2026年福建省高中数学学业水平合格考考前模拟卷五

Sheet1 2026年数学学业水平合格考模拟卷五细目表 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 3 同一集合的判断 0.95 2 单选题 3 充分必要条件的判断 0.9 3 单选题 3 求分式函数和对数型函数定义域 0.85 4 单选题 3 向量共线的应用 0.85 5 单选题 3 复数的除法运算和几何意义 0.85 6 单选题 3 利用存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解求出参数的取值范围. 0.8 7 单选题 3 基本初等函数的单调性的判断 0.8 8 单选题 3 根据奇函数的性质，利用赋值法求解 0.8 9 单选题 3 指数函数和一次函数的判断 0.8 10 单选题 3 分数指数幂，根式的运算公式的应用 0.8 11 单选题 3 扇形的弧长及面积公式计算 0.75 12 单选题 3 三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的应用 0.75 13 单选题 3 诱导公式、周期和奇偶性的应用 0.75 14 单选题 3 余弦定理的应用 0.7 15 单选题 3 线面、面面位置关系的判断 0.7 16 单选题 3 平均数、中位数与极差的求法 0.7 17 单选题 3 二次不等式解法、根与系数的关系应用及解分式不等式 0.7 18 单选题 3 概率定义的判断、事件的独立性性质判断 0.7 19 单选题 3 平均数和整体方差的求解 0.65 20 填空题 4 互斥事件概率加法公式运算 0.85 21 填空题 4 利用基本不等式求参数的取值范围 0.8 22 填空题 4 对数运算法则、对数恒等式、指数运算法则的应用 0.7 23 填空题 4 异面直线所成角 0.7 24 解答题 频率、分层抽样、利用频率分布直方图估计平均数 0.7 25 解答题 函数的奇偶性的判断、单调性的判断和利用定义法证明函数的单调性 0.7 26 解答题 正弦型函数最值的求法、并利用余弦定理求边 0.65 Sheet2 Sheet3 $2026年数学学业水平合格考考前模拟卷五 2026年数学学业水平合格考考前模拟卷五【解析】 （考试时间：90分钟；满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 2．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 3.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4.已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 5.已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7.下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 8.已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9.如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 10.下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 11.已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 12.若，则（   ） A． B． C． D． 13.函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 14.已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 15.设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 16.在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 17.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 18.下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 19.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20.若事件A与B互斥，且，则 ． 21.已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 22．计算 . 23.在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 三、解答题: 本题共3小题，每小题9分,共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 24.某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 25.已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； 26．已知函数，. (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设的内角的对边分别为且，，若，求的周长. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年数学学业水平合格考考前模拟卷五 2026年数学学业水平合格考考前模拟卷五【解析】 （考试时间：90分钟；满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合相等的条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，集合中只有一个元素，所以A错误， 对于B，集合的元素是点，所以B错误， 对于C，由，解得或， 所以，故C正确， 对于D，集合中有二个元素，，所以D错误， 故选：C. 2．设，则成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于两个集合来说，根据充分条件是找子集，必要条件是找集合，即可得到答案. 【详解】若集合是集合的必要条件，则， 所以在选项中使得成立的一个必要条件只有， 故选：A 3.函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使分母不等于，及对数的真数大于即可求解. 【详解】要使有意义，则有，解得且， 所以的定义域为. 故选：D. 4.已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点共线问题转化为向量平行条件，即可得解. 【详解】由三点共线，则存在实数使得， ，， 由共线性质，则有， 因为不共线，得系数关系，消去，得. 故选：B. 5.已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先对z进行变形化简，再结合复数和复平面的概念即可得到答案． 【详解】由，得， 可得在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 6.若命题“”为假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解求出范围，再求其补集即可. 【详解】由命题“为真，得，解得， 因此命题“”为假命题，则， 所以实数的取值范围是， 故选：D 7.下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的单调性直接得解. 【详解】因为，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上不单调， 故选：B 8.已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据奇函数的性质，通过赋值进行求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以． 因为，所以． 故选：A 9.如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及与轴的交点即可判断. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 10.下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂，根式的运算公式即可判断AB，根据对数运算公式即可判断CD. 【详解】由，故A正确，,故B正确； ，故C正确，，故D错误. 故选：D. 11.已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 12.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式，化为“齐次式”，代入求解，即可得到答案. 【详解】由，则. 故选：A. 13.函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先利用诱导公式化简函数，再判断其周期和奇偶性即可. 【详解】因为. 所以，， 所以是最小正周期为的奇函数. 故选：A 14.已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（    ） A．60° B．90° C．150° D．120° 【答案】A 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 15.设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由线面、面面位置关系逐个判断即可. 【详解】若，，则或，A错误； 若，，则或或，B错误； 若，，则或相交，C错误； 设直线方向向量为，平面法向量分别为， 因为，所以， 又，所以， 所以 所以，正确， 故选：D 16.在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 【答案】C 【分析】根据平均数公式判断A，将小组打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断D. 【详解】由图可知，小组打分的平均数为，故A正确； 将小组打分从小到大排列为、、、、、、、、，所以中位数为，故B正确； 小组打分的分值的极差为，小组打分的分值的极差为，故C错误； 小组打分的分值相对更集中，所以小组打分的分值的方差小于小组打分的分值的方差，故D正确； 故选：C 17.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定不等式的解集，结合韦达定理求出，再代入并将不等式转化为不等式组求解. 【详解】由不等式的解集为，得是方程的二根， 则，不等式化为， 即或，解得或， 所以所求不等式的解集为. 故选：D 18.下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 【答案】D 【分析】利用概率的定义判断A；举例说明判断BC；利用事件的独立性性质判断D． 【详解】对于A，在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数和总的试验次数之比， 称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时，频率将稳定在一个常数附近， 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率， 并不是说越大，估计的精度越精确，A错误； 对于B，函数，都是R上的单调函数，值域都是R， 而函数为常函数，B错误； 对于C，样本空间，事件， 则同时发生的概率，与中恰有一个发生的概率为，C错误； 对于D，若事件与相互独立，则事件与、事件与、事件与都相互独立，D正确. 故选：D 19.某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 【答案】A 【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算. 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为. 故选：A. 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20.若事件A与B互斥，且，则 ． 【答案】0.8 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以. 故答案为：. 21.已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：. 22．计算 . 【答案】10 【分析】根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算法则化简运算即可得答案. 【详解】 . 故答案为：10. 23.在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可. 【详解】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 则异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：. 三、解答题: 本题共3小题，每小题9分,共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 24.某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】(1)； (2)2； (3)98. 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）根据分层抽样的方法求解. （3）利用频率分布直方图估计平均数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知： ， 解得. (3分) （2）采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. (6分) （3）由频率分布直方图知：平均数为： . (9分) 25.已知函数． (1)证明：函数为奇函数； (2)判断函数在R上的单调性，并用单调性定义证明； 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得函数定义域，结合奇函数的定义分析证明； （2）设且，根据单调性的定义结合指数函数性质分析证明； 【详解】（1）由题意可知：的定义域为R， 且， 所以是奇函数． (4分) （2）因为，(5分) 设且， 则， (6分) 因为，则，可得，， 则，即， 故在R上的单调递增． (9分) 26．已知函数，. (1)求函数在区间上的最大值和最小值； (2)设的内角的对边分别为且，，若，求的周长. 【答案】(1)，; (2). 【分析】（1）利用正弦型函数最值的求法可得答案； （2）通过求出角，再利用角的余弦定理可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 当，即时，； (2分) 当，即时，. (4分) （2），则， ，，所以， (5分) 所以，， (6分) 由余弦定理得，即，① 又，② (7分) 把②代入①得，又由得， 所以， 的周长为. (9分) 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $