三角形，从而求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，在矩形和矩形中，，，，是的中点，点，分别在边，上，且，连接，，若，分别是，的中点，则的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于R，延长交于H，连接， 得矩形，用勾股定理解求出，证明，推出，点R与点M重合， 进而可得是的中位线，根据中位线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于R，延长交于H，连接， 则四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ， ∴点R与点M重合， ∵点N是的中点， ∴是的中位线， ∴． 10．如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知得是的中位线，则，再由，，得，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再由两个内角为直角即可得出结论； （2）先根据中位线的性质得，由中点的定义得，由矩形的性质得，，即可由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）知，是的中位线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 题型04.矩形的性质求面积. 11．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则矩形的面积为______ ． .   【答案】 【分析】结合矩形性质得，再根据含的直角三角形特征可得，再结合勾股定理求出即可求出矩形的面积． 【详解】解：矩形中，，，， ， ， ， ． 12．如图，平行四边形四个顶点分别在矩形的四条边上，，分别交，于点，，过点作，分别交，于点，，要求得平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积即可（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 如图：连接，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得，进而可得的面积的面积，再说明四边形是矩形，从而可得的面积=矩形的面积，进而可得平行四边形的面积=矩形的面积即可解答． 【详解】解：如图：连接，   四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是矩形， ，， ∵， ∴, 的面积的面积， ∵,, 四边形是矩形， ∴的面积矩形的面积， ∴平行四边形的面积=矩形的面积， 若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积． 13．如图，在中，、分别为边、的中点，连接，过点作交边于点，点在的延长线上，且．连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质． （1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形； （2）利用三角形中位线定理求出，利用矩形的性质得到，根据等角对等边证明，则，根据矩形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵，是的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴；， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积． 题型05.矩形的性质证明 14．如图，点E为矩形的边上的一点，作于点F，且满足．对于下面四个结论：①；②的面积与的面积相等；③；④，所有正确的结论是________（只写序号）． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，先证明得出①正确；由全等三角形的性质可得出，可判断③，然后证明，可判断④；由三角形的面积公式可得，可判断②，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴. ∵，， ∴，故①正确； ∵， ∴， 不能确定的关系， 故③不正确； ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴. ∵ ∴. ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 过点B作于H， ∵， ∴， ∴， ∴，故②错误； 所以正确的有①④. 故答案为：①④． 15．如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 连接，由矩形的性质得，利用中位线性质可得，根据勾股定理计算出，可得，利用线段和差求出长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵F是的中点， ∴OF是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 16．如图，在矩形中，为延长线上一点，为的中点，以为圆心，长为半径的圆弧经过与的交点，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：由作法知，， 在矩形中，． 为中点． ． （2）． ． 在矩形中，． ． 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 17．如图所示，把长方形放在直角坐标系中，使、分别落在x轴、y轴上，点C的坐标为，将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处，交x轴于点E．则点D的坐标为________． 【答案】 【分析】根据翻折的性质证明，由全等三角形的性质得到，设，则，再根据勾股定理解得，最后根据等积法解得，据此解得点D的坐标． 【详解】解：过点作于， 四边形是矩形，点， 将沿翻折，使C点落在该坐标平面内的D点处， 在与中， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、翻折、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 18．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，．将矩形绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在上的点处，则点B的对应点的坐标为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作于H，证明，得到，，得到答案． 【详解】解：连接，作于H，    由题意，得，， 则， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴点的坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 19．如图，在直角坐标平面内矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为． (1)求直线的表达式： (2)点在轴上，连接．点、、分别是、、的中点，连接、、．若是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）由矩形的性质可得点，点，用待定系数法可求直线AB表达式； （2）由三角形中位线定理可知是等腰三角形，分、和三种情况分别计算，即可求点E的坐标． 【详解】（1）解：由题可得点A的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为 （2）解：∵点、、分别是、、的中点， ∴、、是的中位线， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴是等腰三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴点E的坐标为或； 当时，如图，设长为a，则， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； 当时，如图，则， ∴点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的定义，一次函数的解析式，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 题型07.矩形与折叠问题 20．如图，在矩形中，，．将矩形折叠，使得点D与点B重合，折痕为，则的长为________． 【答案】 【分析】由折叠知，在中用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 由折叠知， ， 在中， 解得， ∴． 21．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，重叠部分的面积为（     ） A．12 B．20 C． D．10 【答案】D 【分析】设，则，在中根据勾股定理得得数，进一步根据三角形面积即可求解． 【详解】解：设，则， 将矩形沿折叠， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， 解得，，即， ． 22．如图，将矩形沿折叠（在上），点的对应点恰好落在的延长线上，点的对应点为点，与相交于点，点为的中点． (1)求证：； (2)连接，若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）连接，则点为的交点，根据矩形以及折叠可设，而，可得，再对运用三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：由折叠可得，则 ∵矩形 ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，连接， ∵四边形是矩形，点为的中点． ∴点为的交点， ∴ ∴， ∵折叠， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 设， 则， 在中，由三角形内角和定理可得， ∴ 解得， ∴． 题型08.矩形的判定定理理解 23．一个木匠制作了一块四边形的踏板．为了检验这块踏板是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（   ） A．测量踏板的对角线是否互相平分 B．测量踏板的对角是否相等 C．测量踏板的三个角是否都为 D．测量踏板的一组对边是否平行且相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形和矩形的判定规则，逐一判断各选项即可得到结论． 【详解】解：A：对角线互相平分的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； B：对角相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意； C：四边形内角和为，若三个角都为，则第四个角也为，四个角都是直角的四边形是矩形，故该选项符合题意； D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，无法判定是矩形，故该选项不合题意． 24．为检测如图所示的矩形相框是否标准，小明同学认为用一个量角器就可以检测；小华认为用一根适当长度的绳子也可以检测．你认为他们俩的说法（   ） A．小明正确，小华错误 B．小明错误，小华正确 C．小明正确，小华也正确 D．小明错误，小华也错误 【答案】C 【分析】运用矩形的判定即可． 【详解】解：小明同学用量角器只要量出三个角为直角即可：小华先测量四边形的四条边，若对边相等，可证明为平行四边形，再测量对角线，若对角线相等，则可证明矩形． 25．如图，中，点在边上（不与、重合），、分别是、的中点，，交的延长线于点，连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，点恰好是边的中点时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，矩形的判定． （1）先证明，得到，即可推出四边形是平行四边形； （2）利用三角形中位线定理求得，推出，即可判断四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形． 理由如下： ∵是的中点， ∴当点是边的中点时，是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 题型09.添条件使四边形是矩形 26．班级展板的边框是一个四边形，已知它的一组对边平行且相等，再添加以下哪个条件可以判定它是矩形？（　　） A．另一组对边相等 B．对角线互相平分 C．有一个角是直角 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】先根据已知条件判定该四边形是平行四边形，再结合矩形的判定定理判断各选项即可． 【详解】解：∵ 四边形的一组对边平行且相等， ∴ 该四边形是平行四边形， 逐一判断选项： A、平行四边形本身对边相等，该条件无法判定它是矩形，该选项不符合题意； B、平行四边形本身对角线互相平分，该条件无法判定它是矩形，该选项不符合题意； C、根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该条件可以判定，该选项符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项不符合题意． 27．如图，线段AB的端点B在直线MN上，过线段AB上的一点O作MN的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接AC，AD．添加一个适当的条件：当______时，四边形ACBD为矩形． 【答案】O是AB的中点 【分析】先证∠OCB=∠OBC，则OC=OB，同理OD=OB，再由OA=OB，证出四边形ACBD是平行四边形，然后证AB=CD，即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：O是AB的中点， 理由如下： ∵CDMN， ∴∠OCB=∠CBM， ∵BC平分∠ABM， ∴∠OBC=∠CBM， ∴∠OCB=∠OBC， ∴OC=OB， 同理可证：OB=OD， ∴OB=OC=OD， ∵O是AB的中点， ∴OA=OB， ∴四边形ACBD是平行四边形， ∵CD=OC+OD，AB=OA+OB， ∴AB=CD， ∴平行四边形ACBD是矩形， 故答案为：O是AB的中点． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 28．如图，在中，，为外角的平分线，为底边上一点，连接，过点作交于点，连接，交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)在不增加辅助线和字母的前提下，请添加一个条件：_____，使得四边形为矩形． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的判定以及平行线的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据题意得到，以及三角形外角和定理得到，证明，证明，即可证明结论． （2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形添加条件即可． 【详解】（1）解：平行四边形，理由如下： ， ， 为外角的平分线， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：在不增加辅助线和字母的前提下，令， 则四边形是矩形． 故答案为：． 题型10.证明四边形是矩形 29．如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 30．如图，点为的边的中点，点为上的一点，连接并延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若是的角平分线，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （2）根据三线合一可得，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：∵是的角平分线， ∴，即 ∴平行四边形是矩形． 31．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是，的中点，点在四边形外，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先由对角线互相平分可证明四边形是平行四边形，再由即可证明四边形是矩形； （2）先得到是等边三角形，再由含有的直角三角形设出未知数，结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， 四边形是平行四边形． ， ． ， ． 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ． 是等边三角形，即， 在中，． 设，则， ，即， 解得，即， ． 题型11.矩形的性质与判定求角度 32．如图，在梯形中，，F为上一点，且，E为上一点，交于点G． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）根据四边形是矩形，，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 33．如图，在平行四边形中，点分别在上，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判定，利用勾股定理列方程是解题的关键； （1）先证四边形是平行四边形，再结合对角线相等证明即可； （2）根据勾股定理，可得， ，即可得到方程，再求解即可． 【详解】（1）证明：证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 在中，， 在中，， ， 解得：， ， ． 34．在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或9 【分析】（1） ①证明四边形是矩形，得到，根据折叠的性质，矩形的性质，得到,，证明即可； ②根据折叠的性质，求解即可． （2）根据矩形的性质，判定不可能是直角，只有，分直角在矩形内部和外部两种情况计算即可． 【详解】（1）解：①∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． ②过点G作于点G， ∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． 根据折叠的性质， ∴，， ∴，，    ∴． （2）根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 题型12.矩形的性质与判定求线段长 35．如图，在中，，，，在边上（不与重合的一动点），过点分别作于点，于点，则线段的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由勾股定理可得，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用等面积法求出此时的长，进而求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵在边上（不与重合的一动点）， ∴当时，有最小值， ∴此时有， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 36．如图，在矩形中，，，点为对角线的中点，为线段上一点，连结，并延长交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交线段于点．则下列两个命题中说法正确的是（    ） 为等腰三角形； 设长为，长为，则． A．正确，正确 B．正确，错误 C．错误，正确 D．错误，错误 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由已知、根据“两直线平行， 内错角相等”得，由作图可知，从而得到，由“等角对等边”得到，即是等腰三角形，结论正确；由已知、根据证明，得到，从而得到，过点作 于点，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”得四边形是矩形，从而得到，在中，由勾股定理得，整理得得出结论正确． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，结论正确； 矩形中，，，， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，如图： 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，，， 由勾股定理， 得即， ∴， ， ， ∴，即结论正确， 故选：． 37．如图，矩形中，，点是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接交于点．若是的中点，求的长． 【答案】6 【分析】过点作于点，证四边形和四边形为矩形，得出，，根据证，得出，又垂直平分，得出，令，则，进而，，，在中，，进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， 在矩形中，，， 四边形和四边形为矩形， 又，， ，， 是的中点， ， 又， ， 又， ， ， 垂直平分， ， 令，则， 又， ， ，， 在中，， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，利用勾股定理解直角三角形以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造直角三角形利用勾股定理求边长是解决本题的关键． 题型13.矩形的性质与判定求面积 38．如图，矩形中，点F为中点，点E在边上，，，，则线段的长度为___________． .   【答案】 【分析】延长交延长线于M，延长到点N，使，连接，设，证明，得出，，再证明，设，则，，在中，根据勾股定理，得，在中，根据勾股定理，得长度． 【详解】解 ：延长交延长线于M，延长到点N，使，连接，设，如图：    ∵点F为中点，， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 那么， ∴， 则， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理，得， 则， 解得，（舍去）， ∴， 在中，根据勾股定理，得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练应用矩形的性质，辅助线的作法是解题关键． 39．如图，四边形中，对角线，垂足为点，点分别为边的中点，若，则四边形的面积为（    ） A．12 B．7 C．6 D．3 【答案】D 【分析】本题考查的是中点四边形，熟练应用矩形的判定以及性质是解题的关键．利用中位线定理可得出四边形矩形，根据矩形的面积公式解答即可． 【详解】解：点、分别为四边形的边、的中点， ，且， 同理求得，且， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形， 四边形的面积，即四边形的面积是3． 故选：． 40．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明； （2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，即， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则， ， ， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形是矩形， ， ，且， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 题型14.矩形中的平移问题 41．如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据矩形的性质，平移的性质，推出为等腰三角形，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 42．如图：，将沿着射线方向平移，得到．已知，，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了平移的性质，勾股定理，首先根据勾股定理求出，再计算三角形的面积和矩形的面积即可得阴影部分的面积，关键是掌握矩形和三角形的面积公式． 【详解】解：∵，，， ∴ ∵是沿着射线方向平移得到， ∴四边形为矩形，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 43．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点A，B，C的坐标分别是，，，若经过一次平移后得到，点A，B，C的对应点分别为点，已知点的坐标为根据以上条件，请解决下列问题： (1)请画出平移后的； (2)四边形______平行四边形填“是”或“不是”； (3)在平移过程中，边扫过的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)是 (3)16 【分析】本题考查了作图-平移变换，勾股定理，矩形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据勾股定理求得，，于是得到结论； （3）根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：，，，， ，， 四边形是平行四边形， 故答案为：是； （3）解：由题意知，边扫过的四边形是矩形， ，， 边扫过的面积为， 故答案为： 题型15.矩形中的最大值问题 44．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则_____，的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，中位线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是关键． 连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值，此时， ∴的最大值为． 故答案为：；． 45．如图，，矩形的顶点A，D分别在射线，上，当点A在射线上运动时，点D随之在上运动，矩形的形状保持不变，已知，． （1）连接，当时，________； （2）在运动过程中，点C到点O的最大距离是________． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理的应用． （1）如图，连接，过作于，求解，证明四边形是矩形，进一步可得答案． （2）如图，取的中点M，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、C、M三点共线时，点C到点O的距离最大，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理列式求出的长，两者相加即可得解． 【详解】解：（1）如图，连接，过作于， ∵矩形，，． ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 故答案为： （2）如图，取的中点M，连接、、，   ， 当O、C、M三点共线时，点C到点O的距离最大， 矩形的形状保持不变， ， ， 点C到点O的最大距离是， 故答案为：． 46．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形外部作，且，若点为的中点，连接，则的最大值为_____． 【答案】27 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，取的中点，连接，根据矩形的性质可求，，根据勾股定理可求，根据直角三角形的性质可求，根据三角形三边关系可求得当点，，共线时，有最大值，即． 【详解】如图，取的中点，连接． 四边形是矩形，，． 点分别为的中点，， ， 由勾股定理得． 在中，为的中点， ， 当点，，三点共线时，取最大值，最大值为：． 故答案为：27． 题型16.矩形中的动点问题 47．如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接．当点从运动到的过程中不与、重合．下列关于线段长度变化的描述中，正确的是(  ) A．先变短后变长 B．变化没有规律 C．先变长后变短 D．始终保持不变 【答案】A 【分析】连接，首先根据三个角是直角的四边形是矩形判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等得出，再根据垂线段最短分析的长度变化，从而得出的变化情况. 【详解】解：如图，连接． ，， ． ， 四边形是矩形． ． 当点从点运动到点的过程中， 根据垂线段最短可知，当时，最短． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 当点从运动到的过程中不与、重合，线段的长度先变短后变长． 48．如图，在矩形中，，，是边上一动点，是边上一动点，且，是边上一动点，连接，，．当以点，，为顶点的三角形是等腰直角三角形时，的长为_____________________． 【答案】4或6或8 【分析】设，则，根据等腰直角三角形直角顶点的不同，分三种情况讨论，通过构造全等三角形，利用矩形性质和全等三角形对应边相等列方程求解的值． 【详解】解：设，则． ①如图①，当，且时， ∵矩形中， ∴， ∴， ∴， ． ， 解得， 即此时． ②如图②，当，且时，过点作于点， ∵矩形中， ∴， 在 和 中， ∴， ， ， 解得， 此时． ③如图③，当，且时，过点作于点， ∵矩形中， ∴， 在和中， ， ，，四边形是矩形， ，即， 解得， 此时． 综上，的长为或或． 故答案为：或或． 49．如图①，在矩形中，，，点在边上，，点是边上一动点（不含端点），．连接，将四边形沿所在直线翻折，得到四边形，点的对应点分别为点． (1)_____； (2)当时，_____；当时，_____． (3)如图②，当点落在边上时，连接，求的值． (4)当所在直线经过矩形的顶点时，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)1；2 (3) (4)或或 【分析】（1）根据，，直接求出； （2）根据，证明四边形为矩形，得出，说明此时；根据，求出，得出，证明四边形为矩形，得出，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案即可； （3）过点N作于点P，根据折叠得出，，，，证明为等腰直角三角形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，，求出，，最后求出结果即可； （4）分三种情况：当所在直线经过矩形的顶点D时，当顶点C在的延长线上时，当顶点C在的延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 即此时； 当时，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即此时； （3）解：过点N作于点P，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； （4）解：当所在直线经过矩形的顶点D时，如图所示： 根据折叠可知：，，，， ∵，，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，如图所示： 根据折叠可知：，，，， 根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∴， ∴， 解得：； 当顶点C在的延长线上时，连接，过点M作于点Q，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ， 设，则，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴，， 根据折叠可知：， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：． 综上分析可知：或或． 题型17.矩形中的最小值问题 50．如图，矩形中，点，分别为边，上两动点，且，，沿折叠矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠性质，矩形性质，勾股定理，解题的关键在于找到点与点B重合时，取最小值． 连接，结合矩形性质和折叠性质设，则，利用勾股定理推出，结合，推出当与重合时，取最小值，进而建立方程求解，即可解题． 【详解】解：连接， 矩形中，，， ，， 由折叠性质可知，，，， 设，则， ，， 当取最小值时，取最小值， 即当与重合时，取最小值， 在中，， 解得； 故答案为：． 51．如图，在矩形中，，点P，Q分别在上，，线段在上，且，连接，则的最小长度为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；在边上取，连接，则得四边形是平行四边形，有，问题转化为求的最小长度，当点E在上时，取得最小值；由勾股定理即可求解．取，求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 【详解】解：如图，在边上取，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即当取最小值时，取得最小值； 当点E在上时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵，， ∴， 由勾股定理得， 即的最小长度为10； 故选：B． 52．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解； （2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）（1）如图①， 过点作于点，则四边形是矩形． 由题意知，，，， ． 是的中点， ， ． 在中，， ． （2）解：如图②， 以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，， 此时，，． 当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小， 即的值最小，则， 易知． 过点作于点，则是的中点， ． 在中，，， ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型18.矩形的存在性问题 53．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，点Q以3cm/s的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动．两点同时出发，点P到达点D停止运动（同时点Q也停止运动）．这段时间内，当运动时间为________________________时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 【答案】3s或6s或9s 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键； 根据矩形的性质，当以P、Q、C、D四点为顶点的四边形是矩形时，需满足，分情况讨论点Q的运动状态来建立方程． 【详解】解：根据题意可知，当点P到达点D时， 点Q的运动轨迹为． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴． 若，则四边形PQCD是矩形． 设运动时间为ts．由题意，得． 分三种情况讨论： ①当时，， ∴， 解得； ②当时，， ∴， 解得； ③当时，， ∴， 解得． 综上所述，当运动时间为3s或6s或9s时，以P，Q，C，D四点为顶点可以组成矩形． 54．如图，在中，对角线，相交于点，点，每秒运动1个单位长度，分别从点，出发，沿，方向运动．若，，则经过__________后，四边形是矩形． 【答案】2或10 【分析】设运动的时间为，则，由平行四边形的性质得或，再根据列方程或，求出的值即可． 【详解】解：设运动的时间为． 四边形是平行四边形，，， ，． 由题意可知，， 或， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ，即或， 或． 故经过或后，四边形是矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定、动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示、的长是解题的关键． 55．如图，在四边形中，，，，．，且、满足．点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)①当为何值时，四边形为平行四边形，并求此时四边形的周长； ②在运动过程中，是否存在四边形是矩形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，是否存在为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，四边形为平行四边形，平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由见详解 (3)存在，当或时，为等腰三角形，理由见详解 【分析】（1）根据非负性得到，如图所示，过点作于点，则，可证四边形是矩形，则，由勾股定理得到，由此即可得到的长； （2）①根据题意得到，，，，，结合平行四边形的性质列式求解即可； ②根据矩形的性质列式得到，解方程即可； （3）根据点的运动，分类讨论：当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；当时，为等腰三角形；结合图形列式求解即可． 【详解】（1）解：、满足， ∵， ∴， 解得，， ∴，， 如图所示，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：①点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向运动，则运动时间为秒， 点从点出发，以每秒的速度沿线段方向向点运动，则运动时间为秒， 设运动时间为秒， ∵动点、同时出发，当点运动到点时，、同时运动停止， ∴运动时间， 根据题意，，， ∴，， ∵，即， ∴当时，四边形为平行四边形，如图所示， ∴， 解得，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴平行四边形的周长； ②不存在四边形是矩形，理由如下， ∵， ∴， ∴如图所示，当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 解得，，不符合题意， ∴不存在四边形是矩形； （3）解：存在，当或时，为等腰三角形，理由如下， 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，，， ∵是等腰三角形，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴此时点重合，点重合，，即是等腰三角形； 如图所示，当时，为等腰三角形，过点作于点， 同理，， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，（负值舍去）， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $