专题02 不等式与不等式组（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题02 不等式与不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的基本性质 题型02 解一元一次不等式（组） 题型03 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 题型04 根据一元一次不等式的解集求参数 题型05 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 题型06 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 题型07 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 题型08 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 题型09 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 题型10 不等式与不等式组中新定义型综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 1. 掌握不等式的 3 条基本性质，能熟练进行变形；2. 能准确判断变形过程中的符号变化。 1. 基础必考点，以选择、填空为主；2. 常结合解方程考查，易错点在于性质 3（乘除负数）变号。 解一元一次不等式 1. 掌握解一元一次不等式的一般步骤；2. 能正确求出解集，并在数轴上准确表示。 1. 必考基础题，解答题第一问常考；2. 基础计算易出错，数轴表示不规范是高频丢分点。 一元一次不等式组 1. 会解不等式组，能正确求出公共解集；2. 能根据解集情况（如无解、整数解）确定参数范围。 1. 中考高频点，填空、解答均有涉及；2. 含参不等式组求参数是压轴常考点，侧重数形结合。 不等式的实际应用 1. 能从实际问题中提取不等关系，列不等式（组）；2. 能结合实际意义（如整数解）确定最终方案或取值。 1. 应用题重点，常以方案设计、最值问题出现；2. 审题是关键，易忽略 “整数解”“非负” 等实际限制条件。 知识点01 不等式的有关概念 1. 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式。 2. 使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。 3. 一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫不等式的解集。 示例：判断：x+3>5是不等式；x=3是它的一个解；解集为x>2。 易错点：把“解”和“解集”混淆：解是单个值，解集是所有解的集合。 不理解 ≥、≤ 的含义，把“≥”只当成“＞”。 知识点02 不等式的基本性质 1. 性质1：若a>b，则ac>bc（加减不改变不等号方向）。 2. 性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，>。 3. 性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，（乘除负数，不等号方向改变）。 示例：已知a>b，判断：a+2>b+2（正确）;-2a<-2b（正确，乘负数变号） 易错点：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向，这是本章最高频错误。 两边同乘含字母式子时，不讨论字母正负直接变形。 知识点03 一元一次不等式及其解法 1. 只含一个未知数，未知数次数为1，分母不含未知数的不等式。 2. 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 解集在数轴上表示：空心圈（不包含），实心点（包含）。 示例：解不等式：2x-1<5移项：2x<6，得x<3。 数轴表示：3 处画空心圈，向左画线。 易错点：移项忘记变号。去分母时，常数项漏乘公分母。数轴表示：含等号画实心，不含画空心，经常画反。 知识点04 一元一次不等式组及其解集 1. 几个同一未知数的一元一次不等式合在一起，组成不等式组。 2. 解集：各个不等式解集的公共部分。 3. 四种基本情况（设a<b）： - 同大取大：, x>b - 同小取小：：, x<a - 大小小大中间找：：, a<x<b\) - 大大小小找不到：：,无解 示例：解不等式组：：,解得：，解集：1<x2。 易错点：不会找公共部分，解集写反或写漏。 - 多个不等式求解时，某一个解错导致整体错误。 - 端点是否取等号判断错误。 知识点05 一元一次不等式组的整数解问题 先求出不等式组解集，再在解集中找出符合要求的整数（正整数、负整数、非负整数）。 示例：不等式组1<x3的整数解为：2，3。 易错点：漏端点值（如把3漏掉）。 把不满足解集的数也算进去。 知识点06 含参数的不等式（组）问题 已知不等式（组）的解集、有无解、整数解个数，反求参数范围。 示例：不等式组 有解，则a>2。 易错点：不判断等号是否成立，直接写范围。 - 数形结合能力弱，不会借助数轴分析参数位置。 知识点07 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解→检验→作答。 2. 常见关键词：至少、至多、不超过、不少于、不足、不低于。 示例：用长度20cm的铁丝围矩形，长比宽多2cm，求宽至多多少。 设宽为x，则2(x+x+2)20。 易错点：把“至少”“不超过”等关键词翻译成不等号时出错。 - 实际问题中，人数、物品数必须为正整数，常忽略取整要求。 - 列不等式时方向写反。 知识点08 不等式与方程、函数的简单综合 结合方程解的正负、范围，转化为不等式求解。 示例：方程2x+k=5的解为正数，则x=>0 k<5。 易错点：方程解的表达式求错，导致不等式列错。 - 综合题中计算粗心，符号混乱。 题型一 不等式的基本性质 解｜题｜技｜巧 牢记加减同向不变号，乘除正数方向不变、负数方向反转；避免直接乘除含字母式子，先判断符号；利用性质将不等式逐步化简，注意解集端点与数轴表示。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 解一元一次不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母时注意乘正负对不等号影响，去括号移项合并同类项后系数化为1要分清乘除正负；组则先解各不等式再取交集，用数轴直观表示，勿遗漏端点是否包含。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【典例2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）解下列不等式或不等式组： (1)； (2) 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 题型三 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 解｜题｜技｜巧 先根据错解结果反推原不等式结构，注意不等号方向是否被颠倒，结合解集端点与系数符号，设出原不等式并代入验证，常需分类讨论，逐步还原正确求解过程。 【典例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，．    第一步 移项，得．    第二步 合并同类项得，    第三步 所以：        第四步 (1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 【典例2】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【变式1】（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）（1）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：去分母，得………第一步 去括号，得………第二步 移项，合并同类项，得………第三步 两边都除以，得………第四步 所以，原不等式的解集为 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ； ②上述求解过程中，从第 步发生错误，具体错误是 ； ③直接写出该不等式的解集 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 题型四 根据一元一次不等式的解集求参数 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解不等式，用含参数式子表示解集，再与已知解集对比，建立方程或不等式求参数；注意系数正负对不等号方向影响，必要时分类讨论。 【典例1】（24-25七年级下·青海海北·期末）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为___________． 【典例2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为_______ 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是__． 题型五 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先解不等式组得含参数解集，再根据整数解个数或具体值确定边界，利用数轴分析端点范围，注意等号是否可取，常通过代入整数解建立不等式组精确限定参数。 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________． 【典例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，若为整数，则的值为______． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是_____． 题型六 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解各不等式，在数轴上表示解集，根据有解、无解或解集确定边界位置，列关于参数的不等式组；注意端点是否重合时等号的取舍，分类讨论要周全。 【典例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【典例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则_______； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为______． 题型七 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 解｜题｜技｜巧 先解方程或方程组，用含参数式子表示未知数，再根据解满足的不等式条件代入，列出关于参数的不等式组求解，注意隐含条件如分母不为零、根非负等，确保解的实际意义。 【典例1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【典例2】（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【变式2】（25-26八年级上·山东·期末）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 题型八 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 解｜题｜技｜巧 将函数值大小转化为不等式，利用图象交点划分区间，数形结合看高低；已知自变量范围求函数值范围，或反之，常通过端点值代入列不等式，注意直线与坐标轴交点。 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） … … … … A．的值随值的增大而减小； B．的值随值的增大而增大； C．不等式的解集为； D．不等式的解集为． 【典例2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【变式2】（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 题型九 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 解｜题｜技｜巧 审题找准关键词“至少”“不超过”等建立不等关系，设未知数后列不等式或组，解出范围后结合实际意义取整数或符合题意的解，注意单位统一与结果检验。 【典例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【典例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 题型十 不等式与不等式组中新定义型综合问题 解｜题｜技｜巧 理解新定义运算规则，转化为常规不等式；根据规则分类讨论，注意参数范围对不等号方向的影响，结合数轴确定解集，最后检验解是否符合新定义域，避免遗漏特殊情况。 【典例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【典例2】（24-25七年级下·广西玉林·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）“5与x的和大于x的3倍”用不等式表示为___________ ． 5．（25-26九年级上·河南商丘·期末）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：______． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 7．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： (1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． (2)解不等式组：． 8．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为_______． 7．（24-25七年级下·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，n为任意实数． (1)若点P在第二象限，求n的取值范围． (2)当n取不同的值时，点P都在某一条不平行于坐标轴的直线上，求该直线的函数表达式 9．（25-26八年级上·山东聊城·期末） 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 10．（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式与不等式组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的基本性质 题型02 解一元一次不等式（组） 题型03 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 题型04 根据一元一次不等式的解集求参数 题型05 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 题型06 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 题型07 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 题型08 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 题型09 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 题型10 不等式与不等式组中新定义型综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的性质 1. 掌握不等式的 3 条基本性质，能熟练进行变形；2. 能准确判断变形过程中的符号变化。 1. 基础必考点，以选择、填空为主；2. 常结合解方程考查，易错点在于性质 3（乘除负数）变号。 解一元一次不等式 1. 掌握解一元一次不等式的一般步骤；2. 能正确求出解集，并在数轴上准确表示。 1. 必考基础题，解答题第一问常考；2. 基础计算易出错，数轴表示不规范是高频丢分点。 一元一次不等式组 1. 会解不等式组，能正确求出公共解集；2. 能根据解集情况（如无解、整数解）确定参数范围。 1. 中考高频点，填空、解答均有涉及；2. 含参不等式组求参数是压轴常考点，侧重数形结合。 不等式的实际应用 1. 能从实际问题中提取不等关系，列不等式（组）；2. 能结合实际意义（如整数解）确定最终方案或取值。 1. 应用题重点，常以方案设计、最值问题出现；2. 审题是关键，易忽略 “整数解”“非负” 等实际限制条件。 知识点01 不等式的有关概念 1. 用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子叫不等式。 2. 使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。 3. 一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫不等式的解集。 示例：判断：x+3>5是不等式；x=3是它的一个解；解集为x>2。 易错点：把“解”和“解集”混淆：解是单个值，解集是所有解的集合。 不理解 ≥、≤ 的含义，把“≥”只当成“＞”。 知识点02 不等式的基本性质 1. 性质1：若a>b，则ac>bc（加减不改变不等号方向）。 2. 性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，>。 3. 性质3：若a>b，c<0，则ac<bc，（乘除负数，不等号方向改变）。 示例：已知a>b，判断：a+2>b+2（正确）;-2a<-2b（正确，乘负数变号） 易错点：两边乘除负数时，忘记改变不等号方向，这是本章最高频错误。 两边同乘含字母式子时，不讨论字母正负直接变形。 知识点03 一元一次不等式及其解法 1. 只含一个未知数，未知数次数为1，分母不含未知数的不等式。 2. 解法步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 3. 解集在数轴上表示：空心圈（不包含），实心点（包含）。 示例：解不等式：2x-1<5移项：2x<6，得x<3。 数轴表示：3 处画空心圈，向左画线。 易错点：移项忘记变号。去分母时，常数项漏乘公分母。数轴表示：含等号画实心，不含画空心，经常画反。 知识点04 一元一次不等式组及其解集 1. 几个同一未知数的一元一次不等式合在一起，组成不等式组。 2. 解集：各个不等式解集的公共部分。 3. 四种基本情况（设a<b）： - 同大取大：, x>b - 同小取小：：, x<a - 大小小大中间找：：, a<x<b\) - 大大小小找不到：：,无解 示例：解不等式组：：,解得：，解集：1<x2。 易错点：不会找公共部分，解集写反或写漏。 - 多个不等式求解时，某一个解错导致整体错误。 - 端点是否取等号判断错误。 知识点05 一元一次不等式组的整数解问题 先求出不等式组解集，再在解集中找出符合要求的整数（正整数、负整数、非负整数）。 示例：不等式组1<x3的整数解为：2，3。 易错点：漏端点值（如把3漏掉）。 把不满足解集的数也算进去。 知识点06 含参数的不等式（组）问题 已知不等式（组）的解集、有无解、整数解个数，反求参数范围。 示例：不等式组 有解，则a>2。 易错点：不判断等号是否成立，直接写范围。 - 数形结合能力弱，不会借助数轴分析参数位置。 知识点07 一元一次不等式（组）的实际应用 1. 步骤：审题→设未知数→找不等关系→列不等式（组）→解→检验→作答。 2. 常见关键词：至少、至多、不超过、不少于、不足、不低于。 示例：用长度20cm的铁丝围矩形，长比宽多2cm，求宽至多多少。 设宽为x，则2(x+x+2)20。 易错点：把“至少”“不超过”等关键词翻译成不等号时出错。 - 实际问题中，人数、物品数必须为正整数，常忽略取整要求。 - 列不等式时方向写反。 知识点08 不等式与方程、函数的简单综合 结合方程解的正负、范围，转化为不等式求解。 示例：方程2x+k=5的解为正数，则x=>0 k<5。 易错点：方程解的表达式求错，导致不等式列错。 - 综合题中计算粗心，符号混乱。 题型一 不等式的基本性质 解｜题｜技｜巧 牢记加减同向不变号，乘除正数方向不变、负数方向反转；避免直接乘除含字母式子，先判断符号；利用性质将不等式逐步化简，注意解集端点与数轴表示。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）若，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一分析各选项即可求解． 【详解】∵ A选项：不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故A错误． B选项：不等式两边同时减1，不等号方向不变，得，故B正确． C选项：当a、b异号或其中一个为0时，该结论不成立，例如，时，，故C错误． D选项：不等式两边同乘2（正数），不等号方向不变，得，故D错误． 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质，是解题的关键．根据不等式的性质逐一分析选项即可． 【详解】解：A．∵， ∴根据不等式两边同时乘同一个正数，不等号方向不变，得， 再根据不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变，得，故A选项一定成立，符合题意； B．当时，，此时，不满足，故B选项不一定成立，不符合题意； C．∵ ∴，故C选项不成立，不符合题意； D．根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，得，故D选项不成立，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变， ∴若，则，选项A正确； ∵不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变， ∴若，则，选项B正确； ∵当时，，此时，不满足， ∴选项C的说法不正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变， ∴若，则，选项D正确； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·北京朝阳·期末）下列推理错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质和不等式的性质，利用等式的性质和不等式的性质判断推理的正确性即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、若，则，符合等式对称性，正确，不符合题意； 、若，则，但当时，恒成立，与不一定相等，推理错误，符合题意； 、若，则，因为正数加任何数大于原数，正确，不符合题意； 、若，则，因为等式两边平方相等，正确，不符合题意； 故选：． 题型二 解一元一次不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母时注意乘正负对不等号影响，去括号移项合并同类项后系数化为1要分清乘除正负；组则先解各不等式再取交集，用数轴直观表示，勿遗漏端点是否包含。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）解一元一次不等式（组） (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解不等式即可； （2）求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 则不等式组的解集为： 【典例2】（25-26八年级上·山东潍坊·期末）解下列不等式或不等式组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求不等式的解集，求不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2） 解：解不等式①，得 解不等式②，得 所以该不等式组的解集是． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）解下列不等式或不等式组，并把它们的解集分别表示在数轴上： (1)； (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出，再在数轴上表示出来，即可作答． （2）分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集是， 在同一数轴上分别表示不等式组的解集： 【变式2】（25-26八年级上·山东菏泽·期末）（1）解不等式： （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2），数轴表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法，解题的关键是掌握不等式的基本性质，尤其是在去分母、系数化为1时，若两边乘（或除以）负数，不等号方向要改变； （1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1； （2）分别解两个不等式，再取它们的公共解集，并在数轴上表示． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解： 解不等式 ， 去括号，得， 移项，得， 即， ∴． 解不等式 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得． ∴ 不等式组的解集为 ． 不等式组的解集在数轴上表示为： 题型三 一元一次不等式（组）求解中错解复原问题 解｜题｜技｜巧 先根据错解结果反推原不等式结构，注意不等号方向是否被颠倒，结合解集端点与系数符号，设出原不等式并代入验证，常需分类讨论，逐步还原正确求解过程。 【典例1】（24-25八年级下·河南郑州·期末）下面是某同学解不等式组的部分解答过程，请阅读并完成相应的任务． 解：…… 由不等式②得，．    第一步 移项，得．    第二步 合并同类项得，    第三步 所以：        第四步 (1)任务一：小明的解答过程中，第一步的依据是 ，第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集． 【答案】(1)不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤结合不等式的性质判断即可 （2）分别求每一个不等式的解集，再取解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：小明的解答过程中，第一步的依据是不等式的基本性质2，第四步开始出现错误，错误的原因是化系数为1时没有变号， 故答案为：不等式的基本性质2，四，化系数为1时没有变号； （2）解： 由①得：； 由②得：， ∴原不等式组的解集为：． 【典例2】（24-25七年级下·湖北随州·期末）请观察框内解不等式的过程，回答下列问题： 解不等式 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 (1)第______步出现错误，错误的原因是______； (2)该不等式的正确解集为：______， 在下面的数轴上表示这个解集； (3)直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)五，不等式两边除以时，不等号的方向没改变 (2)，画图见解析 (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式、一元一次不等式组的解法，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据不等式的性质判断求解即可； （2）根据不等式的性质可得解集，再画图即可； （3）先分别求解两个不等式的解集，再确定解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：∵第五步中，不等式两边都除以，不等式的方向没有改变， ∴第五步出现错误；错误原因是：不等式的方向没有改变； （2）解：该不等式的正确解集为； 在数轴上表示其解集如下： ； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：. 【变式1】（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)下面是课堂上某同学的解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 问题：解不等式 过程如下： 解：去分母，得．第一步 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项得，．第四步 两边都除以，得．第五步 任务一：填空： ①以上求解过程中，去分母的依据是______； ②以上求解过程中，从第______步开始处出现错误； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：______； 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时学习经验，就在解不等式时还需要注意的事项给其他同学提一条建议； (2)解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)任务一：①不等式的性质2∶不等式的两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；②一；任务二：；任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变（答案不唯一）； (2)；数轴见解析． 【分析】（1）任务一根据不等式的性质即可得出答案； 根据题干中的解题步骤进行判断即可； 任务二：将错误之处改正并解不等式即可； 任务三：根据解不等式需要注意的细节写出一条即可； （2）解各不等式得出对应的解集后再求得它们的公共部分，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】（1）解：任务一由解题过程可得去分母的依据是不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变， 故答案为：不等式的性质2：不等式的两边乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变； 由解题步骤可得从第一步开始出错； 任务二：原不等式去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得； 任务三：在解一元一次不等式时，不等式两边乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变； （2）解不等式得， 解不等式得， 故原不等式组的解集为， 在数轴上表示其解集如下图所示： ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏连云港·期末）（1）下面是小红同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：去分母，得………第一步 去括号，得………第二步 移项，合并同类项，得………第三步 两边都除以，得………第四步 所以，原不等式的解集为 任务： ①上述求解过程中，第一步变形的依据是 ； ②上述求解过程中，从第 步发生错误，具体错误是 ； ③直接写出该不等式的解集 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）①不等式的性质2；②四；不等式两边除以，不等号方向没有改变；③；（2），见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． （1）①去分母的依据是不等式的性质，由此解答即可；②根据解不等式的步骤判断即可；③写出正确的解答过程即可． （2）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，然后把各个解集表示在数轴上，求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）①第一步变形的依据是不等式的性质， 故答案为：不等式的性质； ②从第四步开始出错，具体错误是不等式两边除以，不等号方向没有改变， 故答案为：四，不等式两边除以，不等号方向没有改变； ③， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得，两边都除以，得， 原不等式的解集为． 故答案为：． （2）， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 把解集表示在数轴上，如图所示： ． 题型四 根据一元一次不等式的解集求参数 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解不等式，用含参数式子表示解集，再与已知解集对比，建立方程或不等式求参数；注意系数正负对不等号方向影响，必要时分类讨论。 【典例1】（24-25七年级下·青海海北·期末）已知关于的不等式的解集如图所示，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查不等式的解集，根据不等式的解集以及数轴表示的解集范围进行计算即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， 由数轴可知不等式的解集为， 所以， 解得， 故答案为：2． 【典例2】（25-26八年级上·河北张家口·期末）已知关于x的方程的根是正数，则实数a的最大整数值为________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式． 首先解方程得到，然后根据根为正数列不等式，求解a的取值范围，最后确定最大整数值． 【详解】解：， 移项得， 即， 所以． 由于根是正数，即， 因此， 两边乘以2得， 即． 所以a的取值范围是， 最大整数值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）关于x的不等式恰有三个非负整数解，则b的取值范围是__． 【答案】 【分析】解出不等式得，根据不等式有三个非负整数解知，求解可得． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，根据不等式的解得到范围是解题的关键． 【详解】解：解不等式得：， 由题意可得：， ， 故答案为：． 题型五 利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先解不等式组得含参数解集，再根据整数解个数或具体值确定边界，利用数轴分析端点范围，注意等号是否可取，常通过代入整数解建立不等式组精确限定参数。 【典例1】（25-26八年级上·重庆·期末）关于的不等式组有且只有个整数解，则满足条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有三个整数解，确定参数的范围，进而求出所有满足条件的整数并求和． 【详解】解：解不等式，得，即， ∴ 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有三个整数解，整数解为， 故需满足，即 ∴整数为和，和为 故答案为：． 【典例2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知不等式组只有两个整数解，求的取值范围_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出两个不等式的解集，再根据不等式组只有两个整数解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组只有两个整数解， ∴不等式组的解为，其两个整数解为：和， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·贵州黔南·期末）已知关于x的不等式组的整数解是，0，1，若为整数，则的值为______． 【答案】3或4 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先解两个不等式，结合不等式组的整数解得出m、n的取值范围，结合m、n为整数可以确定m、n的值，代入计算可得． 【详解】解：解得 ， ∵关于x的不等式组的整数解是，0，1， ∴， 解得， ∵为整数， ∴或3，， ∴或4． 故答案为：3或4． 【变式2】（24-25七年级下·山东日照·期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，且为整数，则的值是_____． 【答案】0或3/3或0 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先解不等式，再根据不等式组解的情况得到m的取值范围，进而根据m为整数可得结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴该不等式组的整数解为和或、、、0、1， ∴或， ∴或， ∵为整数， ∴的值是0或3， 故答案为：0或3． 题型六 根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 解｜题｜技｜巧 先将参数视为常数解各不等式，在数轴上表示解集，根据有解、无解或解集确定边界位置，列关于参数的不等式组；注意端点是否重合时等号的取舍，分类讨论要周全。 【典例1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级下·全国·期末）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“同大取大”的原则，结合已知的解集，确定参数的取值范围． 【详解】解：解不等式组 解不等式， ． 解不等式， 得． 已知不等式组的解集为，根据“同大取大”的原则，要使成为解集，必须满足． 故答案为:． 【变式1】（25-26八年级上·四川成都·期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则_______； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 5 13 【分析】本题考查分式方程无解问题，根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握解分式方程的步骤，求不等式的解集，是解题的关键： （1）将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出参数的范围，结合方程的解为正数，确定满足条件的整数，再求和即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得， 解得， ∵方程无解， ∴方程有增根， ∴， ∴， ∴，解得； 故答案为：5； （2）解，得， ∵关于y的不等式组的解集为， ∴， ∴， 由（1）且， ∴且； 综上：且； ∴满足条件的整数为3，4，6， ∴； 故答案为：13． 题型七 整式方程(组)与一元一次不等式（组）结合求参数的问题 解｜题｜技｜巧 先解方程或方程组，用含参数式子表示未知数，再根据解满足的不等式条件代入，列出关于参数的不等式组求解，注意隐含条件如分母不为零、根非负等，确保解的实际意义。 【典例1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【典例2】（23-24七年级下·江西新余·期末）若关于x的不等式有且只有3个整数解，且关于x，y方程组的解为整数，则满足条件的整数a的值为______． 【答案】4或1或0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组．根据不等式组求出的范围，然后根据关于的方程组的解为整数，列式计算，据此求解即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， 不等式组只有3个整数解， ∴， ∴， 解方程组， 得：，解得， 将代入④得：，解得 方程组的解为：， ∵， ∴， 关于的方程组的解为整数， 或或或或或， 或或或或， 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，不是整数，不符合题意； 当时，是整数，符合题意； 当时，是整数，符合题意； 所有满足条件的整数的值为4或1或0， 故答案为：4或1或0． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）若关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的值之和为________． 【答案】 【分析】先解关于y的一元一次方程得到y关于a的表达式，根据y为非负整数得到a的取值范围，再解关于x的不等式组，根据已知解集确定a的限制条件，最后找出所有符合条件的整数a计算求和即可． 【详解】解： 解得 ∵关于y的方程有非负整数解， ∴ ∴，且a为整数； 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴ ∴ ∴， ∴所有符合条件的整数a的值有，，，， ∴ ∴所有符合条件的整数a的值之和为． 【变式2】（25-26八年级上·山东·期末）如果关于的分式方程有正整数解，且关于的不等式组无解，那么符合条件的所有整数的和是________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解分式方程，解决此题的关键是理解不等式组无解的意义，以及分式方程有正整数解．首先求解分式方程，得到参数的可能取值；再根据不等式组无解的条件筛选的值；最后计算符合条件的整数的和． 【详解】解：分式方程， 方程两边同乘以，得， 整理得， 解得， 为正整数， 是的正因数（，，，，，）， ，即， ，解得， 的取值为，，，，， 取值为，，，，； 解不等式得，， 不等式组无解， ， 取值为，，，，（排除）， 符合条件的所有整数的和是． 故答案为：． 题型八 一元一次不等式（组）与一次函数结合的问题 解｜题｜技｜巧 将函数值大小转化为不等式，利用图象交点划分区间，数形结合看高低；已知自变量范围求函数值范围，或反之，常通过端点值代入列不等式，注意直线与坐标轴交点。 【典例1】（25-26八年级上·上海·期末）一次函数的与的部分对应值如下表所示，根据该表提供的信息，下列说法正确的是（    ） … … … … A．的值随值的增大而减小； B．的值随值的增大而增大； C．不等式的解集为； D．不等式的解集为． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的增减性，一次函数与一元一次不等式的关系，先根据表格数据判断增减性，再求出一次函数解析式，最后逐一判断各选项即可. 【详解】解：由表格可得，点，在一次函数上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：； 由函数图象可得，的值随值的增大而增大，A错误，B正确； 由函数图象可得，不等式的解集为，C错误，； 由函数图象可得，不等式的解集为：，D错误； 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(    ) A．关于的方程的解是 B．关于的不等式的解集是 C．当时，函数的值比函数的值大 D．关于，的方程组的解是 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点， ∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意； 当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意； 关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，点，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点是轴上一动点，连结，当时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】先将点代入直线解析式求出，得到点坐标，再将、两点坐标代入，列方程组求解、即可； 不等式的几何意义为：直线的图像在直线图像 上方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标直接判断； 先求出、坐标，计算，再根据面积关系得，结合三角形面积公式求出的长度，分点在左右两侧求解坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， ， 直线过点、， ， 解得， 直线的表达式为． （2）解：不等式即， 由图像可知：当时，直线在直线上方， 不等式的解集为． （3）解：在中，令，得， ， 在中，令，得， ， ， ， ， ． 设，，， ，的高为点纵坐标， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 【变式2】（24-25八年级下·北京怀柔·期末）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 题型九 用一元一次不等式与不等式组解决实际问题 解｜题｜技｜巧 审题找准关键词“至少”“不超过”等建立不等关系，设未知数后列不等式或组，解出范围后结合实际意义取整数或符合题意的解，注意单位统一与结果检验。 【典例1】（24-25八年级下·山东聊城·期末）在我校“数学项目化学习”中，学生使用甲、乙两种原料配制奶茶．两种原料的蛋白质含量及价格如下表： 原料 甲 乙 蛋白质的含量/（单位/kg） 600 100 原料价格/（元/kg） 8 4 (1)现配制这种奶茶10kg，要求至少含有4200单位的蛋白质，求出所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． (2)在（1）的条件下，如果要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元，求所需甲种原料的质量x（kg）的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，再根据甲乙两种奶茶蛋白质含量大于等于4200单位列出不等式，求出解集即可； （2）根据甲乙两种原料的费用和小于等于72元列出不等式，再结合（1）中的解集可得答案． 【详解】（1）解：设需要甲种原料，则需要乙种原料 ，由题意得 ， 解得， ∴． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是； （2）解：由题意得， 解得． 答：所需甲种原料的质量的取值范围是． 【典例2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）近年来，“新能源换电站”成为城市绿色基建的重点项目．某城区计划建设、两种换电站共座，已知建设座种换电站需投资万元，座种换电站需投资万元．设建设种换电站座，总投资为万元． (1)求关于的函数表达式； (2)如果要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，那么建设多少座种换电站可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1) (2)建设座种换电站可使投资总额最少，为万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用． （1）根据题意列出一次函数关系式，即可求解； （2）根据种换电站的数量不超过种换电站数量的倍，得，进而根据一次函数的性质求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为要求种换电站的数量不超过种换电站数量的倍， 所以，解得； 因为一次函数中，随的增大而减小， 所以当时，； 答：建设座种换电站可使投资总额最少，为万元． 【变式1】（25-26八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；（，为正整数） (2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，； ； ；（，为正整数）； （2）解：当时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）扎染古称“绞缬”，是我国一种古老的纺织品染色技艺．扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展．某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件，其中两种布料的成本价和销售价如表： 单价 类别 成本价/（元/件） 销售价/（元/件） 甲种布料 60 100 乙种布料 40 70 (1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件？ (2)因热销，第一次购进的布料全部售完，该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件．若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍，且以相同的销售价全部售完这批布料．设第二次购进甲种布料m件，第二次全部售完后获得的利润为W元．第二次应怎样进货，才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种布料25件，乙种布料55件 (2)第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时， 利润最大， 最大利润为3600元 【分析】（1）分别设该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料的件数分别为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于m的一元一次不等式并求其解集，写出W关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W值最大，求出其最大值和此时的值即可． 本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】（1）解： 设第一次购进甲种布料 件，乙种布料 件，则： ， 解得： ∴第一次购进甲种布料 25 件，乙种布料 55 件． （2）解： 设第二次购进甲种布料件，则乙种布料为件，则根据题意得： 解得： ∴的取值范围为 （且为整数）． 设第二次全部售完后获得的利润为W元，则： ∵ ∴W 随 m 的增大而增大， ∴ 当时， 元， 此时乙种布料为 件． ∴第二次应购进甲种布料60件、乙种布料40件时，利润最大， 最大利润为3600元． 题型十 不等式与不等式组中新定义型综合问题 解｜题｜技｜巧 理解新定义运算规则，转化为常规不等式；根据规则分类讨论，注意参数范围对不等号方向的影响，结合数轴确定解集，最后检验解是否符合新定义域，避免遗漏特殊情况。 【典例1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)若，则的取值范围是________． (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用． （1）由等式右边运算形式确定，解不等式； （2）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故答案为：； （2）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 【典例2】（24-25七年级下·广西玉林·期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 【变式1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 【变式2】（23-24八年级下·辽宁辽阳·期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，恰好在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．结合新定义，按要求解答下面问题： (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是________；（只填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围？ 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查新定义，涉及解一元一次方程、解一元一次不等式组等知识，理解新定义的“关联方程”是解决问题的关键． （1）解题中给出的三个一元一次方程及不等式组的解集，根据“关联方程”验证即可得到答案； （2）解一元一次方程得到，解不等式组得到，根据“关联方程”的定义得到求解即可确定答案． 【详解】（1）解：①，解得； ②，解得； ③，解得； ， 解不等式①得； 解不等式②得； 原不等式组的解集为； 、在范围内；不在范围内， 不等式组的“关联方程”是①②， 故答案为：①②； （2）解：，解得； 解不等式①得； 解不等式②得； 不等式组的解集为； 关于x的方程是不等式组的“关联方程”， ，解得． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变． 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项C变形正确，符合题意． 2．（25-26八年级上·山东聊城·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下： ． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知平面直角坐标系中有一点，无论m取何值，点P不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角坐标系内各象限的点坐标的特征、不等式组的应用等知识点，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 根据各象限内点的坐标特征，列不等式组判断是否存在满足条件的m，即可确定点P不可能在的象限． 【详解】解：当点P在第一象限，则，解得：，即点P可能在第一象限； 当点P在第二象限，则，该不等式组无解，故点P不可能在第二象限； 当点P在第三象限，则，解得：，故点P可能在第三象限； 当点P在第四象限，则，解得：，故点P可能在第四象限． 故选B． 4．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）“5与x的和大于x的3倍”用不等式表示为___________ ． 【答案】 【详解】解：由题意知，不等式为， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·河南商丘·期末）若在实数范围内有意义，请写出一个满足条件的x的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， ∴满足条件． 6．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组的解满足，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法与一元一次不等式的求解，关键是运用整体思想简化计算，无需分别求解和的具体表达式．将方程组的两个方程左右两边相加，提取公因式后得到关于的代数式，再根据已知条件建立一元一次不等式，最后解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， ①+②得：， 整理化简，得； ， ，解得； 故答案为：． 7．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）按要求完成下列计算： (1)解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的正整数解． (2)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴上表示见解析，原不等式的正整数解为，，，， (2) 【分析】（1）解一元一次不等式按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1（不等号变向）的步骤求解，再标注数轴并找出正整数解； （2）分别解不等式组中的两个一元一次不等式，按“同小取小”的口诀即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： ∴原不等式的正整数解为，，，，； （2）解：， 解，得， 解，得， ∴原不等式组的解集是． 8．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特点，解不等式组，熟练掌握各象限内点的坐标特点，是解题的关键．根据第二象限点的横坐标小于0，纵坐标大于0，列出关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴横坐标，纵坐标， 即， 解不等式组得：， ∴m的取值范围是． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江金华·期末）若不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集确定，需根据不等式组解集的取法原则，结合已知解集反推参数的取值范围． 【详解】解：∵不等式组的解集为． ∴要使两个不等式的公共解集为，需的所有解都满足． ∴需满足 当时，不等式组的解集为，不符合题意，故舍去 因此 两边同乘，不等号方向改变，得． 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）定义：符号，例如：．若关于的不等式组，恰好有4个整数解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义运算，求不等式组的解集，先根据新定义将不等式组转化为常规一元一次不等式组，求解解集后，结合恰好有4个整数解的条件，确定k的取值范围即可． 【详解】解：∵定义， ∴第一个不等式转化为：， 化简得：， 即， ， 第二个不等式转化为：， 化简得：， ， ， 则不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有4个整数解，整数解为，0，1，2， ， 不等式两边同乘7得： 解得：． 故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如果关于x的不等式的解的最大值是4，则m的值是_____． 【答案】20 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，通过解不等式得到x的取值范围，并利用解的最大值建立方程求解m． 【详解】解：解不等式，得． 由于不等式的解的最大值是4， 因此， 解得：． 故答案为：20． 5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】本题考查了根据图像求不等式的解集．直接根据图像作答即可． 【详解】解：由图像可知，关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为_______． 【答案】2 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解求参数， 首先解不等式组，得到解集为，由解集非空且至多有3个整数解，可得的取值范围为，再解分式方程，得到，由解为整数且，求出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且至多有3个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴能被3整除，且，即， ∵，且为整数， ∴， 即符合题意的整数的值为2， 因此所有满足条件的整数的和为； 故答案为：2． 7．（24-25七年级下·吉林松原·期末）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 【分析】（1）通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求解不等式，并在数轴上表示即可． （2）先解每个不等式，两个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 不等式的解集在数轴上为： （2）解：， 解不等式①得 解不等式②得， 故不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，n为任意实数． (1)若点P在第二象限，求n的取值范围． (2)当n取不同的值时，点P都在某一条不平行于坐标轴的直线上，求该直线的函数表达式 【答案】(1) (2)（x为任意实数） 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用和一次函数的解析式等知识，熟练掌握各象限内坐标的符号特征和求出一次函数解析式是关键． （1）根据点的坐标的符合特征列出一元一次不等式组，解不等式组即可得到答案； （2）根据横纵坐标的关系变形后即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点，点P在第二象限，n为任意实数． ∴ 解得 （2）解：∵， ∴点P都在直线（x为任意实数）上． 9．（25-26八年级上·山东聊城·期末） 背景 某商场为举办“迎新春家电促销”活动，筹措资金准备一次性购进一批冰箱和彩电．根据市场需要，这些冰箱、彩电可以全部销售 素材1 已知购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元 素材2 已知商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元 素材3 在本次家电促销活动中，两种家电的售价分别为：冰箱元/台，彩电元/台 问题解决 任务 购进一台冰箱和彩电分别需要多少元？ 任务 商场有哪几种进货方案可供选择？ 任务 请你帮商场选出销售完两种家电获利最大的进货方案．最大利润是多少元？ 【答案】任务：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元；任务：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台；任务：获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元 【分析】任务：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元，根据“购进台冰箱和台彩电共需元，购进台冰箱和台彩电共需元”列出方程组求解即可； 任务：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台，根据“商场共筹集到资金万元用于购买两种家电，一次性购进冰箱、彩电共台，全部销售后利润不少于万元”列出不等式组求解即可； 任务：分别求出商场选择三种进货方案进货销售完两种家电后所获的利润，然后进行比较即可得出答案． 【详解】任务：解：设购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元， 依题意，得：， 解得：， 答：购进一台冰箱需要元，购进一台彩电需要元； 任务：解：设商场购进冰箱（为正整数）台，则购进彩电台， 依题意，得：， 解得：， ∴、、， ∴有三种进货方案： 方案一：购进冰箱台，彩电台； 方案二：购进冰箱台，彩电台； 方案三：购进冰箱台，彩电台； 答：商场共有种进货方案，方案一：购进冰箱台，彩电台；方案二：购进冰箱台，彩电台；方案三：购进冰箱台，彩电台； 任务：解：由任务知：销售一台冰箱所获利润为：（元），销售一台彩电所获利润为：（元）， 若选择方案一进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案二进货，则所获利润为：（元）； 若选择方案三进货，则所获利润为：（元）； ∵， ∴获利最大的进货方案是购进冰箱台，彩电台，最大利润是元． 10．（25-26八年级上·山东聊城·期末）阅读理解： 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：_____（直接填写序号； ①；②；③ (2)若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围； (3)若关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数），直接写出的取值范围． 【答案】(1)②③ (2) (3) 【分析】（1）先解方程，再求出各个不等式（组）的解集，然后根据其解集进行判断即可； （2）解方程组求出，，再代入不等式，求出的取值范围； （3）解方程组，用含有的代数式表示，，再根据已知条件列出不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 解得：， ①， 解得：， ∴不是此不等式的解； ②， 解得：， ∴是此不等式的解； ③， 解得：， ∴是此不等式组的解； ∴方程的解是此方程与②③的“理想解”， 故答案为：②③； （2）解：∵是方程组与不等式的“理想解”， ∴，， 解方程组，得：， ∴， ∴， 即的取值范围为； （3）解：解方程组，得：， ∵关于，的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的，均为正数）， ∴， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 解不等式③，得：， ∴不等式组的解集为， 即的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $