专题05 图形的轴对称（期末复习讲义+10重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题05 图形的轴对称（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 画轴对称图形并求解 题型05 轴对称中的折叠问题 题型06 利用等腰三角形性质求解 题型07 利用等腰三角形性质证明 题型08 根据线段垂直平分线的性质求解 题型09 根据角平分线的性质定理求解 题型10 利用轴对称求解将军饮马问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称图形与轴对称 能准确识别轴对称图形和两个图形成轴对称，能找出对称轴的条数，理解它们之间的区别与联系 基础必考点，常以选择题、填空题形式考查，易混淆“轴对称图形”与“成轴对称”的概念 轴对称的性质 掌握对称轴垂直平分对应点连线、对应线段相等、对应角相等三条核心性质，能运用对称性质进行简单的计算与推理 高频考点，常与作图题、计算题结合考查，易错点是利用对称轴补全图形时找错对应点，以及忽略对应线段、对应角相等的条件 线段垂直平分线与角平分线的性质 理解并掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，角平分线上的点到角两边距离相等的性质，能灵活运用 期末必考点，常以填空题、证明题形式出现，易混淆距离是指垂线段长度，而非任意连线 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形的轴对称性、“等边对等角”和“三线合一”等性质，能用这些性质进行角度和线段计算 核心考查内容，常出现在解答题中，易与一般三角形混淆，需要根据题目条件选择最合适的性质进行突破 尺规作图（作对称轴、角平分线、垂直平分线、补全轴对称图形） 能用尺规过已知点作已知直线的垂线，作已知线段的垂直平分线和角的平分线，并能补全简单的轴对称图案 综合实践题型，常以作图题形式出现，易错点是作图痕迹保留不完整，以及找不准对称点的位置 轴对称的实际应用与最短路径 能利用轴对称的性质解决实际问题中的最短路径（将军饮马）问题，能结合轴对称进行图案设计 拔高必考题型，多以综合应用题形式出现，常与“两点之间线段最短”结合，易错点是无法准确找到对称点去构建共线最短路径 知识点01 轴对称现象 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 三个关键点：- 是一个图形；沿某条直线对折；两部分完全重合 示例：判断下列图形哪些是轴对称图形：圆、平行四边形、等腰三角形、正五边形。 解：圆（无数条对称轴）、等腰三角形（1条对称轴）、正五边形（5条对称轴）是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形。 易错点： （1）误以为平行四边形是轴对称图形：一般的平行四边形沿任何直线折叠都不能完全重合，它不是轴对称图形（特殊的菱形、矩形除外）。 （2）对称轴找不全：如正方形有4条对称轴，圆有无数条，容易遗漏。 （3）对称轴是直线，不是线段：描述对称轴时要说是“直线”，不是“线段”或“射线”。 2. 两个图形成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。 示例：判断：两个完全相同的图形一定成轴对称吗？ 解：不一定。两个图形完全相同只是成轴对称的必要条件，还需要能找到一条直线，使它们沿这条直线对折后完全重合。如果两个图形的对应点连线不被同一条直线垂直平分，则不成轴对称。 易错点： （1）混淆“轴对称图形”与“成轴对称”：前者是一个图形，后者是两个图形的关系。 （2）认为完全相同的两个图形一定成轴对称：还需要看位置关系，能否找到对称轴。 （3）轴对称图形与成轴对称的区别与联系 比较项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象 一个图形 两个图形 位置关系 图形自身的特性 两个图形的位置关系 对称轴 图形的对称轴 两个图形的对称轴 联系 ①都是沿直线折叠后重合；②可以互相转化（分割或组合） 示例：将一张正方形纸片对折后剪出一个图案，展开后得到的图形是轴对称图形还是成轴对称？ 解：展开后得到的是一个轴对称图形（一个图形具有对称性），剪之前折纸的两部分则成轴对称关系。 知识点02 探索轴对称的性质 轴对称的性质 1. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2. 对应线段相等 3. 对应角相等 几何语言： 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，则： - AA'⊥l，且AA'被l平分 - AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C' - ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 示例：如图，点A、B关于直线l对称，AB交l于点O。若AB=8cm，求AO的长度。 解：∵ A、B关于l对称，∴ l垂直平分AB，∴ AO=BO=4cm。 易错点： （1）误以为对称轴平分对应点连线：不对，对称轴是垂直平分对应点连线（既垂直又平分），只说“平分”不准确。 （2）找错对应点、对应线段：对应点是指折叠后重合的点，要正确识别。 知识点03 简单的轴对称图形 1. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 性质（“三线合一”与“等边对等角”）： 1. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线） 2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 3. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 等边三角形（特殊的等腰三角形）： - 三条边相等 - 三个内角相等，每个角都是60° - 有三条对称轴 示例：等腰三角形的一个底角为40°，求顶角的度数。 解：∵ 等腰三角形两底角相等，∴ 顶角=180°-40°×2=100°。 易错点： （1）“三线合一”的条件限制：等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高互相重合——前提是“顶角”和“底边”，不能说任意一条中线都是高。 （2）混淆“腰”和“底边”：等腰三角形中相等的两边叫腰，第三边叫底边。 （3）等边三角形的对称轴数量：有3条，不是1条。 2. 线段 轴对称性：线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线（即中垂线）。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： - ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，∴ PA=PB 示例：如图，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，若BD=5cm，求AD的长度。 解：∵ DE垂直平分AB，∴ AD=BD=5cm。 易错点： （1）性质用反：不能说“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，这是逆定理，但混淆使用时容易出错。 （2）垂直平分线的定义记错：垂直平分线必须同时满足“垂直”和“平分”，缺一不可。 3. 角 轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在直线。 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 几何语言： - ∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE 示例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若DE=3cm，求CD的长度。 解：∵ AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴ CD=DE=3cm。 易错点： （1）“距离”的理解：距离指点到角两边的垂线段长度，不是斜线段。 （2）角平分线性质用反：不能说“到角两边距离相等的点在角平分线上”，虽然正确，但直接使用需要先证明。 （3）角平分线是一条射线：作为对称轴时，是角平分线所在的直线。 知识点04 常见图形对称轴数量总结 图形 对称轴数量 说明 线段 1条（或2条） 注意：线段有2条对称轴（垂直平分线和线段本身所在直线），但七年级重点掌握垂直平分线 角 1条 角平分线所在直线 等腰三角形 1条 底边垂直平分线 等边三角形 3条 三边的垂直平分线 正方形 4条 对角线2条+对边中点连线2条 长方形 2条 对边中点连线 圆 无数条 直径所在直线 知识点05 镜子中的轴对称问题 原理：物体在镜子中的像关于镜面成轴对称，镜子改变物体的左右方向。 解题要点： - 数字和字母在镜子中的变化：0→0，1→1，2→5，5→2，8→8 - 整行数字的左右顺序也被颠倒 示例：小强站在镜子前，看见镜子里的墙上电子挂钟的读数如图，此时实际的读数是多少？ 解：镜子中的像与实物左右相反。如镜子中显示“02:51”，实际时间是“12:50”（每个数字也要进行2和5的转换） 易错点： （1）只转换数字不转换顺序：镜子不仅改变每个数字的左右结构，还改变整行数字的左右顺序。 （2）轴对称与中心对称混淆：镜子成像不是简单的上下颠倒，而是左右翻转。 知识点06 利用轴对称设计图案 原理：利用轴对称变换，以一个图形为基础，沿对称轴翻折得到整个图案。 步骤： 1. 确定基本图形 2. 确定对称轴 3. 作出基本图形关于对称轴的对称图形 易错点： （1）作对称图形时，对应点到对称轴的距离应相等 （2）对称轴两侧的图形要完全对应，不能漏画或错位 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 找一条直线，使图形沿直线对折后两侧完全重合，可逐点验证；常见图形如线段、角、等腰三角形、圆，注意平行四边形不是轴对称，可通过观察或折纸判断。 【典例1】（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面选项中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列是软件的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各城市的地铁图标中，是轴对称图形的为（   ） A．长春B．北京C．福州 D．长沙 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 解｜题｜技｜巧 成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。 【典例1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【典例2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 解｜题｜技｜巧 对称轴是对应点连线的垂直平分线，对应边角相等；利用此转化边角条件，常作对称点或连线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理，通过等量代换列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【典例2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 题型四 画轴对称图形并求解 解｜题｜技｜巧 先定对称轴，作关键点关于轴的对称点（垂直等距），再连线得图形；求解时利用对称性得等边等角，将条件集中，结合坐标系时横纵坐标变化规律，注意描点顺序。 【典例1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 【典例2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)在图中作关于直线对称的； (2)若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： (1)求的面积； (2)画出关于直线对称的； (3)在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 题型五 轴对称中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠即轴对称，折痕是对称轴；对应点连线被折痕垂直平分，对应边角相等，设未知数表示折后线段，利用勾股定理或全等列方程，注意重合点与折痕位置关系。 【典例1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 【典例2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【变式1】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【变式2】（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 题型六 利用等腰三角形性质求解 解｜题｜技｜巧 等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边中线、高线重合）；常作底边高线构造直角三角形，设未知数表示角度或边长，结合外角或内角和列方程，注意分类讨论顶角与底角。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【典例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 题型七 利用等腰三角形性质证明 解｜题｜技｜巧 先由边等推角等或由角等推边等，运用三线合一转移条件，常作辅助线（底边中线或高线）构造全等三角形，通过等量代换与平行线性质，按逻辑顺序严密推导结论。 【典例1】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【典例2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 题型八 根据线段垂直平分线的性质求解 解｜题｜技｜巧 垂直平分线上点，到线段两端距离相等；由此得等腰三角形或等边，常连接对称点构造全等，利用直角与等边转化条件，设未知数表示线段长，通过勾股定理列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【典例2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，E为垂足．若，四边形的周长为14，则的长度为______． 题型九 根据角平分线的性质定理求解 解｜题｜技｜巧 角平分线上点到角两边距离相等；常作垂线构造等距条件，结合面积法或全等三角形，转移线段长，设未知数表示距离，利用勾股定理或等积关系列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 题型十 利用轴对称求解将军饮马问题 解｜题｜技｜巧 作定点关于直线对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即最短路径点；利用两点间线段最短及轴对称等距转化，求线段和最小值，注意动点在线上变化。 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【典例2】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 6．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点处． （1）若点P，，在同一直线上（图1），，则______； （2）若点P，，不在同一直线上（图2），，则______． 7．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 5．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 7．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线对称的图形． (2)的面积为______； (3)在上画出点Q，使得的值最小． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 图形的轴对称（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 轴对称图形的识别 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型04 画轴对称图形并求解 题型05 轴对称中的折叠问题 题型06 利用等腰三角形性质求解 题型07 利用等腰三角形性质证明 题型08 根据线段垂直平分线的性质求解 题型09 根据角平分线的性质定理求解 题型10 利用轴对称求解将军饮马问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 轴对称图形与轴对称 能准确识别轴对称图形和两个图形成轴对称，能找出对称轴的条数，理解它们之间的区别与联系 基础必考点，常以选择题、填空题形式考查，易混淆“轴对称图形”与“成轴对称”的概念 轴对称的性质 掌握对称轴垂直平分对应点连线、对应线段相等、对应角相等三条核心性质，能运用对称性质进行简单的计算与推理 高频考点，常与作图题、计算题结合考查，易错点是利用对称轴补全图形时找错对应点，以及忽略对应线段、对应角相等的条件 线段垂直平分线与角平分线的性质 理解并掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，角平分线上的点到角两边距离相等的性质，能灵活运用 期末必考点，常以填空题、证明题形式出现，易混淆距离是指垂线段长度，而非任意连线 等腰三角形的性质与判定 掌握等腰三角形的轴对称性、“等边对等角”和“三线合一”等性质，能用这些性质进行角度和线段计算 核心考查内容，常出现在解答题中，易与一般三角形混淆，需要根据题目条件选择最合适的性质进行突破 尺规作图（作对称轴、角平分线、垂直平分线、补全轴对称图形） 能用尺规过已知点作已知直线的垂线，作已知线段的垂直平分线和角的平分线，并能补全简单的轴对称图案 综合实践题型，常以作图题形式出现，易错点是作图痕迹保留不完整，以及找不准对称点的位置 轴对称的实际应用与最短路径 能利用轴对称的性质解决实际问题中的最短路径（将军饮马）问题，能结合轴对称进行图案设计 拔高必考题型，多以综合应用题形式出现，常与“两点之间线段最短”结合，易错点是无法准确找到对称点去构建共线最短路径 知识点01 轴对称现象 1. 轴对称图形 定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 三个关键点：- 是一个图形；沿某条直线对折；两部分完全重合 示例：判断下列图形哪些是轴对称图形：圆、平行四边形、等腰三角形、正五边形。 解：圆（无数条对称轴）、等腰三角形（1条对称轴）、正五边形（5条对称轴）是轴对称图形；平行四边形不是轴对称图形。 易错点： （1）误以为平行四边形是轴对称图形：一般的平行四边形沿任何直线折叠都不能完全重合，它不是轴对称图形（特殊的菱形、矩形除外）。 （2）对称轴找不全：如正方形有4条对称轴，圆有无数条，容易遗漏。 （3）对称轴是直线，不是线段：描述对称轴时要说是“直线”，不是“线段”或“射线”。 2. 两个图形成轴对称 定义：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。 示例：判断：两个完全相同的图形一定成轴对称吗？ 解：不一定。两个图形完全相同只是成轴对称的必要条件，还需要能找到一条直线，使它们沿这条直线对折后完全重合。如果两个图形的对应点连线不被同一条直线垂直平分，则不成轴对称。 易错点： （1）混淆“轴对称图形”与“成轴对称”：前者是一个图形，后者是两个图形的关系。 （2）认为完全相同的两个图形一定成轴对称：还需要看位置关系，能否找到对称轴。 （3）轴对称图形与成轴对称的区别与联系 比较项目 轴对称图形 两个图形成轴对称 对象 一个图形 两个图形 位置关系 图形自身的特性 两个图形的位置关系 对称轴 图形的对称轴 两个图形的对称轴 联系 ①都是沿直线折叠后重合；②可以互相转化（分割或组合） 示例：将一张正方形纸片对折后剪出一个图案，展开后得到的图形是轴对称图形还是成轴对称？ 解：展开后得到的是一个轴对称图形（一个图形具有对称性），剪之前折纸的两部分则成轴对称关系。 知识点02 探索轴对称的性质 轴对称的性质 1. 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2. 对应线段相等 3. 对应角相等 几何语言： 如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，则： - AA'⊥l，且AA'被l平分 - AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C' - ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C' 示例：如图，点A、B关于直线l对称，AB交l于点O。若AB=8cm，求AO的长度。 解：∵ A、B关于l对称，∴ l垂直平分AB，∴ AO=BO=4cm。 易错点： （1）误以为对称轴平分对应点连线：不对，对称轴是垂直平分对应点连线（既垂直又平分），只说“平分”不准确。 （2）找错对应点、对应线段：对应点是指折叠后重合的点，要正确识别。 知识点03 简单的轴对称图形 1. 等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 性质（“三线合一”与“等边对等角”）： 1. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线） 2. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”） 3. 等边对等角：等腰三角形的两个底角相等 等边三角形（特殊的等腰三角形）： - 三条边相等 - 三个内角相等，每个角都是60° - 有三条对称轴 示例：等腰三角形的一个底角为40°，求顶角的度数。 解：∵ 等腰三角形两底角相等，∴ 顶角=180°-40°×2=100°。 易错点： （1）“三线合一”的条件限制：等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边高互相重合——前提是“顶角”和“底边”，不能说任意一条中线都是高。 （2）混淆“腰”和“底边”：等腰三角形中相等的两边叫腰，第三边叫底边。 （3）等边三角形的对称轴数量：有3条，不是1条。 2. 线段 轴对称性：线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线（即中垂线）。 垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言： - ∵ 点P在线段AB的垂直平分线上，∴ PA=PB 示例：如图，DE是AB的垂直平分线，交BC于点D，若BD=5cm，求AD的长度。 解：∵ DE垂直平分AB，∴ AD=BD=5cm。 易错点： （1）性质用反：不能说“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”，这是逆定理，但混淆使用时容易出错。 （2）垂直平分线的定义记错：垂直平分线必须同时满足“垂直”和“平分”，缺一不可。 3. 角 轴对称性：角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线所在直线。 角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 几何语言： - ∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE 示例：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，若DE=3cm，求CD的长度。 解：∵ AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴ CD=DE=3cm。 易错点： （1）“距离”的理解：距离指点到角两边的垂线段长度，不是斜线段。 （2）角平分线性质用反：不能说“到角两边距离相等的点在角平分线上”，虽然正确，但直接使用需要先证明。 （3）角平分线是一条射线：作为对称轴时，是角平分线所在的直线。 知识点04 常见图形对称轴数量总结 图形 对称轴数量 说明 线段 1条（或2条） 注意：线段有2条对称轴（垂直平分线和线段本身所在直线），但七年级重点掌握垂直平分线 角 1条 角平分线所在直线 等腰三角形 1条 底边垂直平分线 等边三角形 3条 三边的垂直平分线 正方形 4条 对角线2条+对边中点连线2条 长方形 2条 对边中点连线 圆 无数条 直径所在直线 知识点05 镜子中的轴对称问题 原理：物体在镜子中的像关于镜面成轴对称，镜子改变物体的左右方向。 解题要点： - 数字和字母在镜子中的变化：0→0，1→1，2→5，5→2，8→8 - 整行数字的左右顺序也被颠倒 示例：小强站在镜子前，看见镜子里的墙上电子挂钟的读数如图，此时实际的读数是多少？ 解：镜子中的像与实物左右相反。如镜子中显示“02:51”，实际时间是“12:50”（每个数字也要进行2和5的转换） 易错点： （1）只转换数字不转换顺序：镜子不仅改变每个数字的左右结构，还改变整行数字的左右顺序。 （2）轴对称与中心对称混淆：镜子成像不是简单的上下颠倒，而是左右翻转。 知识点06 利用轴对称设计图案 原理：利用轴对称变换，以一个图形为基础，沿对称轴翻折得到整个图案。 步骤： 1. 确定基本图形 2. 确定对称轴 3. 作出基本图形关于对称轴的对称图形 易错点： （1）作对称图形时，对应点到对称轴的距离应相等 （2）对称轴两侧的图形要完全对应，不能漏画或错位 题型一 轴对称图形的识别 解｜题｜技｜巧 找一条直线，使图形沿直线对折后两侧完全重合，可逐点验证；常见图形如线段、角、等腰三角形、圆，注意平行四边形不是轴对称，可通过观察或折纸判断。 【典例1】（25-26九年级下·天津·期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）下面选项中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A、B、C中的图形都符合轴对称图形的定义，故不符合题意； 选项D中的图形不是轴对称图形，故符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列是软件的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，以某一条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫作轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）地铁是城市轨道交通的一种，对提升城市综合承载力，缓解交通拥堵等具有重大意义．下列各城市的地铁图标中，是轴对称图形的为（   ） A．长春B．北京C．福州 D．长沙 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 题型二 根据成轴对称图形的特征进行判断 解｜题｜技｜巧 成轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等；判断时看是否满足这些关系，找对称轴可能多条，利用垂直平分线性质，排除不满足的点。 【典例1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（    ）． A．如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形 B．如果两个三角形关于某条直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．等腰三角形是以一条边上的中线为对称轴的轴对称图形 D．一条线段是以经过该线段中点的直线为对称轴的轴对称图形 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质、全等三角形与轴对称图形的关系及等腰三角形、线段的对称轴定义，需逐项分析各选项的正误． 【详解】解：∵全等的两个三角形仅形状大小完全相同，不一定关于某条直线成轴对称，例如随意摆放的两个全等三角形， ∴A选项错误． ∵成轴对称的两个图形能够完全重合， ∴关于某条直线成轴对称的两个三角形是全等三角形， ∴B选项正确． ∵等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，并非任意一条边上的中线，且对称轴是直线而中线是线段， ∴C选项错误． ∵一条线段的对称轴是经过线段中点且垂直于该线段的直线以及线段本身所在的直线，并非所有经过线段中点的直线， ∴D选项错误． 故选：B． 【典例2】（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·四川凉山·期末）下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知线段与线段关于直线成轴对称，连接，相交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵线段与线段关于直线成轴对称， ∴，， ∴，，， ∴， 所以结论不一定正确的是． 故选：C． 题型三 根据成轴对称图形的特征进行求解 解｜题｜技｜巧 对称轴是对应点连线的垂直平分线，对应边角相等；利用此转化边角条件，常作对称点或连线构造等腰或全等，设未知数利用勾股定理，通过等量代换列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 【典例2】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，，点、分别在射线上，，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，______，的面积最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．分点在线段上，点的左侧和点的右侧，三种情况进行讨论，连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：当点在线段上，如图，连接，过点作交的延长线于，    ∵，且， ∴， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的左侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， ∵点关于对称的点为，点关于对称的点为， ∴，，， ∵， ∴， ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， ∴的面积的最小值为， 当点在点的右侧时，如图：连接，过点作交的延长线于，      同理可得：， 的面积的最小值为， 综上：，的面积的最小值为； 故答案为：90，． 题型四 画轴对称图形并求解 解｜题｜技｜巧 先定对称轴，作关键点关于轴的对称点（垂直等距），再连线得图形；求解时利用对称性得等边等角，将条件集中，结合坐标系时横纵坐标变化规律，注意描点顺序。 【典例1】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)在图1中画出关于直线对称的； (2)在图2中画出的边上的中线； (3)在图3中画出格点F，使； (4)求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查了画轴对称图形、画中线、求三角形的面积等知识，熟练掌握网格作图是解题关键． （1）结合网格特点画出点关于直线的对称点，再连接即可得； （2）结合网格特点画出的中点，连接即可得； （3）如图（见解析），结合网格特点找出，根据全等三角形的性质即可得； （4）利用一个正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． （2）解：如图2，中线即为所求． （3）解：如图3，格点即为所求． （4）解：的面积为． 【典例2】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)在图中作关于直线对称的； (2)若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）连接交直线于点P，利用两点之间线段最短判断P点满足条件．【详解】（1）解：如图，即为所作图形和所作点： （2）解：如图，点P为所作． 根据题意得． 【变式1】（25-26七年级下·全国·期末）如图，下列正方形网格中的每个小正方形边长都为1个单位长度，我们把每个小正方形的顶点称为格点，点，，，，，都在格点上．请仅用无刻度的直尺在所给的网格中按下列要求画图． (1)在图①中，以，（）为邻边画一个四边形，使第四个顶点在格点上，并且所画的四边形是轴对称图形； (2)在图②中，画出关于直线成轴对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形； （2）直接利用轴对称图形的性质得出一个符合题意的图形. 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求．（答案不唯一） 。 （2）解：如图②，即为所求． 【变式2】（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，由边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格解决下列问题： (1)求的面积； (2)画出关于直线对称的； (3)在直线上找一点P，使（保留画图痕迹，并标出点P位置）． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称、网格图求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据网格将三角形面积转化成一个长方形的面积减去三个三角形面积即可解题； （2）根据轴对称的定义作图即可； （3）连接交于点，点为所求． 【详解】（1）解：； （2）解：如图，为所求； （3）解：如图，连接交于点，点为所求； 理由如下： 连接交于点，交于点，过点作线段， 由图可知，点和点关于轴对称， ∴， ∴． 题型五 轴对称中的折叠问题 解｜题｜技｜巧 折叠即轴对称，折痕是对称轴；对应点连线被折痕垂直平分，对应边角相等，设未知数表示折后线段，利用勾股定理或全等列方程，注意重合点与折痕位置关系。 【典例1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，，，M，N分别是边，上的动点，沿着直线将对折，点A的对称点是点．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当在上方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ， ； 当在下方时，如图所示： ， ， 根据折叠可知，， ； 综上分析可知，此时或． 【典例2】（25-26七年级上·上海普陀·期末）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 【变式1】（25-26七年级上·江西景德镇·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，几何图形中角的计算，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． （1）由折叠的性质知，，由平角的定义求出，即可得到； （2）由计算出，据此即可求出答案； （3）同（2）求得，进一步计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴，即； （2）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质知，， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·广东梅州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则 ； (2)折叠长方形纸片，均为折痕，折叠后，点A落在点，点E落在点． ①如图2，当点在上时，求的度数； ②如图3，若，求的度数； ③如图4，若，，则的度数为 （用含n的式子表示）． 【答案】(1)28 (2)①；②；③ 【分析】（1）由折叠得出，即可得出结论； （2）①由折叠得出，再由点在上，进而求解即可； ②首先求出，然后由折叠得到，然后求出，进而即可求出； ③首先由折叠得，，求出，，然后根据，得到，最后由折叠的性质求解，即可解题． 熟练掌握折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，以及从图形中找出角之间的关系是解本题的关键． 【详解】（1）解：， 由折叠知，； （2）解：①由折叠知，， ∴当点在上时， ； ②由条件可知， 由折叠知，， ∴， ∴； ③∵， ∴由折叠得，， ∴， ∴由折叠得，， ，， ∴， ∴由折叠得，． 题型六 利用等腰三角形性质求解 解｜题｜技｜巧 等边对等角，三线合一（顶角平分线、底边中线、高线重合）；常作底边高线构造直角三角形，设未知数表示角度或边长，结合外角或内角和列方程，注意分类讨论顶角与底角。 【典例1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m． 【答案】20 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：20． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点、．若点为底边的中点，点为线段上一动点，则的周长的最小值为______． 【答案】11 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中垂线的性质，利用轴对称解决线段和最小问题．连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到关于对称，得到，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴关于对称， ∴， ∴当三点共线时，， ∵等腰，点为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为； 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，，点D在线段上运动（不与点B，C重合），当是等腰三角形时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题需要分类讨论，注意当时，点与点C重合，不符合题意，需舍去．分，，三种情况，分别计算即可． 【详解】分三种情况讨论， 当时， ， 此时点与点C重合，不符合题意，故舍去； 当时， ； 当时， ， 综上，的度数为或． 题型七 利用等腰三角形性质证明 解｜题｜技｜巧 先由边等推角等或由角等推边等，运用三线合一转移条件，常作辅助线（底边中线或高线）构造全等三角形，通过等量代换与平行线性质，按逻辑顺序严密推导结论。 【典例1】（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【典例2】（25-26八年级上·江苏淮安·期末）如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，再利用即可证明； （2）由等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·湖南郴州·期末）如图，在中，，点E、F在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据等腰三角形的性质可得，即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，   在和中， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，   ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河北衡水·期末）如图，在中，，为边上的一点，为的中点，为的中点，过点作交于点，过点作交于点． (1)求的度数． (2)如图，连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由线段垂直平分线的性质可得，即得，同理可得，即得到，再根据平角的定义即可求解； （）由平行线的性质得，即得，再根据角平分线的性质即可求证； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： 为的中点，， ∴垂直平分， ， ， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ； （2）证明：∵， ， ， ， ∴平分， ， ， ． 题型八 根据线段垂直平分线的性质求解 解｜题｜技｜巧 垂直平分线上点，到线段两端距离相等；由此得等腰三角形或等边，常连接对称点构造全等，利用直角与等边转化条件，设未知数表示线段长，通过勾股定理列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边、于点、，过点作于点，且为线段的中点，若的周长为，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的定义与性质，解题关键是牢记相关概念与性质．本题先求出，再得出后即可求解． 【详解】解：连接，的周长为， ， 垂直平分，， ，， ， 为线段的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：8 ． 【典例2】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 【变式1】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，中，，点D是BC上一点，BD的垂直平分线交AB于点E，将沿AD折叠，点C恰好与点E重合，则度数为___． 【答案】/44度 【分析】根据垂直平分线得到，由三角形内角和定理得到，根据折叠可得，由三角形外角的性质得到，由此即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点恰好与点重合， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图是一风筝的骨架图，是的垂直平分线，E为垂足．若，四边形的周长为14，则的长度为______． 【答案】5 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得，，再结合题意求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵四边形的周长为14， ∴， 故答案为：5． 题型九 根据角平分线的性质定理求解 解｜题｜技｜巧 角平分线上点到角两边距离相等；常作垂线构造等距条件，结合面积法或全等三角形，转移线段长，设未知数表示距离，利用勾股定理或等积关系列方程求解。 【典例1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的平分线，过上一点，作，分别交，于，，若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，过作于点，由角平分线性质可得，然后代入即可求出的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵是的平分线，， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【典例2】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明同学将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，，则的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质及三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质与角平分线的性质是解题的关键． 先根据折叠性质证明，再通过角平分线的性质得出，结合，利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点． ． ∵沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点， ，即平分． ，， ． ，由折叠知 ． ． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是________； (2)若的周长为，则的周长为________； (3)已知，，若是的角平分线，点到边的距离为，求此时的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了三角形三边关系、全等三角形的判定与性质、中线的定义、角平分线的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）通过倍长中线法（延长到，使）构造全等三角形，将、和转化到同一个三角形中，再利用三边关系求出的范围，进而得到的范围． （2）利用中线定义，结合的周长，通过等量代换计算的周长． （3）利用角平分线的性质得到点到的距离，再分别计算两个小三角形的面积并求和． 【详解】（1）解：在中∵，，． ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵是的角平分线，点到边的距离为， ∴点到边的距离也为， ∵，，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为_____； ①分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点； ②以点为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点，交于点； ③作射线，交于点． (2)证明的理论依据是_____（填序号）； ①SSS；②；③；④角平分线上的点到角两边的距离相等， (3)过点作于，若，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)的长为 【分析】本题考查角平分线的作图方法，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质．熟悉以上知识点，并灵活运用是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法进行判断即可； （2）利用作图符合判定全等三角形的方法，进行判断即可； （3）过点作于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可． 【详解】（1）解：作的平分线的正确顺序为②①③； 故答案为：②①③； （2）解：由作法得，，而为公共边， 所以根据“”可判断，则， 故答案为：①； （3）解：如图，过点作于点， 平分，，， ， ， ， 即，解得：， 的长为3． 题型十 利用轴对称求解将军饮马问题 解｜题｜技｜巧 作定点关于直线对称点，连接对称点与另一动点，与直线交点即最短路径点；利用两点间线段最短及轴对称等距转化，求线段和最小值，注意动点在线上变化。 【典例1】（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 【典例2】（24-25七年级下·广东清远·期末） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 【变式1】（24-25八年级上·山西吕梁·期末）如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． (1)求的最小值，并说明理由． (2)求周长的最小值． 【答案】(1)6，理由见解析 (2)10 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小 ； 原因：两点之间，线段最短． （2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期中）综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． (1)请完成图3中小明的证明； (2)如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； (3)如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】(1)证明见解析 (2)11 (3)110 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【详解】（1）证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； （2）解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； （3）解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A，C，D选项中的图形不是轴对称图形，故A，C，D不符合题意； B选项中的图形是轴对称图形，故B符合题意． 2．（25-26八年级上·云南昆明·期末）在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D； 3．（25-26七年级上·河南信阳·期末）按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（    ） A．平分 B． C．与互余 D．与互补 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、余角和补角．由折叠的性质可得，求出，即可判断C；求出即可判断B；根据即可判断D． 【详解】解：由折叠的性质可得， ， ∴与互余，故C正确，不符合题意； ∴，故B正确，不符合题意； ， ∴与互补，故D正确，不符合题意； 不能得出平分，故A错误，符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．可以画出与成轴对称、每个顶点都在格点上，且位置不同的三角形有________个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键． 根据轴对称图形画出满足题意的三角形，再统计即可解答． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可以画出与成轴对称的三角形如下： 即可以画5个． 故答案为：5． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·安徽滁州·期末）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点处． （1）若点P，，在同一直线上（图1），，则______； （2）若点P，，不在同一直线上（图2），，则______． 【答案】 36 78 【分析】本题考查了翻折变换，角度计算，掌握翻折变换是解题的关键． （1）根据折叠，得出，，再根据平角的性质进行计算即可； （2）根据折叠，得出，，再根据平角的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：36； （2）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：78． 7．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在的正方形网格中，请仅用无刻度直尺完成下列画图问题． (1)在图1中，画出线段的中点； (2)如图2，在直线上找一点，连接和，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图、线段中点的性质及轴对称求最短路径（两点之间线段最短），解题关键是利用网格的对称性和格点特征构造辅助线． 小问1：选择格点C、D，通过证明，再利用全等三角形的性质即可得到的中点． 小问2：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求点． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）如图2，点即为所求． 8．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，已知四边形的面积为16，平分． (1)求点D到的距离的长； (2)若，求证：． 【答案】(1)的长为 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的性质得出，然后根据图形的面积即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作，交的延长线于点， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长为； （2）证明：如图，过点作，交的延长线于点， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，需分两种情况讨论，即已知的内角为顶角或底角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为的性质求解顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为， ①当的角为等腰三角形的顶角时， ∴该等腰三角形的顶角为， ②当的角为等腰三角形的底角时， ∴顶角 ， 综上，这个等腰三角形的顶角为或， 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图所示，垂直于的平分线于点，的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线定义，三角形中线的性质，延长交于点，由为的角平分线，则，又，所以，然后证明，所以，可得，，从而有，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， 故选：． 3．（25-26八年级上·江西南昌·期末）如图，在锐角中，，，为上一动点，将，分别沿，向外翻折，得到，，连接，当 面积的最小值为8时，则的面积为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的折叠问题，全等三角形的性质和三角形的最小面积，解题的关键是弄清楚什么时候三角形的面积最小． 由将，分别沿，向外翻折至，可得：，由，得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：，分别沿，向外翻折至，， ，， ，，， ， ， 面积， 当取最小值时，的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，面积的最小值为：， 解得：， ， 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小． 解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案． 【详解】解：点与点关于直线对称， ， ， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，的值最小为． 故答案为：两点之间，线段最短． 5．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，先构建图形，再分两种情况求解即可. 【详解】解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或. 故答案为：或 7．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的． (1)作关于直线对称的图形． (2)的面积为______； (3)在上画出点Q，使得的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)6.5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积公式，最短路径问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作出，，的对应点即可； （2）利用割补法求三角形面积即可； （3）连接交直线于点，连接，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为； 故答案为：6.5； （3）解：如图，点Q即为所求． 8．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，在中，，，在的延长线上取点D，以为斜边作等腰，交于点F，延长，交于点G． (1)求的度数． (2)当点B是的中点时，求证：． (3)取的中点H，连结，如图2，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）延长至M，使，连接，先证明，得到，，即可进一步证明，即可得到结论； （3）过点F作于点K，连接，可证明是等腰直角三角形，进一步证明是等边三角形，即可逐步求得，从而可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ， ， ； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接， 点B是的中点， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 如图3，过点F作于点K，连接， 是等腰直角三角形， ， 在中，点H是的中点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 9．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，在长方形中，，点为边上一点，连接，将翻折得到，折痕为；将翻折得到，折痕交长方形的边于点，其中，记，，． (1)当，时，求的值： (2)当时， ①如图2，若平分，求的值； ②当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的和差，注意分类讨论是解题的关键． （1）根据折叠可得，，根据角的和差即可解答； （2）①用表示出，列方程即可解答； ②分两种情况，即在左侧或右侧，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可得，，\ ； （2）解：①根据折叠可得，， ， ， ， 平分， ，即， 解得 ②当在右侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 当在左侧，如图， ， 可得，， 根据， 可得， 解得， ； 综上，的值为或． 10．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $