专题05三角形的中位线、梯形 专项训练（8大核心题型精讲+分层训练突破）-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

**基本信息** 以三角形中位线和梯形为核心，通过8类题型系统覆盖概念应用、性质证明及实际问题，分层精练强化解题能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形中位线|3题型9题|含计算、证明、实际应用，如池塘测距|从定义到定理应用，体现几何直观与应用意识| |中点四边形|1题型3题|涉及原四边形对角线关系判定形状|中位线性质的拓展，培养推理能力| |梯形|4题型12题|涵盖定义、性质、判定及动态问题|从定义到性质再到判定，构建完整逻辑链| |分层精练|9题|含选择、填空、解答，梯度分明|综合考查知识迁移，发展创新意识|

专题05三角形的中位线、梯形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.与三角形中位线有关的求解问题 题型2.与三角形中位线有关的证明 题型3.三角形中位线的实际应用 题型4.中点四边形 题型5.（等腰）梯形的定义 题型6.直角梯形的定义 题型7.等腰梯形的性质定理 题型8.等腰梯形的判定定理 题型9.分层精练9道题 核心题型精讲 题型1.与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，D、E分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 【答案】10 【分析】由平行四边形的性质得点是的中点，得出是的中位线，由中位线的性质得，进而即可求解． 【详解】解：在中，对角线和相交于点， 点是的中点， 点是边的中点，， 是的中位线， ， ， 的周长为． 3．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 【答案】 【分析】容易证明，则点为的中点，由中位线的性质可得，因此． 【详解】解：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，即点为的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 题型2.与三角形中位线有关的证明 1．如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质和判定，三角形中位线的利用及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 由点、分别是边、的中点，可知是的中位线，根据中位线定理即可证明②，根据等腰三角形的性质可证①，由 D是中点，可证，再利用平行，可证明③，在中，不一定等于，即可判断④． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴， ∴， 则②符合题意， ∵， ∴， ∴， 则①符合题意， ∵D是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则③符合题意， 由于不一定是等腰三角形，则不一定等于，则不一定等于， 则④不符合题意． 2．顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 【答案】 【分析】根据题意作图，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点所得的四边形与原正方形相似，且相似比是，所以可求得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 【详解】解：如图： 四边形是正方形， ，， ，F，G，H是正方形各边的中点， ， ，， ，， 同理：， 四边形是正方形， 四边形四边形， 设，则，， 所得的四边形的面积与原正方形的相似比为， 所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为． 3．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】（1）根据中位线定理及中点定义可知，再根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：在中，分别是的中点， 是的中位线， ， ， 点是的中点， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 则四边形的周长 ． 题型3.三角形中位线的实际应用 1．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（     ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 【答案】D 【分析】先确定D、E分别是、的中点，判断是的中位线，依据三角形中位线定理，可得到和的数量关系．结合已知的长度，根据所得数量关系即可计算的长度． 【详解】由题意可知：是的中点，是的中点， ∴是的中位线． ∴． ∵米， ∴米，即、间距为32米． 2．如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 【答案】12米 【分析】本题考查了三角形的中位线的性质，由三角形的中位线得，即可求解；掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 【详解】解：点P，Q分别是的边和的中点， 是的中位线， （米）， 故答案为：米． 3．如图，在平行四边形中，O是对角线的中点，过点O作，垂足为E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长及四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，四边形的面积为 【分析】（1）运用三角形中位线性质证明，，根据，可得，由四边形是平行四边形，得四边形是矩形． （2）由三角形中位线性质证明，由，，求出，再用矩形面积公式求四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵O是对角线的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （2）解：∵是的中位线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积为． 题型4.中点四边形 1．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 2．在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为______． 【答案】正方形 【分析】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的定理，正方形的判定，解题中需要理清思路，属于中档题． 由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形． 3．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，证明见解析 (3)菱形，矩形，正方形 【分析】（1）根据三角形中位线定理可证且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证结论成立； （2）根据三角形中位线定理可证，，，，当时，可得，，，根据有三个角是直角的四边形是矩形，可知当时，四边形是矩形； （3）根据三角形的中位线定理可知矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，正方形的中点四边形是正方形． 【详解】（1）证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线， ，，，， 且， 四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 证明：点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， 四边形是平行四边形， ， ，，， ∴， 四边形是矩形； （3）解：当四边形为矩形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， 矩形的中点四边形是菱形； 当四边形为菱形时，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ， ，，， 四边形是矩形， 菱形的中点四边形是矩形； 当四边形为正方形时，，， 点、、、分别是、、、的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， ，，，， ，， 四边形是正方形， 正方形的中点四边形是正方形． 题型5.（等腰）梯形的定义 1．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据正六边形的特性找全等腰梯形即可． 【详解】解：正六边形如图所示， 等腰梯形为，，，，，，共6个 ． 2．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________． 【答案】 【分析】证明四边形是矩形，得，，根据勾股定理求出和，再根据坡比求出，最后根据梯形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：由题意知：，， ∴，， ∵，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵迎水坡的坡比为，即， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵背水坡的坡比为，即， ∴， ∴， ∴， 则大坝横截面面积为． 3．如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 【答案】(1)，； (2)t为秒时，四边形的面积为； (3)t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【分析】（1）由题意得：，，再根据，即可列式； （2）证明四边形是直角梯形，再根据梯形面积公式列方程求解即可； （3）过点作于点，则四边形是矩形，得到，，分两种情况求解：当点在点上方时；当点在点下方时，利用勾股定理分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 四边形是矩形，， ， ，， 故答案为：，； （2）解：四边形是矩形，， ，，， 四边形是直角梯形， 四边形的面积， 四边形的面积为， ， 解得：， 答：t为秒时，四边形的面积为； （3）解：如图，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 点P和点Q的距离为， ， 当点在点上方时，， 由勾股定理得：， ， ； 当点在点下方时，， 由勾股定理得：， ， ， 综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为． 【点睛】本题考查了列代数式，矩形的判定和性质，梯形的判定和性质，勾股定理，一元一次方程的应用等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． 题型6.直角梯形的定义 1．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 2．一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 【答案】17 【分析】根据题意可知，该直角梯形的下底比上底长，结合梯形面积公式建立方程，即可求解下底的长度． 【详解】设梯形的下底为， 因为上底增加后梯形变为矩形，矩形对边相等， 因此梯形上底为， 已知梯形的高，面积， ∴， 解得， 故梯形的下底是． 3．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查动点问题的函数图象解读，自变量的概念，函数图象与几何图形的关系，以及直角梯形的面积计算． （1）根据函数的定义和自变量的概念即可得到答案． （2）根据函数图象与几何图形的关系，找到时，对应的值即为答案． （3）根据函数图象与几何图形的关系，得到，，继而根据直角梯形的面积计算公式计算即可． 【详解】（1）解：∵点运动的路程为，的面积为， ∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数， ∴自变量为， 故答案为：； （2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为， 故答案为：； （3）解：根据图象可得：，此时为， ∴，即，解得：， 由图象可得：， 则． 题型7.等腰梯形的性质定理 1．下列说法错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．等腰梯形的对角线互相平分 C．菱形的每条对角线都平分一组对角 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】B 【分析】根据矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质逐一判断选项，即可得出错误说法． 【详解】解： A、矩形的对角线互相平分且相等，说法正确，不符合题意； B、等腰梯形的对角线相等，但不互相平分，说法错误，符合题意； C、菱形的每条对角线都平分一组对角，说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，说法正确，不符合题意； 2．已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于______ ．      【答案】 【分析】根据等腰梯形的性质得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：过D点作，交BC的延长线于E， ∴， ∵， ∴， 在等腰梯形中，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即梯形的上下底之和等于， 故答案为：．      【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，解题的关键是根据等腰梯形的对角线长度相等解答． 3．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握等腰梯形的性质和全等三角形的性质是解题关键． （1）连接并延长交于点，证明，得到，利用三角形中位线定理证得，即可证明结论成立； （2）连接并延长交于点，连接并延长交于点，证明，推出，同理，得到，再证明，推出，据此即可证明结论． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点， ∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长交于点，连接并延长交于点， ∵在梯形中，，， ∴四边形为等腰梯形，，， ∴， 由（1）可知，，又， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 题型8.等腰梯形的判定定理 1．下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误； B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误； C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误； D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确． 故选：D． 2．下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 【答案】②④ 【分析】此题主要考查了直角梯形、等腰梯形的定义和性质，熟练掌握梯形的性质是解题的关键．根据梯形的定义和性质逐一判断各说法是否正确． 【详解】解：①有两个直角的四边形不一定是直角梯形，因为可能没有一组对边平行，不符合梯形定义；②两条对角线相等的梯形是等腰梯形，这是等腰梯形的判定定理，正确；③梯形包括直角梯形、等腰梯形和一般梯形，不能仅分为两种，错误；④等腰梯形有一条对称轴，是轴对称图形，正确． 故答案为②④． 3．如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是梯形， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， 梯形是等腰梯形． （2）解：作于点 ，于点， ∵四边形是等腰梯形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴． 分层精练 一、单选题 1．如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长为（   ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分，结合点是的中点可得是的中位线，利用三角形中位线的性质，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】在中，， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵的周长为36， ∴， ∴的周长为：． 2．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，找出符合条件的点即可． 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 3．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定及等腰梯形的判定，熟练掌握以上四边形的特征是本题的关键． 分别利用平行四边形的性质、正方形的判定、等腰梯形的判定及矩形的判定方法分别进行分析判断． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．对角线垂直平分的平行四边形是菱形，原说法不正确； B、对角线相等的菱形是正方形，原说法正确； C、对角线相等的梯形是等腰梯形，原说法不正确； D、对角线相等的平行四边形是矩形，原说法不正确； 故选：B． 4．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 二、填空题 5．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 【答案】36 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线． ∴根据三角形的中位线定理，得． 6．已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____． 【答案】 /150度 /30度 【分析】本题考查直角梯形的性质，等边三角形的性质和判定， 作于点E，延长到点F使，连接，利用比值可得出，再证明出是等边三角形，得到，从而得出答案． 【详解】解：如图，梯形是直角梯形，作于点E，延长到点F使，连接， ∵梯形是直角梯形， ∴， ∴四边形是矩形，是直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴该梯形的最大角为，最小角为． 故答案为：，． 7．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间__秒时，四边形是直角梯形． 【答案】7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质以及含30度的直角三角形等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．过点作于，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，由题意可知，，，利用直角梯形的性质证明四边形是矩形，再列方程求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 如图，过点作于， ， ， ， ， ，运动的速度都为每秒，，， ，， ， ， 四边形是直角梯形， ， ，， 四边形是矩形， ， 即， 解得：， 故答案为：7． 三、解答题 8．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．    (1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值； (2)当时，若，求t的值． 【答案】(1) (2)t的值为或 【分析】（1）由题意可得，，，根据正方形的性质可得，，从而可得，即可求解； （2）当四边形为平行四边形时，满足，此时，即，从而求解即可；当四边形为等腰梯形时，满足，作于点E， 作于点F，可得，再求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 解得． （2）解：如图1所示，当四边形为平行四边形时，满足，此时， 即， 解得，       如图2所示，当四边形为等腰梯形时，满足，作于点E， 作于点F， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题考查动点问题、正方形的性质、平行四边形的性质及等腰梯形的性质，熟练掌握正方形和平行四边形的性质是解题的关键． 9．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 【答案】(1)见解析 (2)菱形；矩形；正方形 (3)2；对角线，与不垂直；菱形（答案不唯一）；见解析 【分析】（1）依题意画出图形即可： （2）图2中的中点四边形EFGH是菱形，图3中的中点四边形EFGH是矩形，图4中的中点四边形EFGH是正方形，然后填入表格即可； （3）根据中位线定理得，，，，，，结合已知条件即可判定四边形是菱形、矩形、正方形即可． 【详解】（1）解：依题意画出图形如图所示： （2）解：如下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 菱形 图3 ， 矩形 图4 ， 正方形 （3）解：选择图2时：已知四边形中，对角线，与不垂直，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是菱形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，与不垂直， 与不垂直， ∴平行四边形是菱形； 选择图3时，已知四边形中，对角线，，点E，F，G，H分别，，，的中点，求证：四边形是矩形； 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， 又，，， ， ， ∴平行四边形是矩形； 选择图4时，已知四边形ABCD中，对角线AC＝BD，AC⊥BD，点E，F，G，H分别AD，AB，BC，CD的中点，求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ，， 同理：是的中位线， ，，， ，， ∴四边形是平行四边形， 同理：是的中位线， ，， ， ， ∴平行四边形是菱形， 又，，， ， ， ∴菱形是正方形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05三角形的中位线、梯形 专项训练 题型梳理归纳 题型1.与三角形中位线有关的求解问题 题型2.与三角形中位线有关的证明 题型3.三角形中位线的实际应用 题型4.中点四边形 题型5.（等腰）梯形的定义 题型6.直角梯形的定义 题型7.等腰梯形的性质定理 题型8.等腰梯形的判定定理 题型9.分层精练9道题 核心题型精讲 题型1.与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，在中，D、E分别是、的中点，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如图，在中，对角线和相交于点，点是边的中点，，，则的周长为__________． 3．如图，在梯形中，，延长到点，使，连接，交于点．若是的中点，且，，求的长． 题型2.与三角形中位线有关的证明 1．如图，在钝角中，点、分别是边、的中点，且．有下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论有（     ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．顺次连接正方形四边中点所得的四边形的面积与原正方形的面积的比为______． 3．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 题型3.三角形中位线的实际应用 1．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为16米，则，间的距离为（     ） A．8米 B．16米 C．24米 D．32米 2．如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是______． 3．如图，在平行四边形中，O是对角线的中点，过点O作，垂足为E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长及四边形的面积． 题型4.中点四边形 1．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 2．在四边形中，对角线，，顺次连接四边形各边的中点，，，，则所得四边形的形状为______． 3．新定义问题：四边形四条边上的中点分别为，，，，顺次连接，，，，得到的四边形叫中点四边形，连接对角线与． (1)求证：四边形的中点四边形是平行四边形； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？并证明． (3)矩形的中点四边形是___________，菱形的中点四边形是___________，正方形的中点四边形是___________． 题型5.（等腰）梯形的定义 1．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，大坝横截面为梯形，，它的迎水坡的坡比为，背水坡的坡比为，已知迎水坡，坝顶宽，则大坝横截面面积为___________． 3．如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒． (1)________，________（用含t的代数式表示）； (2)t为多少时，四边形的面积为； (3)t为多少时，点P和点Q的距离为． 题型6.直角梯形的定义 1．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 2．一个高为的直角梯形面积是70，若该梯形的上底增加，它就变成一个矩形，则梯形的下底是__________． 3．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示． (1)在这个变化中，自变量是 ； (2)当点运动的路程时，的面积为 ； (3)求的长和梯形的面积． 题型7.等腰梯形的性质定理 1．下列说法错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．等腰梯形的对角线互相平分 C．菱形的每条对角线都平分一组对角 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 2．已知在等腰梯形中，，，垂足为点O，如果，那么梯形的上下底之和等于______ ．      3．已知：如图，在梯形中，，，对角线相交于点，点分别是的中点，连接． (1)求证：； (2)连接，如果，求证：四边形是矩形． 题型8.等腰梯形的判定定理 1．下面结论中正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是等腰梯形 B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形 D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴 2．下列说法正确的有_____．（填序号） ①有两个直角的四边形是直角梯形；②两条对角线相等的梯形一定是等腰梯形；③梯形可以分为直角梯形和等腰梯形；④等腰梯形是轴对称图形． 3．如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 分层精练 一、单选题 1．如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长为（   ）． A．14 B．15 C．16 D．17 2．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法正确的是（　　） A．对角线相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的菱形是正方形 C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形 4．如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，然后测出的中点D，E，并测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约_____m． 6．已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____． 7．如图，平行四边形中，，，，点在边上从向运动，点在边上从向运动，如果，运动的速度都为每秒，那么当运动时间__秒时，四边形是直角梯形． 三、解答题 8．如图，在四边形中，，，，，．点P从点A出发，以的速度向点B运动；点Q从点C出发，以的速度向点D运动．规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点Q的运动时间为．P，Q两点同时出发．    (1)若存在某一时刻，四边形为正方形，求x的值； (2)当时，若，求t的值． 9．综合与实践：小丰学习了第十八章《平行四边形》后，在复习题中做了一道关于“中点四边形”的问题．定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形．小丰进一步思考，提出问题：“中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？”并进行如下的画图探究过程，请你一起完成． (1)作图与操作：如图1，画任意四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图2、图3、图4中四边形的中点四边形（用刻度尺度量画图即可）； (2)观察与猜想：中点四边形的形状由原四边形的对角线的数量关系和位置关系决定．请填写下表： 图形 原四边形对角线与 中点四边形的形状 图1 既不相等，也不垂直 平行四边形 图2 ，但与不垂直 图3 ， 图4 ， (3)证明与表达：根据表中对图2，图3，图4的画图和猜想，选择其中一个进行证明．（写出已知，求证，再证明） 选择图 ，已知：四边形中，E，F，G，H是四边的中点， ．求证：四边形是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $