专题01 三角形的证明及其应用（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）八年级数学下学期新教材北师大版

专题01 三角形的证明及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 三角形的外角的性质求角 题型03 三角形内角和与外角和综合问题 题型04 多边形内角和与外角和问题 题型05 利用等腰（等边）三角形的性质求解 题型06 含30°的直角三角形性质的应用 题型07 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 题型08 全等的性质和HL综合问题 题型09 垂直平分线与角平分线的综合问题 题型10 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形内角和与外角 1.掌握内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单证明；2.能结合平行线、角平分线解决角度问题。 1.基础必考点，以选择、填空为主；2.常与特殊三角形结合考查，外角性质是解题关键。 等腰三角形 1.掌握 “等边对等角”“三线合一” 性质及 “等角对等边” 判定；2. 能解决边长、角度计算与线段、角相等证明，处理分类讨论问题。 1.中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及；2.压轴题常结合全等三角形考查，“三线合一” 是高频易错点。 等边三角形 1.掌握等边三角形性质（三角均为60∘）及三种判定方法；2.能结合含30∘角直角三角形解决线段倍分问题。 1.重点考查判定与性质，常与直角三角形、四边形结合；2.60°角相关计算是必考内容。 线段的垂直平分线 1.掌握 “垂直平分线上点到两端点距离相等” 的性质与判定；2 能利用性质证明线段相等，理解三角形外心性质。 1.基础必考点，选择、填空考查性质应用；2.尺规作图常考，易与角平分线性质混淆。 角平分线 1.掌握 “角平分线上点到两边距离相等” 的性质与判定；2.能通过作垂线辅助线解决线段、角相等问题。 1.高频综合点，常与垂直平分线、全等三角形结合；2.辅助线 “作两边垂线” 是解题关键，易忽略 “角内部” 前提。 三角形证明综合应用 1.整合特殊三角形、全等三角形知识，规范证明步骤；2.掌握常见辅助线添加方法，解决综合几何问题。 1.中考压轴题核心，考查多知识点融合；2.侧重逻辑推理与几何直观，易因步骤不规范、辅助线思路不清失分。 知识点01 三角形内角和定理与外角 1. 三角形内角和等于180°； 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ； 3. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 。 示例：在△ABC中，∠A=50°，∠ B=60°，则∠C=70°； 若外角为110°，且与∠B不相邻，则可求对应内角。 易错点：外角容易错用“相邻内角”计算 - 忽略“不相邻”这个关键条件 - 多个外角叠加时逻辑混乱 知识点02 等腰三角形的性质与判定 1. 性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） 判定：等角对等边 示例：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 则∠B=∠C=70°。 易错点： “三线合一”只对顶角、底边成立，乱用在底角上 - 已知边求边长时，忘记分类讨论（谁是腰、谁是底） - 忽略三角形三边关系，直接写解 知识点03 等边三角形的性质与判定 1. 性质：三边相等，三个内角都是60°，具有等腰三角形所有性质 2. 判定： 三边相等；三个角相等；有一个角是60°的等腰三角形 示例：等腰三角形有一个角为60°，则该三角形为等边三角形。 易错点：把“有一个60°角”直接当判定，忘记前提是等腰三角形 - 混淆等边三角形与等腰三角形的条件 知识点04 直角三角形的性质与判定 1. 两锐角互余； 2. 勾股定理：a2+b2=c2； 3. 斜边上的中线等于斜边的一半； 4. 30°角对的直角边等于斜边的一半； 5. 判定：有一个直角 / 两锐角互余 / 满足勾股逆定理。 示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB=6。 易错点：勾股定理只适用于直角三角形，乱用在任意三角形 - 分不清“直角边”“斜边”，代错公式 - 忽略“中线等于斜边一半”的前提是直角三角形 知识点05 线段的垂直平分线 1. 性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2. 判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3. 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等 示例：点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。 易错点：与角平分线性质混淆 - 作图或证明时，漏写“垂直且平分” 知识点06 角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 判定：在角内部，到两边距离相等的点在角平分线上 3. 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 示例：点P在∠AOB平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 易错点：忘记“距离是垂线段”，随便连线段就说相等 - 判定时忽略“在角的内部”这一条件 - 证明跳步，不写垂直直接用性质 知识点07 全等三角形在证明中的应用 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 用途：证线段相等、角相等、等腰/等边/直角三角形 示例：用 SAS 证明两三角形全等，从而得到对应边相等。 易错点：用“SSA”当判定定理 - 对应顶点、对应边写混乱 - 条件不足强行证明 知识点08 反证法（拓展） 知识点 先假设结论不成立，推出矛盾，从而原命题成立。 示例：证明“三角形中至少有两个锐角”，先假设至多一个锐角，推出内角和超180°。 易错点：假设写反 - 推导过程逻辑不严密。 题型一 利用三角形的内角和求角度 解｜题｜技｜巧 抓住“内角和180°”列方程：设未知角，用已知角表示其余角，或利用等腰、平行、折叠等条件导出等量关系，巧妙转化后代入求解，注意外角等于不相邻内角和。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点是射线上一点，，，平分，点在射线上，连接．当垂直于的一边时，的度数为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，分①，当时，当时三种情况，分别画出图形，然后通过角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，则， ∵平分，， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∵平分，， ∴， ∴； 如图，当时，则， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 综上可得：的度数为或或， 故答案为：或或． 【典例2】（25-26八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，关键是熟练运用平行线的角的性质以及三角板的固定角度进行角度计算．首先利用三角形内角和定理求出中的度数；再根据平行线的内错角相等，结合等腰直角三角板的角度求出的度数；最后通过角度的差计算出的度数． 【详解】解：在中，，， ； ，， ， ∵， ∴； ； 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【分析】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形的性质、翻折变换的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是根据点在射线上的不同位置，分情况讨论，利用平行线性质和翻折性质建立角度关系求解． 先在中求出的度数；再根据，分两种情况求出的度数． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴ ． ∵ 沿DE翻折得到， ∴ ， ∴设， 分两种情况讨论： 情况一：在线段CB上． ∵ ， ∴ . ∴ . 在中，． 情况二：在CB的延长线上. ∵ ， ∴， ∵， ∴， 即， 在中，， ∴，解得． 故答案为：或． 题型二 三角形的外角的性质求角 解｜题｜技｜巧 巧用“外角等于不相邻两内角和”转化已知角，将分散条件集中到一个三角形中；结合邻补角、角平分线或平行线，先求外角再倒推内角，或设未知数列方程快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和这一性质是解题的关键． 根据三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立与已知角的关系，从而求出的度数． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【答案】 【分析】延长交于点，如图所示，先由平行线性质得到，在中，由三角形内角和定理及外角性质列等式求解即可得到答案． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 在中，，，， ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 【答案】/28度 【分析】先求出，再根据角平分线的定义求出，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 解｜题｜技｜巧 内外角结合时，灵活选用“内角和180°”与“外角等于不相邻内角和”，将条件转化到同一三角形中，通过设未知数列方程，沟通内外角关系，注意外角和恒为360°这一隐含条件。 【典例1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和” 是解答本题的关键． （1）利用三角形外角的性质求出的度数，再结合三角形内角和定理计算的度数； （2）连续两次运用三角形外角的性质，进行等量代换，即可完成证明． 【详解】（1）解：，， ， ，且， ． （2）证明：，且， ． 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线定义和三角形内角与外角的关系，建立与、的联系． （1）先根据三角形内角和求出，再由角平分线得到，结合，利用直角三角形两锐角互余及三角形外角性质求出； （2）设，用表示，结合三角形内角和表示出，再通过直角三角形性质和外角关系推导出与、的等量关系． 【详解】（1）解： ∵平分 答：的度数为． （2）证明：设，则． 即． 【变式1】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)． 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线，掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质以及角平分线的定义是正确解答的关键． （1）连接并延长至点，由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （2）由（1）得，结合，，计算即可得出结果； （3）根据角平分线的定义以及（1）、（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：连接并延长至点， 则，， ∵，， ∴ （2）解：由（1）得：， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 【答案】（1），不是；（2）见解析；（3）或 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， 或． 题型四 多边形内角和与外角和问题 解｜题｜技｜巧 抓住内角和公式(n-2)×180°与外角和恒为360°列方程，将边数、内角、外角相互转化，利用相邻内外角互补关系，设未知数求解，注意正多边形各角相等可简化计算。 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题考查多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质，掌握多边形内角和公式是解题关键． 根据多边形内角和公式求出边数，再利用外角和定理求每个外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为，已知该多边形内角和为， 可得，解得，即该多边形为正边形， 由正多边形的外角和为， 可得每个外角的度数为． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查多边形的内角与外角，熟练掌握多边形内角和和外角和定理是解题的关键． 由完全拼成一个圆环需要的正六边形为n个，则围成的多边形为正n边形，利用正六边形的内角与夹角计算出正n边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴正六边形每个外角的度数为：， ∴正六边形每个内角为：， ∴组成的正多边形的每个内角为：， ∵n个全等的正六边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴组成的正多边形为正n边形， ∴，解得：． 故答案为：5． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）窗棂是中国传统文化的一种元素，它常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则_______． 【答案】330 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和综合，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．根据多边形的外角和为以及，得到，再根据多边形的每个内角与其外角之和为，即可求解． 【详解】解：如图， ∵多边形的外角和为，   ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 故答案为：330． 题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 运用等边对等角、三线合一及等边三角形各角60°等性质，将边长相等转化为角相等，再结合内角和或外角定理，建立等量关系；常通过作底边中线或高线构造直角三角形求解。 【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一的性质，得出垂直平分，因此点与点关于对称，将转化为；再根据垂线段最短，确定当时，取得最小值，即的长度；接着用勾股定理算出的长，进而得到的长；最后用三角形面积的两种不同表示方法，求出的长，即为的最小值． 【详解】解：∵，平分， ∴垂直平分， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴， 如图，根据“垂线段最短”，当、、三点共线，且时，取得最小值，即的长度， 在中，，，由勾股定理：， ∴， ∵， ∴， ∴，的最小值为． 【典例2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，_________． 【答案】 【分析】利用“”证明，根据全等三角形对应角相等，得出，根据三角形外角的性质求出，根据含30度的直角三角形的性质，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【答案】或． 【分析】先确定是等腰三角形，得出，由于不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，需分三种情况，分别利用角的关系求解即可． 【详解】解：∵在中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 设，由对称性可知，， ∴， ①如图1：当时，， 由，得，解得：． ∴． ②如图2：当时，则． 由得：，解得x＝37．5°， ∴． ③当时，则， 由得，，此方程无解． ∴不成立． 综上所述，或． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 解｜题｜技｜巧 抓住30°角所对直角边等于斜边一半这一核心，结合勾股定理与含60°角的等边三角形转化，遇30°角常作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【答案】 【分析】根据，得到，从而得到，结合，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，，D是的中点，于 ，若，则________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三线合一定理得到，则；证明，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【分析】的周长为，其中是定值，因此周长的最小值由的最小值决定；利用对称点性质，作点关于的对称点，则，根据“两点之间线段最短”，当、、三点共线时，取得最小值，最后计算和的长度，相加即可得到周长的最小值． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴． 作点关于的对称点， ∵，即， ∴是线段的垂直平分线， ， 连接，交于点，此时，根据“两点之间线段最短”，，这是的最小值． 在中，，， ∴， ∴的周长为． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，为的中点，点为线段上一动点．则的最小值为_____． 【答案】6 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称求最短路径的计算，合理作出辅助线是关键，根据题意，作点关于的对称点，当点三点共线，且时，的值最小，结合含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， 如图所示，作点关于的对称点， ∴，则， ∵对称， ∴， ∴， 当点三点共线，且时，的值最小， ∴，， ∴， ∴的最小值为6， 故答案为：6 ． 题型七 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 解｜题｜技｜巧 垂直平分线到线段两端等距，角平分线到角两边等距，由此转化边长或角相等，常结合等腰三角形及对称性，通过作垂线或连线构造全等，搭建等量关系列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【答案】 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，从而得出的周长，再结合三角形三边关系得出当点、、在同一直线上时，的值最小为，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长， ∵， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小为， ∴的周长最小值是． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【答案】10 【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长，即可求解． 【详解】解：垂直平分， ， 在的垂直平分线上， ， 的周长 ． 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可知，，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，作，，垂足分别为， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴； ∵，平分， ∴，， ∵和的平分线分别为相交于点O，且，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型八 全等的性质和HL综合问题 解｜题｜技｜巧 先根据已知条件判定全等，再对应边角相等转移条件；HL专用于直角三角形，找斜边与一直角边相等。常需多次全等或结合勾股定理，通过等量代换与方程思想求解。 【典例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先通过线段和差关系证明，根据平行线的性质结合证明，进而证明，最后根据全等三角形的对应角相等即可得证； （2）先通过线段和差关系求解，的长，在中，由勾股定理求解的长，证明，得到的长，以及，在中，由勾股定理求解的长，进而根据求解即可． 【详解】（1）证明：，，， ． 于点，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形的两个锐角互余可证，从而可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再次利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， 在中，， ， ， 为直角三角形； （2）解：， ， ， ， ， . 【变式1】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质与判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以． 在和中， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，即． （2）解：因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以． 【变式2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）飞镖是生活中常见的图形．数学课上，李老师和同学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长交于点E． 【问题发现】（1）延长交于点F，如图2，若，，则的数量关系为：__________；、的数量关系为：__________． 【类比迁移】（2）延长交于点F，连接，如图3，若，，，可在上取一点M，使得，连接．求证：． 【拓展应用】（3）如图4，若，，请判断的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明，再由全等三角形的性质可得答案； （2）在上取一点M，使得，连接，同理可证明，得到，再证明，得到，据此可证明结论； （3）延长到，使得，连接，证明，得到，，证明，得到，则可证明． 【详解】解：（1）在和中， ， ∴， ∴； （2）如图所示，在上取一点M，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 如图所示，延长到，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 垂直平分线与角平分线的综合问题 解｜题｜技｜巧 同时出现时，分别用垂直平分线得等线段，角平分线得等角与到边等距，常连接对称点构造等腰或全等，将分散条件集中到同一三角形或直角三角形中，建立方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】（1）先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线性质定理的逆定理得出答案； （2）先根据勾股定理求出，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴平分； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查垂直平分线判定及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握好相关知识是关键． （1）由垂直平分线的性质可得，则，结合三角形内角和定理求出的度数； （2）通过证明可得，利用垂直平分线的判定定理可证明． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵垂直平分， ∴， 由（1）可得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点． (1)与垂直吗？证明你的结论． (2)若的面积为21，，，求的长． (3)如图2，若的两边分别与、相交于、两点，且，请写出、、三条线段的数量关系并简要说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）由角平分线的性质得，由判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质，即可求证； （2）由三角形面积得，即可求解； （3）由可判定，进而能得出，由即可求解． 【详解】（1）解：； 证明如下： 是的角平分线，，， ，． 在和中 ， ， ， 又是的角平分线， ． （2）解：， ， ，， ， ． （3）解：， 理由：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 题型十 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 解｜题｜技｜巧 先由边等推角等或由角等推边等判定形状，再运用三线合一、对称性及等边三角形各角60°等性质转化条件，常作底边高线或中线，结合方程思想与全等三角形求解。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先证明，然后通过“”证明即可； （）通过全等三角形的性质即可求解； （）由点是的中点，，，则有，，再求出，则有，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（）得：， ∴； （3）解：，理由： 如图， ∵点是的中点，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）等边三角形线段计算的探究： 在中，，点E在边上，，，垂足分别为点D、F． 【初探】（1）当时，与有什么数量关系，请证明你的猜想． （2）在（1）的条件下，求的长． 【再探】（3）在图1中移动，过点C作，交于点P，得到图2，若，求长． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）证，即可求解； （2）根据角的直角三角形的性质，可得，根据全等可得，由，求出的长度，再求出，即可求解； （3）过点D作，设线段长度为x，根据几何关系用含有x的式子将依次表示出来，根据，列方程，即可求解． 【详解】（1）关系为， 证明：， ， ，， ， 又， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：过点D作， 设线段长度为x， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 根据图形可知，即， 解得， 线段长度为． 【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 【答案】(1) (2)的度数为 (3)的面积是 【分析】（1）利用等边三角形的内角为，结合等腰三角形“等边对等角”三角形内角和定理，直接求出的度数； （2）根据等边三角形的边相等、角相等的性质，结合已知条件，通过证明，再利用三角形外角的性质，将转化为等边三角形的内角，从而求出其度数； （3）通过构造辅助线，结合已知条件证明角相等，再通过证明得到线段相等关系；设未知数后利用勾股定理列方程求解边长，最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：， ， ∵在等边中，， ； （2）解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：延长到点，使得，连接，过点作于点． ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ∴， ， 令，则， ，，， ， 在中， ，， ，则， 由得，，则， 在中，， 由勾股定理得， 则，解得， ， ， ， 的面积是． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解析；（3）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）先求出，再进行分类讨论且逐个情况作图，运用等腰直角三角形的判定与性质进行分析，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ∴ ， ∴， 当点在线段上时，连接，如图所示：，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 则； 当点在线段的延长线上时，连接，如图所示： 由（2）的结论知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则 则， 综上：或 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 3．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②错误；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④正确． 【详解】解：，为的角平分线， ， ，故①正确； ， ，故②错误； 设与交于点，如图， ，故③正确； ，故④正确． 4．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 6．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理、平角与周角的定义、折叠的性质，熟练掌握分类讨论的思想和折叠前后对应角相等的性质是解题的关键．本题需分两种情况讨论求解，当时，利用平行线的性质和折叠的性质，求出的度数．当时，利用平行线的性质、平角的定义及折叠的性质，求出的度数． 【详解】解：在中， ，， ， 情况1：当时， ， ， 由折叠性质可知，， ， 在中， ， ， 情况2：当时， ， ， ， 由折叠性质可知， ， 故答案为：或． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 8．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）根据证明，得出，再根据，即可得到； （3）根据证明，得出，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：存在的数量关系为．理由： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据直角边斜边判定，根据对应边相等得到，继而得到． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F，则下列结论正确的有（   ） ①连接，则垂直平分线段；         ②是等边三角形； ③若，则；        ④若，则． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】如图，连接，由是等边三角形得，从而得点、都在线段的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得，，即可判断②正确，三角形的外角性质得，从而判断③错误，先找到，又由和都是等边三角形，，，得，，从而有，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点、都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段，故①正确； ∵， ∴，， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵垂直平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和都是等边三角形，，， ∴，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有①②④． 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点从点出发，以的速度沿路径A→B行进，到达点B后停止，设移动时间为，当是以BC为腰的等腰三角形时，__________s． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长度，以为腰时分点在上两种情况，分别列出等式进行计算即可． 【详解】解：，，， ， 当点在上时，① 点走的路程为：， ． ②， 过点作于点， ， ， 在中，， ，..， ， 点走的路程为：， ， 故答案为：或． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动______时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，先证明是等边三角形，则有，设运动时间为，当，点的运动路程为，的运动路程为，则当点在上，在上运动时，此时，然后分若，若，两种情况分析；当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形；从而即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 设运动时间为，当， ∴点的运动路程为，的运动路程为， 当点在上，在上运动时，此时， 如图，若， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 如图，若， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当点在上，在上运动时，此时，点，，不能构成三角形； 综上可得：运动或时，为直角三角形， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，点E、F分别在上，把沿折叠，点B恰好落在边上的点D处．若是以为腰的等腰三角形，则的长为______． 【答案】5或 【分析】求出，，分当时，过点D作于点G，则，设，则，得，得，解方程即可；当时，，得，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 当时，过点D作于点G， 则， 设， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： 当时， ， ∴， ∴． 综上，或． 故答案为：5或． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及三角形的外角性质，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）先求出的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：∵在中，， 是的平分线， （2） 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)15 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握线段垂直平分的性质是解题关键． （1）先根据线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式即可得； （2）先根据已知可得，，，，从而可得，再根据角平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）解：垂直平分， ． 同理：． 的周长； （2）证明：，垂直平分，垂直平分，， ，， ． 平分． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，．动点以每秒的速度从点出发，沿运动，同时另一点从点出发，以每秒的速度沿运动，当点到达点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)出发20秒后，求的长； (2)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？请说明理由； (3)当P，Q两点其中有一点落在某内角的角平分线上时，请求出满足条件的的值． 【答案】(1) (2)当秒时，点在的垂直平分线上；理由见解析 (3)或25秒 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，角平分线的性质，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由题意计算出，，再由勾股定理即可求解； （2）根据点在的垂直平分线上，则，，利用勾股定理构建方程求出的值即可； （3）分当Q点在的角平分线上，当P点在的角平分线上进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴的长为． （2）解：当秒时，点在的垂直平分线上． 理由如下： 当点在的垂直平分线上时，则，， 在中，， ∴， 在中，， ∴ 解得， ∴当秒时，点在的垂直平分线上． （3）解：当Q点在的角平分线上时， 过点Q作于点E，由角平分线性质定理得， ， 解得； 当P点在的角平分线上时， 过点P作于点F，由角平分线性质定理得， ∴， 解得； 综上所述，或25秒． 10．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）【探究】 （1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点在上时，连接．求证 ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （2）如图3，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（）见解析；，理由见解析；（）或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （）证明可得出结果；．同理即可求解； （）分当点在点左侧时、点在点右侧且在线段上、点在右侧且在延长线上三种情况，分别根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及直角三角形的定义进行解答即可． 【详解】解：（）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：过作， ∴， 则为等边三角形， 如图：当点在点左侧时， ∵和是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ∴不可能为直角三角形． ②如图：当点在点右侧，且在线段上时， 同理可得：， ， 此时只有有可能为． 当时，， ， ， ， 又 ∵， ． ③如图：当点在右侧，且在延长线上时， 此时只有， ， ， ， ， ， ， 综上：的长为或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用三角形的内角和求角度 题型02 三角形的外角的性质求角 题型03 三角形内角和与外角和综合问题 题型04 多边形内角和与外角和问题 题型05 利用等腰（等边）三角形的性质求解 题型06 含30°的直角三角形性质的应用 题型07 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 题型08 全等的性质和HL综合问题 题型09 垂直平分线与角平分线的综合问题 题型10 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 三角形内角和与外角 1.掌握内角和定理及外角性质，能进行角度计算与简单证明；2.能结合平行线、角平分线解决角度问题。 1.基础必考点，以选择、填空为主；2.常与特殊三角形结合考查，外角性质是解题关键。 等腰三角形 1.掌握 “等边对等角”“三线合一” 性质及 “等角对等边” 判定；2. 能解决边长、角度计算与线段、角相等证明，处理分类讨论问题。 1.中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及；2.压轴题常结合全等三角形考查，“三线合一” 是高频易错点。 等边三角形 1.掌握等边三角形性质（三角均为60∘）及三种判定方法；2.能结合含30∘角直角三角形解决线段倍分问题。 1.重点考查判定与性质，常与直角三角形、四边形结合；2.60°角相关计算是必考内容。 线段的垂直平分线 1.掌握 “垂直平分线上点到两端点距离相等” 的性质与判定；2 能利用性质证明线段相等，理解三角形外心性质。 1.基础必考点，选择、填空考查性质应用；2.尺规作图常考，易与角平分线性质混淆。 角平分线 1.掌握 “角平分线上点到两边距离相等” 的性质与判定；2.能通过作垂线辅助线解决线段、角相等问题。 1.高频综合点，常与垂直平分线、全等三角形结合；2.辅助线 “作两边垂线” 是解题关键，易忽略 “角内部” 前提。 三角形证明综合应用 1.整合特殊三角形、全等三角形知识，规范证明步骤；2.掌握常见辅助线添加方法，解决综合几何问题。 1.中考压轴题核心，考查多知识点融合；2.侧重逻辑推理与几何直观，易因步骤不规范、辅助线思路不清失分。 知识点01 三角形内角和定理与外角 1. 三角形内角和等于180°； 2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 ； 3. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 。 示例：在△ABC中，∠A=50°，∠ B=60°，则∠C=70°； 若外角为110°，且与∠B不相邻，则可求对应内角。 易错点：外角容易错用“相邻内角”计算 - 忽略“不相邻”这个关键条件 - 多个外角叠加时逻辑混乱 知识点02 等腰三角形的性质与判定 1. 性质：等边对等角；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） 判定：等角对等边 示例：在△ABC中，AB=AC，∠A=40°， 则∠B=∠C=70°。 易错点： “三线合一”只对顶角、底边成立，乱用在底角上 - 已知边求边长时，忘记分类讨论（谁是腰、谁是底） - 忽略三角形三边关系，直接写解 知识点03 等边三角形的性质与判定 1. 性质：三边相等，三个内角都是60°，具有等腰三角形所有性质 2. 判定： 三边相等；三个角相等；有一个角是60°的等腰三角形 示例：等腰三角形有一个角为60°，则该三角形为等边三角形。 易错点：把“有一个60°角”直接当判定，忘记前提是等腰三角形 - 混淆等边三角形与等腰三角形的条件 知识点04 直角三角形的性质与判定 1. 两锐角互余； 2. 勾股定理：a2+b2=c2； 3. 斜边上的中线等于斜边的一半； 4. 30°角对的直角边等于斜边的一半； 5. 判定：有一个直角 / 两锐角互余 / 满足勾股逆定理。 示例：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=3，则斜边AB=6。 易错点：勾股定理只适用于直角三角形，乱用在任意三角形 - 分不清“直角边”“斜边”，代错公式 - 忽略“中线等于斜边一半”的前提是直角三角形 知识点05 线段的垂直平分线 1. 性质：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 2. 判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 3. 三角形三边垂直平分线交于一点（外心），到三顶点距离相等 示例：点P在AB的垂直平分线上，则PA=PB。 易错点：与角平分线性质混淆 - 作图或证明时，漏写“垂直且平分” 知识点06 角平分线 1. 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 判定：在角内部，到两边距离相等的点在角平分线上 3. 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等 示例：点P在∠AOB平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE。 易错点：忘记“距离是垂线段”，随便连线段就说相等 - 判定时忽略“在角的内部”这一条件 - 证明跳步，不写垂直直接用性质 知识点07 全等三角形在证明中的应用 判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 用途：证线段相等、角相等、等腰/等边/直角三角形 示例：用 SAS 证明两三角形全等，从而得到对应边相等。 易错点：用“SSA”当判定定理 - 对应顶点、对应边写混乱 - 条件不足强行证明 知识点08 反证法（拓展） 知识点 先假设结论不成立，推出矛盾，从而原命题成立。 示例：证明“三角形中至少有两个锐角”，先假设至多一个锐角，推出内角和超180°。 易错点：假设写反 - 推导过程逻辑不严密。 题型一 利用三角形的内角和求角度 解｜题｜技｜巧 抓住“内角和180°”列方程：设未知角，用已知角表示其余角，或利用等腰、平行、折叠等条件导出等量关系，巧妙转化后代入求解，注意外角等于不相邻内角和。 【典例1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点是射线上一点，，，平分，点在射线上，连接．当垂直于的一边时，的度数为______． 【典例2】（25-26八年级上·四川成都·期末）一副直角三角板如图放置，其中，，，点在的延长线上．若，则等于__________． 【变式1】（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【变式2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，D是的中点，E是射线上的一点，连接，将沿翻折得到，当时，则的度数为______． 题型二 三角形的外角的性质求角 解｜题｜技｜巧 巧用“外角等于不相邻两内角和”转化已知角，将分散条件集中到一个三角形中；结合邻补角、角平分线或平行线，先求外角再倒推内角，或设未知数列方程快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，点在的延长线上，，，则________． 【典例2】（25-26八年级上·河南安阳·期末）随着教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的打卡地．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为________． 【变式1】（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，某煤气公司装煤气管道，他们从点处铺设到点处时，由于有一个人工湖挡了去路，需要改变方向经过点，再拐到点，然后沿与平行的方向继续铺设，如果，则______． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）如图，是的外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数是__________． 题型三 三角形内角和与外角和综合问题 解｜题｜技｜巧 内外角结合时，灵活选用“内角和180°”与“外角等于不相邻内角和”，将条件转化到同一三角形中，通过设未知数列方程，沟通内外角关系，注意外角和恒为360°这一隐含条件。 【典例1】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点在边上，延长至点，连接交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【变式1】（24-25七年级下·山西长治·期末）综合与探究． 问题背景：已知如图1，凹四边形． 初探： (1)试探究与，，之间的数量关系，并说明理由； 应用 (2)请你直接利用以上结论，解决下面问题． 如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边，恰好经过点，，若，则______； 拓展 (3)如图，平分，平分，若，，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　，　　“和谐三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，试说明：是“和谐三角形”； 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连接，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 题型四 多边形内角和与外角和问题 解｜题｜技｜巧 抓住内角和公式(n-2)×180°与外角和恒为360°列方程，将边数、内角、外角相互转化，利用相邻内外角互补关系，设未知数求解，注意正多边形各角相等可简化计算。 【典例1】（25-26七年级上·江苏南京·期末）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【典例2】（25-26八年级上·山东泰安·期末）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角的度数为______． 【变式1】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，用n个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为________． 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）窗棂是中国传统文化的一种元素，它常见的几何形式有万字纹、冰裂纹、回纹、步步锦等．图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，冰裂，有冰雪消融，万物复苏的意思，用在门窗上，就有了美好、如意即将到来的寓意．图②是这种窗棂中的部分图案，若，则_______． 题型五 利用等腰（等边）三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 运用等边对等角、三线合一及等边三角形各角60°等性质，将边长相等转化为角相等，再结合内角和或外角定理，建立等量关系；常通过作底边中线或高线构造直角三角形求解。 【典例1】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是________． 【典例2】（25-26八年级上·安徽滁州·期末）如图，D，E是等边两边上的两个点，且，连接与交于点P，过点B作于Q，那么，_________． 【变式1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，，点E、F分别是边、上的动点，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，如果折叠后与均为等腰三角形，那么______． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 题型六 含30°的直角三角形性质的应用 解｜题｜技｜巧 抓住30°角所对直角边等于斜边一半这一核心，结合勾股定理与含60°角的等边三角形转化，遇30°角常作垂线构造直角三角形，利用边长比例关系快速求解。 【典例1】（25-26八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，，，交延长线于点，则的长为___________． 【典例2】（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，，D是的中点，于 ，若，则________． 【变式1】（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为___________． 【变式2】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，为的中点，点为线段上一动点．则的最小值为_____． 题型七 利用垂直平分线与角平分线的性质求解 解｜题｜技｜巧 垂直平分线到线段两端等距，角平分线到角两边等距，由此转化边长或角相等，常结合等腰三角形及对称性，通过作垂线或连线构造全等，搭建等量关系列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，点D为直线上一点，则的周长最小值是________． 【典例2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于D，连接，的垂直平分线交于F，则的周长是___________ 【变式1】（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，，和的平分线相交于点，交于点，交于点，，若的面积为，则的面积为_________． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 题型八 全等的性质和HL综合问题 解｜题｜技｜巧 先根据已知条件判定全等，再对应边角相等转移条件；HL专用于直角三角形，找斜边与一直角边相等。常需多次全等或结合勾股定理，通过等量代换与方程思想求解。 【典例1】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点，，于点，，与交于点，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【典例2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在，．分别过，作过的直线l的垂线，垂足分别为、，且． (1)求证：为直角三角形； (2)若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·浙江舟山·期末）已知：如图，在中，于点为上一点，连接交于点，满足． (1)求证：． (2)若，且，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期末）飞镖是生活中常见的图形．数学课上，李老师和同学们围绕着飞镖图形展开如下探讨：如图1，延长交于点E． 【问题发现】（1）延长交于点F，如图2，若，，则的数量关系为：__________；、的数量关系为：__________． 【类比迁移】（2）延长交于点F，连接，如图3，若，，，可在上取一点M，使得，连接．求证：． 【拓展应用】（3）如图4，若，，请判断的数量关系，并加以证明． 题型九 垂直平分线与角平分线的综合问题 解｜题｜技｜巧 同时出现时，分别用垂直平分线得等线段，角平分线得等角与到边等距，常连接对称点构造等腰或全等，将分散条件集中到同一三角形或直角三角形中，建立方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，于E，于F，若． (1)求证：平分； (2)已知，求的长． 【典例2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，求证：点在线段的垂直平分线上． 【变式1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图1，是的角平分线，，，垂足分别为，，连接，与相交于点． (1)与垂直吗？证明你的结论． (2)若的面积为21，，，求的长． (3)如图2，若的两边分别与、相交于、两点，且，请写出、、三条线段的数量关系并简要说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 题型十 等腰（等边）三角形性质和判定的综合问题 解｜题｜技｜巧 先由边等推角等或由角等推边等判定形状，再运用三线合一、对称性及等边三角形各角60°等性质转化条件，常作底边高线或中线，结合方程思想与全等三角形求解。 【典例1】（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，点是边上的一个动点（不与重合）．连接，以点为直角顶点，以为一边作，使，边交于点． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若点是的中点，试判断与是否垂直？请说明理由． 【典例2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）等边三角形线段计算的探究： 在中，，点E在边上，，，垂足分别为点D、F． 【初探】（1）当时，与有什么数量关系，请证明你的猜想． （2）在（1）的条件下，求的长． 【再探】（3）在图1中移动，过点C作，交于点P，得到图2，若，求长． 【变式1】（25-26八年级上·湖南株洲·期末）已知是等边三角形，是边上一点(不与点重合)，是射线上一点(不与点重合)． (1)如图，若点在上，且，则的度数是________； (2)如图，若点在上，且，，相交于点，求的度数； (3)如图，若点在的延长线上，连接，，且满足．若，，求的面积． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（26-27八年级上·陕西西安·期末）如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，为的角平分线，，过点作于点，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 4．（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 5．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 6．（25-26八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，，是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为________． 7．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 8．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）几何直观是初中阶段数学核心素养的主要表现之一，也是一种可视化的思维方式． 已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接． 初步感知 （1）如图1，当点在边上时，求的度数． 类比探究 （2）如图2，当点在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段的数量关系，并说明理由． 拓展运用 （3）如图3，当点在边的延长线上时，，求线段的长． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．（25-26八年级上·河南漯河·期末）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）如图，已知是等边三角形，，E是上的点，，与交于点F，则下列结论正确的有（   ） ①连接，则垂直平分线段；         ②是等边三角形； ③若，则；        ④若，则． A．①② B．①②④ C．①②③ D．②③④ 4．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点从点出发，以的速度沿路径A→B行进，到达点B后停止，设移动时间为，当是以BC为腰的等腰三角形时，__________s． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，中，，现有两点分别从点同时出发，沿三角形的边运动．已知点的速度为，点的速度为．设点运动后停止运动，则其中运动______时，为直角三角形． 6．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，在中，，，，点E、F分别在上，把沿折叠，点B恰好落在边上的点D处．若是以为腰的等腰三角形，则的长为______． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． (1)求的度数； (2)过点作，交的延长线于点F，求的度数． 8．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知，垂直平分，交于点，交于点，垂直平分，交于点，交于点，连接． (1)连接，，若，求的周长； (2)若，求证：平分． 9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在中，．动点以每秒的速度从点出发，沿运动，同时另一点从点出发，以每秒的速度沿运动，当点到达点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)出发20秒后，求的长； (2)是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？请说明理由； (3)当P，Q两点其中有一点落在某内角的角平分线上时，请求出满足条件的的值． 10．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）【探究】 （1）已知和都是等边三角形． ①如图1，当点在上时，连接．求证 ②如图2，当点在线段的延长线上时，连接．探究，和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （2）如图3，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $