8.6.3.2 平面与平面垂直的判定定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件核心内容为平面与平面垂直的判定定理，课堂导入通过复习直线与平面垂直判定定理，结合教室墙面与地面等生活实例观察，类比面面平行转化思想，再经笔与课本的动手实验，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以生活情境和动手实验培养数学眼光，通过问题链引导数学思维（如线线垂直到线面垂直再到面面垂直的转化），用符号语言和图形语言规范数学表达。实例有正方体证明、圆直径问题等，帮助学生建立空间观念，教师可直接使用分层例题与作业提升教学效率。

8.6.3.2 平面与平面垂直的判定定理 一、复习回顾 问题1：直线与平面垂直的判定定理是什么？ 直线和平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 问题2：观察教室墙面与地面、教室门与地面， 这些平面之间都有怎样的位置关系？ 垂直 前面我们学习了直线与平面垂直的判定定理，大家先回忆一下，要判定一条直线垂直于一个平面，必须满足什么条件？这种垂直关系在几何里是非常重要的位置关系。 一、复习回顾 平面与平面垂直： 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号语言： 上节课我们简单认识了二面角，知道了当两个平面相交，二面角为直二面角时，两个平面互相垂直。 一、复习回顾 问题3：如果每次都用定义去判定面面垂直，需要度量二面角的大小，非常麻烦。有没有更简单、更直接的方法，来判定两个平面垂直呢？ 但在实际解题和几何应用中，我们很少每次都去度量二面角的大小来证明面面垂直。所以今天这节课，我们来探究：有没有更简洁、更通用的方法，判定两个平面互相垂直。 二、情境引入 面面平行的判定：线面平行 面面平行 通过类比，能不能把面面垂直问题转化为线面垂直问题 ？ 除定义外，如何判断平面与平面垂直呢？ 空间问题 平面问题 二、情境引入 观察 如图，教室的门在开关的过程中，门扇所在平面与地面是什么位置关系？无论在什么位置都是一样的吗？ 门轴与地面是什么位置关系？ 门轴与门扇所在平面是什么位置关系？ 始终垂直 垂直 门轴在门扇平面内 猜想：如果一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。 我们不妨大胆猜想：如果一个平面里，有一条直线垂直于另一个平面，那这两个平面会不会垂直？为了验证这个规律不是特例，接下来我们动手验证这个猜想。 三、操作验证 动手实验 实验1：笔垂直于桌面，课本紧贴笔，翻动课本，观察课本与桌面的位置关系； 实验2：笔不垂直于桌面，课本紧贴笔，此时课本与桌面的位置关系。 垂直 不垂直 问题4：笔垂直桌面，且笔在课本平面内时，两个平面垂直吗？ 问题5：笔不垂直桌面，即便在课本里，两个平面还垂直吗？ 问题6：判定面面垂直，关键要找到什么？ 找到一条垂直于另一个平面的直线 请大家拿出桌上的课本和笔，跟着老师一起操作：先把笔竖直在桌面上，保证笔完全垂直桌面；再让课本紧贴着这支笔，慢慢翻动课本。大家观察，翻动过程中，课本和桌面一直是什么位置关系？ 现在，我们把笔倾斜不再垂直桌面，再让课本贴着笔，这时候课本和桌面还垂直吗？通过这个小实验，我们已经有了直观感受，现在跟着老师的问题，一步步提炼规律。 这就是本节课的核心--面面垂直的判定定理。 四、归纳定理 平面与平面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 符号表示： 线面垂直面面垂直 图形语言： 直线与平面垂直 平面与平面垂直 直线与直线垂直 转化 转化 现在试着把这个结论规范成数学定理，用文字语言应该描述？如何将文字语言转化为符号语言？根据图形自己用数学符号写一写它的条件和结论。现在我们一起把定理转化成符号语言和图形语言。老师在黑板上画图，大家跟着画：先画两个相交的平面，在其中一个平面内画一条直线，让这条直线垂直于另一个平面。核心逻辑：把复杂的面面问题，转化成我们之前学过的线面垂直来解决。这是立体几何里非常重要的转化思想：降维转化，由线推面。 四、深化理解 1.判断正误. (1)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.( ) (2)如果平面内有一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ) (3)如果平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则.( ) × 2.已知，则过与垂直的平面（ ） A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在 C × √ 为了让大家彻底吃透定理，我们做一组快速辨析。 例1：已知，如右图, 正方体求证：平面 五、面面垂直的判定定理实战训练 追问1：看到要证明的结论，你能想到用什么方法？ 追问2：你能发现在平面中有哪些直线有垂直关系？ 追问3：那具体证明过程怎么写呢？请同学们按照刚刚给出的思路自己写出证明过程. 几何定理重在应用，接下来通过例题带大家规范书写证明步骤，找准垂线、找对平面，形成固定解题思路。根据我们刚学的定理，第一步要找什么？找线面垂直。观察图形，我们应该在哪个平面内找一条垂直于另一个平面的直线？除这种方法外，还有其他的证明方法吗？这道题还有其他证明方法，课堂上我们只掌握这一种，其他方法课后大家自己去探究。对照答案把不规范的地方修改过来。 例1：已知，如右图, 正方体求证：平面 ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体， ∴AA'⊥平面ABCD. 又BD平面ABCD，∴AA'⊥BD. 又AC⊥BD，AC∩AA'=A， ∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面A'BD， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'. 证明： 五、面面垂直的判定定理实战训练 几何定理重在应用，接下来通过例题带大家规范书写证明步骤，找准垂线、找对平面，形成固定解题思路。根据我们刚学的定理，第一步要找什么？找线面垂直。观察图形，我们应该在哪个平面内找一条垂直于另一个平面的直线？除这种方法外，还有其他的证明方法吗？这道题还有其他证明方法，课堂上我们只掌握这一种，其他方法课后大家自己去探究。对照答案把不规范的地方修改过来。 例1：已知，如右图, 正方体求证：平面 解法2： 五、面面垂直的判定定理实战训练 解法3： 定义法（二面角为直二面角） 五、面面垂直的判定定理实战训练 追问：在正方体中，若点P为上任意一点，平面 应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤 分析题意，根据题目条件选择 证明哪个平面的垂线 定思路 证线面 恰当的选择方法证明线面垂直 常用方法是线线垂直，则线面垂直 证面面 根据面面垂直的判定定理证明 方法小结 六、巩固提升 例2：已知，如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC. AC BC BC C 本质：线⊥面面⊥面 关键：在一个平面内找 另一个平面的垂线 六、巩固提升 例2：已知，如右图, AB是O的直径, PA垂直于O所在的平面, C是圆周上不同于A, B的任意一点. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC. 追问2：你能找到二面角P-BC-A的一个平面角吗？ ∠PCA 追问1：你还能发现哪些面互相垂直？ 面PAC ⊥面ABC; 面PAB ⊥面ABC （2）当PA=AC时，求二面角P-BC-A的大小. （3）当PA=AC=BC=1时， ①求四面体P-ABC的体积与表面积. ②求该四面体外接球的表面积. 用 定义面面垂直 类比 度量 特 殊 平面角 二面角 二面角的 平面角 面面垂直的判定定理 直二面角 文字 语言 图形 语言 符号 语言 数学思想： 转化与化归的思想方法 面面垂直 线面垂直 线线垂直 七、课堂总结 今天我们主要学习了平面与平面垂直的判定定理，核心就是由线面垂直推出面面垂直，掌握了证明的三步法：找线面垂直，证线在面内，得面面垂直，也体会了空间几何的转化思想。 八、课后作业 ∵ABC-A'B'C'是正三棱柱，∴AA'⊥平面ABC. 又BD平面ABC，∴AA'⊥BD. ∵△ABC是正三角形，且D是AC的中点，∴ AC⊥BD， 又AC∩AA'=A，∴BD⊥平面ACC'A'， 又BD平面BDC'，∴平面BDC'⊥平面ACC'A'. 证明： B D C A′ B′ C′ A 1. 如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是棱AC的中点. 求证：平面BDC′⊥平面ACC′A′. 八、课后作业 2.如图,在正四棱柱中,,为的中点, 证明:平面⊥平面. 证明： 所以, 所以, 所以, 又⊥平面,平面, 则⊥ 因为, 所以平面, 又平面, 所以平面平面. 八、课后作业 3.如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面. 证明：（法一）∵，且， ∴. ∴点在平面上的射影为的外心. ∵为直角三角形 ∴点在上的射影为斜边的中点. ∴平面. 又∵平面，∴平面平面. 八、课后作业 3.如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面. 证明：（法二）∵，， ∴和是等边三角形，则有， 令其值为，则和为共底边的等腰三角形. 取的中点，如图所示，连接，， 则，，∴为二面角的平面角. 在中，∵，∴，. 在中，.在中，∵， ∴，即二面角为直二面角，故平面平面. $