专题03 概率初步（期末复习讲义+7重难题型+分层验收）七年级数学下学期新教材北师大版

专题03 概率初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 事件的分类 题型02 根据列举法求概率 题型03 几何概率 题型04 根据概率求数量 题型05 用频率估计概率的综合应用 题型06 根据概率判断游戏是否公平 题型07 概率在转盘抽奖中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定事件与随机事件 理解必然事件、不可能事件与随机事件的定义，能结合实际情境准确判断事件类型，初步感知事件发生的可能性大小。 基础必考点，常出现在小题 频率与概率的意义 理解频率与概率的区别与联系，知道大量重复试验下频率可估计概率。 高频基础点，填空题常考概念，易混淆频率与概率。 等可能事件的概率计算 掌握简单等可能事件的概率公式 P(A)=，能计算一步试验的概率。 中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及，是概率计算的基础。 几何概型（面积概率） 能通过面积比例计算几何概型的概率（如转盘、涂色区域）。 常考题型，多与图形结合，侧重考查数形结合能力。 概率的实际应用 能利用概率知识分析游戏公平性、决策方案等实际问题。 案等实际问题。应用题高频考点，解答题常考，侧重考查数据分析与决策能力。 知识点01 确定事件与随机事件 1. 必然事件：一定发生的事件 2. 不可能事件：一定不发生的事件 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 示例：太阳从东方升起 → 必然事件 - 掷一枚普通骰子，点数为7 → 不可能事件 - 明天会下雨 → 随机事件 易错点： 1. 把“很可能发生”当成必然事件，把“不太可能”当成不可能事件； 2. 忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点02 频率与概率的意义 1. 试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率； 2. 频率是试验结果，概率是理论值； 3. 概率反映事件发生可能性的大小。 示例：抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，因此概率为0.5。 易错点：1. 把频率直接当成概率，混淆试验值与理论值； 2. 认为试验次数少，频率就一定等于概率。 知识点03 等可能事件的概率 若试验所有可能结果是有限个、等可能，则P(A)=，概率范围：0≤P(A)≤1 示例：掷一枚骰子，点数为偶数的概率 P= = 易错点：1. 漏数或重复数结果总数； 2. 忽略“等可能”前提，直接套用公式。 知识点04 摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用“符合条件的数量÷总数”计算。 示例：袋中有3红2白共5球，随机摸1个是红球的概率：P= 易错点：1. 未看清“有放回”还是“无放回”； 2. 第二次摸球时总数未减1。 知识点05 几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P= 示例：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 易错点：1. 份数不均等时直接用份数比； 2. 面积计算错误导致概率错误。 知识点06 游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 示例：两人掷骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为 ，游戏公平。 易错点：1. 只看结果多少，不计算概率是否相等； 2. 漏算某种情况导致判断错误。 知识点07 概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 示例：某产品合格率98%，则1000件中大约980件合格。 易错点：1. 把概率当成精确数量； 2. 实际问题中忽略限制条件，直接套用公式。 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 事件分确定事件（必然、不可能）与随机事件。判断时看是否一定发生或一定不发生，结合生活经验与数学原理，注意关键词“一定”“可能”等，明确试验条件与结果唯一性。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【典例2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）桌上有6张扑克牌，4个“A”、1个“大王”和1个“小王”，这些牌背面无差别，一次随机摸出3张扑克牌，下列事件是不可能事件的是（   ） A．3张牌都是“A” B．3张牌都是“王” C．3张牌中有“A” D．2张是“A”1张是“王” 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（  ） A．摸出红球是必然事件 B．摸出黄球是不可能事件 C．摸出蓝球是随机事件 D．摸出黑球是随机事件 题型二 根据列举法求概率 解｜题｜技｜巧 列举法，确保不重不漏列出所有等可能结果，数出满足条件的结果数，概率等于两者之比；注意区分放回与不放回，结果需约分，可借助对称性简化列举。 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【典例2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是_____． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为___________． 题型三 几何概率 解｜题｜技｜巧 概率等于所求区域面积（或长度、角度）与总面积之比；先确定测度类型，准确计算各部分度量，注意边界与等可能性，常转化为线段比、面积比，利用相似或公式求解。 【典例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【典例2】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【变式1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【变式2】（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，有一个质地均匀的圆形转盘，其中阴影部分的圆心角为，转动转盘，转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是______． 题型四 根据概率求数量 解｜题｜技｜巧 设未知数，用含未知数式子表示概率，根据已知概率列方程求解；注意总数与所求数量的关系，结合放回与否，解出后检验是否符合实际，避免增根与概率范围超0～1。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【典例2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共600个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为________个． 【变式2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）一个不透明的箱子里有两枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色放回．通过多次模拟试验后发现，摸出白棋子的频率如图，则箱子里棋子总数最可能是________． 题型五 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 大量重复试验，频率稳定于概率；用频率估算概率时注意试验次数足够多，数据波动大时可取多次平均值，结合样本估计总体，注意误差分析与实际意义，避免以偏概全。 【典例1】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 题型六 根据概率判断游戏是否公平 解｜题｜技｜巧 分别计算各方获胜概率，若相等则公平，否则不公平；可修改规则使概率相等，常通过增减条件或改变得分机制，注意概率计算准确，修改方案需简单可行且保持等可能性。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小志和小远玩摸球游戏，他们在一个不透明的箱子里装了6个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．他们从中任意摸出一个球，若摸到红球则小志获胜，若摸到黄球则小远获胜． (1)小志获胜的概率是__________； (2)这个游戏公平吗？若不公平，进行怎样的操作可以使游戏公平？（写一种即可） 【典例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 解｜题｜技｜巧 先确定转盘均分区域，概率等于所占份数与总份数之比；若不等分则算圆心角比例，多次抽奖注意放回与否，计算中奖概率或期望收益，结合方案比较选择最优。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．抛一枚硬币，正面朝上 2．（25-26九年级上·山东泰安·期末）某校共开设了五类社团活动，舞蹈、篮球、乒乓球、合唱、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中合唱类社团概率是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南许昌·期末）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 5．（25-26九年级上·河北承德·期末）在一个不透明的口袋中装有白球和红球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______个． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）九年级学生分六批依次在劳动周种植南瓜种子，其记录的在相同条件下种植的南瓜种子的发芽情况数据如下表： 南瓜种子的种植数 南瓜种子的发芽数 南瓜种子发芽的频率 由此估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率为________．（结果精确到） 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）． (1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）． (2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？ 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某小型植物可能开出多种颜色的花朵，为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的5个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，种植在劳动实践基地，最后统计各组数据，进行实验研究． 各组植株总数量m 100 150 200 300 500 开红花的植株数量n 39 54 82 120 b 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 0.40 (1)填空：________，________； (2)当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率的估计值．根据表中数据，可估计这种植物开红花的概率为________； (3)若要得到320株开红花的植株，试估计要准备种植多少株该种植物幼苗？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．朝上的点数是偶数的概率 B．朝上的点数是2的概率 C．朝上的点数大于5的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）某景区在正月期间开展游九曲黄河阵活动．如图是九曲黄河阵的示意图、游客在规定时间内完整走完一次，即可获得一件奖品，工作人员将往年参与活动的情况进行了统计，得到下表： 参加活动人次 100 1000 2000 4000 5000 6000 成功次数 12 287 506 664 835 996 成功率 该景区预估元宵节当天参加此项活动的人次为8000，则该景区当天预计发放此活动奖品约（   ） A．960件 B．1360件 C．2000件 D．2320件 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 5．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字．、、、，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止时，记指针指向标有“”所在区域的概率为，指针指向标有“”所在区域的概率为，则______．（填“”“”或“”） 6．（25-26九年级上·江西赣州·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 8．（25-26九年级上·广东佛山·期末）3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，每张均售元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 9．（24-25七年级下·山东淄博·期末）在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数                               摸到白球的次数                               摸到白球的频率                               (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______精确到； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 10．（25-26九年级上·江西南昌·期末）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率初步（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 事件的分类 题型02 根据列举法求概率 题型03 几何概率 题型04 根据概率求数量 题型05 用频率估计概率的综合应用 题型06 根据概率判断游戏是否公平 题型07 概率在转盘抽奖中的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 确定事件与随机事件 理解必然事件、不可能事件与随机事件的定义，能结合实际情境准确判断事件类型，初步感知事件发生的可能性大小。 基础必考点，常出现在小题 频率与概率的意义 理解频率与概率的区别与联系，知道大量重复试验下频率可估计概率。 高频基础点，填空题常考概念，易混淆频率与概率。 等可能事件的概率计算 掌握简单等可能事件的概率公式 P(A)=，能计算一步试验的概率。 中考核心考点，选择、填空、解答均有涉及，是概率计算的基础。 几何概型（面积概率） 能通过面积比例计算几何概型的概率（如转盘、涂色区域）。 常考题型，多与图形结合，侧重考查数形结合能力。 概率的实际应用 能利用概率知识分析游戏公平性、决策方案等实际问题。 案等实际问题。应用题高频考点，解答题常考，侧重考查数据分析与决策能力。 知识点01 确定事件与随机事件 1. 必然事件：一定发生的事件 2. 不可能事件：一定不发生的事件 3. 随机事件：可能发生也可能不发生的事件 必然事件与不可能事件统称为确定事件。 示例：太阳从东方升起 → 必然事件 - 掷一枚普通骰子，点数为7 → 不可能事件 - 明天会下雨 → 随机事件 易错点： 1. 把“很可能发生”当成必然事件，把“不太可能”当成不可能事件； 2. 忽略实际背景，仅凭感觉判断事件类型。 知识点02 频率与概率的意义 1. 试验次数很大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做概率； 2. 频率是试验结果，概率是理论值； 3. 概率反映事件发生可能性的大小。 示例：抛硬币1000次，正面朝上约500次，频率接近0.5，因此概率为0.5。 易错点：1. 把频率直接当成概率，混淆试验值与理论值； 2. 认为试验次数少，频率就一定等于概率。 知识点03 等可能事件的概率 若试验所有可能结果是有限个、等可能，则P(A)=，概率范围：0≤P(A)≤1 示例：掷一枚骰子，点数为偶数的概率 P= = 易错点：1. 漏数或重复数结果总数； 2. 忽略“等可能”前提，直接套用公式。 知识点04 摸球类、抽卡类概率计算 从装有若干不同颜色球的袋子中随机摸球，直接用“符合条件的数量÷总数”计算。 示例：袋中有3红2白共5球，随机摸1个是红球的概率：P= 易错点：1. 未看清“有放回”还是“无放回”； 2. 第二次摸球时总数未减1。 知识点05 几何概型（面积型概率） 转转盘、涂色区域等几何图形问题：P= 示例：转盘平均分成8份，红色占3份，则指针停在红色区域概率：P= 易错点：1. 份数不均等时直接用份数比； 2. 面积计算错误导致概率错误。 知识点06 游戏公平性判断 双方获胜概率相等，则游戏公平；否则不公平。 示例：两人掷骰子，奇数甲赢，偶数乙赢，概率均为 ，游戏公平。 易错点：1. 只看结果多少，不计算概率是否相等； 2. 漏算某种情况导致判断错误。 知识点07 概率的综合应用 结合生活实际，用概率进行预测、决策、方案选择。 示例：某产品合格率98%，则1000件中大约980件合格。 易错点：1. 把概率当成精确数量； 2. 实际问题中忽略限制条件，直接套用公式。 题型一 事件的分类 解｜题｜技｜巧 事件分确定事件（必然、不可能）与随机事件。判断时看是否一定发生或一定不发生，结合生活经验与数学原理，注意关键词“一定”“可能”等，明确试验条件与结果唯一性。 【典例1】（25-26九年级上·广东广州·期末）下列事件是必然事件的是（    ） A．购买1张彩票，中奖 B．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C．温度降到以下，纯净的水结冰 D．汽车累积行驶，从未出现故障 【答案】C 【分析】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件．根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故本选项不符合题意； B、“随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数”是随机事件，故本选项不符合题意； C、“温度降到以下，纯净的水结冰”是必然事件，故本选项符合题意； D、“汽车累积行驶，从未出现故障”是随机事件，故本选项不符合题意． 故选：C． 【典例2】（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）桌上有6张扑克牌，4个“A”、1个“大王”和1个“小王”，这些牌背面无差别，一次随机摸出3张扑克牌，下列事件是不可能事件的是（   ） A．3张牌都是“A” B．3张牌都是“王” C．3张牌中有“A” D．2张是“A”1张是“王” 【答案】B 【分析】根据牌的数量，结合不可能事件（一定不发生的事件）的定义，即可进行判断． 【详解】∵桌上“王”只有1个“大王”和1个“小王”，总数量为2，而一次要摸出3张牌， ∴不可能摸出3张都是“王”，该事件一定不发生，属于不可能事件． 故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）在一个不透明的袋子中，装有5个红球、2个黄球和3个蓝球，所有球除颜色外完全相同，从中随机摸出1个球，下列说法正确的是（  ） A．摸出红球是必然事件 B．摸出黄球是不可能事件 C．摸出蓝球是随机事件 D．摸出黑球是随机事件 【答案】C 【分析】根据三类事件的定义，结合袋子中球的颜色情况逐一判断选项．其中，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件；随机事件指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：袋子中装有个红球、个黄球和个蓝球，没有黑球， 对于选项A：摸出红球不是一定会发生的(还可能摸到黄球或蓝球)，因此摸出红球是随机事件，不是必然事件，A错误； 对于选项B：袋子中有个黄球，所以摸出黄球是有可能发生的，是随机事件，不是不可能事件，B错误； 对于选项C：袋子中有个蓝球，摸球时可能摸到蓝球，也可能摸到红球或黄球，因此摸出蓝球是随机事件，C正确； 对于选项D：袋子中没有黑球，所以摸出黑球是一定不会发生的，属于不可能事件，不是随机事件，D错误． 综上，正确答案是C． 题型二 根据列举法求概率 解｜题｜技｜巧 列举法，确保不重不漏列出所有等可能结果，数出满足条件的结果数，概率等于两者之比；注意区分放回与不放回，结果需约分，可借助对称性简化列举。 【典例1】（25-26九年级上·四川成都·期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能同时点亮灯泡、的概率为_____． 【答案】 【分析】本题考查利用列举法求随机事件的概率，解题关键是正确分析电路通路情况，列举出所有等可能的结果．首先确定随机闭合两个开关的所有等可能结果，再逐一分析每种结果下、的点亮情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合开关、、中的两个，所有可能的结果有：、、，共3种等可能的结果． ∵当闭合和时，电路形成通路，能同时点亮灯泡、；闭合和时，无法形成通路，均不亮；闭合和时，只有亮． ∴能同时点亮灯泡、的结果只有1种． 根据概率公式，． 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·云南昆明·期末）某同学计划购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率为_____． 【答案】/0.4 【分析】本题考查了列举法求事件的概率． 根据题意，该同学购买车票的位置共有种情况，其中车票座位靠过道座位有种，从而可得“该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 【详解】解： 根据题意，随机选择一个座位，有共5种情况， 其中车票座位靠过道座位有种， “该同学购买的车票座位是靠过道座位”的概率是． 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·重庆·期末）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号的和等于6的概率是_____． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率，通过列举法求出所有可能的结果数及两次取出的小球标号的和等于6的结果数，由概率公式即可求得结果． 【详解】解：所有可能的结果有9种：， ， ， ， ， ， ， ， ．其中两次标号的和等于6的结果有， ， 共3种，因此概率为． 故答案为． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）十二生肖是悠久的中国民俗文化符号，世界多国在春节期间发行生肖邮票，以此来表达对中国新年的祝福．甲同学购买了一套生肖邮票，他把“虎”、“龙”、“蛇”、“马”4张邮票背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让乙同学随机抽取2张，那么乙同学抽到的邮票恰好是“龙”和“马”的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列举法求概率的方法． 【详解】解：所有可能的抽取组合有6种：{虎,龙}、{虎,蛇}、{虎,马}、{龙,蛇}、{龙,马}、{蛇,马}，其中抽到“龙”和“马”的结果有1种，因此概率为， 故答案为：. 题型三 几何概率 解｜题｜技｜巧 概率等于所求区域面积（或长度、角度）与总面积之比；先确定测度类型，准确计算各部分度量，注意边界与等可能性，常转化为线段比、面积比，利用相似或公式求解。 【典例1】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是__________． 【答案】 【分析】本题考查概率，掌握概率的公式是解题的关键． 由图形可知，共有9种等可能的结果，阴影区域有5种，根据概率公式，计算即可． 【详解】解：由图可知，投掷一枚飞镖（每次飞镖均落在纸板上），共有9种等可能的结果， 击中阴影区域有5种， 击中阴影区域的概率是． 故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·湖北宜昌·期末）在如图所示的图形中随机撒豆子，把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率，则区域的半径为_____． 【答案】2 【分析】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．分别求出区域和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可． 设区域的半径为，区域的面积为，即可得. 【详解】解：由图可知最大的圆的面积为， 设区域的半径为，区域的面积为， ∵把“豆子落在区域中”记作事件，若事件的概率， ∴ ，解得， 故答案为：2． 【变式1】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知二维码是一个边长为的大正方形，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，由此可估计这个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为__________． 【答案】 【分析】本题考查了频率估计概率；求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形二维码面积的，计算即可． 【详解】解：∵正方形二维码的边长为， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积的， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，有一个质地均匀的圆形转盘，其中阴影部分的圆心角为，转动转盘，转盘停止转动后，指针指向白色区域的概率是______． 【答案】 【分析】本题考查几何概率，用白色区域的圆心角的度数除以360度，即可得出结果． 【详解】解：由题意得，指针指向白色区域的概率是， 故答案为：． 题型四 根据概率求数量 解｜题｜技｜巧 设未知数，用含未知数式子表示概率，根据已知概率列方程求解；注意总数与所求数量的关系，结合放回与否，解出后检验是否符合实际，避免增根与概率范围超0～1。 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共40个，这些球除颜色外都相同．通过多次试验，发现摸出红球的频率稳定在左右，则可估计袋子里红球约有__________个． 【答案】8 【详解】解：根据频率估计概率的知识，摸出红球的频率稳定在0.2， 因此摸出红球的概率为0.2， 则袋子中红球的个数约为． 【典例2】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）一个不透明的箱子中装有分别写着“杜”字和“仲”字的小球共个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将箱子中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了次，其中有次摸到写着“仲”字的小球，估计箱子中写着“杜”字的小球的个数为___________个． 【答案】 【分析】先根据摸球试验的结果计算摸到“仲”字小球的频率，用频率估计概率，再结合总球数求出“仲”字小球的估计数量，最后用总球数减去“仲”字小球的数量得到“杜”字小球的估计个数． 【详解】解：共进行了次摸球试验，其中次摸到“仲”字小球， ∴摸到“仲”字小球的频率为， 根据大量重复试验的频率可近似代替概率， ∴估计从箱子中摸到“仲”字小球的概率为， ∴箱子中写着“仲”字的小球的估计个数为， ∴箱子中写着“杜”字的小球的估计个数为． 【变式1】（25-26九年级上·河南信阳·期末）已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共600个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球试验：从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图的折线统计图，那么估计袋中红色球的数目约为________个． 【答案】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据概率求数量． 由题意知，摸到红球的频率逐渐趋于，即摸到红球的概率为，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率逐渐稳定于， ∴摸到红球的概率为， ∴（个）． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河南安阳·期末）一个不透明的箱子里有两枚黑棋子和若干枚白棋子，它们除颜色外其他完全相同，摇匀后随机摸出一枚棋子，记下颜色放回．通过多次模拟试验后发现，摸出白棋子的频率如图，则箱子里棋子总数最可能是________． 【答案】8 【分析】本题考查了利用频率估计概率及概率的计算，根据频率估计出白棋子的概率，再计算出摸出黑棋子的概率，最后根据概率公式计算出棋子的总数即可． 【详解】解：由题意知，摸出白棋子的概率约为， ∴摸出黑棋子的概率为， ∴箱子里棋子总数可能是， 故答案为：8． 题型五 用频率估计概率的综合应用 解｜题｜技｜巧 大量重复试验，频率稳定于概率；用频率估算概率时注意试验次数足够多，数据波动大时可取多次平均值，结合样本估计总体，注意误差分析与实际意义，避免以偏概全。 【典例1】（25-26九年级上·甘肃天水·期末）某市抽取若干名中学生的作业进行检查，结果如下表所示： 抽取作业数量 优秀数量 优秀频率 (1)填空：_______，_______ (2)估计该市学生作业优秀的概率．（精确到） 【答案】(1)， (2)估计该市学生作业优秀的概率为 【分析】本题考查频数与频率的关系，用频率估计概率，理解“大量重复试验中，频率会稳定在概率附近”是解题关键． （1）根据“优秀频率优秀数量抽取作业数量”的关系式，代入已知的抽取数量、优秀频率计算；代入已知的优秀数量、抽取数量计算； （2）观察表格，可知当抽取作业数量增大时，优秀频率逐渐稳定在附近，利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”的规律，可得出该市学生作业优秀的概率． 【详解】（1）解：优秀的频率公式为，当，频率为， ， ； 当时，， ． 答：，． （2）解：观察图表可知，当抽取作业的数量逐渐增大时，优秀频率稳定在附近，则可估计该市学生作业优秀的概率为． 答：估计该市学生作业优秀的概率为． 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 【答案】(1)， (2)0.4 (3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， （1）利用概率公式求出，的值即可； （2）根据表格中的数据即可得出结论； （3），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：，； （2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）； 白色乒乓球有个， 答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个． 【变式1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在“世界读书日”来临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的一组统计数据． 转动转盘的次数 落在《红星照耀中国》区域的次数 落在《红星照耀中国》区域的频率 (1)上述表格中 ， ． (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统计图． (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星照耀中国》的概率约是 （结果保留到小数点后两位）． (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形圆心角是，则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是多少度？ 【答案】(1)0.44；450 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，还考查了求圆心角的度数． （1）根据表中数据，结合频率、频数的关系求解即可； （2）根据表格数据画折线统计图即可； （3）从表中频率的变化，可得到估计当n很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率可得答案； （4）先求得表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：由题意，，， 故答案为：0.44；450； （2）解：如图： （3）解：从表中频率的变化，可估计当n很大时，频率将会接近， 故获得《红星照耀中国》的概率约为， 故答案为：； （4）解：表示《红星照耀中国》区域的扇形圆心角的度数约为， 则表示《西游记》区域的扇形圆心角约是． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等． 某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到的频率 a (1)表中的______， ______． (2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）； (3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？ 【答案】(1)，33 (2) (3)560个 【分析】本题主要考查了频率估计概率，熟练掌握频率和概率的关系，是解题的关键． （1）根据表格中数据求出a、b的值即可； （2）根据频率估计概率即可； （3）根据抽到”的概率得出2000个盲盒中的个数，然后求出其他三种角色的个数之和，再根据抽到其他三种角色的概率相同，得出抽到的次数即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：根据表格中数据可知：抽到的频率稳定在附件，所以抽到的概率的估计值是． （3）解： （个）， 答：抽到的次数是560个． 题型六 根据概率判断游戏是否公平 解｜题｜技｜巧 分别计算各方获胜概率，若相等则公平，否则不公平；可修改规则使概率相等，常通过增减条件或改变得分机制，注意概率计算准确，修改方案需简单可行且保持等可能性。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小志和小远玩摸球游戏，他们在一个不透明的箱子里装了6个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．他们从中任意摸出一个球，若摸到红球则小志获胜，若摸到黄球则小远获胜． (1)小志获胜的概率是__________； (2)这个游戏公平吗？若不公平，进行怎样的操作可以使游戏公平？（写一种即可） 【答案】(1) (2)游戏不公平，可在箱子里再放入个黄球，游戏公平． 【分析】（1）根据概率公式，用红球个数除以球的总个数求小志获胜概率． （2）比较两人获胜概率判断是否公平，再思考使概率相等的操作． 本题主要考查了概率的计算与游戏公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ 箱子里有个红球，个黄球，球的总数为个， ∴ 小志获胜的概率是． （2）解：∵ 小远获胜的概率是，， ∴ 这个游戏不公平． 可在箱子里再放入个黄球（操作不唯一），此时红球个，黄球个，两人获胜概率均为，游戏公平． 【典例2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·期末）某商场进行促销活动，设计了如下两种摇奖方式： 方式一：有一枚均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”．将这个骰子掷出后，“6”朝上则获奖； 方式二：一个均匀的转盘被等分成份，分别标有1至这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字为6的倍数则获奖． (1)若采用方式一，骰子掷出后，“4”朝上的概率为 (2)选择哪种摇奖方式获奖机会更大？请说明理由． 【答案】(1) (2)选择摇奖方式一获奖机会更大，理由见解析 【分析】本题考查等可能事件的概率计算，关键是确定每种事件包含的基本事件数，再利用概率公式计算． （1）直接根据标有“4”的面数与总面数的比值计算概率； （2）分别计算两种摇奖方式的获奖概率，再比较大小． 【详解】（1）解：∵正二十面体骰子总共有个面，其中标有“4”的面有4个， ∴骰子掷出后，“4”朝上的概率为； 故答案为：； （2）解：先计算方式一的获奖概率： 骰子总面数为，标有“6”的面数为， ∴选择方式一获奖的概率为． 再计算方式二的获奖概率： 转盘被等分成份，6的倍数为6、，共2个， ∴选择方式二获奖的概率为． ∵， ∴方式一的获奖机会更大； 答：选择方式一获奖机会更大． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 题型七 概率在转盘抽奖中的应用 解｜题｜技｜巧 先确定转盘均分区域，概率等于所占份数与总份数之比；若不等分则算圆心角比例，多次抽奖注意放回与否，计算中奖概率或期望收益，结合方案比较选择最优。 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某商场节假日期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品即可参与转盘抽奖．如图，转盘被分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“A”所在区域内，中一等奖；指针落在字母“B”所在区域内，中二等奖；指针落在字母“C”所在区域内，中三等奖；若指针落在字母“D”所在区域内，则未中奖（若指针指向分界线上时，需要重新转动，直到指针指向扇形区域内）．若某顾客转动一次转盘，请回答下列问题： (1)求顾客未获奖的概率； (2)求顾客获得二等奖或三等奖的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率是解题的关键； （1）由图可知字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解； （2）由图可知字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由图可知，字母“D”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客未获奖的概率为． （2）解：由图可知，字母“B”所在区域的扇形圆心角度数为， 所以顾客获得二等奖或三等奖的概率为． 【典例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）端午节是我国传统节日之一，每年端午处处飘扬着美食香气，弥漫着火热气氛．某餐馆制成了一个如图1所示的转盘（十二等份）游戏，取名为“开心大转盘”．端午假期期间到店用餐可参与游戏：到店用餐者可自由转动转盘一次，若指针指向字母“A”，则打八折；若指针指向字母“B”，则打九折；若指针指向字母“C”，则不打折．（指针指向分隔线上，重新转）      (1)若小辰跟随家人到该店用餐，付款时不打折的概率是________； (2)若该店为了吸引更多顾客，请你帮忙重新设计转盘，利用如图2所示的转盘，使得打八折的概率是；打九折的概率是；不打折的概率是．（在十二等份扇形中标明字号A，B，C） 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种，利用概率公式可得答案． （2）结合概率公式可得转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，由此画图即可． 【详解】（1）解：由题意知，共有12种等可能的结果，其中指针指向字母“C”的结果有7种， ∴付款时不打折的概率是； 故答案为； （2）解：由题意得：转盘中字母“A”有6个，字母“B”有5个，字母“C”有1个，所以所画图形如图所示： 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某学校班级为表彰一周量化考核评价为优秀的同学，设置如图1的电子刮刮卡抽奖活动，评为优秀的同学获得抽奖机会一次．其中张刮刮卡奖励内容分别为“①免作业券张；②与好朋友同桌一天；③薯片一包；④牛奶瓶”．抽完奖后系统自动更新出张上述内容的刮刮卡，并把顺序打乱． (1)小明同学在某周考核中评为优秀，他在刮刮卡抽奖活动中抽中“①”的概率是 ． (2)通过调查发现，该班同学对“①”最感兴趣，对“③”和“④”喜好程度一样．于是，老师将抽奖方式改为转盘，并设定：①的概率是，②的概率是，③的概率为．请在图2转盘中的扇形写上“①②③④”，使得自由转动这个转盘，当它停止时，指针分别落在“①②③④”上的概率满足上述设定．（备注：转盘中扇形的圆心角均相等） 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】本题考查概率公式，应用与设计作图， （1）直接根据概率公式求解即可； （2）用扇形的个数乘对应的概率求出扇形的个数，从而得出答案； 解题的关键是掌握概率公式∶（表示事件发生的概率，是事件发生的情况数，是总情况数 ）． 【详解】（1）解：∵共有张刮刮卡，且每张刮刮卡被抽取的可能性相同， ∴总情况数 ， 又∵ “①”是其中张刮刮卡，即抽中“①”的情况数， ∴抽中“①”的概率． 故答案为：； （2）∵转盘被等分为若干个圆心角相等的扇形（设总份数为份，取、、的最小公倍数)， 又∵①的概率是，则①对应的份数：份 ； ②的概率是，则②对应的份数：份； ③的概率是；则③对应的份数：份； ∴④的概率：， 则④对应的份数也是份（与③概率相同，份数相同 ）， 分配扇形内容如下： 按照计算出的份数，在转盘中标记：①占份，②占份，③占份，④占份， 如图： 【变式2】（24-25七年级下·山东济南·期末）某商场为了吸引顾客，设立了一个如图可以自由转动的转盘，转盘被等分成20个扇形．商场规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，已知甲顾客购物220元，获得一次转动转盘的机会． (1)他能获得购物券的概率是______，甲顾客转动转盘转到蓝色是______（从“随机事件”、“必然事件”、“不可能事件”选一个填入）； (2)求他得到100元购物券的概率是多少？ (3)若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将几个无色扇形涂成绿色？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查简单概率问题，涉及简单概率公式、事件分类等知识，读懂题意，熟练掌握一步概率问题的求法是解决问题的关键． （1）由题意，结合简单概率公式求解即可得到他能获得购物券的概率是，再由转盘上没有蓝色区域，即可得到甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； （2）如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，由简单概率公式求解即可得到答案； （3）如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，他得到50元购物券的概率是；若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 【详解】（1）解：由题意可知，转盘被等分成20个扇形，如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以分别获得100元、50元，20元的购物券，则转盘上红、绿或黄色区域共有11份， 他能获得购物券的概率是； 转盘上没有蓝色区域， 甲顾客转动转盘转到蓝色是不可能事件； 故答案为：，不可能事件； （2）解：如果转盘停止后，指针正好对准红色区域，顾客就可以获得100元的购物券，转盘上红色区域有2份，则他得到100元购物券的概率是； （3）解：如果转盘停止后，指针正好对准绿色区域，顾客就可以获得50元的购物券，转盘上绿色区域有4份，则他得到50元购物券的概率是； 若要让获得50元购物券的概率变为，还需要将4个无色扇形涂成绿色． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·河南周口·期末）下列事件中，属于必然事件的是（  ） A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为6 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．任意画一个三角形，其内角和为 D．抛一枚硬币，正面朝上 【答案】C 【分析】本题考查必然事件与随机事件的定义，关键是明确必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A选项：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数可能为1、2、3、4、5、6中的任意一个，因此点数为6是可能发生也可能不发生的随机事件； B选项：射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中靶心，属于随机事件； C选项：根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和都为，这是一定会发生的事件，属于必然事件； D选项：抛一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，属于随机事件； 故选：C． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期末）某校共开设了五类社团活动，舞蹈、篮球、乒乓球、合唱、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中合唱类社团概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查古典概型的概率计算．需根据概率公式，结合总结果数与符合条件的结果数求解． 【详解】解：∵共有5类等可能被抽取的社团活动，抽中合唱类社团的结果只有1种． ∴根据概率公式，可得抽中合唱类社团的概率为． 故选：A 3．（25-26九年级上·河南许昌·期末）某小组做“当试验的次数足够多时，可以用频率估计概率”的试验时，当试验次数达到次时，统计了某一结果出现了次，则符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从一副张（不含大小王）的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃 B．掷一枚一元的硬币，正面朝上 C．三张同样的纸片，分别写有数字，，，背面朝上洗匀后，任取一张恰好为奇数 D．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” 【答案】A 【分析】先计算题目中事件的频率，根据用频率估计概率得到该事件概率约为，再计算各选项事件的概率，选出概率最接近的选项即可. 【详解】解：∵试验总次数为次，该结果出现次， ∴频率为， 可得该事件的概率约为； 对各选项逐一计算概率： A选项： ∵张不含大小王的扑克牌中，红桃有张， ∴抽到红桃的概率为，符合要求； B选项：掷一枚硬币正面朝上的概率为，不符合要求； C选项： ∵共张纸片，其中奇数纸片有张， ∴抽到奇数的概率为，不符合要求； D选项： ∵质地均匀的骰子共个点数，点数为的情况只有种， ∴点数为的概率为，不符合要求， 4．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期末）投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，属于___________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） 【答案】随机 【分析】根据事件的分类方法，进行判断即可． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子，得到的点数是奇数，可能发生也可能不发生，是随机事件． 5．（25-26九年级上·河北承德·期末）在一个不透明的口袋中装有白球和红球共20个，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有______个． 【答案】8 【分析】此题考查了利用频率估计概率，由摸到红球的频率稳定在，因此概率约为，用总球数乘以概率可得红球数量． 【详解】∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴口袋中红球可能有（个）． 故答案为：8． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）九年级学生分六批依次在劳动周种植南瓜种子，其记录的在相同条件下种植的南瓜种子的发芽情况数据如下表： 南瓜种子的种植数 南瓜种子的发芽数 南瓜种子发芽的频率 由此估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率为________．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据大量试验中频率稳定于概率的原理，观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右，据此即可解答． 【详解】解：观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在左右， 估计该南瓜种子在此条件下发芽的概率约为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）． (1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）． (2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？ 【答案】(1)“不可能事件” (2) 【分析】本题考查事件的分类：必然事件、不可能事件和随机事件，求解一步概率问题，熟记必然事件、不可能事件和随机事件的定义，简单概率公式是解决问题的关键． （1）由各个事件的定义，在一定条件下，一定发生的事件叫必然事件；在一定条件下，一定不发生的事件叫不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫随机事件，根据三种事件的定义判断即可得到答案． （2）读懂题意，分别求出转动转盘所有等可能的结果及满足条件的结果数，再由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，则转出的数字为8是“不可能事件”， 故答案为：“不可能事件”； （2）解：转动转盘会有6种等可能的结果，其中转出的数字不大于2的结果有1，2两种结果， 转动转盘，转出的数字不大于2的概率是． 8．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）某小型植物可能开出多种颜色的花朵，为了解该植物开红色花朵的比例，植物社团的5个小组的成员分别收集该植物的一些植株幼苗，种植在劳动实践基地，最后统计各组数据，进行实验研究． 各组植株总数量m 100 150 200 300 500 开红花的植株数量n 39 54 82 120 b 出现红花的频率 0.39 a 0.41 0.40 0.40 (1)填空：________，________； (2)当试验次数很大时，频率会稳定在一个常数附近，这个常数就是概率的估计值．根据表中数据，可估计这种植物开红花的概率为________； (3)若要得到320株开红花的植株，试估计要准备种植多少株该种植物幼苗？ 【答案】(1)0.36，200 (2)0.4 (3)要准备种植800株该种植物幼苗 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，解题的关键是理解题意； （1）根据频率公式可进行求解； （2）根据表格可直接利用频率估算概率； （3）根据（2）及题意可直接进行求解． 【详解】（1）解：由表可知：，； 故答案为0.36，200； （2）解：由题意可知：这种植物开红花的概率估计值为0.4； 故答案为0.4； （3）解：由（2）及题意可得： （株）； 答：要准备种植800株该种植物幼苗． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（　　） A．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有 5张中奖 C．射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．“抛掷一枚质地均匀的硬币一次，结果正面朝上”为随机事件 【答案】D 【分析】根据概率的计算公式、概率的意义以及随机事件的定义，逐个判断选项的正误． 【详解】解：A、∵袋中总球数为个，红球共3个， ∴任意摸出一个红球的概率为，不是，A错误； B、∵是中奖的可能性描述，不是说买100张一定有5张中奖，结果是随机的， ∴B错误； C、∵射击的中靶与不中靶不是等可能事件， ∴击中靶的概率不一定是，C错误； D、∵抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，结果事先不确定， ∴“抛掷一次结果正面朝上”是随机事件，D正确． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期末）某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（    ） A．朝上的点数是偶数的概率 B．朝上的点数是2的概率 C．朝上的点数大于5的概率 D．朝上的点数是3的倍数的概率 【答案】A 【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在左右，因此可以判断各选项． 【详解】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在左右． A、朝上的点数是偶数的概率为，故选项A符合题意； B、朝上的点数是2的概率为，故选项B不符合题意； C、朝上的点数大于5的概率为，故选项C不符合题意； D、朝上的点数是的倍数（含）的概率为，故选项D不符合题意． 3．（25-26九年级上·山西运城·期末）某景区在正月期间开展游九曲黄河阵活动．如图是九曲黄河阵的示意图、游客在规定时间内完整走完一次，即可获得一件奖品，工作人员将往年参与活动的情况进行了统计，得到下表： 参加活动人次 100 1000 2000 4000 5000 6000 成功次数 12 287 506 664 835 996 成功率 该景区预估元宵节当天参加此项活动的人次为8000，则该景区当天预计发放此活动奖品约（   ） A．960件 B．1360件 C．2000件 D．2320件 【答案】B 【分析】本题考查了根据频率求概率，根据概率求数量． 先判断出成功率，进而得到概率，根据概率计算即可． 【详解】解：由表格可知，随着参加活动人次的增加，成功率逐渐趋向， 即成功率约为， 可知成功的概率为， 则预计发放此活动奖品约件． 故选：B． 4．（25-26九年级上·河北邯郸·期末）任丘是一座历史悠久、文化底蕴深厚的城市，拥有众多旅游景点，小刚和小萌周末打算从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处进行游玩，事件“他们最终选择任丘植物园游玩”属于________________（填“随机”“必然”或“不可能”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了事件的分类．事件“他们最终选择任丘植物园游玩”可能发生也可能不发生，因此是随机事件． 【详解】解：从药王庙、任丘植物园及任丘博物馆中随机选择一处游玩，选择任丘植物园是可能发生的，但不是必然事件，故该事件为随机事件． 故答案为：随机． 5．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，一个圆形转盘被等分为八个扇形区域，上面分别标有数字．、、、，转盘指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．转动转盘一次，当转盘停止时，记指针指向标有“”所在区域的概率为，指针指向标有“”所在区域的概率为，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据概率公式算出两种事件的概率即可比较大小. 【详解】解：∵扇形区域中有个，个， ∴， ． 故答案为：. 6．（25-26九年级上·江西赣州·期末）现在二维码已经成为生活中不可或缺的一部分，如图，正方形二维码的面积为，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为___________． 【答案】 【分析】由题意可知点落入黑色部分的频率稳定在左右，然后乘以二维码的面积即可． 【详解】解：估计黑色部分的面积约为． 7．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，有一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，其中的1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，4个面标有“4”，5个面标有“5”，其余的面标有“6”． (1)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“6”的概率； (2)任意掷这枚骰子，求掷出面标有“2的倍数”的概率． 【答案】(1)掷出面标有“6”的概率是 (2)掷出面标有“2的倍数”的概率是 【分析】本题主要考查了概率公式，随机事件，根据题意求出所有等可能结果数和满足题意的结果数成为解题的关键． （1）先求出标“6”的面有5个，然后分别利用概率公式求解即可； （2）先求数字是2的倍数的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：∵骰子有20个面， 标有“6”的面数为面， 掷出“6”的概率是； （2）解：标有“2”的面数为2面，标有“4”的面数为4面，标有“6”的面数为5面，故掷出面标有“2的倍数”的有面， 掷出“2的倍数”的概率是． 8．（25-26九年级上·广东佛山·期末）3月14日是国际数学节．某书店设计了一套（每套4张，每张均售元）数学主题（“勾股定理”、“黄金分割”、“杨辉三角”、“七巧板”）明信片，书店将两套明信片放入八个相同的盲袋中，每个盲袋装一张且被抽中的可能性相同．凡在书店购书满200元的顾客，可获一次抽取盲袋的机会，规则如下：抽到“勾股定理”，获得该明信片且奖励8元；抽到“黄金分割”或“杨辉三角”，获得该明信片且奖励5元；抽到“七巧板”，仅获得该明信片． (1)随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是多少？ (2)如果活动期间顾客共抽取了480次盲袋，那么书店为此活动需支付的总费用估计是多少？ 【答案】(1) (2)2736元 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是根据概率公式求出相应的概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：总共有8种等可能的结果，其中，恰好抽到“勾股定理”的结果有2种， 随机抽取一个盲袋，恰好抽到“勾股定理”的概率是； （2）解：活动期间需支付明信片的费用为：（元）， 抽到“勾股定理”的总次数约为：（次）， 抽到“黄金分割、杨辉三角”的总次数约为：（次）， 抽到“七巧板”的总次数约为：（次）， 书店为此活动需支付的总费用估计是： （元）． 9．（24-25七年级下·山东淄博·期末）在一只不透明的袋子里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数                               摸到白球的次数                               摸到白球的频率                               (1)表中的______，______； (2)“摸到白球”的概率的估计值是______精确到； (3)如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)， (2) (3)个 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、频数与频率，概率公式，掌握用频率估计概率的方法是解题的关键． （1）利用频率频数样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：依题意得：，， 故答案为：，； （2）解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； （3）解： （个） 答：除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 10．（25-26九年级上·江西南昌·期末）某学校九年级在义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，规定：购物20元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数 落在书画区域的次数 落在书画区域的频率 (1)完成上述表格：__________；__________；假如你去转动该转盘一次，估计你获得书画奖品的概率约是__________（精确到）； (2)甲乙两人购物后各获得一次转动转盘的机会，他们认为两人恰好都获得书画奖品的概率和两人恰好都获得手工奖品的概率一样大，请判断这句话的正误；__________（填写正确或错误） (3)若本次义卖活动共有800人各获得一次转动转盘的机会，请估计本次义卖活动共送出多少张书画奖品？ 【答案】(1)295，0.6，0.6， (2)错误 (3)480张 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的乘法计算、频数与频率的关系，熟练掌握频率与概率的关系，以及利用概率进行简单计算是解题的关键． （1）先利用频率公式计算总数，再根据总数和频率求出对应频数与频率；最后用频率估计概率． （2）先判断书画和手工的概率大小，再分别计算两人都得书画奖品、两人都得手工奖品的概率，比较大小后判断正误． （3）用总人数乘以书画奖品的概率，得到送出书画奖品的估计数量． 【详解】（1）解：， 当次数很大时，频率将会接近0.6，获得书画奖品的概率约是0.6， 故答案为：295，0.6，0.6； （2）解：（书画），（手工）， （两人都书画）， （两人都手工）， ， 该说法错误， 故答案为：错误； （3）解：张 答：估计本次义卖活动共送出480张书画奖品． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $