专题01多边形与平行四边形期末复习讲义(22大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题01多边形与平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形相关概念，熟记内角和、外角和公式，理解对角线性质 2.明晰平行四边形定义，熟练掌握其边、角、对角线的性质定理 3.掌握平行四边形判定方法，能区分性质与判定的不同用途 4.理解两条平行线间距离的含义，掌握相关计算要点 1.运用公式计算多边形边数、内角度数、对角线条数 2.利用平行四边形性质求解线段长度、角度大小 3.根据已知条件，选用判定定理证明四边形为平行四边形 4.结合平行线、三角形知识，完成几何推理与综合计算 5.能梳理几何证明逻辑，规范书写推理步骤 1.多边形基础计算题型运算无误，稳固基础得分 2.准确判定平行四边形，性质与判定灵活切换解题 3.顺利解答线段、角度计算及几何证明常规考题 4.规避定理混用、条件遗漏等常见解题错误 5.应对图形组合类综合题型，提升几何解题能力 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角枸边数与内角和问题 题型03.多边形周长 题型04.多边形对角线相关问题 题型05.多边形内角和问题 题型06.正多边形内外角问题 题型07.多边形外角和的实际应用 题型08.多边形内角和与外角和综合 题型09.平面镶嵌 题型10.等腰与直角梯形的定义 题型11.平行四边形的性质求解 题型12.平行四边形性质证明 题型13.平行四边形的性质应用 题型14.判断能否构成平行四边形 题型15.添条件成为平行四边形 题型16.平行四边形的计数问题 题型17.证明四边形是平行四边形 题型18.平行四边形判定与性质求解 题型19.平行四边形判定与性质证明 题型20,平行四边形判定与性质的应用 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。. 知识点 04. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点05:平行四边形核心性质 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 知识点06:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 题型01.多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 2．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，据此求解即可. 【详解】解：根据题意可得：图形为正八边形的是选项B. 3．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 【答案】27 【分析】根据四边形的组成方式，分别数出由单个的四边形，由2个四边形，3个四边形，4个四边形，5个四边形，6个四边形，7个四边形组成的大四边形，从而可得答案． 【详解】解：单个的四边形：一共有9个， 由2个四边形组成的四边形有6个， 由3个四边形组成的四边形有4个， 由4个四边形组成的四边形有1个， 由5个四边形组成的四边形有4个， 由6个四边形组成的四边形有2个， 由7个四边形组成的四边形有1个， 故一共有27个四边形． 【点睛】本题主要考查了认识平面图形，做到不重复不遗漏的数图形是解题关键． 题型02.多边形截角后边数与内角和问题 4．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案. 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰的分类讨论. 5．将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（    ）． A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19 【答案】D 【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题． 【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 根据题意得（n-2）•180°=2880°， 解得：n=18， 则多边形的边数是17，18，19． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1． 6．把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 【答案】或18 【分析】根据多边形的内角和公式可得，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【详解】解：设新多边形的边数为n， 则， 解得， ①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为18， ②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为19， ③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为20， 所以原多边形的边数可以为或18． 7．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 题型03.多边形周长 8．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 9．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【详解】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 10．已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题考查正多边形性质，以及分式方程的应用，设这个正多边形的边数为，根据正多边形外角和为，表示出正多边形一个内角，根据一个正多边形的每个内角均为建立等式求解，即可解题． （2）本题考查负整数指数幂，以及正多边形的周长，利用负整数指数幂运算法则算出正多边形的边长，再根据周长定义计算即可． 【详解】（1）解：设这个正多边形的边数为， 利用多边形外角可得，， 解得， 经检验，使得， 所以是该方程的解， 答：这个正多边形的边数为． （2）解：， 该正多边形的周长为． 答：该正多边形的周长为． 题型04.多边形对角线相关问题 11．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】C 【分析】根据多边形对角线条数公式计算即可． 【详解】解： 因此九边形对角线的条数为27． 12．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为， 故选：A． 13．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数是边形，根据从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形，由此可得，进行计算即可得到答案 【详解】解：设这个多边形的边数是边形， 根据题意可得：， 解得：， 这个多边形的边数是7， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形，解题的关键是掌握从一个边形的某个顶点出发，可以引条对角线，把边形分为个三角形． 14．下列说法错误的个数是（    ） ①对于边形一个顶点的对角线有条 ②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形 ③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 ④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是七边形 A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】只需逐个判断每个说法的正误，统计错误说法的个数即可得到结果． 【详解】解：① 对于任意边形，过一个顶点，除去自身和相邻两个顶点，剩余可连接对角线的顶点数为，因此过一个顶点的对角线条数为，不是，故①错误； ② 不共线三点可构成一个三角形，分别以三角形的三条边作为平行四边形的对角线，可作出个不同的平行四边形，故②正确； ③ 正多边形的定义就是各边相等且各内角相等的多边形，该说法符合定义，故③正确； ④ 过边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，令，解得，因此这个多边形是七边形，故④正确； 综上，错误的说法共个， 故选：A． 15．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由见解析 【分析】（1）根据从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度，即可证明结论； （2）根据（1）所证结合多边形外角和为360度可得方程，解方程即可得到答案； （3）设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个，可得方程，解方程看方程是否有正整数解即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵从n边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成个三角形，且三角形内角和为180度， ∴n边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数为10； （3）解：过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024，理由如下： 假设能，设这个多边形的边数为x，则过多边形的一个顶点的所有对角线条数为条，这些对角线分多边形所得的三角形个数为个， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴不符合题意， ∴过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和不可能为2024． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线条数问题，多边形对角线分三角形个数问题，多边形外角和定理，三角形内角和定理，熟知多边形的相关知识是解题的关键． 题型05.多边形内角和问题 16．如图，在四边形中，，，，则________． 【答案】 【分析】根据四边形内角和定理，四边形的四个内角之和为，已知其中三个角的度数，利用减法运算即可求出第四个角的度数． 【详解】∵四边形的内角和为， ∴， ∵，，， ∴． 17．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：． 18．如图所示，有四个半径为2的圆，它们彼此分离，将它们的中心连接起来形成一个四边形，则图中阴影部分的总面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查四边形内角和，圆的面积，根据四边形内角和为360度，可得图中四个阴影部分可以构成一个半径为2的整圆，根据圆的面积公式即可求解． 【详解】解：四边形内角和为360度， 图中四个阴影部分可以构成一个半径为2的整圆， 图中阴影部分的总面积为：， 故选B． 19．如图，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理以及多边形内角和定理，作出辅助线，把六个角的和转化为三角形的内角和以及四边形的内角和是解题的关键． 连接，则，，根据内角和定理计算即可； 【详解】如图，连接， 则，， ， ． 题型06.正多边形内外角问题 20．镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 21．高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到以上．图1是一种高铝拱角砖的实物图，其形状为直五棱柱，图2是其横截面示意图，形状为五边形，已知，则两个外角与和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据五边形得出，再由图形求解即可． 【详解】解：∵五边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 【答案】/36度 【分析】本题考查等边对等角，正多边形的外角，根据题意易得中间五边形为正五边形，为其的一个外角，根据正五边形的每个外角的度数相等，求出的度数，再根据等边对等角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：由题意，中间五边形为正五边形，为其的一个外角， ∴， 由题意和图可知：为等腰三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 23．水仙、百合花、郁金香等都具有经典的六瓣结构，统称为六瓣花，“六六大顺”象征顺利、福运昌达，“六合”代表圆满、生机与希望，所以六瓣花常常被看作祥瑞之兆．如图，六个正九边形围在一起就可以拼出一个美丽的六瓣花图案，图中花瓣角的度数为_____________． 【答案】 【分析】根据正多边形内角和公式求出正九边形的内角度数，再根据周角的定义，用减去两个正九边形的内角度数即可求解． 【详解】解：正九边形每个内角的度数为 ， ． 24．下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 【答案】(1)M和N的边数分别是4和6； (2)见解析 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和的综合运用： （1）分别设出两多边形的边数，再根据多边形内角和公式列方程求解即可； （2）先计算每个外角，再计算每个内角即可．（也可以先计算正多边形的内角和，再计算每个内角度数） 【详解】（1）设M的边数为，N的边数为，由题意得： 解得：， ∴，， ∴M和N的边数分别是4和6； （2）嘉嘉解法：． 淇淇解法：正六边形的每个外角为：； 故正六边形的每个内角为． 题型07.多边形外角和的实际应用 25．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 _____ 【答案】9 【分析】根据多边形外角和为，得出多边形的边数． 本题考查了多边形的外角和定理，熟记多边形外角和为是解题的关键． 【详解】解：， 这个多边形的边数为， 故答案为：． 26．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形外角和，熟练掌握多边形外角和等于是解题的关键． 根据多边形外角和等于求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 27．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（    ）米 A．70 B．80 C．90 D．100 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360°，且每次都是向左转40°， 所以共转了9次，一次沿直线前进10米，9次就前进90米． 故选：C． 【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360°． 28．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 题型08.多边形内角和与外角和综合 29．若四边形的四个外角的度数比为，则其中最大的内角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用多边形外角和为的性质，结合比例求出各外角的度数，再根据内角与相邻外角互补的关系求解，最大内角对应最小的外角． 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，四边形四个外角的度数比为， ∴设四个外角的度数分别为，，，， 列方程得 解得， ∵内角与相邻外角的和为，外角越小，对应内角越大， ∴最小外角为，其对应的内角即为最大内角， 计算得最大内角度数为 ． 30．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7/七 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 31．如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，根据多边形的外角和等于，得 ,根据三角形外角的性质，得，那么．根据三角形内角和定理，得． 【详解】解：如图． . 由题意得：， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握多边形的外角、多边形的外角和等于、三角形外角的性质、三角形内角和定理是解决本题的关键． 32．如图，平分正五边形的外角，并与的平分线交于点，则的度数．    【答案】 【分析】要求，可求，则需求、、．因为五边形是正五边形，所以．又因为平分，平分，所以可求得，．再根据四边形内角和和邻补角进行求解即可． 【详解】解：任意多边形的外角和等于， ． 这个正五边形的每个内角为． ． 又平分， ． 又平分， ． ． ． ． 【点睛】本题主要考查任意多边形的外角和、正多边形的性质、角平分线的定义以及四边形的内角和，熟练掌握正多边形的性质、角平分线的定义以及四边形的内角和是解决本题的关键． 题型09.平面镶嵌 33．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 【答案】132 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的内角问题，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 先求出正五边形和正六边形的内角，再由即可． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， 故答案为：132． 34．如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正边形地板砖铺满，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值即可． 【详解】解：正n边形的一个内角为： ， 则， 解得：． 35．小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． (1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； (2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 【答案】(1)②或④， (2)． 【分析】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键． （1）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是，因此我们只需要验证是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可； （2）求出正五边形的三个内角和，再用减掉即可． 【详解】（1）解：正三角形一个内角是， 正方形的一个内角是， 正五边形的一个内角是， 正六边形的一个内角是， ∴可以进行地面的镶嵌是②或④． （2）解：正五边形的每个内角度数为． 所以，． 题型10.等腰与直角梯形的定义 36．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 37．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了梯形，三角形的面积公式，解题的关键是找到的面积关系和等高的三角形面积间的关系． 先利用得出，再由，求出，即可求出梯形的面积． 【详解】解：， 即， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 38．一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【答案】17 【分析】根据题意可知，该直角梯形的下底比上底长，结合梯形面积公式建立方程，即可求解下底的长度． 【详解】设梯形的下底为， 因为上底增加后梯形变为矩形，矩形对边相等， 因此梯形上底为， 已知梯形的高，面积， ∴， 解得， 故梯形的下底是． 39．如图，在梯形中，，，，那么边的长为______．    【答案】8 【分析】过点A作交于点，可得四边形是平行四边形，是等边三角形，进一步得出，从而可求出边的长． 【详解】解：过点A作交于点，如图，    ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了梯形，正确作出辅助线，构造平行四边形和等边三角形是解答本题的关键． 40．如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 【答案】梯形的腰的长为；梯形的面积为 【分析】此题考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作交于点，于点，可证明四边形是平行四边形，则，，因为，所以，而，则，因为，所以是等边三角形，则，，勾股定理确定，进而根据梯形的面积公式，即可求解． 【详解】解：作交于点，于点，则， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 梯形的腰的长为；梯形的面积为 题型11.平行四边形性质求解 41．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用方程思想将线段设出来，再将表示出来，利用勾股定理和两个直角三角形有公共边求出设的未知数的值，再将值代入到直角三角形中求解． 【详解】解：∵, ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， 解得， 将代入中， 解得． 42．如图，点P，Q是的边，上的点，且，，相交于R，连接，且恰好平分，若，，则点C到的距离为（     ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上的点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为． 43．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形及三角形的面积公式是解答此题的关键． （1）设中边上的高为，边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （2）根据为、的中点，故可得出； （3）设中边上的高为，中边上的高为，中边上的高为，再根据平行四边形的面积与三角形的面积公式求解即可； （4）根据即可得出结论． 【详解】（1）解：设中边上的高为，边上的高为， ， ，， ，， 故答案为：，； （2）为、的中点， ； （3）设中边上的高为，中边上高为，中边上的高为， ， ， ， 即， 故答案为：； （4），，， ， 即． 题型12.平行四边形性质证明. 44．如图，在中，点在对角线上，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 45．如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，推出，然后利用证明全等即可； （2）根据平行四边形的性质得到，，然后推出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形． 46．如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证是等边三角形，再证，推出，根据得，等量代换得，即可证明平分； （2）由，，推导出．根据以及三角形外角的性质，证明，即可得出； （3）在左侧构造，使得，在直线上，通过（2）中的条件和结论，先利用全等三角形说明，再利用（3）中的条件进行角度代换，通过等角对等边说明，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：中，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 中，，， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）证明：， ， 又， ． ，， ， ， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，在左侧构造，使得，在直线上，连接，作，， 由作法，可知，，，，， 又由（2），得，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， 又， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵，， 又， ∴，即， 解得． 题型13.平行四边形性质应用 47．如图，在中，是它的一条对角线，求证：．    【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，，再由，即可证明 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定，正确掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键． 48．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF． (1)请你只用无刻度的直尺画出线段EF的中点O； (2)说明这样画的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接AC交EF与点O，则点O即为EF的中点； （2）连接AF，CE．根据AE=CF，AE∥CF可知四边形AECF是平行四边形，据此可得出结论． 【详解】（1）如图，点O即为EF的中点； （2）连接AF，CE，AC． ∵ABCD为平行四边形， ∴AE∥FC． 又∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴OE=OF， ∴点O是线段EF的中点． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键． 49．已知，如图，在中，，，， （1）求边上的高的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据直角三角形的知识进行求解； （2）根据平行四边形的面积等于底乘以高进行计算． 【详解】解:（1）∵， ，， 为边上的高， ， ， ， ； （2）． 题型14.判断能否构成平行四边形 50．如图，不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故B选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），故C选项不符合题意； D、由，无法得出四边形是平行四边形，故D选项符合题意． 51．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可． 【详解】解：如图： ① ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴四边形是平行四边形，故①符合要求， ② 四边形内角和为，∵，， ∴ ， ∴， ∴ ， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，故②符合要求， ③ ，仅说明邻边相等，不能判定四边形是平行四边形，故③不符合要求． ④ ∵， ∴四边形是平行四边形，故④符合要求， 综上，符合条件的有个． 52．已知直角坐标系内四个点．以点为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使它成为平行四边形． 【答案】不一定是平行四边形，添加 【分析】利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【详解】解：以点 为顶点的四边形不一定是平行四边形， 添加， ∵点， ∴轴，轴， ∴， ∵， ∴ ∴以点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】考查了平行四边形的判定，解题关键是掌握平行四边形的判定． 题型15.添条件成为平行四边形 53．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析，即可得出答案． 【详解】A、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故A选项不符合题意； B、若添加， 根据，无法证明四边形成为平行四边形，故B选项不符合题意； C、若添加， ∵，， ∴四边形成为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故C选项符合题意； D、若添加， 满足对角线相等、一组对边平行的四边形也可能是等腰梯形，故D选项不符合题意． 54．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 _____秒． 【答案】或 【分析】由题意可得，分或两种情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】设点P运动了t秒， ∴，，，， ①当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴； ②当时，且，则四边形是平行四边形， 即， ∴， 综上所述：当直线在四边形内部截出一个平行四边形时，点P运动了秒或秒， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 55．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是： （1）根据平行四边形的判定添加条件即可； （2）连接交于O，根据平行线的性质得出，，根据等式的性质得出，然后根据平行四边形的判定即可得证． 【详解】（1）解：补充： 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形； （2）证明：连接交于O， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 又， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 题型16.平行四边形的计数问题 56．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的定义，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答即可． 【详解】解：图中的平行四边形为：，，，，，，，，，共个， 故选：A． 57．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 58．已知：如图，点A是直线l外一点，B，C两点在直线l上，∠BAC＝90°，BC＝2BA． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①以A为圆心，BC为半径作弧，再以C为圆心，AB为半径作弧，两弧交于点D； ②作出所有以A，B，C，D为顶点的四边形； （2）比较在（1）中所作出的线段BD与AC的大小关系． 【答案】（1）见解析；（2）在四边形ABDC中，BD＝AC；在四边形中， 【分析】（1）根据要求作出图形即可． （2）有两种情形，分别求解． 【详解】解：（1）如图，四边形ABDC或四边形即为所作． （2）在四边形ABDC和四边形中， ∵，， ∴四边形ABDC和四边形是平行四边形， ∵∠BAC＝90°， ∴四边形ABDC是矩形， ∴BD＝AC，． ∴在四边形ABDC中，BD＝AC；在四边形中， 【点睛】本题主要考查了作图—复杂作图，平行四边形的判定，及三角形的三边关系，根据题意作出符合题意的图形是解题的关键． 题型17.证明四边形是平行四边形 59．如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用推出，结合已知，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明是平行四边形； （）利用第（）题的平行四边形性质，得到对边相等，再将四条边长度相加计算出周长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（）知四边形是平行四边形， ∴，， ∴周长为：． 60．如图，在中，D为边上一点，E为边的中点，过点C作交的延长线于点F．连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】首先得到，证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：E是边的中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 61．如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 题型18.平行四边形性质与判定求解 62．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 63．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、平行线的判定以及角度计算，掌握利用平行四边形的角相等性质、折叠的角平分线性质，结合平行线和垂直的角度关系进行推导是解题的关键． （1）先判定四边形为平行四边形，利用平行四边形的角相等性质，结合折叠的角相等，推出同位角相等从而证平行． （2）利用平行线同旁内角互补求出，结合折叠的角平分线性质求出，再由垂直关系计算． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ． 由折叠知， ， ． （2）解：， ， ． 由折叠知， ． ， ． 64．【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． (1)【数学思考】如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，为“倍线平行四边形”（），点是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长； ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 【答案】(1)是“倍线平行四边形”，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）由已知可得为菱形，又，故，由勾股定理可得，故，即，故为“倍线平行四边形”； （2）①由为“倍线平行四边形”可知，，设，则勾股定理求得， 进而勾股定理求得，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出； ②过点作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，得出，进而证明，，即可得出，即可得证． 【详解】（1）解：是“倍线平行四边形”． 理由如下：在中，，． ， ， ， ， ， ， 是“倍线平行四边形”． （2）解：①是“倍线平行四边形”， ，， ． 设，则． ，， ， （舍负）， ， ． 是的中点，且， ． ②如图，过点作交的延长线于点，连接． ， ． ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． ， 设， 则，， ∴， ． ， ， ∴． 又， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ，， ， ， 是的中点． 题型19.平行四边形性质与判定证明 65．如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】由平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 66．如图，在中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行四边形的性质可证，得到，进而得到，，再根据平行四边形的判定定理即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴四边形是平行四边形． 67．如图，在中，点，分别在，上，，与相交于点，与相交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【详解】先利用平行四边形的性质和已知条件，证明四边形和四边形都是平行四边形；再根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到、分别是、的中点；最后通过三角形中位线定理，证明． 解：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ，． ， ∴四边形是平行四边形，． 与互相平分． 是的中点． ∵ ，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是的中点． 是的中位线． ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理，解题关键是通过证明两个小平行四边形，确定、为中点，从而利用中位线定理完成证明． 题型20.平行四边形性质与判定的应用 68．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 【答案】篮球架篮板的高度为 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质的应用．根据垂直定义可得，从而可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，从而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，即可解答 【详解】解：，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 答：篮球架篮板的高度为． 69．如图，在平行四边形中，E是边上一点． (1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在上截取，结合可得四边形是平行四边形，则； （2）根据平行线的性质得出，，即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 70．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE． (1)如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB； (2)如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K，先证明△DCF≌△DGH（ASA），进而证得△DFH是等腰直角三角形，得出FH＝DH，再证明△DMB≌△CGH（AAS），推出CF＝BM，即可证得结论； （2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝，连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H，应用平行四边形的性质和含30°直角三角形三边关系可得：BC＝2CD＝2，利用勾股定理可得BD＝，再利用含30°直角三角形三边关系可得：BM＝BF＝，FM＝BM＝，进而可得DM＝，求得：FG＝，再证四边形BPQF是平行四边形，得出BP＝FQ，再证明△CNQ≌△CGQ（SAS），得出QN＝QG，根据FQ+QG≥FG，可得出：当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG，即BP+QN的最小值为FG，即可求得BP+PQ+QN的最小值． 【详解】（1）如图1，过点D作DF⊥DM交CE于点F，设CE与BD交于点K， ∵BD⊥CD，DF⊥DM，GH⊥CE， ∴∠CDG＝∠FDH＝∠CHG＝90°， ∴∠CDF＝∠GDH， ∵∠DGH+∠HKG＝∠DCF+∠DKC＝90°，∠HKG＝∠DKC， ∴∠DCF＝∠DGH， 在△DCF和△DGH中， ， ∴△DCF≌△DGH（ASA）， ∴DF＝DH，CF＝GH， ∵∠FDH＝90°， ∴△DFH是等腰直角三角形， ∴∠DFH＝∠DHF＝45°，FH＝DH， ∵DC＝DG，∠CDG＝90°， ∴∠CGD＝DCG＝45°， ∴∠CGD＝∠DHF， ∵∠CGD+∠GCH+∠CKG＝∠DHF+∠BDM+∠DKH＝180°，∠CKG＝∠DKH， ∴∠GCH＝∠BDM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴∠DBM＝∠CDG＝90°＝∠CHG， 在△DMB和△CGH中， ， ∴△DMB≌△CGH（AAS）， ∴DB＝CH， ∵CF＝GH，BM＝GH， ∴CF＝BM， ∵CF+FH＝CH， ∴BM+DH＝DB； ； （2）如图2，在CD上截取CG＝CN，连接GQ，过点B作BF∥CE，使BF＝PQ＝， 连接DF交CE于点T，连接QF，过点F作FM⊥BD于点M，过点G作GH⊥DF于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，CD＝AB＝， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°， ∵BD⊥CD，CD＝， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴BC＝2CD＝2， ∴BD＝＝＝， ∵CE平分∠DCB， ∴∠BCE＝∠DCE＝∠DCB＝×60°＝30°， ∵BFCE， ∴∠CBF＝∠BCE＝30°， ∴∠DBF＝∠CBF+∠CBD＝30°+30°＝60°， ∵FM⊥BD，BF＝， ∴BM＝BF＝＝，FM＝BM＝×＝， ∴DM＝BD-BM＝＝， ∴DF＝＝＝， ∵DF2+BF2＝， ∴DF2+BF2＝BD2， ∴BF⊥DF， ∵BFCE， ∴CE⊥DF， ∵∠DCE＝30°， ∴∠CDF＝90°-30°＝60°， ∵BC＝2，BC＝4CN， ∴CN＝＝， ∴CG＝CN＝， ∴DG＝CD-CG＝-＝， ∵GH⊥DF，∠CDF＝60°， ∴DH＝DG＝＝，GH＝DH＝×＝， ∴FH＝DF-DH＝+＝， ∴FG＝＝＝， ∵BFCE，BF＝PQ， ∴四边形BPQF是平行四边形， ∴BP＝FQ， 在△CNQ和△CGQ中， ， ∴△CNQ≌△CGQ（SAS）， ∴QN＝QG， ∵FQ+QG≥FG， ∴当点Q在线段FG上时，FQ+QG的最小值为FG， ∴BP+QN的最小值为FG， ∵PQ＝，FG＝， ∴BP+PQ+QN的最小值为FG+PQ＝＝， 故BP+PQ+QN的最小值为． ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，截长补短方法，熟练运用所学知识点是解题关键 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01多边形与平行四边形期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握多边形相关概念，熟记内角和、外角和公式，理解对角线性质 2.明晰平行四边形定义，熟练掌握其边、角、对角线的性质定理 3.掌握平行四边形判定方法，能区分性质与判定的不同用途 4.理解两条平行线间距离的含义，掌握相关计算要点 1.运用公式计算多边形边数、内角度数、对角线条数 2.利用平行四边形性质求解线段长度、角度大小 3.根据已知条件，选用判定定理证明四边形为平行四边形 4.结合平行线、三角形知识，完成几何推理与综合计算 5.能梳理几何证明逻辑，规范书写推理步骤 1.多边形基础计算题型运算无误，稳固基础得分 2.准确判定平行四边形，性质与判定灵活切换解题 3.顺利解答线段、角度计算及几何证明常规考题 4.规避定理混用、条件遗漏等常见解题错误 5.应对图形组合类综合题型，提升几何解题能力 题型01.多边形的概念与分类 题型02.多边形截角枸边数与内角和问题 题型03.多边形周长 题型04.多边形对角线相关问题 题型05.多边形内角和问题 题型06.正多边形内外角问题 题型07.多边形外角和的实际应用 题型08.多边形内角和与外角和综合 题型09.平面镶嵌 题型10.等腰与直角梯形的定义 题型11.平行四边形的性质求解 题型12.平行四边形性质证明 题型13.平行四边形的性质应用 题型14.判断能否构成平行四边形 题型15.添条件成为平行四边形 题型16.平行四边形的计数问题 题型17.证明四边形是平行四边形 题型18.平行四边形判定与性质求解 题型19.平行四边形判定与性质证明 题型20,平行四边形判定与性质的应用 知识点01:多边形核心概念 1.多边形：由 n 条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形（n≥3，正整数），分为凸 / 凹多边形（初中重点研究凸多边形） 2.正多边形：各边相等且各内角相等的多边形（双重条件缺一不可） 3.多边形元素：边、顶点、内角（相邻两边夹角）、外角（一边与邻边延长线夹角）、对角线（连接不相邻两个顶点的线段） 知识点02:多边形分类 1.凸多边形:所有内角都小于 180°，任意一边延长，多边形整体都在这条直线同侧，课本重点、考试主考。 2.凹多边形:有一个或多个内角大于 180°，仅作概念了解，不做计算考查。 知识点03:对角线核心知识点 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫作多边形的对角线。 1.从n边形一个顶点出发：可作 n−3 条对角线,总对角线条数为​ 2.对角线分割作用：把n边形分割成 n−2 个三角形 3.多边形内角和公式，由三角形内角和推导得出 1.多边形内角和: n边形内角和：(n−2)×180∘边数越大，内角和越大。 ▶ 推导核心：化多边形为三角形（从一个顶点引对角线，将 n 边形分成 n-2 个三角形） 2.多边形外角和 任意多边形的外角和永远等于 360°与边数多少无关，是本节解题关键秒杀点。 平面镶嵌：正三角形、正方形、正六边形可单独镶嵌；正多边形组合镶嵌需满足围绕一点的内角和为 360∘。. 知识点 04. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点05:平行四边形核心性质 性质定理：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性等几个方面来探究，归纳如下表： 知识点06:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 题型01.多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 2．如图，定州开元寺塔（料敌塔）共十一层，高米，被誉为“中华第一塔”．塔身平面呈正八边形，是宋代砖塔的杰出代表．下列同为正八边形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，你能数出多少个不同的四边形？ 题型02.多边形截角后边数与内角和问题 4．一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 5．将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（    ）． A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19 6．把一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和为，则原多边形的边数？ 7．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 题型03.多边形周长 8．已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 9．如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 10．已知一个正多边形的每个内角均为． (1)求这个正多边形的边数． (2)若这个正多边形的边长为a，且，求该正多边形的周长． 题型04.多边形对角线相关问题 11．九边形的对角线的条数是（       ） A．25 B．26 C．27 D．28 12．从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 13．从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 14．下列说法错误的个数是（    ） ①对于边形一个顶点的对角线有条 ②以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作三个平行四边形 ③每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 ④过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形是七边形 A．1 B．2 C．3 D． 15．【课本再现】在探究多边形的内角和时，我们尝试从边形的一个顶点出发连接对角线，将边形分割成若干个三角形，从而得到边形的内角和公式为． (1)证明：边形内角和公式； (2)已知一个正边形一个内角的度数是其相对应外角度数的4倍，求这个正边形的边数； (3)过多边形的一个顶点的所有对角线条数与这些对角线分多边形所得的三角形个数的和可能为2024吗？若能，请求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由． 题型05.多边形内角和问题 16．如图，在四边形中，，，，则________． 17．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，该正十二边形的内角和为（    ） A． B． C． D． 18．如图所示，有四个半径为2的圆，它们彼此分离，将它们的中心连接起来形成一个四边形，则图中阴影部分的总面积为（　　） A． B． C． D． 19．如图，求的度数． 题型06.正多边形内外角问题 20．镜，古称“鉴”，如图，是六边形镜及其抽象出的正六边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．高铝拱角砖是专为拱形结构设计的耐火材料，耐火温度可达到以上．图1是一种高铝拱角砖的实物图，其形状为直五棱柱，图2是其横截面示意图，形状为五边形，已知，则两个外角与和为（   ） A． B． C． D． 22．图1中的五边形花环是由五个全等等腰三角形组成的．图2是它的示意图，则______． 23．水仙、百合花、郁金香等都具有经典的六瓣结构，统称为六瓣花，“六六大顺”象征顺利、福运昌达，“六合”代表圆满、生机与希望，所以六瓣花常常被看作祥瑞之兆．如图，六个正九边形围在一起就可以拼出一个美丽的六瓣花图案，图中花瓣角的度数为_____________． 24．下面是正多边形M和正多边形N的对话： (1)求正多边形M和正多边形N的边数； (2)在计算正多边形N的每个内角的度数时，嘉嘉和淇淇的思路如下，请你任选一个思路进行解答： 嘉嘉：先计算内角和，再计算每个内角． 淇淇：先计算每个外角，再计算每个内角． 题型07.多边形外角和的实际应用 25．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 _____ 26．“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素，如图是窗棂中的部分图案．若，则的度数是______． 27．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（    ）米 A．70 B．80 C．90 D．100 28．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 题型08.多边形内角和与外角和综合 29．若四边形的四个外角的度数比为，则其中最大的内角的度数是（    ） A． B． C． D． 30．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 31．如图，七边形中，，的延长线相交于点，若 ， ， ， 的外角的度数和为，则的度数为（　　） A． B． C． D． 32．如图，平分正五边形的外角，并与的平分线交于点，则的度数．    题型09.平面镶嵌 33．小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），如图所示则形成的______度． 34．如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正边形地板砖铺满，则等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 35．小颖家买了新楼，她想在边长相同的①正三角形、②正方形、③正五边形、④正六边形四种瓷砖中，选择一些瓷砖进行地面的镶嵌（彼此之间不留空隙、不重叠）． (1)她想选用两种瓷砖，若已选用正三角形瓷砖，则可以再选择的是______瓷砖（填写序号）； (2)她发现仅用正五边形瓷砖不能镶嵌地面，若将三块相同的正五边形瓷砖按如图所示放置，求的度数． 题型10.等腰与直角梯形的定义 36．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C．D． 37．如图，四边形是直角梯形，上底是，高是，阴影部分的面积是，则梯形的面积为_______． 38．一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 39．如图，在梯形中，，，，那么边的长为______．    40．如图，在等腰梯形中，已知，，求梯形的腰的长和面积． 题型11.平行四边形性质求解 41．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，，垂足为E，，，，则的长为______． 42．如图，点P，Q是的边，上的点，且，，相交于R，连接，且恰好平分，若，，则点C到的距离为（     ） A． B． C．3 D．2 43．我们知道：平行四边形的面积（底边）（这条底边上的高）．如图，四边形都是平行四边形，，，设它的面积为． (1)如图①，点为上任意一点，则的面积，的面积与的面积的数量关系是 ． (2)如图②，设、交于点，则为、的中点，试探究的面积与的面积之和与平行四边形的面积的数量关系． (3)如图③，点为平行四边形内任意一点时，记的面积为，的面积为，平行四边形的面积为，猜想得、的和与的数量关系式为 ． (4)如图④，已知点为平行四边形内任意一点，的面积为，的面积为，求的面积． 题型12.平行四边形性质证明. 44．如图，在中，点在对角线上，且，求证：． 45．如图，的对角线、相交于点O，E，F在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 46．如图，在中，在上，连接． (1)如图1，连接，若平分，，，，求证：平分； (2)如图2，连接，在上，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，是锐角，求线段的长． 题型13.平行四边形性质应用 47．如图，在中，是它的一条对角线，求证：．    48．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF，连接EF． (1)请你只用无刻度的直尺画出线段EF的中点O； (2)说明这样画的理由． 49．已知，如图，在中，，，， （1）求边上的高的长； （2）求的面积． 题型14.判断能否构成平行四边形 50．如图，不能判断四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 51．下列条件：①；②；③；④．其中能判定四边形为平行四边形的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 52．已知直角坐标系内四个点．以点为顶点的四边形一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使它成为平行四边形． 题型15.添条件成为平行四边形 53．如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 54．如图，在四边形中，，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒的速度从点C向点B运动．若P、Q同时出发，当直线在四边形内部截出一个平行四边形时．点P运动了 _____秒． 55．如图，在四边形中，，是对角线上的两点． (1)若，请添加一个条件：_________，使得四边形为平行四边形． (2)在（1）的条件下，若，求证：四边形是平行四边形． 题型16.平行四边形的计数问题 56．如图，中，，则图中共有平行四边形的个数为（　　） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 57．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 58．已知：如图，点A是直线l外一点，B，C两点在直线l上，∠BAC＝90°，BC＝2BA． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①以A为圆心，BC为半径作弧，再以C为圆心，AB为半径作弧，两弧交于点D； ②作出所有以A，B，C，D为顶点的四边形； （2）比较在（1）中所作出的线段BD与AC的大小关系． 题型17.证明四边形是平行四边形 59．如图，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求四边形的周长． 60．如图，在中，D为边上一点，E为边的中点，过点C作交的延长线于点F．连接，．求证：四边形是平行四边形． 61．如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 题型18.平行四边形性质与判定求解 62．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 63．如下图，四边形中，，，把沿折叠，使落在边上，是点的对应点，过点作． (1)求证：． (2)若，求的度数． 64．【问题情境】定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”． (1)【数学思考】如图1，在中，若，，试判断是否为“倍线平行四边形”，并说明理由． (2)【深入探究】如图2，为“倍线平行四边形”（），点是上的动点，连接交于点． ①若是的中点，，，求的长； ②过点作交于点，若，求证：是的中点． 题型19.平行四边形性质与判定证明 65．如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 66．如图，在中，点，分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 67．如图，在中，点，分别在，上，，与相交于点，与相交于点，连接．求证：． 题型20.平行四边形性质与判定的应用 68．数学实践小组开展测量篮球架篮板的高度的实践活动．测量方案如下表： 课题 测量篮球架篮板的高度 测量 工具竹竿、测角仪、皮尺等 测量方案示意图 测量步骤 （1）将竹竿垂直固定在地面上，从竹竿上的F点处观察篮板底部点B； （2）测量视线与竹竿的夹角，； （3）将观察点沿着竹竿向上移动到点G，测量从点G观察篮板顶部点A的视线与竹竿的夹角； （4）测量的长 测量数据 根据以上测量方案和数据求篮球架篮板的高度． 69．如图，在平行四边形中，E是边上一点． (1)过点E作的平行线，交于点F（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，求证：． 70．在平行四边形ABCD中，连接BD，若BD⊥CD，点E为边AD上一点，连接CE． (1)如图1，点G在BD上，且DG＝DC，连接CG，过G作GH⊥CE于点H，连接DH并延长交AB于点M，若HG＝BM，求证：BM+DH＝DB； (2)如图2，∠ABC＝120°，AB＝，点N在BC边上，BC＝4CN，若CE是∠DCB的角平分线，线段PQ（点P在点Q的左侧）在线段CE上运动，PQ＝，连接BP、NQ，请直接写出BP+PQ+QN的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $