8.6.3平面与平面垂直课件（第1课时 定义及判定定理）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间直线、平面的垂直第3课时，核心内容为二面角及其平面角、面面垂直的定义与判定。课堂导入通过书页平面位置关系等现实问题引发思考，回顾直线与平面垂直判定定理作为学习支架，逐步构建知识脉络。 其亮点在于以建筑工人检测墙面等现实情境和例1、例2等例题为载体，培养学生用数学眼光观察、数学思维推理、数学语言表达的核心素养。通过定义辨析、定理推导和实例应用，帮助学生理解抽象概念，教师可借助此资料提升教学效率。

空间直线、 平面的垂直 第3课时 平面与平面垂直 翻开的书本 书页所在的平面之间是什么位置关系？ 两个平面相交，“张开”的程度如何描述？ 本节：二面角 → 面面垂直的判定与性质 回顾旧知 面面垂直 直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 符号表示： 1.二面角的定义 从一条直线出发的两个　　　　所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的　　，这两个半平面叫做二面角的面. 2.画法： 半平面 棱 3.记法：二面角　　　或二面角　　　 或二面角P-l-Q或二面角 . α-l-β α-AB-β P-AB-Q 二面角的平面角 把门开大一些,是指哪个角大一些? • A B O l A′ B′ O′ α β 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. A B O • 二面角的平面角度数等于二面角度数 注： (1)其中∠AOB的大小与点O的位置无关： (2)表示二面角的平面角的两边一定要垂直于棱，只要有一边不垂直棱都不是二面角的平面角. 二面角的平面角 面面垂直 O 如图示，当∠AOB=90°，即二面角的平面角为直角时，我们把这种二面角角叫做直二面角. 一般地，两个平面α，β相交，如果它们所成的二面角α-l-β是直二面角，就说平面α与β互相垂直. 记作α⊥β. α β l A B O 当∠AOB=0°，即二面角的平面角为0°时，表示二面角的两个半平面重叠成一个半平面. α(β) l A(B) O 当∠AOB=180°，即二面角的平面角为180°时，表示二面角的两个半平面展开成一个平面. α β l A B O 因此，二面角的平面角的取值范围为__________. [0, Π] 4.二面角的平面角 (1)在二面角α-l-β的棱l上　　　一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的　　　 叫做二面角的平面角，如图. 任取 ∠AOB (2)二面角的平面角α的取值范围是 .平面角是　　　的二面角叫做直二面角. 0°≤α≤180° 直角 　　　已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求： (1)二面角B-PA-D的平面角的大小； 例 1 ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA，AD⊥PA. ∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°， ∴二面角B-PA-D的平面角为90°. 8 (2)二面角B-PA-C的平面角的大小； ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， AC⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA，AC⊥PA. ∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角. 又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°. 即二面角B-PA-C的平面角为45°. 9 (3)二面角A-PD-C的平面角的大小. 10 如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO， ∵PA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AD，PA⊥CD， 又PA=AB=AD，∴AO⊥PD. ∵PA⊥CD，又AD⊥CD， AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA=A， ∴CD⊥平面PAD， 又PD⊂平面PAD， ∴CD⊥PD，又∵OM∥CD， 11 ∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD， ∴OM⊥OA，又∵PD是二面角A-PD-C的棱， ∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°. 12 平面与平面垂直的定义与画法 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β. (2)画法： 13 如图所示，在四面体A-BCD中，BD=a，AB=AD=CB=CD=AC=a. 求证：平面ABD⊥平面BCD. 例 2 14 ∵AB=AD=CB=CD=a， ∴△ABD与△BCD是等腰三角形. 取BD的中点E，连接AE，CE，如图， 则AE⊥BD，BD⊥CE. ∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角. 在Rt△ABD中，AB=a， BE=BD=a，∴AE==a. 同理CE=a. 在△AEC中，AE=CE=a，AC=a， 15 ∴AC2=AE2+CE2， ∴AE⊥CE，即∠AEC=90°， 即二面角A-BD-C的平面角为90°. ∴平面ABD⊥平面BCD. 16 平面与平面垂直的判定 面面垂直 O 如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直. 如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面. 这种方法说明了什么道理？ 语言类型 内容 文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 符号语言 图形语言 a 　　　　　如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上. 求证：平面AEC⊥平面PDB. 跟踪训练 3 19 ∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD， AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BD，AC⊥PD， 又PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PDB， ∴AC⊥平面PDB. 又AC⊂平面AEC， ∴平面AEC⊥平面PDB. 20 EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $