湖北黄冈中学2026届高三年级5月考前学情自测数学试题

高三5月第三次模拟考试 数学试卷 本试卷共4页，19题。满分150分。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交， 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A=(x|y=1og2(x+1)},B={x|(x+2)(x-3)>0),则AUB= A.(-1,3) B.(3,+∞) C.(-o,-2)U(-1,+o) D.(-o,-2)U(3,+o) 2.已知复数=牛2则1= A.1 B.3 C.2 D.5 3.一组数据为50,40,20,19,16,16,14,10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为 A.40 B.39 C.36 D.35 Ia 4.已知=1，|b|=3,|2a一b|=√19，则向量a,b的夹角为 A B哥 c D. 5π 6 5,函数f(x)=Atan(uz十p)(w>0,p<)的部分图象如图 所示，则A= A.√5 B.3 C.2√3 D.3√5 知抛物线W:y2=2pz(p>0)的焦点为F,C?力，0若w上存在点A,使得C =2|AF|,且△ACF的面积为6√2，则p= A.1 B.2 C.3 D.4 高三5月第三次模拟考试数学试卷第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 7.如图，以M(一3,0)为圆心，2为半径的圆与x轴交于 A,B两点，P是圆M上异于A,B的动点，直线PA, PB分别交y轴于C,D两点，以CD为直径的圆N与 x轴交于E,F两点，则EF的长为 ME式叭Fx A.2√2 B.2√5 D C.6 D.8 8.已知函数f(x)=x- x十1 ·ln.x,若实数a,b(0<a<b)满足f(a)=f(b),则bea的最 小值为 A号 B.e D.2e 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若a>0,b>0,a十b=4,则 A.a-620 4 C.√a+√b≤22 D.12<a2+3b2<48 10.如图，从双曲线C-1@>0,b>0)的左焦点F,发出的光线，到达C上的 点P后的反射光线，其反向延长线会经过C的右焦点F2,且C在点P的切线l恰 好为∠F1PF2的角平分线所在的直线.已知F,F2=4,C的离心率为2，则下列结 论正确的是 A.C的渐近线方程为y=士z B.若P(3,yo),则△PF1F2的面积为26 C若1与x轴交于点Q[后0小则IPF,=4 F、 D,若L的斜率为2，则△PF:F2为直角三角形 11.如图，五面体ABCDFE中，AB∥EF,AB=4,EF=CD=2,AF=BE=√2，AC AD=FC=√5，点P为线段CE上的动点，则下列结论正确的是 A.DF∥CE B.平面ABCD⊥平面ABEF C.平面PAB截该几何体所得截面面积的最小值为 125 5 D,.三棱锥FACD外接球的表面积为1 4 高三5月第三次模拟考试数学试卷第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知X~N(2,o2)且P(X>3)=P(X<a),则(2x-a)6的展开式中x4的系数的 值为 1&若曲线y=2hx+a(a∈R与圆x2+y-1)P=有公共点P(y）,且在点P 处的切线相同，则实数a=, 4已知x∈0，DyE0,+m),满是)y2+2yosz 4sinC=0,则xy的值是 y 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 设Sn是等比数列(an}的前n项和，已知S2=4,a号=3a4 (1)求an和S.; a1,求数列(b)的前n项和T (2)若b.=S.S+1 16.(本题满分15分) 如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥AC,O为BC的中点，且A1O⊥平面 ABC,AA1=2,AB=AC=√E. (1)证明：四边形BCC1B1为矩形； (2)若点P在线段AB1上（异于A点），直线AP与平面APC所成角的正弦值为 25*铝值 高三5月第三次模拟考试数学试卷第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 17.(本题满分15分) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比 赛甲获胜的概率为力(0<p<1),各局结果相互独立.比赛计分规则如下：若一方以 3:0或3：1获胜，则胜者得3分，败者得0分：若一方以3：2获胜，则胜者得2分，败者 得1分 (1)求甲获得3分的概率； 【2)若力=设甲的总得分为随机变量X,求X的分布列和数学期望 (3)已知甲在比赛中的总得分X的分布列由p决定.定义意外指数为U(p)= P(X=1)+P(X=2),求U(p)的最大值. 18.(本题满分17分) 已知椭圆C:+1(Q>≥b>0)的左焦点为F1(一1,0)，且经过点（一2,9）， 直线l的斜率为k(k≠0)，且与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若L不过F1,且直线AF1,l,BF1的斜率成等差数列，求k的取值范围； (3)若l经过原点O,过椭圆上一点P的切线l1与l垂直，求△ABP面积的最大值. 19.(本题满分17分) 已知函数f)-兰-+lr (1)当=1时，求f(x)的最小值； (2)讨论f(x)的单调性； (3)若f(x)存在极小值，且极小值等于-(Ink)2,求证：k+lnk>2e. 高三5月第三次模拟考试数学试卷第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 高三5月第三次模拟考试数学试题参考答案及评分细则 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】C【详解】集合，集合或， 故或，即． 2．【答案】D【详解】，所以． 3．【答案】A【详解】将题中数据按从小到大排列为10，14，16，16，19，20，40，50，则众数为16，因为，所以第60百分位数为19，所以众数与第60百分位数之和为. 4. 【答案】C【详解】因为，所以，则，则，因为，所以，即向量的夹角为. 5．【答案】A【详解】由图知，得到，又由图知，由，得到，又，所以即，由，得，所以. 6．【答案】B【详解】由题可得，则，从而.又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为，由抛物线定义可得，则，从而. 7．【答案】B【详解】连接NE，设圆的半径为，，则，，依题意，，，，，所以，所以，即，，又，所以，故． 8．【答案】D【详解】函数的定义域为，可得，令， ，所以在上单调递增，又， 所以当时，，即，所以在上单调递减， 当时，，即，所以在上单调递增， ，又，，所以， 所以，令，， 当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，即的最小值为. 9．【答案】BC【详解】对于，因为，，，所以，当且仅当时取等号，即，所以，不正确； 对于，因为，当且仅当时取等号，正确； 对于，因为，所以，当且仅当时取等号，正确； 对于，因为，，，所以，又，所以，不正确． 10．【答案】BCD【详解】设双曲线的焦距为，则，所以. 所以.所以C的渐近线方程为，所以A错误； 若，则，所以，所以的面积为，所以B正确； 若l与x轴交于点，则，又，所以，所以C正确； 若l的斜率为2，则点在第一象限，设.由，得当时，，.令，得.所以，即.又，所以，所以为直角三角形，所以D正确. 11．【答案】ABD【详解】对于A，因为，平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又，所以四边形为平行四边形，则，正确. 对于B，因为，，故四边形为等腰梯形. 如图，过点F作，垂足为O，连接，又，，所以， 又，所以.取的中点Q，连接， 因为，，所以，，，又，所以四边形为矩形，所以，又，所以， 故，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故正确. 对于C，如图，设截面与棱交于点M，连接，，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面， 所以，又，所以，所以截面是梯形.因为四边形为平行四边形，所以.又，所以当，之间的距离最小时，梯形的面积最小.显然，，之间的最小距离等于直线到平面的距离， 也就是点O到平面的距离.过点O作，垂足为H，由B知，，又，所以平面，则平面，所以，又，，所以平面.所以点O到平面的距离等于，在中，.所以截面面积的最小值为，故错误. 对于D，由B可知，故由正弦定理可得，外接圆的半径.因为，所以外接圆的圆心在上，且. 如上图，以点O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，. 易知三棱锥外接球的球心T在过点且与底面垂直的直线上，故可设T的坐标为，因为A，F均在球T的球面上，所以，得，所以三棱锥外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积为，故正确. 12．【答案】【详解】由且，则，即， 则对于，有， 有，故的展开式中的系数的值为. 13．【答案】【详解】由知定义域为，则，此时曲线在点处的切线斜率为，又圆的圆心与点所在直线的斜率为，所以圆在点处的切线斜率为，由题意知，① 又在圆上，所以，② 将①代入②中得，化简得，解得或（舍去），又由题意知，所以，此时，所以，将代入中有，解得. 14．【答案】【详解】，，令，其中①，， （当且仅当，即时取等号），②，又，，，，③ 由①②③得，又，，解得，． 15．【详解】（1）设的公比为q，由题可得，又，所以， 又，所以，，所以，；....................................................................................................5分 （2）由（1）得， 所以........................................................................................................................................................13分 16．【详解】（1）证明：连接，易知，建立空间直角坐标系，如图所示： ，， 由，得，又四边形为平行四边形，则四边形为矩形；..............................................................................................................6分 （2），，则，设，，， ， 设平面的法向量为，则，取，则， 设直线与平面所成的角为，则，即，解得或，所以的值为或．..................................................................................15分 17．【详解】（1）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立， 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前3局甲胜2局输1局，第4局甲胜，概率为； 因此甲得3分的概率为；......................................................4分 （2）若，设甲的总得分为随机变量，则的可能取值为0，1，2，3， ； 对应甲获胜，前4局甲胜2局输2局，第5局甲胜： ； 对应乙获胜，前4局乙胜2局输2局，第5局乙胜： ； 对应乙或获胜，； 的分布列为： 0 1 2 3 根据离散型随机变量的期望公式可得；........................................................................10分 （3）由定义， 代入得， 由基本不等式，当且仅当，即时取等号， 因此，即的最大值为．.........................................15分 18．【详解】（1）因为椭圆的左焦点为，且经过点， 故，所以，且，化简得，即， 整理得，解得（舍去负根），所以，所以椭圆的标准方程为；...................................................................................................................4分 （2）设，因为不过，所以，设，，，， ，△，化简得，所以，因为直线，，的斜率成等差数列，所以，即，整理得，得，整理得，即，解得（舍去），所以，代入，得，解得或，故的取值范围为；.................................................................10分 （3）设，，解得， 故，， 所以，设，，则，其斜率为，又，所以，因为，在椭圆上，所以，解得，不妨令，则， 所以点到直线的距离， 所以△面积，化简得，令， 则， 当且仅当时取等号，即△面积的最大值为．................................................17分 19．【详解】（1），当时，， 由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，的最小值为......................................................3分 （2）， 当时，则对任意的恒成立，由可得，由可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，则或， ①当时，即时，由可得或，由可得，所以函数在上单调递减，在、上单调递增； ②当时，即时，对任意的，，此时在上单调递增； ③当时，即时，由可得或，由可得， 此时在上单调递减，在、上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在、上单调递增； 当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在、上单调递增 ................................................................................................................................................8分 （3）由题意可知，由（2）可知，当时， 函数的极小值为，此时， 因为，则，此时，等式不成立； 当时，函数的极小值为，此时， 因为，则，则， 由不等式的性质可得，等式不成立； 当时，函数在上单调递增，函数无极值；..................................11分 当时，函数的极小值为， 可得，令，则，且，则， 先证明不等式，其中，即证， 令，，其中，则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，，设，即，所以，上述两个等式相除得，所以，所以，则，即，可得，由基本不等式可得，故原不等式得证. ................................................................................................................................................17分 学科网（北京）股份有限公司 $