精品解析：天津市河东区实验学校2025-2026学年八年级（下）三月活力评价数学试卷

2025-2026学年八年级（下）三月活力评价数学试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法． 利用勾股定理的逆定理判断选项的正确性． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，可以构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 解得． 3. 如图，在数轴上点表示的实数是（　　） A. B. C. -2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【详解】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，根据二次根式的加减运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 15 C. 144 D. 306 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出字母B所代表的正方形的边长，根据正方形的性质即可求出面积答案． 【详解】解：如图， 在中，由勾股定理得，， 字母代表的正方形的边长为， 字母B所代表的正方形的面积为：． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用、正方形的面积，熟知如果直角三角形的两条直角边长分别是和，斜边长为，那么是解决问题的关键． 6. 如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用网格的特点和勾股定理分别求出4条线段的长即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点可知，，，， ∴表示长的线段是， 故选C． 7. 设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出和的值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解：， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 8. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 9. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有意义可得，再结合，化简． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，由得到是解题的关键． 10. 如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 4.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形的面积等知识，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键． 作于点D，如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出，根据垂线段最短可知：当时，最小，再利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：作于点D，如图， ∵，， ∴，， 根据垂线段最短可知：当时，最小， 则由， 可得， 解得； 即线段的最小值是． 故选：D． 11. 如果（2+）2=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于（   ） A. 7 B. 8  C. 10 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用完全平方公式将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵（2+）2=a+b（a，b为有理数） ∴6＋4＝a＋b， ∴a＝6，b＝4， ∴a＋b＝10． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确得出a，b的值是解题关键． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A. 60 B. 80 C. 100 D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，于是得到AF＝AB﹣BF，即可得到结果． 【详解】易证△AFD′≌△CFB， ∴D′F＝BF， 设D′F＝x，则AF＝824﹣x， 在Rt△AFD′中，（24﹣x）2＝x2+122， 解之得：x＝9， ∴AF＝AB﹣FB＝24﹣9＝15， ∴S△AFC＝•AF•BC＝90． 故选D． 【点睛】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式计算进而得出答案． 【详解】解：（-2）（+2） =（）2-4 =3-4 =-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键． 14. 已知，则的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与同时成立，被开方数为非负数，列不等式组先求得x的值，再求y的值，从而求得x＋y的值． 【详解】∵与同时成立， ∴， 解得x＝3， 故y＝1，x＋y＝4， ∴x＋y的算术平方根是2． 【点睛】此题考查二次根式有意义的条件，根据与同时成立，得到x的值是解答问题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式的应用，解题关键是掌握并正确运用该公式．将点与原点的坐标代入公式，即可求出点到原点的距离． 【详解】解：原点坐标为，根据两点间距离公式，点到原点的距离为． 故答案为：． 16. 最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式化成最简根式后，被开方数相同的即为同类二次根式进行判断即可． 【详解】解：， ∵与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 17. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 18. 如图，正方体的盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点蚂蚁爬行的最短距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解． 【详解】解：将正方体展开，连接、， 根据两点之间线段最短， ， ． 如图， ， ， 最短距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 19. 计算：（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式的乘除法则计算，然后化简后合并即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算． 【详解】解：（1）原式= （2）原式= 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 20. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 21. 如图，在中，点B在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）求和的长． 【答案】（1）见解析； （2）的长为17，的长为9 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理. （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）设，则，由勾股定理列出方程，计算即可得到答案. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴是直角三角形，且； 【小问2详解】 解：设，则， ∴． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， 则， 故的长为17，的长为9． 22. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 在直角三角形中，由勾股定理得： 解得：， ∴． 23. 两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题： （1）化简： ___________； （2）比较与的大小关系； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干进行分母有理化即可化简； （2）先将其倒数利用分母有理化进行化简比较大小，再根据倒数的性质，即可比较原数大小； （3）先对括号内进行分母有理化，再计算乘法，最后计算加减即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题关键． 24. 【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 【答案】【模型学习】见解析；【模型应用】（1）；（2），；（3）1或3 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类思想讨论解决问题是解题的关键． 模型学习：由可证； 模型应用：（1）由勾股定理可求的长，即可求解； （2）由路程速度时间可求解； （3）分和两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解． 【详解】模型学习，， ， ， ， ， ， ， ； 模型应用（1）， ， 在中，由勾股定理得：， ； （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动， ， 动点从点出发，以每秒个单位的速度沿折线向点运动， 当点在线段上运动时，线段的长度为， 故答案为：；； （3）当时，， ， 则， 解得； 当时，， ， 则， 解得， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级（下）三月活力评价数学试卷 一、单选题（本大题共12小题，共36分） 1. 下列四组线段a，b，c，能组成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在数轴上点表示的实数是（　　） A. B. C. -2 D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，字母B所代表的正方形的面积是（ ） A. 12 B. 15 C. 144 D. 306 6. 如图：网格中每个正方形边长为1，表示长的线段是（ ） A. B. C. D. 7. 设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 若，则化简后的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，．若点P在边上移动，则的最小值是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 4.8 11. 如果（2+）2=a+b（a，b为有理数），那么a+b等于（   ） A. 7 B. 8  C. 10 D. 10 12. 如图，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　） A. 60 B. 80 C. 100 D. 90 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 13. 计算的结果等于______． 14. 已知，则的算术平方根是________． 15. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为______． 16. 最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=___________． 17. 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为______尺．（1丈＝10尺） 18. 如图，正方体的盒子的棱长为，的中点为，一只蚂蚁从点沿正方体的表面爬到点蚂蚁爬行的最短距离是______． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 19. 计算：（1）； （2）． 20. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 21. 如图，在中，点B在边上，连接，已知． （1）求证：； （2）求和的长． 22. 如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 23. 两个含有二次根式的代数式相乘，若化简后的积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： 与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请回答下列问题： （1）化简： ___________； （2）比较与的大小关系； （3）计算：． 24. 【模型学习】如图①，在中，，，直线l经过点C，分别过点A、B作于点D，于点E．求证：． 【模型应用】如图②，在中，，，，，直线l经过点D（不与重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作于点M，于点N．设运动时间为t秒． （1）求线段的长度； （2）线段的长度为 ；当点Q在线段上运动时，线段的长度为 ；（用含t的代数式表示） （3）当与全等时，求出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $