卷6 第二十六章 解直角三角形 综合检测卷-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（冀教版·新教材 河北专用）

该初中数学单元复习课件系统梳理了解直角三角形的核心知识，包括锐角三角函数定义、直角三角形边角关系及实际应用，通过知识点归纳和典型例题解析构建知识网络，清晰呈现概念与应用的内在逻辑。 其亮点在于融入新情境题目如道闸限高、折射实验等，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过规律探究和综合证明发展数学思维，分层设计基础到难题兼顾不同学生，助力知识巩固，教师可精准把握学情提升复习效率。

数 学 九年级全一册 冀教版 1 2 3 卷6 第二十六章综合检测卷 考查内容：解直角三角形 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出的选 项中只有一个选项符合题意） 1.[2026江西南昌月考]在中， ，则 等于( ) B A. B. C. D. 【解析】 ， 与相邻的直角边是，斜边是， .故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 上分心得 直角三角形中边角之间的关系 ，，（在 中， ,，，分别是，， 的对边）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第2题图） 2.[2026河北秦皇岛月考]如图，已知滑坡的坡度是 ，滑 坡的水平宽度是，则高 是( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意可得.， .故选C. 上分心得 坡度 坡度是坡面的垂直高度和水平宽度 的比，又叫作坡比，它是一个比值，反映了 斜坡的陡峭程度，一般用表示，即 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 3.[2026河北石家庄月考]在平面直角坐标系内有一点，点和原点 的连线 与轴正半轴的夹角为 ，那么 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】如图，过作轴于， ， ， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 （第4题图） 4.[2026河南信阳月考]如图，在中， ， 是 斜边上的中线.已知，，则 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】 在中，是斜边上的中线， ， ， ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 5.[2026江苏苏州月考]若，则 是( ) B A.直角三角形 B.等边三角形 C.含有 角的任意三角形 D.顶角为钝角的等腰三角形 【解析】， ， ，，， ， ， , 是等边三角形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 （第6题图） 6.新情境 [2026江苏扬州月考]某数学研究性学习小组制作 了如图所示的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角 器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺 的0刻度固定在半 圆的圆心处，刻度尺可以绕点 旋转.从图中所示的图尺 可得出 的值是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 【解析】 构造直角三 角形，并 计算 如图，连接为直径， ， ， ________________________________________________ 等角转化 ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 7.新考法 [2026福建漳州期末]某小区停车场出口处安装了“两段式道闸”，如图（1） 所示，点是道闸转动的支点，点是两段道闸的连接点.当车辆经过时，道闸 最多只能升到如图（2）所示位置，其示意图如图（3）所示（栏杆宽度忽略不 计），其中，， ， 米（参考数据： ，， ），则车辆限高的高度合适的是 ( ) A 图（1） 图（2） 图（3） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 【解析】如图，过点作于，过点作于,则四边形 为 矩形，,, , ， ， 在中， 米， （米）， （米）米， 车辆限高的 高度可以为1.9米，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 （第8题图） 8.[2026河北衡水月考，中]如图，在 中， ， ，的垂直平分线交于 ， 连接.若，则 的长是( ) A A. B. C. D. 【解析】垂直平分线段 ， ， ， ，， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第9题图） 9.[2025山东济南中考，中]如图，在由边长为1个单位长度 的小正方形组成的网格中，点，，，， 都在网格的 格点上，则下列结论正确的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图，过点作于点，过点作 于点，则 正方形网格中小正方形的 边长为1，，，，.在 中，，在 中， ，.又 和都是锐角， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第10题图） 10.[2026四川成都月考，中]如图，中， ， ，为边上一点，，，为边 上一动 点.当最大时， 的长为( ) D A.2 B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】如图，过点作于点， , ,.设 ， ， . ， ， .在 中， . ， .， 当 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 ,即（负值已舍去）时，有最小值，则 有 最大值，有最大值， 当最大时，的长为 .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11.[2026河北唐山月考，中]如图，一同学进行单摆运动实验，实验过程中，在 点正下方的处有一个钉子，小球从点出发，在右侧达到最高点.已知在 点测 得起始位置的俯角是 ，点的俯角是 ，在点测得钉子的仰角是 ， 且长为4，则摆绳 的长为( ) A （第11题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 【解析】如图，过点作，交的延长线于点 ，则 .由题意得， ， ，， .设 . 在中， ， ， . 在中，，，解得， ， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 （第12题图） 12.[2026河北邯郸育华中学月考，难]对于题目：“如图， ，上从左至右存在两点， ， ，为上一点，当 为等腰直角三角形时， 求 的值.”对于其答案，甲答：，乙答： ， 丙答：或 ，则正确的是( ) C A.只有甲答案对 B.甲、乙答案合在一起才完整 C.甲、丙答案合在一起才完整 D.三人答案合在一起才完整 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 【解析】依题意，当 为等腰直角三角形时，有以下三种情况：①当 时，如图（1）所示. 为等腰直角三角形， ，.在中， . 图（1） 图（2） 图（3） ②当 时，如图（2）所示. 为等腰直角三角形， ，， .在 中， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 ③当 时，过点作于点，如图（3）所示. 为等腰 直角三角形， ， ，.在 中， .综上所述，甲、丙答案合在一起才完整.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.[2026河北石家庄月考]在中， ， ，若将 三边都扩大3倍得到，则 __. 【解析】的三边都扩大3倍后 的大小没有变化， .故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第14题图） 14.[2026安徽合肥月考]如图，某公司安装了一个人脸打卡器， 是高的门框，某人高，只有当 时， 他才能开门，那么长为______.（参考数据： ， ， ，保留1位小数） 【解析】如图，过点作，垂足为.由题意易知四边形 是 矩形，， ， .在中， ， ,.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 （第15题图） 15.[2026山西大同月考，偏难]如图，在 中， ， ，， ，易知 ，小明 同学想求 的值，他在上取点，使得 ，则 __. 【解析】令，则 ， ，， ， ，， ， ，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 16.新考法 [2026河北衡水月考，难]我们把只有一组邻边相等，且两组对角分别 互补的四边形叫作“邻补四边形”.如图，在中，， ， 点,分别在边,上.如果四边形是“邻补四边形”，那么四边形 的 面积是_ ___________. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 【解析】如图，作于点，，, . 在中，.，， ， . 分情况讨论：①当时，，， 这种情况不符合题意，舍去. ②当时，, 点和点重合， 这种情况不符合题意，舍去. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 31 ③当时，如图（1）， , , ，， . 点在上，，与重合.作于点 ， ，，， ， ， . 图（1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 ④当时，如图（2），作于点,同理 ， .设，则， . ，，即，解得，则 ， ，， ， .故答案为 或 . 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.[2026河南平顶山月考]（7分）计算： （1） ；（3分） 【解】原式 …………（2分） .…………（3分） （2） .（4分） 【解】原式 …………（6分） .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 18.[2026河北邢台月考]（8分）如图（1），在水平地面上，一辆小车用一根绕过 定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图（2），此时测得点到 所在直线的距离， .停止位置示意图如图（3），此时测得 （点，，在同一直线上，且直线 与水平地面平行），图（3） 中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变. （参考数据：，，， ） 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 （1）求 的长；（3分） 【解】由题意得 . ， ， 在中，由 ，得 ， …………（2分） .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 36 （2）求物体上升的高度（结果精确到 ）.（5分） 【解】在中，由勾股定理得 .…………（4分） 在中，，， .………… （6分） 由题意得， ， ，…………（7分） . 答：物体上升的高度约为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 19.[2026河北廊坊月考]（8分）如图，在中，， ， ，点在边上，且，，垂足为，连接 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 （1）求线段 的长；（4分） 【解】如图所示，过点作于点 .…………（1分） ，， ， .…………（3分） 在中， ， . …………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （2）求 的正切值.（4分） 【解】如图，，， .…………（5分） ，， ，…………（6分） ， .…………（7分） 又，， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 20.跨学科问题 [2026福建厦门湖里区月考]（8分）光线从空气射入水中会发生折 射现象，发生折射时，满足的折射定律如图（1）所示,折射率 代表入射角， 代表折射角 .小明为了观察光线的折射现象，设计了如图（2）所示的实验：通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不到物块.图（3）是实验的示意图，所有点在同一平面内，点，， 在同一直线上， 测得，， . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 （1）［中］求 的长度；（3分） 【解】如图，作于点，则四边形 是矩形， ，…………（1分） ， . ， ，…………（2分） . 答：的长度为 .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）［中］求光线从空气射入水中的折射率 的值.（5分） 【解】， ， . ，， ， ， .…………（6分） ， ，…………（7分） , 光线从空气射入水中的折射率的值为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 21.规律探究 [2026黑龙江大庆月考]（9分）在中， ，， ， 的对边分别为，， .根据锐角三角函数的定义，我们不难发现有这样两个规 律：， ，利用所学过的知识来尝试解决 下列问题： （1）［中］若，求 的值；（3分） 【解】 ， . ，， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 （2）［中］求 的值；（3分） 【解】， ， ， ， ， .…………（6分） （3）［中］为锐角，化简 .（3分） 【解】， 原式 .…………（9分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 45 22.综合与实践 [2026河北保定月考]（12分）阅读下列材料. 在中，，，所对的边分别为，， ，可以得到 . 证明：如图（1），过点作，垂足为 . 在中，， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 同理，， ， . 图（1） 图（2） 图（3） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 （1）［中］通过上述材料证明： .（4分） 【证明】 ， ， ，…………（2分） 同理得， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 （2）［中］运用（1）中的结论解决问题：如图（2），在 中， ， ，，求 的长度.（4分） 【解】由题意得 ， ，， ，即 ，…………（6分） ， . 答： 的长度是12.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 （3）［难］如图（3），为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选择，， 三 个测量点，在点测得在北偏东 方向上，沿笔直公路向正东方向行驶 到达点，测得在北偏西 方向上，根据以上信息，求，， 三点围成的三 角形的面积.（4分） （参考数据：，， .结果均取整数） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【解】由题意得 ， ， .…………（9分） 由（1）得 ， ，…………（11分） . 答：，，三点围成的三角形的面积是 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 $