卷8 第二十八章 圆 基础诊断卷（A卷）上分专题（二） 圆与辅助线（一）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（冀教版·新教材 河北专用）

该初中数学课件聚焦“圆与辅助线”专题，系统梳理添半径构造等腰三角形、构造直径所对圆周角等6类辅助线方法，通过母题提炼策略、子题变式训练，串联圆的性质与几何辅助线技巧，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“母题学方法-子题练变式”分层模式，如母题通过添半径证等腰三角形，子题结合平行线转化角度，培养学生几何直观与推理意识。例题涵盖基础题与中考真题，适配不同水平学生，助力教师精准复习，提升知识应用能力。

数 学 九年级全一册 冀教版 1 2 3 上分专题（二） 圆与辅助线（一） 重难上分 攻克难点 4 类型1 添半径，构造等腰三角形 类型2 构造直径所对的圆周角 类型3 遇圆周角，构造直径 类型4 遇圆上多点，构造圆内接四边形 类型5 遇弦中点，构造三角形中位线 类型6 遇弦中点，构造直角三角形 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 添半径，构造等腰三角形 母题学方法 上分攻略 圆中两条半径和一条弦可以构成等腰三角形，因此可以通过添加半径构造等腰三 角形,进而利用等边和等角解题. （第1题图） 1.如图，是的直径，是延长线上一点，点在 上，且，的延长线交于点，连接 .若 ，则 的度数是____. 【解析】连接，如图.， ， ， ， ，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 子题练变式 （第2题图） 2.如图，，是的直径，弦，弧的度数为 ， 则 的度数为____. 【解析】连接，如图. 弧的度数为 ， ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 类型2 构造直径所对的圆周角 母题学方法 上分攻略 根据直径所对的圆周角为 构造直径所对的圆周角，由此即可得到直角三角形. （第3题图） 3.如图，已知的直径为8，，，三点在 上，且 ，则 长为_____. 【解析】如图，作直径，连接 ， ， ， ，，故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 子题练变式 4.[2026北京西城区月考，难]如图，在中， ，以斜边 上 的中线为直径作，与,分别交于点,，与的另一个交点为 .过点 作，垂足为.若，，则 _ __ . （第4题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 【解析】如图，连接， ，， ， 为的直径， ， .又，为中 边上的中线， ,，，，是 的中位线， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 类型3 遇 圆周角，构造直径 母题学方法 上分攻略 遇到 的圆周角，构造此圆周角所对的直径，由此即可得到直角三角形. （第5题图） 5.如图，经过原点和点，是 的一条弦， ，则点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12 【解析】连接，如图所示.由 可得为的直径. , ，，， ， （负值已舍去）， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 子题练变式 （第6题图） 6.[2026河北秦皇岛月考，偏难]玉佩是我国古人身上常佩戴的一种 饰品.现在从一块直径为 的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形 玉佩,,在圆上，且 ，则这个扇形玉佩的面积是 ( ) B A. B. C. D. 【解析】如图，连接，取的中点，连接,, 在圆上， 且 ，是的直径. , .由题知， , ， . 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 类型4 遇圆上多点，构造圆内接四边形 母题学方法 上分攻略 遇圆上无规律分散的多点，通过连接这些点构造圆内接四边形，进而可以得到一 些角之间的关系. （第7题图） 7.如图，点，，，，都在上，是直径， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 【解析】如图，连接， ， 是的直径， ， 四边形为 的内接四边形， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 16 子题练变式 （第8题图） 8.如图，点，，，，都是上的点， ， ，则 的度数为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 【解析】连接，，如图. 点，，，都是上的点， 四边形 内接于， ， ， 点，，，都是 上的点， 四边形内接于， ， ， 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 18 类型5 遇弦中点，构造三角形中位线 母题学方法 上分攻略 遇弦的中点，尝试将弦看作三角形的一条边，然后构造三角形中位线. 9.如图，是的直径，，是上的两个动点（点， 不 与，重合），在运动过程中弦的长度始终保持不变， 是弦 的中点，过点作于点.若，，则 的 最大值为___，此时 的长度为___. 5 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 【解析】如图，延长交于，连接 ， ，， 当为直径时， 的值最大，为 ，此时 ，， .故 答案为5，4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 20 子题练变式 10.如图，在半径为5的扇形中， ，点是弧 上 的一个动点（不与点，重合），， ，垂足分别 为， . （1）当时，求线段 的长. 【解】， . ，，，，即线段 的长为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 21 （2）［中］在 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长 度；如果不存在，请说明理由. 【解】存在，保持不变.连接 ，如图. ，， . ，，和分别是线段和 的中点， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 22 类型6 遇弦中点，构造直角三角形 母题学方法 上分攻略 遇弦的中点，如果不能将整条弦看作三角形的一条边，考虑连接圆心和弦中点构 造直角三角形. 11.如图，已知的半径为13，是的弦，，为 中 点，是圆上的动点（不与,重合），连接，则 的最小值为___. 8 【解析】如图，连接并延长，交于点，连接 ，则 为中点，， 当位于点 的位置 时，有最小值.， .在 中，利用勾股定理得 ， , 的最小值为8.故答案为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 24 子题练变式 12.[2026山东青岛月考，难]如图，半圆的直径，弦，弦 在 半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是 的中 点，则在整个滑动过程中,线段 扫过的面积为( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 25 【解析】当点与点重合时，如图，连接 点是 的中点，， , ， ， .当在半圆弧上滑动到点与点重合时，设中点为 ，连接 ，同理可得, ， ， 弦 在 半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，此过程中， 绕 着点顺时针旋转 .连接，则 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 ，，扫过的面积与扇形面积相等， 在 整个滑动过程中，线段 扫过的面积为 ，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $