精品解析：四川省资阳中学2026届高三下学期强化训练三数学试题

高2023级数学强化训练三 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，命题p：，，则p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可求解. 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得， p的否定是，. 故选：D. 2. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为． 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性将，，与特殊值0，，1比较大小，即可得到，，的大小关系. 【详解】，，，所以． 故选：D. 4. 等边三角形的边长为1，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用平面向量的数量积公式计算求解. 【详解】等边三角形的边长为1，，，， 则 . 故选：D. 5. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图象，利用抛物线性质以及椭圆的性质结合已知条件建立等式得出的关系，根据椭圆离心率公式求解即可. 【详解】作抛物线的准线，则过椭圆的左焦点，过作交于， 因为椭圆与抛物线有共同的焦点，所以，设， 因为，， 所以，， 又因为，所以， 在直角三角形中，， 所以，解得，所以. 7. 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ） A. 5.6万元 B. 5万元 C. 6万元 D. 4.8万元 【答案】D 【解析】 【分析】根据已给函数模型结合已知数据求出解析式，设A产品投入万元，则B产品投入万元，求出利润的表达式，然后利用换元法转化为二次函数求得最大值． 【详解】设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元. 由题意设. 由图知.又. 从而. 设A产品投入万元，则B产品投入（）万元， 设公司利润为万元， 则， 设，则， ， 当时，，此时. 所以A产品投入16万元，B产品投入4万元时，才能使公司获得最大利润，最大利润为4.8万元. 故选：D 8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 【答案】B 【解析】 【分析】对于A，若，根据线面垂直的判定定理得，得出矛盾可判断A；根据线面垂直的判定定理、性质定理可判断B；由平面得就是与平面所成的角，求出可判断C；求出四面体的体积可判断D. 【详解】对于A，因为，，所以， 若，因为，，平面，平面，所以平面， 可得，这与矛盾，故A错误； 对于B，因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 得，又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，所以，故B正确； 对于C，平面，所以就是与平面所成的角， 因为，所以与平面所成的角为，故C错误； 对于D，四面体的体积为，故D错误. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由，所以这组数据的第60百分位数为从小到大排列得到的第五个数5，故A错误； 对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1，故B错误； 对于C，根据小概率值的独立性检验：，因为 ，则不能推断出犯错误的概率不超过0.5%，故C错误； 对于D，因为服从正态分布，且， 所以，故D正确； 10. （多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图像求出函数解析式，再逐个选项判断即可. 【详解】由图可知，， ，则， 又， ， 则． 的图象不关于直线对称，A错误； ，的图象关于点对称，B正确； 由，得，则在区间上单调递增，C正确； 由，得， 或． 取，得或；取，得或． 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为，D正确. 故选：BCD． 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可得有唯一零点1，然后由“零点相邻函数”定义可得存在，使，且为零点.据此令，则值域即为a范围，由此可判断选项正误. 【详解】定义域为，， 则在上单调递增，注意到，则有唯一零点1. 定义域为R，由“零点相邻函数”定义， 存在，使，且为零点. 若，，这显然不可能. 则，. 令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，从而， 且当时，， 故时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，可知半径，根据垂径定理，利用直线截圆所得弦长可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆的方程. 【详解】设圆心为，则圆的标准方程为， 所以圆的半径，又圆被轴所截得的弦长为，则， 解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 13. 的展开式中，x的系数为__________． 【答案】45 【解析】 【分析】根据乘法公式计算出的系数. 【详解】x选个、选个、不选为：， 选2个、不选、选个为：， 所以x系数为． 故答案为： 14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为__________（精确到0.1）． 【答案】3.3 【解析】 【分析】分别求出曲线的切线方程，由切线方程求与x轴的交点横坐标，循环求解即可. 【详解】由，得． 当时，，， 则过点的切线方程为， 令，得． 又，， 则过点的切线方程为， 令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3． 故答案为：3.3 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. （1）若，求边上的高； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角求得，结合余弦定理求解得为等边三角形，再求边上的高即可； （2）由已知条件得，根据，结合恒等变换得，，再结合直角三角形解对应边即可求得答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以，由正弦定理边角互化得， 因为， 所以，即，即， 因为，， 所以，由余弦定理得， 解得， 因为，，所以，即， 所以，即为等边三角形， 所以边上的高为. 【小问2详解】 解：因为，， 所以， 由（1）知，故， 所以，即， 所以，即， 因为，，所以，即， 所以，即为直角三角形，，，，. 所以由，得， 所以，即的周长为. 16. 已知数列是等比数列，，，数列满足：. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1），，，. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，，通过等比数列定义求出公比，代入等比数列通项公式求出，再根据作差法求出在时，，验证当时，符合该式，即可求出； （2）利用裂项相消的方法求出即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，所以，， 因为， 当时，， 两式相减得， 则时，； 当时，由得，解得符合该式； 所以，. 【小问2详解】 由于， ， 所以. 17. 已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0） （1）求椭圆C的标准方程： （2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消得到一个一元二次方程，根据根与系数的关系，结合三角形面积公式求出三角形APQ面积的表达式，再利用换元法、对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）∵∴，a=4， 椭圆的标准方程为； （2）设直线l的方程为x=my+2，代入椭圆方程得， 设P，Q，则 ∴三角形APQ面积为：， 令 ∵函数y=x+在上单调递增 ∴当u=，即m=0时，三角形APQ的面积取最大值. 【点睛】本题考查了已知椭圆的离心率求椭圆的标准方程，考查了利用椭圆与直线的关系求三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力. 18. 在正方体中，分别为棱的中点，现在顶点处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点处各截去三棱锥，设剩下的几何体为， （1）几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） （2）若正方体的棱长为，求几何体的表面积； （3）若分别为的中点，求平面与面所成二面角的正弦值． 【答案】（1）面体，条棱；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）由图形可确定几何体是由个全等的正方形面和个全等的三角形面构成，结合图形可得结果； （2）由图形可知几何体的各条棱长均为，由此求得各面面积，加和得到结果； （3）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】 （1）几何体是由个全等的正方形面和个全等的三角形面构成，几何体是面体； 几何体共有条棱. （2）由图形可知：几何体的各条棱长均为， 个全等的正方形面的总面积为； 个全等的三角形面的总面积为； 几何体的表面积； （3）以为坐标原点，为轴的正方向可建立如图所示空间直角坐标系， 设正方体棱长为， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 设平面的法向量， 则，令，则，，， 设平面与平面所成二面角为， 则，， 即平面与平面所成二面角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是： （1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量； （2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角； （3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小. 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于（与不重合），过点作曲线的切线与曲线交于点（与不重合），依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知. （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为，求证：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求曲线在点处的切线斜率，由此写出切线方程，联立切线的方程与曲线C的方程，由此得到点的坐标，可得，即可求得答案； （2）写出切线的方程，利用点到直线的距离公式计算，进而得到的表达式，通过放缩法得，再利用累加求和结合等比数列求和公式证明不等式. 【小问1详解】 曲线上点处的切线的斜率为， 故得到的方程为， 联立方程，消去y得：， 化简得：，所以：或， 由得到点的坐标， 由就得到点的坐标， 所以：， 故数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以：，； 【小问2详解】 由（1）知：，， 所以直线的方程为：， 化简得：， 因为， 所以， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级数学强化训练三 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，命题p：，，则p的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 等边三角形的边长为1，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 5. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且为抛物线的焦点.设抛物线与在第一象限的交点为，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 某投资公司计划投资A，B两种理财产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成本成正比例，其关系如图1所示，B产品的利润与投资成本的算术平方根成正比例，其关系如图2所示（利润与投资成本单位：万元）.假设该公司有20万元资金，并全部投入两种产品中，进行科学合理投资，使公司获得最大利润为（ ） A. 5.6万元 B. 5万元 C. 6万元 D. 4.8万元 8. 如图所示，在四边形中，，，，将四边形沿对角线BD折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与平面所成的角为 D. 四面体的体积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数越接近于1 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过0.5% D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. （多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. 函数的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和 11. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆心在射线 上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为_____. 13. 的展开式中，x的系数为__________． 14. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为__________（精确到0.1）． 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，. （1）若，求边上的高； （2）若，求的周长. 16. 已知数列是等比数列，，，数列满足：. （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知焦点在x轴的椭圆C：离心率e=，A是左顶点，E（2，0） （1）求椭圆C的标准方程： （2）若斜率不为0的直线l过点E，且与椭圆C相交于点P，Q两点，求三角形APQ面积的最大值 18. 在正方体中，分别为棱的中点，现在顶点处截去三棱锥，仿此同样方式，在顶点处各截去三棱锥，设剩下的几何体为， （1）几何体是几面体？共有多少条棱？（直接写出结论，不需要说明理由） （2）若正方体的棱长为，求几何体的表面积； （3）若分别为的中点，求平面与面所成二面角的正弦值． 19. 点列，就是将点的坐标按照一定关系进行排列.过曲线上的点作曲线的切线与曲线交于（与不重合），过点作曲线的切线与曲线交于点（与不重合），依此类推，可得到点列：，，，…，，…，已知. （1）求数列、的通项公式； （2）记点到直线（即直线）的距离为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $